1 / 5 Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác (phần 1) I.L ời g i ới t h i ệ u Trong môn hình học ởtrườngphổ thông, hình học phẳng cókhánhiều phân môn, thểloại, vàhình tamgiác, có vaitròr ấ t đặc biệt. Việc chứng minh nhiều định lý vàgiải r ấ t nhiều bài toán hình học đòi hỏi phải vậndụng h ợ p lý nhiều kiếnthứcvềhình tamgiác(tam giác bằng nhau, tamgiác đồng dạng, cácđường thẳng đặc biệt trong tamgiác, v.v…) Hìnhtamgiác đ ã đ ư ợ c nhiều nhà toán học trênthếg i ớ i nghiên cứutừhàng nghìn năm nay vàmãi chođến những năm gần đây, nhiều tính chất, định lý mớ i, hoặc nhiều cách chứng minh mớ i củacácđịnh lý đ ã biết lần lượt r a đ ờ i . Ở bài viếtnày, tácg i ả xing i ớ i thiệu đến bạn đọc những định lý, những bài toán hay vềđẳng thức lượng giác trong tamgiác, bao gồm định lý Stewart, định lý Morley, định lý SteinerLenmus vềtamgiác cân, bài toán Napoleon … vànhững mở rộng, chúý,cách chứng minh độc đáo củanhiều nhà toán học cũng đ ư ợ c nêu r a trong bài viếtnày, chúng tahãy cùng tìm hiểu. II. ĐịnhlýSTEWART Bàitoán: Cho . là một điểm trêncạnh .Đặt .Khi đ ó tacócông thứcsau: Lời giải. Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 2 / 5 Kẻ đường cao .Xét hai tamgiác và vàtheo định lý hàm số ,tacó: Nhân từngvế theo thứtựvới và r ồ i cộng lại, tacó: Do ,nên từ tacó: Địnhlý Stewart chứng minh xong. Chúý : Stewart(1717 – 1785) là nhà toán học vàthiên vănhọc người Scotland. Nếutrong h ệ thứcStewart xét là đường trung tuyến, thìtừh ệ thứcStewart có: Hệthứctrênchính là h ệ thứcxácđịnh trung tuyến quen biết trong tamgiác. Nếutrong h ệ thứcStewart xét là phân giác. Khi đ ó theo tính chất đường phân giác trong tacó: Từ h ệ thứcStewart có: à Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 3 / 5 Chúýrằng: Từ và suyr a : Hệthứctrênchính là h ệ thứcxácđịnh đường phân giác. Vậy hệ t h ứ c Stewart làtổng quát hoá c ủ a các h ệ t h ứ c xác định đường trung tuyến v à đường phân g i ác đã quen b i ết. III. ĐịnhlýMORLE Y Bàitoán: Cho .Ở mỗi góc củatamgiác vẽhai đường chiagóc đ ó r a làm b a phần bằng nhau. Các đường ấ y cắtnhau tại (hình vẽ).Chứng minh rằng đều. Lời giải. Đặt , , .G ọ i cáccạnh vàđường kínhđường trònngoại tiếp là .Theo định lý hàm số trong ,tacó: Do ,vậytừ suyr a Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 4 / 5 Ta có: Thay vào có: L í luận tươngtựcó: Trong ,á p dụng định lý hàm số ,tacó: Do ,nên xét G ọ i là đường kínhđường trònngoại tiếptamgiác này. Theo định lý hàm số trong tamgiác này có: Vậy thay vào ,tacó: ớ Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 5 / 5 Dovaitròbình đẳng, tacũng có Vậy là tamgiác đều (đpcm). Chúý : Frank Morl ey (1860 – 1937) sinhtạiAnh, nhưng hầu như suốt đ ờ i sống ởMĩ. Trong vàichục năm ông là giáo sưtoán học ởtrườngđại học tổng h ợ p thuộc bang Baltimore. Bản thân học cách chứng minh củaông r ấ t phức tạp. Cáchchứng minh ở trênlà củanhà toán học Ấn ĐộNaranengar tìm r a vàonăm 1909. Một nhà toán học Ấn Độkhác là Xachianarian chocách giải "phi lượng giác" ( c h ỉ dùng đến kiếnthứchình học lớp 9 ) Địnhlý vềđường chiab a góc đ ư ợ c Morley tìm r a từ1899, nhưng mãi đến năm 1914 ông mới công b ố cách chứng minh vàmở rộng định lý vớiviệcxétkhông chỉcácđường chiab a góc trong mà cảcácđường chiab a góc ngoài củatamgiác. Địnhlý Morley đ ã hấp dẫn nhiều người, trong đ ó cónhà toán học Pháp nổi tiếng Henri Lebesgue (1875 – 1941). Năm1939, Lebesgue công b ố chứng minh sơ cấp của định lý này. Ô n g xét các đường chiab a cácgóc trong vàngoài củatamgiác ( c ó tấtcả1 2 đường), vàđ ã chứng minh đ ư ợ c rằng trong cácgiao điểm củacácđường đ ó có2 7 b ộ b a điểm là cácđỉnh củatamgiác đều. Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping . / 5 Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác (phần 1) I.L ời g i ới t h i ệ u Trong môn hình học ởtrườngphổ thông, hình học phẳng cókhánhiều phân môn, thểloại, vàhình tamgiác,. r ấ t nhiều bài toán hình học đòi hỏi phải vậndụng h ợ p lý nhiều kiếnthứcvềhình tamgiác (tam giác bằng nhau, tamgiác đồng dạng, cácđường thẳng đặc biệt trong tamgiác, v.v…) Hìnhtamgiác đ ã đ ư. Ở bài viếtnày, tácg i ả xing i ớ i thiệu đến bạn đọc những định lý, những bài toán hay về ẳng thức lượng giác trong tamgiác, bao gồm định lý Stewart, định lý Morley, định lý SteinerLenmus vềtamgiác