“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giúp đỡ học sinh nhiệm vụ quan trọng mà người thầy thiết phải làm Nhiệm vụ khơng phải dễ địi hỏi phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm nguyên tắc đắn Người học sinh với nỗ lực thân phải thu nhiều tốt kinh nghiệm độc lập cơng tác Nhưng Học sinh đứng trước tốn mà khơng có giúp đỡ nào, hay giúp đỡ q khơng thể tiến Mặt khác thầy giúp đỡ nhiều q học sinh chẳng cịn phải làm Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, q để học sinh có cơng việc hợp lý Trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh trung học sở thi vào lớp 10 thường gặp tốn giải phương trình, hệ phương trình khơng tắc, chúng thường thiết kế ý tưởng bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức Phương trình, hệ phương trình khơng tắc phối hợp nhiều luồng kiến thức, kĩ giải tốn Bài tốn địi hỏi người làm tốn phải hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt sử dụng Người làm tốn cần tìm tịi, củng cố hệ thống, liên hệ kiến thức, đồng thời tập cho làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học Là giáo viên dạy toán nhiều năm nhận thấy cần phải tập hợp lại thành chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ sử dụng dạng toán cách xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học tập học sinh nhằm giúp học sinh giải số tốn nhanh, gọn tiết kiệm thời gian Căn vào thực tế trên, yêu cầu việc bồi dưỡng học sinh giỏi đặc biệt việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh hoạt động học tập Với lý nêu tơi có ý tưởng xây dựng đề tài: “Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình” I.2.TÍNH CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Theo đề tài đưa vào áp dụng có tác dụng sau: Nhằm nâng cao chất lượng “Giải phương trình, hệ phương trình phương pháp dùng bất đằng thức” Giúp cho thầy trò dạy học đạt kết cao kỳ thi, kỳ thi học sinh giỏi Tốn, giải tốn máy tính bỏ túi khối THCS, học sinh có niềm tin kỹ vận dụng dạng tốn giải phương trình hệ phương trình Góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn mơn khác ngày cao I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Học sinh đạt Giải phương trình hệ phương trình phương pháp bất đẳng thức I.3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI, KẾ HOẠCH, THỜI GIAN NGHIÊN CỨU 4.1 Đối tượng nghiên cứu: - Các dạng tốn giải phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức chương trình THCS 4.2 Phạm vi nghiên cứu: Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Học sinh lớp khối khối trường THCS Mạo Khê II Đông Triều - Quảng Ninh 4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007; 2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010 I.4 ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I.4.1 Cơ sở lí lụân Nói đến dạy học cơng việc vừa mang tính khoa học vừa mang tính nghệ thuật Do địi hỏi người giáo viên cần có lực sư phạm vững vàng, phương pháp giảng dạy phù hợp theo hướng tích cực giúp học sinh chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức Việc tạo cho học sinh niềm hứng thú học tập “Giải phương trình hệ phương trình phương pháp dùng bất đằng thức” hoàn toàn phụ thuộc vào lực sư phạm giáo viên Ngoài việc lên lớp người giáo viên phải khơng ngừng học hỏi, tìm tịi tài liệu có liên quan để truyền thụ cho học sinh cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả tiếp thu đối tượng học sinh Hướng đổi phương pháp dạy học Tốn trường THCS tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Đặc biệt năm học toàn ngành giáo dục sức thực vận động “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ” việc tạo hứng thú học tập cho học sinh tạo cho em có niềm tin học tập, khơi dậy em ý thức “mỗi ngày đến trường niềm vui” Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ I.4.2 Cơ sở thực tiễn Bản thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn Tốn tơi có nhiều năm tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn, Tốn máy tính trường THCS Mạo Khê II thấy rằng: - Đối với học sinh giải phương trình, hệ phương trình phương pháp dùng “bất đẳng thức” em tích cực số điều kết nhanh, xác, làm nhiều tập khoảng thời gian ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán - Đối với giáo viên đa số kiến thức khó lại rộng lớn bao trùm Do để thời gian vào nghiên cứu, tìm tịi để có kiến thức vững sâu khó, có lẽ người suy nghĩ - cố gắng hồn thành nhiệm vụ cịn nghiên cứu tìm tịi có nhà khoa học - Ngun nhân góp phần khơng nhỏ cho việc nghiên cứu tìm lời giải cho tốn người phải có trí tuệ, phải bậc vĩ nhân Suy nghĩ phần “Ngọc khơng mài khơng sáng được” - Do địi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết tinh thần học hỏi cao đáp ứng chun mơn, cơng việc giảng dạy Tốn học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh khoa học với tốn song khơng vận dụng vào cấp học phổ thơng, chưa tìm phương pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, nội dung sách giáo khoa hành II PHẦN NỘI DUNG II.1.1 Một số thành tựu Thực tế qua theo dõi chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi khối 8, có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tơi thấy đa số Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ em tích cực tư duy, hứng thú với tập mới, kiến thức so với lớp lại Đặc biệt lớp ln có thi đua tìm cách giải hay nhất, nhanh Khơng khí lớp học ln sơi nổi, khơng gị bó, học sinh độc lập tư Điều hứng thú phát huy trí lực em, giúp em phát triển kỹ nghiên cứu khoa học hứng thú việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ II.1.2 Một số tồn nguyên nhân Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng hai khối khối khả nhận thức học sinh không đồng đều, đa số học sinh thiếu động học tập, lười học, khơng tích cực học tập cho chun đề khó khơng quan trọng, khơng thiết việc phát huy tính tích cực số học sinh hạn chế Hơn học sinh quan tâm gia đình.Vì địi hỏi cố gắng tận tâm người thầy dần giúp em hòa nhập với khả nhận thức chung cuả môn học II.13 Vấn đề đặt Rèn luyện “Giải phương trình hệ phương trình phương pháp dùng bất đằng thức” cách hình thành kiến thức, kỹ cho học sinh phương pháp luyện tập thông qua tập quan trọng để nâng cao chất lượng dạy học môn Với học sinh họat động giải tập hoạt động tích cực có tác dụng sau: - Rèn kỹ vận dụng kiến thức học, kiến thức tiếp thu qua giảng thành kiến thức mình, kiến thức nhớ lâu vận dụng thường xuyên - Đào sâu mở rộng kiến thức học cách sinh động, phong phú, hấp dẫn Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ - Là phương tiện để ơn tập, củng cố, hệ thống hoá cách tốt kiến thức học - Phát triển lực nhận thức, rèn trí thơng minh cho học sinh II.2.ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY II.2.1.CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH Để bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn nói chung giải tốn máy tính nói riêng có hiệu theo tơi phải làm công việc sau: - Đầu năm phân loại đối tượng học sinh, chọn em học Toán trở lên chăm học vào đội tuyển HSG Toán - Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao mơn Tốn - Soạn nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi, nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi phải hệ thống, phân loại dạng Toán khối phân công bồi dưỡng - Lên kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi theo tuần - Thường xun tìm hiểu nghiên cứu kiến thức có liên quan mạng internet Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi : Dạy từ – buổi tuần II.2.2 QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN I)- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Kiến thức Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc đối cới hầu hết học sinh Tuy nhiên, người ta xây dựng nhiều tốn hay khó Bất đẳng thức cauchy phát biểu: Cho dãy số không âm a1,a2, an Ta có bất đẳng thức: a1 + a2 + .an n ≥ n a1a2 an Và dấu xảy a1=a2= =an Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Bất đẳng thức minh nhiều tài liệu, xin phép khơng trình bày chứng minh viết Một số ví dụ Phương trình, hệ phương trình giải cách dùng bất đẳng thức cauchy phong phú đa dạng Thơng qua ví dụ điển hình mong nhận dạng nhanh đặc điểm tốn Ví dụ 1: Giải phương trình: x + y + z + = x − + y − + z − (Tuyển sinh 10, THPT Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh - 1993 -1994) * Lời giải: Điều kiện có nghĩa: x ≥ ; y ≥ ; z ≥ Áp dụng Bất đẳng thưc Cauchy, ta có: (1) x − ≤ x − +1 (2) y −3 ≤ y −3 +4 (3) z −5 ≤ z −5+9 Cộng (1), (2), (3), ta có: x − + y − + z − ≤ x + y + z + Đẳng thức xảy ra: Khi x-2=1 y-3=2 z-5=3 Vậy nghiệm phương trình là: (x ; y, z) = (3, 5, 8) Nhận xét: Đây phương trình vơ tỷ khơng tắc, tốn cịn có cách giải khác, nhiên với cách giải dùng bất đẳng Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ thức Cauchy dụng ý người viết Đây toán bản, tạo nhiều tương tự với chút biến đổi Ví dụ 2: Giải phương trình: 16 x + = 63 x + x Lời giải: Điều kiện có nghĩa: Vì 16x4 + > nên x3 + x > 0⇔x>0 Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho số dương 4x; 4x +1 ; ta có: 63 x + x = 33 x (4 x + 1).2 ≤ x + (4 x + 1) + = x + x + => 16x3 + ≤ 4x2 + 4x + ⇔ 8x3 + 2x2 - 2x + ≤ ⇔ (2x-1)2 (2x2 + 2x + 1) ≤ ⇔ (2x - 1)2 ≤ 0, (2x - 1)2 ≥ 0, nên x = 1/2 thỏa mãn Nhận xét: Đây toán phương trình vơ tỷ khó, hiểu giải cách nâng lên lũy thừa tốn phức tạp khó giải Bằng cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý, bất đẳng thức Cauchy kết hợp với biến đổi tương đơng tìm lời giải Quan sát kỹ tạo lớp tốn cách biển đổi lên Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 2x2 + =3 y4 y2 + =3 x4 2x2 + 1 + 2y2 + = x y Lời giải: Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Cộng vế với vế ta có: (1) áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: y2 + y2 + x2 + x2 + 1 ≥ 3.3 x x = x x 1 ≥ 3.3 y y = y y x2 = Vậy dấu xảy (1) khi: x4 y2 = y4 ⇔ x=±1 y=±1 Vậy tập nghiệm hệ phương trình là: ( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1) Nhận xét: Đứng góc độ đó, lệ phương trình đối xứng loại 2, tốn giải theo phương trình chung Vận dụng bất đẳng thức cauchy lời giải độc đáo sáng tạo Chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy phương trình (1) dễ phát so với hệ phương trình đầu cho áp dụng cách giải, ta tạo nhiều hay khó Ví dụ 4: Giải hệ phương trình : 2x2 =y + x2 y2 =z 1+ y2 2z2 =x 1+ z2 Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Lời giải: Dễ thấy ( x; y; z) = (0; 0; 0) nghiệm phương trình Xét x # y # 0, z # x, y, z > Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+ x ≥ 2x , 1+ y2 ≥ 2y ,1 +z2 ≥2z Nên ta có: 2x2 ≤x 1+ x2 ; y2 ≤y 1+ y2 ; 2z2 ≤ z Vậy 1+ z2 từ hệ phương trình ta có: y ≤ x ≤ z ≤ y x = y = z Giải ta có: x = y = z = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1, 1)} Nhận xét: Đây hệ phương trình có dạng hốn vị, ngồi cách giải trên, tốn cịn cách giải khác Tuy nhiên cách giải ngắn gọn, phù hợp với học sinh THCS hơn, Bất đẳng thức Cauchy đem lại lời giải hay, độc đáo II)- Áp dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI 1- Kiến thức: Khi nhắc đến bất đẳng thức không nhắc đến Bất đẳng thức Binhiacôpski Đây bất đẳng thức quen thuộc với học sinh, sử dụng công cụ, phần nghiên cứu dạng ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình khơng mẫu mực Trước hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski Giả sử: a1, a2,…, an b1, b2,…bn hai số tùy ý Ta có bất đẳng thức (a1b1 + a2b2…+ anbn) ≤ 2 (a12 + a2 + + an ).(b12 + b22 + + bn ) Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Và dấu xảy khi: a1 a2 a = = n b1 b2 bn Bất đẳng thức chứng minh nhiều tài liệu, xin phép khơng trình bày cách chứng minh viết Một số ví dụ: Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacơpski giải phương trình, hệ phương trình thường phong phú đa dạng Khi giải dạng toán phương pháp này, cần quan sát, có kỹ nhận biết cặp số Sau số ví dụ phân tích nhận biết này: Ví dụ 1: Giải phương trình x − + x − = x − x + 16 Lời giải: Điều kiện có nghĩa x ≥ áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpki ta có: x − + x − ≤ 12 + 12 ( x − 1) + ( x − 3) ⇒ x − + x − ≤ x − x + 16 Đẳng thức xảy ⇔ x −1 x − = 1 x −3 ≥ ⇔ x − = ( x − 3) x≥3 ⇔ x≥3 x − x + 10 = ⇔ x = (loại x = < 3) Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Nhận biết hai s x − 1; x − 1; để dùng bất đẳng thức Bunhia -côpski đánh giá vế trái kỹ thuật hay khó Bài Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ toán giải theo cách khác phức tạp gặp khó khăn, Chúng ta tạo tốn tương tự Ví dụ 2: Giải phương trình − x + x − = x − 12 x + 38 (Thi học sinh giỏi THCS TP Hồ Chí Minh 2002 - 2003) Lời giải: Điều kiện có nghĩa: ≤ x ≤ Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpski ta có: Vế trái: − x + x − ≤ + ( ) ( 7− x + x −5 ) (1) =2 Vế phải: x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + ≥ (2) Vậy vế trái ≤ ≤ vế phải 7− x = Từ (1), (2) đẳng thức xảy khi: x −5 ( x − 6) = ⇔x=6 Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Đây toán học sinh Nhận biết hai bộ: 7− x ; x −5 1; để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpski đánh giá vế trái kết hợp dùng đẳng thức để đánh giá vế phải Cách thiết lế toán kiểm tra nhiều luồng kiến thức học sinh Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ( x + y + z ) = 26( + y + z ) x + y + z = 92 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpski ta có: Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ ( x + y + z ) ≤ (12 + 32 + )( x + y + x ) ⇒ ( x + y + z ) ≤ 26( x + y + x ) Đẳng thức (1) xảy (1) x y z = = kết hợp với hệ phương trình ta tìm nghiệm nhấy (x, y, z) = (1 ; ; 4) Nhận xét: Đây hệ phương trình khơng mẫu mực Để phát cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta ý đến vế phải chương trình thứ (chứa x2 + y2 + z2), Sau chọn số thích hợp 1; 3; x, y, z để đánh giá Phương trình thứ hai chỉu dùng đánh giá xong phương trình thứ Những kiểu dễ thiết kế, xong khó giải Người giải phải có kiến thức định bất đẳng thức Ví dụ 4: Giải hệ phương trình + x1 + + + x2 + + x2006 = 2006 2007 2006 − x1 + + − x2 + − x2006 = 2006 2005 2006 Lời giải: Điều kiện có nghĩa; -1 ≤ xi ≤ ; i = 1, …., 2006 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpski ta có: 2006 2007 = 2006 ( + x1 + + x2 + + + x2006 ) Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ ≤ (1 + + + 1)(1 + x1 + + x2 + + + x2006 ) 2006.2007 ≤ 2006.(2006 + x1 + x2 + + x2006 ) ⇒ x1 + x2 + + x2006 ≥ 2006 2005 = 2006 ( (1) − x1 + − x2 + + − x2006 ) 2006.2005 ≤ 2006.(2006 − x1 − x2 − − x2006 ) ⇒ x1 + x2 + + x2006 ≤ (2) Từ (1), (2) ⇒⇒ x1 + x2 + ….+ x2006 điều kiện bất đẳng thức hệ xảy ra, nên hệ cho tương đương với: + x1 = + x2 = = + x2006 Tương đương với: − x1 = − x2 = = − x2006 x1 + x2 + + x2006 = => x1 = x2 = … x 2006 = 1/2006 Nhận xét: Đây tốn khó, biết phải sử dụng bất đẳng thức Cách đánh giá liên lục hai phương trình so sánh với địi hỏi người giải phải có kỹ thn thục, sáng tạo, nhậy bén vận dụng bất đẳng thức nói chung + x1 + + + x2 + + xn = n n+k n − x1 + + − x2 + − xn = n n−k n Tổng quát ta có tốn sau: III)- Giải phương trình cách đánh giá ẩn 1- Kiến thức: Nhiều toán tưởng chừng không giải , thật bất ngờ chung ta cần đánh giá, so sánh ẩn phương trình tốn cho ta lời giải thú vị đến bất ngờ Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Kỹ thuật phần thường sử dụng quan sát ẩn, để đánh giá hai vế phương trình hệ để tìm kiên hệ ẩn số, từ có phương trình , hệ phương trình đơn giản Một ví dụ: Trong phần thơng qua ví dụ, quan sát cách đánh giá ẩn với số, từ xác định nghiệm hệ Ví dụ 1: Giải phương trình 20 x + 10 x + = y + 2(2 x − 3) y + x − 16 x + 20 3x + x + Lời giải: * Xét vế trái: 20 x + 10 x + 20 x + 10 x + ( x − 2) = −7+7= − ≤ 3x + x + 3x + x + 3x + x + Đẳng thức xảy hki x = (1) * Xét vế phải: y2 + (2x - 3) y + 5x2 - 16x + 20 = (y+2x-3)2 + (x-2)2 + ≤7 Đẳng thưc xảy x = , y = (2) Từ (1), (2) phương trình có nghiệm Nhận xét: Đây tốn phức tạp, khơng giải trực tiếp Bằng quan sát đánh giá hai vế phương trình với số 7, tốn có nghiệm Cách tạo tốn khơng khó giải khơng dễ Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x + 1998 − y = 1998 1998 − x + y = 1998 (Tuyển sinh 10, chuyên toán, ĐHSP Vinh 1998) Lời giải: Điều kiện bài: 1998 ≥ x, y ≥ - Nếu x > y thì: x + 1998 − y > y + 1998 − x => Vô lý - Nếu x > y thì: x + 1998 − y > y + 1998 − x => Vô lý - Vậy x = y ta có hệ phương trình: Bình phương hai vế: x + 1998 − x = 1998 x + x(1998 − x) + 1998 − x = 1998 ⇔ x = , x = 1998 Vậy phương trình có hai nghiệm (x ; y) = {(0 ; 0) , (1998 ; 1998)} Nhận xét: Bài tốn có vai trị bình đẳng Bằng đánh giá hai ẩn, ta tìm x = y then chốt ý tưởng sử dụng rộng chứa ẩn có vai trị IV)-Một số cách sử dụng khác bất đẳng thức 1- Kiến thức Đã nói bất đẳng thức rộng khó, việc sử dụng đa dạng phong phú, thiết mục kiểm tra qua nét chính, kiến thức kinh điển Trong mục xét thêm số kỹ thuật khác mà tưởng chừng đơn giản song lại gặp khó khăn Một số ý là: - Điều kiện toán Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ - Tính chất lũy thừa, ≤ a ≤ 1, m > n > => am ≤ an ≤ 1 ≤ a; m < m => am ≤ an - Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối |A| +|B| ≥ |A + B| ≥ |A| - |B| ; |A| ≥ -A - Làm trội bất đẳng thức không chặt,… Một số ví dụ Sau thơng qua số ví dụ, thấy linh hoạt ý tưởng sử dụng, sử dụng phong phú ứng dụng bất đẳng thức Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: x +1 + y = x + y +1 = (Thi học sinh giỏi Toán THCS Thành phố Hồ Chí Minh 2002 - 2003) Lời giải: Điều kiện toán ≤ x, y => x + ≥ 1, y + ≥ Vậy: x +1 + y ≥ x + y +1 ≥ Đẳng thức xảy x = , y = Vậy tốn có nghiệm x = y = Nhận xét: Quả thật tốn có lời giải bất ngờ đơn giản, cần sử dụng điều kiện nhận xét tìm lời giải tốn khơng khó, giải theo cách khác dài Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ khơng đẹp Vì trước giải hệ phương trình vơ tỷ nên quan tâm đến điều kiện ẩn số Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x 2006 + y 2006 = (1) x 2007 + y 2007 = (2) Lời giải: Từ phương trình (1) ta có: |x| ≤ 1, |y| ≤ => - x ≥ 0,1 -y ≥ Lấy phương trình (1) trừ (2) vế với vế, ta có: x 2006 (1 − x ) + y 2006 (1 − y ) = Mà x 2006 (1 − x ) + y 2006 (1 − y ) ≥ Đẳng thức xảy x = 0, y = x = 1, y = Vậy tốn có hai nghiệm x = 0, y = x = 1, y = Nhận xét: toán sử dụng tính chất lũy thừa ≤ a ≤ 1, m > n > =>a m ≤ an ≤1 mở rộng số ẩn Dạng có dùng để tính giá trị biểu thức vấn đề tìm giá trị ẩn, Cách thiết kế kiểu khơng khó Ví dụ 3: Giải phương trình x2 − x +1 + x2 − x − = Lời giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức A + B ≥ A + B Dấu xảy A B > 0, Vậy ta có x2 − x + + x2 − x − = x2 − x + + − x2 + x Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ ≥ x2 − x +1+ − x2 + x = Đẳng thức xảy x − x + 1).(2.x + x ) > Mà x2 -x + > => x ≥ ⇔s - ≤ x ≤ Cách 2: áp dụng bất đẳng thức A ≥ −A dấu xảy A ≤ x2 -x + > => |x2 -x + 1| = x2 -x + |x2 -x - 2| ≥ (-x2 - x - 2) |x2 -x + 1| + |x2 -x - 2| ≥ x2 -x + - (x2 -x - 2) = Đẳng thức xảy khi: x2 -x - ≤ ⇔ - ≤ x ≤ Nhận xét: Thông thường học sinh dùng phương án phá dấu giá trị tuyệt đối Nhưng cách giải sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cho lời giải đơn giản ngắn gọn Nếu tăng thêm biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nhiều tốn hay khó II.3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU- KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU II.3.1.Phương pháp 1/ Nghiên cứu lý luận Để viết kinh nghiệm thân sử dụng phương pháp sau: *-Nghiên cứu tài liệu : +SGK - Sách tham khảo ; tạp trí tốn học *-Sử dụng phương pháp phân tích lên (xuống), tổng hợp dạy học *- So sánh, tổng kết Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ *- Kết hợp với hội đồng sư phạm nhà trường nghiên cứu vận dụng kiến thức hợp lý không sức học sinh khn khổ chương trình học Tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy (đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi) thân đồng nghiệp Tham gia lớp bồi dưỡng giáo viên Sở Giáo dục Đào tạo tổ chức 2/ Nghiên cứu thực tiễn - Kiểm tra học sinh lớp 8, II.3.1 Kết - Đã hình thành cho học sinh số kỹ “Giải phương trình, hệ phương trình phương pháp dùng bất đẳng thức” Giúp cho học sinh nhìn nhận dạng tốn lăng kính nhiều mặt với nhiều màu sắc khác trình vận dụng linh hoạt kĩ thuật giải - Ôn tập, củng cố đào sâu kiến thức số học, đại số có liên quan đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định hướng tìm tịi lời giải trước tốn Từ giúp học sinh có thói quen giải tốn theo trình tự khoa học - Xây dựng hệ thống phương pháp kỹ Giúp cho học sinh giáo viên có tư liệu tham khảo cho hoạt động dạy học toán học với việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nhà trường phổ thơng - Hình thành học sinh thói quen khai thác kiến thức chương trình theo chiều sâu Giúp cho em có tư sâu sắc linh hoạt, độc lập sáng tạo q trình giải tốn - Giúp cho học sinh phân loại dạng tập phương pháp, kỹ giải cho loại tạo điều kiện cho em nhìn nhận vấn đề tốn học (phương trình) mắt hồn thiện - Hình thành học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tịi lời giải cho tốn …phát huy tích cực suy nghĩ q trình giải tốn Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ - Góp phần trau dồi cho học sinh phẩm chất tính độc lập kiên trì sáng tạo tích cực tìm tịi giúp em hồn thiện dần phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ trình học tốn nhà trường phổ thơng - Phát huy đức tính tự học, tự tìm tịi nghiên cứu góp phần tơ điểm cho việc đổi phương pháp giảng dạy học tập giáo viên học sinh mà hạt nhân là: " Lấy lôgic học học sinh làm trung tâm " từ nâng cao bước chất lượng học tập mơn tốn cho em Vì năm học từ năm 2005 - 2006 đến năm 2009 - 2010 kết cho thấy toán đưa em tích cực học tập, làm tương đối tốt đạt 65% - 70% ngày gây niềm tin cho học sinh Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp khối khối trường THCS tơi đạt học sinh giỏi cấp có cấp quốc gia kết cụ thể sau: - Năm học 2005 – 2006: Đạt em học sinh giỏi cấp huyện em học sinh giỏi cấp tỉnh - Năm học 2006 – 2007: Đạt em học sinh giỏi cấp huyện em học sinh giỏi cấp tỉnh - Năm học 2007 – 2008: Đạt em học sinh giỏi cấp huyện em học sinh giỏi cấp tỉnh - Năm học 2008 – 2009: Đạt em học sinh giỏi cấp tỉnh, có em đạt giải nhì thi tiếp Quốc gia vào ngày 13/3/2009 đạt giải khuyến khích cấp Quốc gia - - Năm học 2008 – 2009: Đạt em học sinh giỏi cấp tỉnh, có em đạt giải thi tiếp Quốc gia vào ngày 19/3/2010 đạt giải ba cấp Quốc gia PHẦN III: PHẦN KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ III.1.Kết luận - Khi chưa tiếp cận với tốn khơng tắc, hầu hết học sinh tỏ lúng túng, phương hướng tìm lời giải Khi Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ làm quen với phân tích sâu sắc, hầu hết em thích thú say mê lạ, sáng tạo, khơng máy móc - Với kiến thức em nắm tốt hơn, liên hệ kiến thức với mật thiết hơn, thực bồi bổ “chất toán” cho em tốt môn học khác sống - Nhiều học sinh huyện học, thành công nhiều kỳ thi học sinh giỏi toán, thi vào trường chất lượng cao năm gần Phương trình, hệ phương trình khơng tắc dạng tốn khó, đa dạng, thường dùng kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, thi vào lớp chất lượng cao Các tốn ln vấn đề nan giải hầu hết học sinh nói chung, học sinh giỏi nói riêng Trong số năm qua, trăn trở để tìm ý tưởng cho tốn hay khó này,tơi tìm tịi, phân dạng để giảng dạy nhằm mục đích truyền đạt hiệu đến với học sinh Thật bất ngờ, giảng dạy chuyên đề này, thấy học sinh say mê tự khám phá lời giải Bước đầu làm cho học sinh khám phá, tự tìm kiến thức có liên quan để giải Qua đây, thấy kiến thức toán học sinh nâng nhiều phần khác Sử dụng bất đẳng thức tính chất vào giải phương trình, hệ phương trình ứng dụng lớn Sự phân chia ý tưởng tơi cịn nhiều phần chưa nêu hết, Đề tài hy vọng giúp Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ phần khó khăn giảng dạy hy vọng bạn đồng nghiệp nêu tiếp ứng dụng mà viết chưa nêu Mặc dù giành nhiều thời gian, cơng sức, tìm hiểu, rút kinh nghiệm cố gắng đề tài song nhiều lí do, lí cịn hạn chế kiến thức phương pháp nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu xót.Tơi mong đóng góp, bổ sung Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ III.2- Kiến nghị: - Với nhà trường: Cần khuyến khích động viên giáo viên thực áp dụng sáng kiến hay để đẩy mạnh phong trào chuyên môn nhà trường - Với Phòng, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu tư mở nhiều chuyên đề bồi dưỡng chuyên đề có liên quan đến mơn Tốn đặc biệt bồi dưỡng giáo viên ơn học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phương pháp, lực sư phạm cho giáo viên dạy học Tôi xin chân thành cảm ơn! Mạo Khê, ngày 20 tháng năm 2010 NGƯỜI VIẾT Nguyễn Thị Hạnh Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS MẠO KHÊ II PHỊNG GD - ĐT HUYỆN ĐƠNG TRIỀU SỞ GD - ĐT TỈNH QUẢNG NINH Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II ... ? ?Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Kỹ thuật phần thường sử dụng quan sát ẩn, để đánh giá hai vế phương trình hệ để tìm kiên hệ ẩn số, từ có phương trình , hệ phương trình. .. tốn giải phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức chương trình THCS 4.2 Phạm vi nghiên cứu: Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II ? ?Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình. .. tìm lời giải tốn khơng khó, giải theo cách khác dài Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II ? ?Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ khơng đẹp Vì trước giải hệ phương trình