TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ THỜI GIAN TUYẾN TÍNH RỜI RẠC (THEORY OF FRACTIONAL CACULUS AND APPLICATIONS ) (TO DIFFERENTIAL FRACTIONAL EQUATIONS) Họ tên sinh viên thực hiện : NGUYỄN THỊ HẰNG Lớp : CN Toán-K35 Giảng viên hướng dẫn : TS. HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2013 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Chương 1: Nghiên cứu cấu trúc nghiệm và hàm truyền của hệ thời gian tuy rời rạc 1 1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa: hệ rời rạc có dạng . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm E t (u, a), C t (u, a), S t (u, a) . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2: Lý thuyết về giải tích phân thứ (Theory of fractional caculus) 16 2.1 Tích phân Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Đạo hàm Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.4 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 3: Phương trình vi phân phân thứ (Fractional differential equations) 30 3.1 Phương trình vi phân thuần nhất . . . . . . . . . . . . 30 3.1.1 Phương trình P (D ν )y(t) = 0 . . . . . . . . . . . 30 3.1.2 Phương trình P (D)y(t) = 0 . . . . . . . . . . . . 34 i 3.1.3 Hệ phương trình D ν Y (t) = AY ( t) . . . . . . . . 36 3.2 Phương trình vi phân không thuần nhất . . . . . . . . 43 3.2.1 Hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 Phương trình P (D ν )y(t) = x(t) . . . . . . . . . 45 3.2.3 Hệ phương trình D ν Y (t) = AY ( t) + X(t) . . . . 47 3.2.4 So sánh phương trình vi phân phân thứ với phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . 52 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Nguyễn Thị Hằng k3 5 CN Toán ii Lời nói đầu Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước đây khi sự thực hiện điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và phân tí ch một cách chính xác qua mô hình toán học. Hiện nay lý thuyết điề u khiển tiếp tục được phát triển mạnh mẽ và được xem là một lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Lý thuyết điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan trọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái niệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính. Trong đồ án này em trình bày về bài toán điều khiể n của hệ thời gian tuyến tính rời rạc. Nội dung đồ án bao gồm các phần sau: 1. Chương 1: Sau một số bước biến đổi ta được T (h) =  h 0 f(y) √ h − y dy, (1) trong đó, f(y) = 1 √ 2g  1 + ψ  (y). Phương trình (1) được viết thành Nguyễn Thị Hằng k3 5 CN Toán iii Lời nói đầu Lời nói đầu T = √ π 0 D −1/2 h f, được gọi là phương trình Abel. Đồ án này giớ i thiệu về tích phân và vi phân phân thứ theo nghĩa do Riemann-Liouvil le đề ra và ứng dụng để giải các phương trình vi phân phân thứ autonomous. Đồ án này gồm có ba phần 1. Một số hàm đặc biệt 2. Lý thuyết về giải tích phân số (Theory of frac tio nal caculus) 3. Phương trình vi phân phân thứ (Fractional differential equations) Báo cáo này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. HÀ BÌNH MINH. Em xin chân thành c á m ơn thầy. Hà Nội, Ngày 5 tháng 3 năm 2013 Sinh viên NGUYỄN THỊ HẰNG Nguyễn Thị Hằng k3 5 CN Toán iv Chương 1 Nghiên cứu cấu trúc nghiệm và hàm truyền của hệ thời gian tuy rời rạc 1.1 nghiệm của h ệ thời gian tuyến tính rời r ạc 1.1.1 Định nghĩa: hệ rời rạc có dạng Định nghĩa 1.1.1. x(k) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x 0 (1.1) y( k) = Cx(k) + Du(k) (1.2) cấu trúc nghiệm: x(k) = A k x 0 + Bu(k), x(0 ) = x 0 (1.3) x(k) = A k x 0 + Bu(k), x(0) = x 0 Chú ý 1.1.2. Nếu x > 0 ta có thể biểu diễn hàm Gamma dưới dạng tích phân sau đây Γ(x) =  ∞ 0 t x−1 e −t dt. Ví dụ 1.1.3. Tính Γ(1). Γ(1) =  ∞ 0 e −t dt = 1. Vậy Γ(1) = 1. Ví dụ 1.1.4. Tính Γ(5). Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán 1 1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN TUY RỜI RẠC Hình 1.1: Đồ thị hàm số Gamma Γ(5) =  ∞ 0 t 4 e −t dt = 4.  ∞ 0 t 3 e −t dt = 4.3.  ∞ 0 t 2 e −t dt = 4.3.2  ∞ 0 te −t dt = 4.3.2.1  ∞ 0 e −t dt = 4! = 24. Vậy Γ(5) = 5!. Định nghĩa 1.1.5. Hàm Bêta đối với biến x > 0, y > 0, ký hiệu là B( x, y), là tích phân sau đây B( x, y) : =  1 0 t x−1 (1 − t) y−1 dt. Ví dụ 1.1.6. Tính B(1, 1). B( 1, 1) =  1 0 dt = 1. Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán 2 1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN TUY RỜI RẠC Hình 1.2: Đồ thị hàm số Bêta Vậy B( 1, 1) = 1. Ví dụ 1.1.7. Tính B(2, 2). B( 2, 2) =  1 0 t(1 − t)dt =  t 2 2 − t 3 3       1 0 = 1 6 . Vậy B( 1, 1) = 1 6 . Ví dụ 1.1.8. Tính B(3, 2). B( 3, 2) =  1 0 t 2 (1 − t)dt =  t 3 3 − t 4 4       1 0 = 1 12 . Vậy B( 3, 2) = 1 12 . Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán 3 1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN TUY RỜI RẠC 1.1.2 Tính chất Trong mục này, ta sẽ giới thiệu một số tính chất thường được dùng của hàm Gamma và hàm Bêta. (1) Γ(x + 1) = xΓ(x), x > 0. (2) Hàm Gamma có thể coi là mở rộng của hàm giai thừa vì với n ∈ N ∗ , Γ(n) = (n −1)!. (3) Phần bù của hàm Gamma. Nếu 0 < x < 1 thì Γ(x)Γ( 1 − x) = π sin(πx) . (4) Tính giao hoán B( x, y) = B(y, x). (5) B(x, y) = Γ(x)Γ( y) Γ(x + y) , x, y > 0. (6) B(x, y) = 2  π/2 0 (sin θ) 2x−1 (cos θ) 2y−1 dθ, x, y > 0. (7) B(x, y) =  ∞ 0 t x−1 (1 + t) x+y dt, x, y > 0. (8) B(x, y).B(x + y, 1 − y) = π x sin(πy) , 0 < y < 1, x > 0. Chứng minh. Ta chứng minh các tính chất ở trên. • Tính chất (1) : Hàm Gamma Γ(x) =  ∞ 0 t x−1 e −t dt. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta được Γ(x + 1) =  ∞ 0 t x e −t dt = −e −t t x +  ∞ 0 xt x−1 e −t dt = x  ∞ 0 t x−1 e −t dt = xΓ(x). Vậy Γ(x + 1) = xΓ(x). Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán 4 1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN TUY RỜI RẠC • Tính chất (2): Ta có Γ(n) = (n − 1 )Γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) ··· ··· = (n − 1)(n − 2) ···2.1Γ(1) = (n − 1)(n − 2) ···2.1  ∞ 0 e −t dt = (n − 1)(n − 2) ···2.1 = (n − 1)!. Vậy với n ∈ N ∗ thì Γ(n) = (n − 1)!. • Tính chất (3) : • Tính chất (4): Từ định nghĩa của hàm Bêta có thể dễ dàng suy ra tính chất này. • Tính chất (5) : Với Γ(x) =  ∞ 0 t x−1 e −t dt thì Γ(x)Γ( y) =  ∞ 0 u x−1 e −u du  ∞ 0 v y−1 e −v dv =  ∞ 0  ∞ 0 e −u−v u x−1 v y−1 dudv. Đổi biến bằng cách đặt u = zt, v = z( 1 − t) ta s ẽ được Γ(x)Γ( y) =  ∞ z=0  1 t=0 e −z (zt) x−1 (z(1 − t)) y−1 zdzdt =  ∞ z=0 e −z z x+y−1 dz  1 t=0 t x−1 (1 − t) y−1 dt = Γ(x + y)B( x, y). Vậy B( x, y) = Γ(x)Γ( y) Γ(x + y) . • Tính chất (6) : Đặt t = sin 2 θ. Khi đó, dt = 2 sin θ cos θdθ và B( x, y) =  π 2 0 sin 2(x−1) θ cos 2(y−1) θ ·2 sin θ cos θdθ = 2  π 2 0 sin 2x−1 θ cos 2y−1 θ dθ. Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán 5 [...]... CỦA HỆ THỜI GIAN 1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc TUY RỜI RẠC π 2 sin2x−1 θ cos2y−1 θ dθ Vậy B(x, y) = 2 0 • Tính chất ( 7): Đặt t = ξ 1 Khi đó, dt = dξ và 1+ξ (1 + )2 x−1 ξ 1 1+ξ 1+ξ 0 ∞ x−1 ξ dξ (1 + ξ)x+y 0 ∞ B(x, y) = = ∞ Vậy B(x, y) = 0 y−1 l 1 dξ (1 + )2 ξ x−1 dξ (1 + ξ)x+y • Tính chất ( 8): Theo như tính chất ( 4) ở trên, B(x, y) = Γ(x + y)Γ(1 − y) Γ(x)Γ(y) và B(x + y, 1 − y) =... 1 − y) = Γ(x + y) Γ(x + 1) Do vậy, Γ(x)Γ(y) Γ(x + y)Γ(1 − y) Γ(x + y) Γ(x + 1) Γ(x) = (Γ(y).Γ(1 − y )) Γ(x + 1) π 1 (Sử dụng tính chất ( 1), ( 3) ở trên) = x sin(πy) π Vậy B(x, y).B(x + y, 1 − y) = , 0 < y < 1, x > 0 x sin(πy) B(x, y).B(x + y, 1 − y) = Ví dụ 1.1.9 Tính Γ( 1 ) 2 Theo tính chất ( 3) ở trên ta có 1 2 ·Γ 1 2 Γ Γ 1 2 = = π sin( π ) 2 Do vậy, Vậy Γ( 1 ) = 2 √ π sin( π ) 2 √ π = π 6 Nguyễn... CỦA HỆ THỜI GIAN 1.2 Hàm Et (u, a), Ct (u, a), St (u, a) TUY RỜI RẠC u ∞ u k=0 ∞ Et (u, a) − aEt (u + 1, a) = t = t k=0 u ∞ (at)k (at)k u −t Γ(u + k + 1) Γ(u + k + 1) k=1 t Γ(u + 1) = Vậy ∞ (at)k (at)k − atu+1 Γ(u + k + 1) Γ(u + k + 2) k=0 tu Et(u, a) = aEt (u + 1, a) + Γ(u + 1) ( 5) Chứng minh tương tự như tính chất ( 4) Ta có Et(u, a) − ap Et(u + p, a) ∞ ∞ (at)k (at)k u p u+p = t −a t Γ(u + k + 1). .. B(ν, ) 1 (1 − y)ν−1y µ−1 dy (t − ) +µ−1f (ξ)dξ = B(ν, ) (ν + µ)D−(ν+ ) f (t) = Γ( ) (µ)D−(ν+µ)f (t) 19 Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán 2.1 Tích phân Riemann-Liouville CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT VỀ GIẢI TÍCH PHÂN THỨ (THEORY OF FRACTIONAL CACULUS) Thay vào công thức ( ) ta được D−ν D−µ f (t) = D−(ν+ ) f (t) Tương tự, ta cũng có D−µ D−ν f (t) = D−(ν+ ) f (t) Vậy D−ν D−µ f (t) = D−µ D−ν f (t) = D−(ν+ ) f (t) Ví... (t − ) −1f (ξ)dξ (t − x) 0 x ν−1 0 (x − ) −1f (ξ)dξ dx ( ) Áp dụng công thức Dirichlet t 0 (t − x) t = x ν−1 0 t f (ξ)dξ ξ 0 (x − ) −1f (ξ)dξ dx (t − x)ν−1(x − ) −1dx x−ξ = y Khi đó, dx = (t − ξ)dy và t − x = (t − )( 1 − y) t−ξ Thay vào công thức trên ta được Đặt t t f (ξ)dξ ξ 0 t = (t − x)ν−1(x − ) −1dx 1 f (ξ)dξ 0 0 t = 0 (t − ) [(t − )( 1 − y)]ν−1 [(t − ξ)y]µ−1 (t − ξ)dy ν+µ−1 0 f (ξ)dξ 0... (u, a) dưới dạng tích phân sau 1 Ct (u, a) := Γ(u) t 0 ξ u−1 cos a(t − ξ)dξ Định nghĩa 1.2.9 Hàm St (u, a) với u, a ∈ R được định nghĩa như sau St (u, a) := ∞ k lẻ (− 1)( k− 1)/ 2(at)k = Γ(u + k + 1) ∞ k=0 (−1)k (at)2k+1 Γ(u + 2k + 2) Ví dụ 1.2.10 Với u = 0 thì 0 St (0, a) = t ∞ k=0 ∞ = k=0 (−1)k (at)2k+1 Γ(2k + 2) (−1)k (at)2k+1 (at)3 (at)5 = (at) − + + ··· (2k + 1)! 3! 5! = sin(at) Vậy St (0, a) = sin(at)... PHÂN THỨ (THEORY OF FRACTIONAL CACULUS) Giả sử 0 < ν < 1 Khi đó, m = 1 và Dν [teat ] = = = = Vậy Dm [tEt(m − ν, a) − (m − ν)Et(m − ν + 1, a)] D[tEt (1 − ν, a) − (1 − ν)Et(−ν, a)] Et (1 − ν, a) + tEt (−ν, a) − (1 − ν)Et(−ν, a)] Et (1 − ν, a) − (1 − ν − t)Et (−ν, a)] Dν [teat ] = Et (1 − ν, a) − (1 − ν − t)Et (−ν, a)], 0 < ν < 1 Tương tự, và Dν [t cos(at)] = Ct (1 − ν, a) − (1 − ν − t)Ct (−ν, a)], 0 0... p + 1) k=0 k=0 u = t ∞ k=0 p−1 ak = k=0 ∞ (at)k (at)k u −t Γ(u + k + 1) Γ(u + k + 1) k=p tu+k Γ(u + k + 1) Vậy p−1 tu+k Et (u, a) = a Et (u + p, a) + a , Γ(u + k + 1) k=0 p k p = 0, 1, 2, Định lý 1.2.13 Một số tính chất của hàm Ct (u, a) ( 1) Ct (0, a) = cos(at); ( 2) Ct (−p, a) = (−1)p/2ap cos(at), với p = 0, 2, 4, , Ct (−p, a) = (− 1)( p+ 1)/ 2ap sin(at), với p = 1, 3, 5, ( 3) Dp Ct (u, a) = Ct... a) ( 4) Ct (u − 1, a) = −aSt (u, a) + p = 0, 1, 2, tu−1 Γ(u) 11 Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán CHƯƠNG 1 NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN 1.3 Biến đổi Laplace TUY RỜI RẠC tu−1 ( 5) Ct (u − 1, a) + a Ct (u + 1, a) = Γ(u) 2 Chứng minh Chứng minh tương tự như đối với hàm Et (u, a) Định lý 1.2.14 Một số tính chất của hàm St (u, a) ( 1) St (0, a) = sin(at); ( 2) St (−p, a) = (−1)p/2ap