http://diendantoanhoc.net/home/thpt/%C4%91%E1%BA%A1is%E1%BB%91v%C3%A0l%C6%B0%E1%BB%A3nggi%C3%A1c/349vaibaitoanhayvebdt… 1 / 8 Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác (phần 2) III. Định lý STEINER – LENMUS về tam giác cân. Bài toán: Cho tam giác có . Chứng minh rằng là tam giác cân đỉnh . Lời giải. Ta có: Từ à Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 2 / 8 Giả thiết phản chứng , khi đó không giảm tổng quát có thể giả sử . Suy ra: Ngoài ra ta có: . Vậy suy ra . Điều đó vô lý nên giả thiết phản chứng là sai. Do đó: hay là tam giác cân đỉnh (đpcm). Chú ý: Jacob Steiner (1796 – 1863) là nhà hình học nổi tiếng người Thuỵ Sĩ. Định lý Steiner – Lenmus này có đến mấy chục cách chứng minh khác nhau, trong đó cách chứng minh trên là cách duy nhất sử dụng các kiến thức lượng giác. Sau đây là hai cách chứng minh “phi lượng giác” đẹp mắt để bạn đọc thưởng thức. Cách 1: (Tác giả là hai kĩ sư người Anh là G.Jylbert và D.Mac – Donnell). Cách giải này được coi là đơn giản nhất và được công bố trên tạp chí “American Mathematical Monthly” năm 1963. Bổ đề: Trong tam giác , nếu thì đường phân giác lớn hơn đường phân giác . Chứng minh bổ đề. Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 3 / 8 Lấy trên sao cho . Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp. Trong đường tròn này cung < cung . Mà . Bổ đề được chứng minh. Định lý Steiner – Lenmus là hệ quả trực tiếp của bổ đề trên. Cách 2: (Của tác giả R.W.Hegy đăng trên tạp chí “The Mathematical Gazette” của Anh năm 1982 – và được xem là đơn giản nhất!) Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 4 / 8 Vẽ hình bình hành như hình vẽ. Đặt , , , . Do nên cân, suy ra Nếu như , thì từ suy ra Mặt khác xét hai tam giác và có chung, , mà Vì vậy trong từ suy ra Từ dẫn đến vô lý. Vì lý do tương tự cũng không thể bé hơn . Ta có điều phải chứng minh. Các bạn thân mến! Kể từ năm 1840 khi S.L.Lenmus gửi thư cho nhà hình học J.Steiner đã quá 150 năm. Từ cách chứng minh của Steiner cho đến cách chứng minh gần đây nhất của R.W.Hegg, con người đã dần dần thực hiện được khát vọng là vươn tới cái đơn giản nhất. Chắc rằng quá trình này chưa dừng lại ở đây. Cuối cùng, xin dành cho cách giải của chính J.Steiner Dựa vào công thức Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 5 / 8 Từ , sau khi biến đổi, đưa được về dạng: Suy ra: hay là tam giác cân đỉnh . IV. Bài toán NAPOLÉON Bài toán: Cho tam giác . Về phía ngoài trên ba cạnh dựng ba tam giác đều. Gọi là các tam của ba tam giác đều ấy. Chứng minh cũng là tam giác đều. Lời giải. Ta có theo định lý hàm số , thì Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 6 / 8 Hay Rõ ràng vế phải của là biểu thức đối xứng với , nên ta có Suy ra là tam giác đều. Ta có điều phải chứng minh. Chú ý: Napoléon Bonaparte (1769 – 1821), hoàng đế nổi tiếng của nước Pháp, là một người ham thích toán; ngay cả lúc cầm quân ở trận mạc, ông vẫn dành những phút giải trí qua việc giải các bài toán. Napoléon đã nêu ra một số bài toán hay, trong đó có bài toán nói trên. Dưới đây là cách giải "phi lượng giác" của bài toán trên. (đó chính là cách giải của hoàng đế Napoléon) Dựng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều dựng trên hai cạnh . Hai đường tròn này cắt nhau ở và . Hai tứ giác nội tiếp và có \displaystyle{\widehat{{B^'}} = \widehat{{A^'}} = {60^0}} , do đó , suy ra , và đường tròn ngoại tiếp tam giác cũng qua . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 7 / 8 Như vậy, ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều cắt nhau tại . Ta có (vì là đường nối tâm của hai đường tròn có dây chung là ). Tương tự (do ). Tương tự ta có là tam giác đều (đpcm). V. Lời kết. Trên đây là những vấn đề mà tác giả đã học tập, sưu tầm được. Chúng tôi hi vọng rằng, bài viết sẽ giúp các bạn trẻ yêu thêm toán và thấy rõ hơn rằng: một ý tưởng mới, một cách giải quyết độc đáo có thể nảy sinh từ những vấn đề đơn giản, rất quen thuộc, các bài toán sơ cấp vẫn không ngừng hấp dẫn nhiều người, trong đó có không ít các nhà toán học nổi tiếng trên thế giới. Tuy đã nỗ lực rất nhiều nhưng bài viết còn có những thiếu sót, mong bạn đọc góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 8 / 8 Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping . http://diendantoanhoc.net/home/thpt/%C4%91%E1%BA%A1is%E1%BB%91v%C3%A0l%C6%B0%E1%BB%A3nggi%C3%A1c/349vaibaitoan hay vebdt… 1 / 8 Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác (phần 2) III. Định lý STEINER – LENMUS về tam giác cân. Bài toán: Cho tam giác có . Chứng minh rằng là tam giác. hay là tam giác cân đỉnh . IV. Bài toán NAPOLÉON Bài toán: Cho tam giác . Về phía ngoài trên ba cạnh dựng ba tam giác đều. Gọi là các tam của ba tam giác đều ấy. Chứng minh cũng là tam giác đều. Lời. một người ham thích toán ngay cả lúc cầm quân ở trận mạc, ông vẫn dành những phút giải trí qua việc giải các bài toán. Napoléon đã nêu ra một số bài toán hay, trong đó có bài toán nói trên. Dưới