HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông MỤC LỤC Chỉ số Tên đề mục Trang Phần I Đặt vấn đề 2 Phần II I II Nội dung Thực trạng của vấn đề Giải quyết vấn đề 3 A Kiến thức cơ bản 3 B Dạng 1 Một số bài tập vận dụng Loại toán tìm nghiệm, tìm hai số và xét dấu của các nghiệm 4 4 Dạng 2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có một nghiệm x = x 1 cho trước; tìm nghiệm kia 8 Dạng 3 Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho trước 10 Dạng 4 Loại toán tính giá trị của biểu thức chứa tổng và tích hai nghiệm 14 Dạng 5 Loại toán tìm hệ thức liên hệ giữa tổng và tích hai nghiệm độc lập với tham số 17 Dạng 6 Tìm nghiệm hữu tỉ , nghiệm nguyên của phương trình bậc hai 18 C Một số bài toán tổng hợp 19 III Kết luận 21 Kết quả của SKKN 24 Lời kết 24 Tài liệu tham khảo 26 PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận Ở trường THCS. Trong việc dạy học toán cùng với việc hình thành cho học sinh tri thức các kiến thức cơ bản như: các khái niệm, các định lý, các tính chất…. Thì việc Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An 1 HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông dạy cho học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng toán có tầm quan trọng đặc biệt. – Đó là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS có thể coi việc nắm được phương pháp giải các dạng toán là một hình thức chủ yếu của việc dạy học toán. Một trong những dạng toán đó thì giải và biện luận phương trình bậc hai có chứa tham số là một dạng toán khó. Làm thế nào để có tính chặt chẽ trong khi giải phường trình bậc hai ?. Làm thế nào để tìm được các giá trị của tham số để xấy ra mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai? Từ đó giúp học sinh nắm được kiến thức về phương trình bậc hai và giải được các đề thi?. Để góp phần giải quyết vấn đề này một cách đơn giản hơn nhờ “Hệ thức Vi – Ét” - Một phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải dạng toán này. 2. Cơ sở thực tiễn Phương trình bậc hai là một loại toán khó. Ngoài việc nắm được công thức nghiệm để giải và biện luận phương trình bậc hai thì còn có một số bài toán yêu cầu tìm mối quan hệ giữa hai nghiệm , các phép tính trên hai nghiệm… và đặc biệt là giúp học sinh tổng hợp được một số dạng toán về phương trình bậc hai có chứa tham số nhằm phục vụ tốt cho tuyển sinh THPT, các trường chuyên, lớp chọn và tạo tiền đề vững chắc cho các em khi học lên THPT. Trong bài viết này tôi đã tổng hợp lại một số bài toán có sử dụng hệ thức Vi- ét từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh nắm được kiến thức và kỹ năng làm bài. Tôi hy vọng rằng đề tài của tôi có phần góp ích cho bạn bè đồng nghiệp và cho học sinh. PHẦN II. NỘI DUNG I. Thực trạng của vấn đề Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện cho học sinh lớp 9 để chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh THPT. Và cũng như qua nhiều tiết dự giờ của bạn bè đồng nghiệp Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An 2 HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông tôi thấy: Khi dạy bài “ HỆ THỨC VI - ÉT VÀ ỨNG DỤNG” Hầu hết HS đều nhận biết được kiến thức cơ bản của “ Hệ thức Vi - ét” . Nhưng về việc vận dụng “Hệ Thức” sao cho có hiệu quả trong từng bài toán, dạng toán thì HS gặp rất nhiều lúng túng và bỡ ngỡ. Mà trong các đề thi tuyển sinh vào các trường THPT ( kể cả một số trường chuyên, lớp chọn) thì thường có bài toán giải phương trình bậc hai và có câu sẽ vận dụng được hệ thức Vi - ét để làm bài. Bên cạnh đó một số giáo viên khi giảng dạy chỉ chú trọng việc cung cấp kiến thức cho HS mà ít rèn cho HS kĩ năng vận dụng kiến thức đó vào bài tập. Chính xuất phát từ những vấn đề đó mà khi giảng dạy tôi luôn trăn trở và tìm tòi những phương pháp, biện pháp để phát huy tính hiệu quả. II. Giải quyết vấn đề A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) và biệt thức 2 4b ac ∆= − + Nếu 0∆ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1;2 2 b x a − ± ∆ = + Nếu 0 ∆ = thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a − = = + Nếu 0∆ < thì phương trình vô nghiệm 2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) và b= 2b ’ biệt thức ' '2 b ac ∆ = − + Nếu ' 0∆ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ' ' 1;2 b x a − ± ∆ = + Nếu ' 0∆ = thì phương trình có nghiệm kép ' 1 2 b x x a − = = + Nếu ' 0∆ < thì phương trình vô nghiệm 3. Hệ thức Vi – ét Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 , x 2 thì 1 2 1 2 b x x a c x x a −  + =     × =   Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An 3 HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông Áp dụng: Tính nhẩm nghiệm +) Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = 1, còn nghiệm kia là x 2 = c a +) Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = -1, còn nghiệm kia là x 2 = c a − 4. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x 2 - Sx + P = 0 ( ĐK: S 2 – 4P ≥ 0) B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Loại toán tìm nghiệm; tìm hai số và xét dấu của các nghiệm Bài 1. Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: a) 3x 2 – 5x + 2 = 0 (1) b) 7 x 2 + 13x + 6 = 0 (2) c)(2 - 3 )x 2 – 5x + 3 + 3 = 0 (3) d) x 2 – 7x + 12 = 0 (4) e) ( m - 1) x 2 - ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( với m ≠ 1) (5) Giải a) Phương trình (1) có dạng a + b+ c = 0 nên x 1 = 1 ; x 2 = là hai nghiệm của phương trình đã cho b) Phương trình (2) có dạng a - b+ c = 0 nên x 1 = - 1 ; x 2 = - là hai nghiệm của phương trình đã cho c) Phương trình (3) có dạng a + b+ c = 0 nên x 1 = 1 ; x 2 = 3 3(2 3) 2 3 = + − là hai nghiệm của phương trình đã cho d) Vì (-3) + (-4) = -7 và (-3) ( -4) = 12 nên x 1 = -3; x 2 = -4 là hai nghiệm của phương trình đã cho e) với m ≠ 1 mà phương trình có dạng a + b + c = 0 nên x 1 = 1 ; x 2 = là hai nghiệm của phương trình đã cho Bài 2. Tìm hai số u và v biết Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An 4 HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông a) u + v = 15, uv = 56 b) u - v = 15, uv = 100 c) u 2 + v 2 = 25, uv = 12 d) u 2 + v 2 = 13, u + v = 5 e) u + v = -8 , u 2 - v 2 = 16 Giải a) Hai số u và v cần tìm là hai nghiệm của phương trình: x 2 - 15x + 56 = 0 2 15 4 56 1 0 ∆ = − × = > Nên phương trình có hai nghiệm là: x 1 = 7 và x 2 = 8 Vậy Các cặp số ( u, v) cần tìm là: ( 7; 8), (8; 7) b) 15 ( ) 15 100 ( ) 100 u v u v uv u v − = + − =   ⇔   = × − = −   Hai số u và (-v) cần tìm là hai nghiệm của phương trình: x 2 - 15x - 100 = 0 2 15 4 ( 100) 625 0∆ = − × − = > Nên phương trình có hai nghiệm là: x 1 = -20 và x 2 = 5 Do đó: Nếu u = x 1 = - 20 thì – v = x 2 = 5 ⇔ v = -5 Nếu u = x 2 = 5 thì – v = x 1 = -20 ⇔ v = 20 Vậy Các cặp số ( u, v) cần tìm là: ( -20; -5), (5; 20) c) Có nhiều cách để giải nhưng mẫu chốt là để vận dụng theo hệ thức Vi-ét ta có các cách sau: Cách 1. 2 2 2 2 2 u 25 u 25 12 ( ) 144 v v uv uv  + =  + =  ⇔   = =    Như vậy từ bài toán tìm u và v ta đưa về bài toán tìm u 2 và v 2 Hai số u 2 và v 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - 25x + 144 = 0 2 25 4 144 49 0 ∆ = − × = > nên phương trình có hai nghiệm là: x 1 = 9 và x 2 = 16 Do đó : Nếu u 2 = 9 ⇒ u = 3 hoặc u = -3 Với u = 3 thì v = 4 Với u = - 3 thì v = - 4 Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An 5 HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông Nếu u 2 = 16 ⇒ u = 4 hoặc u = -4 Với u = 4 thì v = 3 Với u = - 4 thì v = - 3 Vậy các cặp số ( u, v) cần tìm là: ( 3; 4), (- 3; -4) , ( 4; 3) , ( -4 ; -3) Cách 2: 2 2 2 7 12 u 25 (u ) 25 2 12 12 7 12 u v uv v v uv uv uv u v uv  + =    =   + = + = +   ⇔ ⇔    = = + = −      =    Từ đó ta cũng giải và tìm được các cặp số u và v . Chú ý: Ở trong dạng toán này HS rất dễ sai lầm khi lấy nghiệm. d) 2 2 2 5 5 5 6 13 ( ) 2 13 u v u v u v uv u v u v uv + = + = + =    ⇔ ⇔    = + = + − =    Hai số u và v cần tìm là hai nghiệm của phương trình: x 2 - 5x + 6 = 0 2 5 4 6 1 0 ∆ = − × = > Nên phương trình có hai nghiệm là: x 1 = 2 và x 2 = 3 Vậy Các cặp số ( u, v) cần tìm là: ( 2 ; 3), ( 3 ; 2 ) e) Ta có 2 2 8 8 8 ( ) ( ) 16 2 16 u v u v u v u v u v u v u v + = − + = − + = −    ⇔ ⇔    + × − = − = − − =    Từ đó đưa bài toán đã cho thành bài toán tìm hai số biết tổng và tích Bài 3. Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm: a) x 2 – 5x + 3 = 0 b) 3x 2 – 5x - 2 = 0 c) 4 x 2 + 15x + 2 = 0 d) 5x 2 + 12x - 3 = 0 Giải a) Phương trình: x 2 – 5x + 3 = 0 Theo hệ thức Vi-ét ta có: S = x 1 + x 2 = b a − = 5 P = x 1 x 2 = c a = 3 Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An 6 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Do P > 0 nờn hai nghim cựng du S > 0 nờn hai nghim cựng du dng b) Phng trỡnh: 3x 2 5x - 2 = 0 Theo h thc Vi-ột ta cú: S = x 1 + x 2 = b a = 5 3 P = x 1 x 2 = c a = 2 3 Do P < 0 nờn hai nghim khỏc du S > 0 nờn nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn c) Phng trỡnh: 4 x 2 + 15x + 2 = 0 Theo h thc Vi-ột ta cú: S = x 1 + x 2 = b a = 15 4 P = x 1 x 2 = c a = 1 2 Do P > 0 nờn hai nghim cựng du S < 0 nờn hai nghim cựng õm d) Phng trỡnh: 5x 2 + 12x - 3 = 0 Theo h thc Vi-ột ta cú: S = x 1 + x 2 = b a = 12 5 P = x 1 x 2 = c a = 3 5 Do P < 0 nờn hai nghim khỏc du S < 0 nờn nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn Nhn xột: Qua bi toỏn trờn cho ta bit mi quan h v du ca nghim s ca phng trỡnh bc hai m khụng cn gii tỡm nghim. C th ta cú: Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai. Cho phng trỡnh bc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) . Gi x 1 ,x 2 l cỏc nghim ca phng trỡnh, t S = x 1 + x 2 P = x 1 x 2 ta cú cỏc kt qu sau: Hai nghim x 1 và x 2 trái dấu ( x 1 < 0 < x 2 ) p < 0 Nu S > 0 thỡ nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 7 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Nu S < 0 thỡ nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn Hai nghim cựng dng( x 1 > 0 và x 2 > 0 ) 0 0 0 P S > > Hai nghim cựng õm (x 1 < 0 v x 2 < 0) 0 0 0 P S > < Mt nghim bng 0 v mt nghim dng ( x 2 > x 1 = 0) 0 0 0 P S > = > Mt nghim bng 0 v mt nghim õm (x 1 < x 2 = 0) 0 0 0 P S > = < Dng 2: Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh cú mt nghim x = x 1 cho trc; tỡm nghim kia Phng phỏp gii: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x 1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0 0 a (hoặc 0 0 a ) (*) - Thay x = x 1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0 / ) mà ta thay luôn x = x 1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 8 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x 1 cho trớc. Đ tìm nghiệm thứ hai ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2 Bi 4. ( tuyn sinh tnh Ngh An 2010 2011) Cho phng trỡnh sau vi tham s m: x 2 - ( m +1) x + 2m 2 = 0 (1) a) Gii phng trỡnh (1) khi m = 2 b)Tỡm giỏ tr ca tham s m x = -2 l mt nghim phng trỡnh (1). Tỡm nghim kia? Gii a) Khi m = 2, phng trỡnh (1) tr thnh: x 2 - 3 x + 2 = 0 (1) Xột a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0. Nờn phng trỡnh ( 1) cú hai nghim l: x 1 = 1 v x 2 = 2 b) iu kin phng trỡnh ó cho cú hai nghim l: 0 0 a a = 1 0 m R 2 2 2 ( 1) 4(2 2) 6 9 ( 3) 0m m m m m m = + = + = (*) Vỡ x = -2 l nghim ca phng trỡnh ( 1) nờn ( -2) 2 - ( m 1)(-2) + 2m -2 = 0 ( **) 4m + 4 = 0 m = -1 ( tho món iu kin (*)) Vy vi m = -1 thỡ phng trỡnh cú nghim x = -2 ( chỳ ý: Trong bi ny cú th khụng cn phi xỏc nh iu kin phng trỡnh cú nghim) Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 9 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng +) Tỡm nghim kia: Cỏch 1: Thay m = -1 vo phng trỡnh (1) cú ( 1) x 2 - 4 = 0 x 1 = - 2 ; x 2 = 2 Cỏch 2: Theo Vi ột ta cú: x 1 + x 2 = m + 1 -2 + x 2 = - 1 + 1 x 2 = 2 Cỏch 3: Theo Vi ột ta cú: x 1 x 2 = 2m - 2 (-2 ) x 2 = 2 (- 1) - 2 x 2 = 2 Vy nghim kia l x 2 = 2 Dng 3: Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh bc 2 cú hai nghim x 1 , x 2 tho món iu kin cho trc. Cỏch bin i mt s h thc gia cỏc nghim ca phng trỡnh. *) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = S 2 2P *) (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 = S 2 4P *) x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 3SP *) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 2x 1 2 x 2 2 *) 21 21 21 11 xx xx xx + =+ = S P *) 21 2 2 2 1 1 2 2 1 xx xx x x x x + =+ = 2 2S P P *) (x 1 a)( x 2 a) = x 1 x 2 a(x 1 + x 2 ) + a 2 = p aS + a 2 *) 1 2 2 1 2 1 2 21 1 2 ( )( ) x x a S a x a x a x a x a P aS a + + = = + (Chỳ ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện 0 ) Bi 5. ( tuyn sinh tnh Ngh An 2006 2007) Cho phng trỡnh sau vi tham s m: x 2 - 2( m +2) x + m 2 - 9 = 0 (1) a) Tỡm m phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 10 [...]... 1)x - m2 + m -2 = 0 ( Vi m l tham s) a) Gii phng trỡnh ó cho vi m = 2 b) Chng t rng phng trỡnh cú hai nghim trỏi du vi mi m Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 21 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng 3 3 x x c) Tỡm m biu thc A = 1 ữ + 2 ữ t giỏ tr ln nht x2 x1 HD: Do phng trỡnh cú hai nghim trỏi du nờn: < 0 ( )3 < 0 t ( )3 = - a (vi a > 0) A = - a Li cú: A ln nht - A = a + =-( a+... x l s nguyờn x1 + x2 = m x1 x2 = 3 b)Cỏch 1: Theo Vi- ột cú: Theo cõu a) ta cú x1 phi l nhng s nguyờn nờn t x1 x2 = 3 suy ra x1 = 1, x2 = 3 hoc x1 = -1 , x2 = -3 Khi ú tỡm c m = 4 hoc m= -4 +) Vi m = 4 thỡ ( 1) x2 + 4x+ 3 = 0 +) Vi m = -4 thỡ (1) x2 - 4x+ 3 = 0 Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 18 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Cỏch 2: Ta cú: = m 2 12 ( 1)cú nghim hu t l... 4 nm 2011 Ngi vit ti Phan Vit Thnh Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 24 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng TI LIU THAM KHO 1) Nõng cao v phỏt trin Toỏn 9 tp 2 ca V Hu Bỡnh 2) ễn kin thc, luyn k nng i s 9 ca Tụn Thõn - V Hu Bỡnh V Quc Lng - Bựi Vn Tuyờn 3) Tp chớ Toỏn tui th 2 ca nh xut bn giỏo dc 4) Tuyn tp mt s thi Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 25 ... trng hp: TH 1: a = m2 - 1 = 0 m = 1 Li xột cỏc trng hp ca m + Nu m = 1 thỡ (1) 1 = 0 nờn phng trỡnh (1) vụ nghim khi m = 1 m 1 (*) + Nu m = 1 thỡ (1) -4 x + 1 = 0 nờn phng trỡnh (1) cú nghim duy nht x = khi m = 1 (**) TH2: a = m2 - 1 0 m 1 Khi ú ta cú: = (m - 1)2 - (m - 1) = -2 m + 2 Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 19 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng 0 -2 m + 2 0 m 1 (***)... im phõn bit Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 22 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng b) Gi x1, x2 ln lt l honh giao im ca ng thng (d) v parabol (P) Tỡm giỏ tr ca m : 2 x12 x2 + x1 x2 x1 x2 = 3 HD: a) Chng minh phng trỡnh x2 = mx - 1 luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m f (x) = x2 8 y = mx-1 6 A 4 2 B b) Bin i phng trỡnh s dng Vi - ột -1 PHN III KT LUN 1 Kt qu t c - Nh ngi ta thng núi:... ta cú 1 - A = a + 2 aì = 2 a - A = 2 a + = 2 a = 1 ( tho món iu kin a > 0) ( )3 = - a = -1 x1 = - x2 x1 + x2 = 0 x1 + x2 = m - 1 = 0 m = 1 Suy ra Min -A = 2 m = 1 nờn MaxA = - 2 m = 1 Vy vi m = 1 thỡ A dt giỏ tr lnn nht l - 2 Bài 9 Cho phơng trình (2m-1)x 2-2 mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1 ,0) HD: - Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1 - Xét 2m-10=> m... trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia Gii a)+ Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành; 5x 5 = 0 x = 1 Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 12 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng + Nếu : m + 2 0 => m - 2 Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số : = (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m2 4(m 2- m 6) = 25 > 0 Do đó phơng... Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 16 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng ( Do: 2 m 2 nờn (m + 2) ì m 3) 0 P= (m + 2) ì m 3) = m 2 + m + 6 ( 1 25 25 P = ( m ) 2 + 2 4 4 P= 1 25 m= 4 2 Vy Max P = tho món 2 m 2 1 25 m= 4 2 Dng 5 Loi toỏn tỡm h thc liờn h gia tng v tớch hai nghim c lp vi tham s Vic s dng h thc Vi ột cng rt thun tin trong vic gii loi toỏn ny Bi 12 Cho phng trỡnh n x tham s m: (m - 1)x2 - 2m... phng trỡnh n x tham s m: x2 - 2(m + 1) x + 2m = 0 (1) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh Chng t: M = x1 + x2 x1x2 khụng ph thuc vo giỏ tr ca m Gii Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 17 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Ta cú: = (m + 1) 2 2m = m 2 + 1 > 0 m R nờn phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m S = x1 + x2 = 2(m + 1) Theo Vi- ột cú: P = x1 x2 = 2m M... với k là tham số Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 11 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng a.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép b Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Gii a = 1 0k R = 0 a) iu kin phng trỡnh (1) cú nghim kộp l: = k 2 + 5k 6 = 0 Cú dng a + b + c = 0 nờn k1 = 1 ; k2 = - 6 Vy: Vi k1 =1 hoc k2 = - 6 thỡ phng trỡnh cú . (**) TH2: a = m 2 - 1 ≠ 0 ⇔ m≠± 1 Khi đó ta có: ∆’ = (m - 1) 2 - (m - 1) = -2 m + 2 Phan Vi t Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An 19 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng 0 -2 m + 2 0 m . 5x + 3 = 0 Theo hệ thức Vi- ét ta có: S = x 1 + x 2 = b a − = 5 P = x 1 x 2 = c a = 3 Phan Vi t Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An 6 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Do P >. nghim) Phan Vi t Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An 9 Hệ thức Vi - ét và ứng dụng +) Tỡm nghim kia: Cỏch 1: Thay m = -1 vo phng trỡnh (1) cú ( 1) x 2 - 4 = 0 x 1 = - 2 ; x 2