TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐỒNG NAI KHOA SƯ PHẠM KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o BÀI TẬP LỚN HỌC KỲ Môn: Cơ học lƣợng tử Đề bài: Cách giải tập chƣơng 3,4,5,6,7 Sinh viên : Nguyễn Quang Thịnh GVHD: Th.S Hồng Cơng Phương MSSV: 111030144 Lớp: Đại học Vật lý A_K1 Lời nói đầu Cơ học lượng tử lý thuyết Vật lý học Cơ học lượng tử phần mở rộng bổ sung học Newton( gọi học cổ điển) Nó sở nhiều chuyên ngành khác vật lý vật lý chất rắn, vật lý hạt Khái niệm lượng tử để đại lượng vật lý không liên tục mà rời rạc Cơ học lượng tử coi học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tượng vật lý mà học Newton giải thích tiên đốn học lượng tử chưa bị thực nghiệm chứng minh sai sau kỷ Cơ học lượng tử kết hợp chặt chẽ ba loại tượng mà học cổ điển khơng tính đến, là: (a) lượng tử hố số đại lượng vật lý, (b) lưỡng tính sóng hạt, (c) nguyên lý bất định Trong trường hợp định, định luật học lượng tử định luật học cổ điển mức độ xác cao Việc học lượng tử rút học cổ điển nhờ nguyên lý gọi nguyên lý tương ứng Như vậy, học lượng tử có tầm quan trọng lớn nên việc nghiên cứu môn học lượng tử quan trọng sinh viên vật lý Ngoài việc cố niềm tin vào khoa học cho sinh viên học lượng tử cịn giúp cho sinh viên có sở để nghiên cứu chuyên ngành khác vật lý Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên q trình nghiên cứu mơn học lượng tử, xin làm tập lớn nội dung tập học lượng tử Nội dung trình bày theo Giáo trình Cơ học lượng tử tác giả Lê Đình - Trần Cơng Phong trường Đại học sư phạm Huế tháng năm 2011 Nội dung bao gồm phần: I Phần tóm tắt lý thuyết cần để giải tập chương 3,4,5,6,7 II Giải tập chương 3,4,5,6,7 Hi vọng với nội dung sinh viên dễ dàng việc nghiên cứu lượng tử Xin cám ơn Th.s Hồng Cơng Phương tận tâm giúp đỡ em trình làm Trong trình làm tập chắn có sai sót nên mong góp ý xây dựng để tập trở nên hoàn thiện Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - Mục lục Chương 3: Các tiên đề học lượng tử I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập II Bài tập Chương 4: Phương trình Schrodinger 11 I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập 11 II Bài tập 13 Chương 5: Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian 23 I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập 23 II Bài tập 24 Chương 6: Chuyển động hạt trường xuyên tâm .30 I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập 30 II Bài tập 32 Chương 7: Lý thuyết biểu diễn 41 I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập 41 II Bài tập 41 Tài liệu tham khảo 55 Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - CHƢƠNG 3: CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập: Nội dung tiên đề: a Tiên đề I:Trạng thái hạt hay hệ hạt lượng tử xác định hàm chuẩn hoá toạ độ không giang thời gian Hàm chứa tồn bơh thơng tin hạt b Tiên đề II: Tương úng với đại lượng động lực A tốn tử tuyến tính Hermite ̂ tác dụng không gian Hilbert hàm trạng thái.Các kết đo đại lượng A trị riêng toán tử ̂ c Tiên đề III: Tính chất thống kê học lượng tử d tiên đề IV: Sự thay đổi trạng thái theo thời gian( Chương 4) Kiến thức cần có để giải tập: a Xác suất đo đại lượng động lực: Trong hệ số khai triển hàm sóng theo hàm riêng tốn tử ̂ ∑ b Mật độ xác suất để phép đo đại lượng động lực A trạng thái giá trị a Với hệ số khai triển hàm trạng thái theo hàm riêng toán tử ̂ c Trị trung bình phép đo đại lượng động lưc: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - d Hệ thức bất định Heisenberg: e Các kiến thức tốn cần có: + tích phân Poisson: ∫ √ ( ∫ ) √ + cách tính tích phân phần + Điều kiện trực chuẩn hàm sóng: ⟨ | ⟩ II Bài tập: + Chuẩn hố để tìm A: Ta có √ + Động trung bình: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( ( )̂ ( ) ∫ ) ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - ∫ ( ) ( )| + Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A: ∫ ∫ ∫ √ + Tính ̅ : ̅ ∫ ( ) ( ) ∫ Đặt ̅ Tính (̅̅̅) : (̅̅̅) ̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ∫ Sử dụng tích phân Poison: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - ( ∫ ) √ Ta được: (̅̅̅) √( √ ) √ + Tính ̅ : ̅ ( ) ̂ ∫ ( ) ( ∫ ) ∫ ( ( ) ) ( ∫ ) ∫ ∫ ∫ Tính ̅̅̅: ̅̅̅ ∫ ( )̂ ( ) ( ∫ ) ( ∫ ( ) (( ∫ ( ) ) ( ∫ ( ) ) ) ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh ( ) Trang - - ∫ ( ) ( ∫ ) ( ∫ ) ( ( ∫ ) ( ) ) ∫ Vậy: ̅̅̅ (̅̅̅̅̅) ̅̅̅ Kiểm tra hệ thức bất định: (̅̅̅̅̅) ( ̅ ) thoả hệ thức bất định + Sử dụng điều kiện chuẩn hố xác định A: ∫ √ + tính ̅; ̅ ∫ ̂ ∫ ( ∫ ∫ ) ∫ | Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - + Tính ̅̅̅: ̅̅̅ ( ∫ ) ∫ ∫ + xác định A điều kiện chuẩn hoá: ∫ ∫ ( ∫ ( ∫ ) ( ) ) √ Xác suất đo ⟨ Với ∫ √ | : | | ⟩ ∫ √ √ ∫ Áp dụng công thức Euler: Suy ra: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - ∫ √ √ ( ∫ ) ( ) Sử dụng điều kiện trực chuẩn hàm riêng toán tử: ⟨ | ⟩ ∫ Vậy: √ √ √ Giá trị m { Xác suất tương ứng với giá trị | | | | | { ̅̅̅ ̅̅̅ | ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) Trị trung bình bình phương tốn tử ̂ : ̅̅ ̅̅ ⟨ |̂ ⟩ ⟨ |̂̂ ⟩ Do ̂ Hermite nên Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 10 - CHƢƠNG VII LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN I.KIẾN THỨC CẦN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP: Biểu thức phần tử ma trận toán tử: |̂ ⟩ ⟨ Cách tìm hàm sóng biểu diễn bất kỳ: (F-biểu diễn) Bước 1: Khai triển hàm sóng theo hàm riêng tốn tử F Bước 2: xác định hàm sóng F-biểu diễn: ( ) ⟨ | ⟩ Các công thức khai triển Eleur: Cách tính tích phân dạng: ∫ biến đổi mủ dạng bình phương sử dụng cơng thức tích phân Poison ∫ √ Cách tìm trị riêng hàm riêng dạng ma trận: Tích phân: ∫ II BÀI TẬP: Ta có: ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 44 - Ta lấy liên hợp phức hai vế biểu thức ta được: ( ) ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Do tính chất Hermite tốn tử ̂ nên: ( ) ⟨ ̂ ( )| ( )⟩ ( )| ̂ ⟨ ( )⟩ Vậy: ( ) Hay ma trận ma trận Hermite Trong E-biểu diễn, phần tử ma trận toạ độ có dạng: ⟨ ( )| ( )⟩ Với ( ) √ ( ( ) √ ( ) Và ) Suy ra: ⟨ ( )| ∫ [ ∫ ( )⟩ ( ( ( ∫ ) ) ( ( ) ) ( ) *] ∫ ( ( ) ) + Tính tích phân: * Tính : Đặt: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 45 - { ( ( ) { ) ( ( ) ( ) ) Vậy: ( ( ) ( ) ( * Tính ( ) )| ( ) [( ) ( ) ( ( ) ) ∫ ( ( ) ) )| ] : { ( ( ) { ) ( ( ) ( ) ) Vậy: ( ( ) ( ) ( ( ) [( ( ) ( ) ) )| ( ) ∫ ( ( ) ) )| ] Suy ra: ( [( ) ( ) [( ) ] ) [( ) ] [ [( ) ] ] ( [( ) ( ) ( ( ) ( ) [( ) ) ] ] ] ) + m=n ∫ ( ) ∫ ( Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh ( ** Trang - 46 - Trong E-biểu diễn, phần tử ma trận xung lượng có dạng: ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( ∫ ( ( ( ) ∫ ) ( ( ( ( ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( [( ) ] [( ) ] ( ) ) ) [( ) ( )| ]* ) [( ) ] Khi m=n: ∫ ( ) ∫ ∫ | Khai triển hàm sóng ( ) theo hàm riêng tốn tử xung lượng ( ) √ : Vì trị riêng tốn tử xung lượng có giá trị liên tục nên ( ) Trong đó, ∫ ( ) ( ) hàm sóng biểu diễn xung lượng (p-biểu diễn) ( ) tìm nhờ điều kiện trực chuẩn hàm riêng: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 47 - ( ) ( ) ⟨ ( )| ( )⟩ ∫ √ ∫ √ ⁄ ⁄ ( ) ⁄ ( ( ) ) √ ( [ )√ ( ⁄ ( ⁄ | ⁄ ) ( ) √ ( ( ) ) ] ) Vậy dạng hàm sóng p-biểu diễn: ( ) √ ( ( ) ) + Sử dụng điều kiện chuẩn hố tìm A: ∫ ( ) ( ) ∫ √√ √ Khai triển hàm sóng ( ) theo hàm riêng tốn tử xung lượng ( ) √ : Vì trị riêng tốn tử xung lượng có giá trị liên tục nên ( ) Trong đó, ∫ ( ) ( ) hàm sóng biểu diễn xung lượng (p-biểu diễn) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 48 - ( ) tìm nhờ điều kiện trực chuẩn hàm riêng: ( ) ( )| ( )⟩ ⟨ ( ∫ √ √ ( * ∫ ) ) + √ ( ) + ( * ∫ ) Ta biến đổi số hạng dấu [ ] hàm mũ: ( ) ( * ( ) ( [ ( [ ) ] ) ( ) ) ( ( )] ( ) + ) Thay vào biểu thức ( ) ta có: ( ) ∫ √ ( ) √ )+ ( ( * ∫ ( Đặt ( * * ) + )+ ) Suy ra: ( ) √ ( ) ( ) ∫ √ √ √ ( ) √ √ √ √ ( ( √ ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh ) √ Trang - 49 - Đặt ⁄ ( √ ) Suy hàm ( ) Khai triển hàm sóng ( ) theo hàm riêng tốn tử xung lượng ( ) : √ Vì trị riêng tốn tử xung lượng có giá trị liên tục nên ( ) ( ) ∫ ( ) hàm sóng biểu diễn xung lượng (p-biểu diễn) Trong đó, ( ) tìm nhờ điều kiện trực chuẩn hàm riêng: ( ) ( ) ( )| ( )⟩ ⟨ ∫ √ ∫ √ ( ) ∫ √ Với: ( ) [ [ ] * + ] Ta có: ( ) √ √ √ * ∫ ∫ √ + * + ∫ √ √ √√ √ √ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 50 - √ √ √ √ + Dùng điều kiện chuẩn hoá để xác định A: | | ∫ | | √ ( ) theo hàm riêg cuả tốn tử mơmen xung lượng lên trục z Khai triển hàm ( ) √ ( ) ( Trong đó, ( ) ∑ ) hàm sóng -biểu diễn ( ) tìm nhờ điều kiện trực chuẩn hàm riêng: ( ) √ ⟨ ( )| ( )⟩ ∫ Với Ta được: ( ) √ √ √ ∫ ∫ ∫ ( ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ) Thay Avào ta được: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 51 - ( ) ( ∫ √ ) ( ∫ √ ) √ ∫ ( ) Ta có điều kiện trực chuẩn hàm riêng toán tử ̂ : ⟨ ( )| ( )⟩ ( ∫ ) Vậy: ( ) √ √ √ Trong p-biểu diễn nên tốn tử toạ độ xung lượng có dạng: ̂ ̂ Toán tử lượng: ̂ ̂ ̂ ̂ Trong : Trong p- biểu diễn, phương trình Schrodinger có dạng: ̂ * + ( ) ( ) ( ) ( | ( )| ) ( ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) * ( Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh * Trang - 52 - Tìm C điều kiện chuẩn hoá: ( ) ( ) ( ∫ ( ( ∫ )) Ta có tính chất: ( ) ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) √ Vậy hàm sóng cần tìm là: ( ) ( * √ Trong p-biểu diễn toán tử Hamiltonian dao động tử điều hồ có dạng: ̂ Phương trình Schrodinger: ̂ ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) Đặt ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) với ( ( )) ( ) ( ) Phương trình giống với phương trình dao động tử điều hồ mà ta khảo sát: + Năng lượng: ( ) Hàm sóng: ( ) ( ) Chuẩn hố để tìm An Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 53 - ( ) ∫ √ (√ ⁄ ) Vậy hàm sóng cần tìm là: ( ) (√ ) ( * theo hàm riêng toán tử xung lượng chiều: Khai triển hàm ( ⁄ ⁄ ) ( ) ( ( ⃗) ⁄ Với ⃗⃗ ( ⃗) ) Trong ( ) hàm sóng p-biểu diễn: ( ) ⟨ | ⟩ ( ) ⁄ ⃗⃗ ∫ √ Ta tính tích phân toạ độ cầu chọn phương xung lượng hình vẽ: 𝑧 ⃗ 𝑝 ⃗ 𝑟 𝜃 𝑦 O 𝑥 Suy ⃗ ⃗ Khi đó: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 54 - ( ) √ ( √ ( √ ( Ta tính ∫ ) ⁄ ∫ ∫ ⁄ ∫ ) ⁄ ∫ ) : ∫ đặt lúc là: ∫ ( * ( * Vậy: ( ) √ ( √ ( ) đặt ⁄ ∫ ) ( ∫ * ( ) * ( ) + Ta được: ( ) √ ( √ ( Thay ) ) ∫ ( √ ( ta được: √ ( √ ( ∫ * ( ( ) ) ) ) ( ) ( ) * √ ( ( ) * ( ( ) * Vậy: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 55 - ⁄ ( ) ( * ( ( ) * Phương trình đặc trưng ứng với ma trận A có dạng: | ( ) | | ( | √ ) ( ) √ Phương trình hàm riêng viết dạng ma trận: AC=aC ( + ( + ( + { + Khi a=7 suy + Khi , (√ √ ) Sử dụng điều kiện chuẩn hoá: ( (√ (√ ( ) )( ) (√ ) ) √ ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 56 - √ ( √ ) Tương tự với √ (√ √ ( ) √ ) Vậy trị riêng toán tử A + trị riêng √ hàm riêng ma trận cột có dạng ( + + Khi trị riêng ⁄ √ ( √ , hàm riêng ma trận cột có dạng: √ ) ( ) + Khi trị riêng ⁄ √ ( ( √ , hàm riêng ma trận cột có dạng: √ ) ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 57 - Tài liệu tham khảo [ ] Lê Đình - Trần Cơng Phong, Giáo trình học lượng tử, Đại học sư phạm Huế, tháng năm 2011 [ ] Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp - tập 1, NXB Giáo dục, 2011 Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 58 - ... trình nghiên cứu môn học lượng tử, xin làm tập lớn nội dung tập học lượng tử Nội dung trình bày theo Giáo trình Cơ học lượng tử tác giả Lê Đình - Trần Cơng Phong trường Đại học sư phạm Huế tháng... học lượng tử định luật học cổ điển mức độ xác cao Việc học lượng tử rút học cổ điển nhờ nguyên lý gọi nguyên lý tương ứng Như vậy, học lượng tử có tầm quan trọng lớn nên việc nghiên cứu môn học. .. đầu Cơ học lượng tử lý thuyết Vật lý học Cơ học lượng tử phần mở rộng bổ sung học Newton( gọi học cổ điển) Nó sở nhiều chuyên ngành khác vật lý vật lý chất rắn, vật lý hạt Khái niệm lượng tử để