LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp: “Lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ kiến thức mơn Tốn phổ thơng” hồn thành Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Lý – Tin Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giảng viên – T.S Hoàng Ngọc Anh, khoa Toán – Lý – Tin, trường đại học Tây Bắc, người trực tiếp hướng dẫn em suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo khoa Toán – Lý – Tin; Thầy giáo, Cô giáo trường Đại học Tây Bắc; ban ngành chức Thư viện trường Đại học Tây Bắc ủng hộ nhiệt tình bạn sinh viên lớp K51 Đại học sư phạm Toán tạo điều kiện giúp đỡ em trình thực hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em mong nhận ý kiến đóng góp Thầy giáo, Cơ giáo bạn sinh viên để khóa luận tốt nghiệp em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2014 Tác giả Đinh Thị Hƣơng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp khoá luận Cấu trúc khoá luận Chƣơng TẬP HỢP VÀ KIẾN THỨC MÔN TỐN PHỔ THƠNG 1.1 Tập hợp 1.1.1 Giới thiệu sơ lược lí thuyết tập hợp xây dựng theo tiên đề (Tiên đề Decmelo-Phơranken) 1.1.2 Tập hợp, phần tử, tập hợp tập hợp, số phần tử tập hợp, tập hợp tập tập hợp 1.1.3 Phép tốn tập hợp Tích Đềcác 1.2 Kiến thức tập hợp mơn Tốn phổ thơng 11 1.2.1 Quan điểm tập hợp trình bày kiến thức mơn Tốn Tiểu học 11 1.2.2 Kiến thức tập hợp mơn Tốn Trung học sở 14 1.2.3 Kiến thức tập hợp mơn Tốn Trung học phổ thơng 18 Chƣơng 2: ÁNH XẠ VÀ KIẾN THỨC MÔN TỐN PHỔ THƠNG 19 2.1 Kiến thức sở ánh xạ 19 2.1.1 Định nghĩa ánh xạ, khái niệm liên quan tính chất 19 2.1.2 Mô ̣t số loa ̣i ánh xa ̣ thường gă ̣p toán ho ̣c 22 2.2 Các ánh xạ môn Tốn phổ thơng 26 2.2.1 Các dãy số 26 2.2.2 Hàm số mơn Tốn phổ thơng 30 2.2.3 Các phép tốn nhìn theo quan điểm ánh xạ 35 2.2.4 Các phép biến hình nhìn theo quan điểm ánh xạ 36 2.2.5 Một số loại ánh xạ khác 37 CHƢƠNG 3: QUAN HỆ VÀ KIẾN THỨC MƠN TỐN PHỔ THƠNG 41 3.1 Kiến thức sở quan hệ 39 3.1.1 Định nghĩa quan hệ phép toán quan hệ 39 3.1.2 Một số tính chất 40 3.1.3 Quan hệ tương đương chia lớp 41 3.1.4 Bản số tập hợp, tập hợp số tự nhiên 42 3.1.5 Quan hệ thứ tự 45 3.2 Các quan hệ mơn Tốn phổ thông 46 3.2.1 Kiến thức quan hệ tương đương mơn Tốn phổ thông 46 3.2.2 Quan hệ thứ tự tập hợp mơn Tốn phổ thơng 50 3.2.3 Phương pháp quy nạp toán học 49 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học tự nhiên đóng vai trị quan trọng lĩnh vực khoa học đời sống Những nội dung kiến thức mơn Tốn phổ thơng bao gồm tri thức tốn học trình bày soi sáng toán học đại Để gắn kết nội dung toán học trường Đại học với nội dung mơn Tốn nhà trường phổ thơng, địi hỏi giáo viên phải có hiểu biết định tốn học nhìn nhận nội dung dạy học mơn Tốn phổ thơng cách thống Lý thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ mảng kiến thức toán học đại, xem sở để hiểu nội dung mơn Tốn phổ thơng theo xu hướng phát triển chương trình Việc hệ thống hố kiến thức lý thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ, mối liên hệ với nội dung mơn Tốn trường phổ thơng như: Tập số, phương trình, hệ phương trình, hàm số đồ thị, đại số tổ hợp, hình học, xác suất thống kê…, giúp chúng tơi sinh viên ngành toán rời ghế giảng đường đại học hiếu sâu sắc biết vận dụng kiến thức học, tạo sở lí luận phương pháp dạy mơn Tốn trường phổ thơng Với lịng u thích mơn, chúng tơi muốn bạn đọc hiểu nắm vững kiến thức tập hợp, ánh xạ, quan hệ mối liên hệ chúng với mơn Tốn phổ thơng, để hình thành cho thân sở lí luận vững vàng phương pháp dạy học hiệu Xuất phát từ lí thơi thúc chúng tơi làm khố luận với đề tài: “Lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ kiến thức mơn Tốn phổ thơng” Mục đích nghiên cứu - Xây dựng tài liệu tham khảo về: Lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ mối liên hệ chúng với nội dung mơn Tốn phổ thông - Nâng cao hiểu biết hiệu học tập thân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ, mối liên hệ chúng với nội dung mơn Tốn phổ thơng Giả thuyết khoa học - Có thể sử dụng kiến thức lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ mối liên hệ chúng với mơn Tốn phổ thơng, tạo sở hình thành lí luận phương pháp giải tốn phổ thơng giáo viên nhằm tăng hiệu giảng dạy nâng cao khả tiếp nhận kiến thức sách giáo khoa học sinh Đối tƣợng nghiên cứu - Nghiên cứu nội dung số kiến thức lí thuyết tâp hợp, ánh xạ, quan hệ dạy trường Đại Học Tây Bắc - Nghiên cứu liên hệ kiến thức lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ với nội dung mơn Tốn phổ thơng Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Kinh nghiệm thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp khố luận Khố luận sau hoàn thành làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chun ngành tốn giáo viên phổ thơng Cấu trúc khoá luận Khoá luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm chương phần kết luận Phần nội dung bao gồm chương: Chương 1: Tập hợp kiến thức mơn Tốn phổ thơng Chương 2: Ánh xạ kiến thức mơn Tốn phổ thơng Chương 3: Quan hệ kiến thức mơn Tốn phổ thơng Chƣơng TẬP HỢP VÀ KIẾN THỨC MƠN TỐN PHỔ THƠNG 1.1 Tập hợp Thuật ngữ “tập hợp” ngày sử dụng nhiều toán học đời sống Người có cơng lớn việc xây dựng lí thuyết tốn học chặt chẽ tập hợp nhà tốn học G.Cantor Có hai cách trình bày sử dụng lí thuyết tập hợp phổ biến tốn học: + Sử dụng kiến thức lí thuyết tập hợp xây dựng phương pháp tiên đề để nghiên cứu vấn đề toán học phức tạp sâu sắc + Trình bày theo lối ngây thơ (trình bày thơng qua mơ tả) Lối trình bày sử dụng nhiều trường phổ thông nhiều giáo trình bậc đại học 1.1.1 Giới thiệu sơ lƣợc lí thuyết tập hợp đƣợc xây dựng theo tiên đề (Tiên đề Decmelo-Phơranken) Cách trình bày lí thuyết tập hợp theo phương pháp tiên đề có ưu điểm tính chặt chẽ, tránh việc gây nghịch lí Tuy nhiên, cách trình bày trừu tượng khó hiểu Tiên đề Decmelo-Phơranken gồm chín tiên đề: 1.1.1.1 Tiên đề E (Tiên đề ngoại diên) xyz(((z  x))  (x  y))   x  y  Tiên đề khẳng định hai tập hợp có phần tử 1.1.1.2 Tiên đề N (Tiên đề tồn tập rỗng) xy((y  x)) Tiên đề N khẳng định tồn tập hợp không chứa phần tử Tập hợp ta gọi tập hợp rỗng kí hiệu là:  1.1.1.2 Tiên đề P (Tiên đề cặp không kể thứ tự) xyzu   u  z    u  x    u  y   Tiên đề P khẳng định với x, y cho trước tồn tập hợp bao gồm x y, kí hiệu {x, y} không kể thứ tự liệt kê x, y Ta gọi tập z tiên đề cặp không kể thứ tự xác định x, y Từ tiên đề ta định nghĩa khái niệm đơn tử {x} khái niệm cặp có kể đến thứ tự + Cặp {a, a} (với x = a, y = a) gọi cặp đơn tử kí hiệu là: {a} + Cặp {a, {a, b}} (với x = a, y = {a, b}) gọi cặp có kể thứ tự (a, b) (a viết trước, b viết sau) Ta mở rộng định nghĩa nhiều tập hợp có thứ tự Giả sử f tập hợp gồm cặp có thứ tự Nếu f thỏa mãn điều kiện: Từ  x, y   f  x, z   f suy y = z ta gọi f hàm + Tập xác định f định nghĩa tập tất x cho y   x, y   f  ; tập giá trị hay tập ảnh f tập hợp tất y cho x   x, y   f  1.1.1.4 Tiên đề U (Tiên đề hợp) xyz((z  y)  t((z  t)  (t  x))) Tập hợp y tiên đề U gọi hợp tập hợp thuộc x 1.1.1.5 Tiên đề I (Tiên đề vô hạn) x(( x)  y(y  x)  (y  y  x)) Tiền đề I khẳng định rằng, tồn tập hợp mà thêm vào tập hợp thuộc tập hợp có phần tử tập hợp thuộc Vì  x; {{}} x; {{  {}}  {  {}}} x;  Người ta sử dụng tiên đề để xây dựng tập hợp số tự nhiên 1.1.1.6 Tiên đề W (Tiên đề lũy thừa hay tiên đề tập hợp tất tập tập hợp) xyz((z  y)  t((t  z)  (t  x))) Điều kiện t((t  z)  (t  x)) diễn đạt z  x Tiên đề khẳng định, với tập hợp x cho trước, tồn tập hợp gồm tất tập x viết dạng: xyz((z  y)  (z  x)) Tập hợp y tiên đề kí hiệu là: P(x) 1.1.1.7 Tiên đề R (Tiên đề quy) xy((x  )  ((y  x )  z((z  x)  (z  y)) Tiên đề quy tránh việc dẫn đến nghịch lí khơng chấp nhận tập hợp x thỏa mãn x  x 1.1.1.8 Tiên đề C (Tiên đề chọn) xy((y )  !z((z  x)   y, z   x)) Kí hiệu !z tồn z Ta thay kí hiệu cách sử dụng vị từ “=” sau: xf  x    f  u   f  v    u  v   1.1.1.9 Tiên đề Sn (Tiên đề thay thế) xya(x  S x, y   by(y  b  x(x  A  S  x, y ) Tiên đề khẳng định tồn tập hợp b tập a gồm đối tượng thỏa mãn tính chất quy định công thức S cho trước 1.1.2 Tập hợp, phần tử, tập hợp tập hợp, số phần tử tập hợp, tập hợp tập tập hợp 1.1.2.1 Khái niệm tập hợp phần tử Tập hợp khái niệm ngun sơ khơng định nghĩa, nhiên ta nói sau: - Tất đối tượng xác định hợp lại tạo thành tập hợp, đối tượng cấu thành tập hợp phần tử tập hợp - Người ta viết tập hợp chữ in hoa: A, B, C … Ví dụ 1: Tất sinh viên lớp k51 ĐHSP toán tạo thành tập hợp sinh viên lớp k51 ĐHSP toán Mỗi sinh viên lớp k51 ĐHSP toán phần tử tập hợp Ví dụ 2: Tất đường thẳng không gian tạo thành tập hợp đường thẳng không gian Mỗi đường thẳng phần tử tập hợp * Khái niệm thuộc kí hiệu - Nếu x phần tử tập hợp A ta nói “x thuộc A” kí hiệu là: x A - Nếu x không phần tử tập hợp A ta nói “x khơng thuộc A” kí hiệu là: x  A * Cách mô tả tập hợp Để khai báo tập hợp ta sử dụng cách sau: - Liệt kê phần tử tập hợp gồm: + Liệt kê tất phần tử tập hợp số phần tử tập hợp không nhiều + Liệt kê số lượng vừa đủ phần tử tập hợp cho quy luật tạo nên tất phần tử tập hợp hồn tồn xác định tập hợp có nhiều phần tử Các phần tử liệt kê đặt khoảng hai dấu {} Ví dụ 3: Tập hợp A = {3; 1; 5} tập gồm phần tử Tập hợp B = {0; 2; 4; …} tập gồm tất số tự nhiên chẵn - Cho tập hợp thông qua mô tả dấu hiệu đặc trưng phần tử thuộc tập hợp Ta viết tập hợp B thông qua mô tả dấu hiệu đặc trưng sau: B = {n  N | n số tự nhiên chẵn} Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng kí hiệu là:  1.1.2.2 Tập hợp * Định nghĩa: Cho hai tập A, B ta nói A tập tập hợp B kí hiệu A  B phần tử thuộc tập hợp A phần tử thuộc tập hợp B Khi ta nói tập hợp B chứa tập hợp A kí hiệu B  A Ví dụ 4: Cho hai tập C = {0; 2; 4} D = {0; ; 4; 6; 8} ta có C  D - Khi A  B A  B ta nói A tập hợp thực tập hợp B hay tập hợp B chứa thực tập hợp A kí hiệu A  B hay B  A - Khi tập hợp A không tập hợp thực tập hợp B (hay tập hợp B không chứa thực tập hợp A) ta dùng kí hiệu A  B Tập rỗng xem tập hợp tập hợp Tức  A ,  A 1.1.2.3 Sự hai tập hợp * Định nghĩa: Cho hai tập hợp A, B ta nói tập hợp A tập hợp B kí hiệu A = B có A  B B  A Để chứng minh tập hợp A tập hợp B ta thực hai bước: + Bước 1: Chứng minh A  B cách lập luận: Lấy phần tử tuỳ ý x  A chứng tỏ x  B + Bước 2: Chứng minh B  A cách lập luận: Lấy phần tử tuỳ ý y  B chứng tỏ y  A 1.1.2.4 Số phần tử tập hợp Giả sử A tập hợp cho trước Nếu ta đếm số phần tử A đến lúc khơng cịn phần tử để đếm ta nói A tập hữu hạn (hay A có lực lượng hay số hữu hạn) Việc đếm cho tương ứng phần tử A với số nguyên dương (hay số tự nhiên) Nếu phần tử cuối A ứng với số nguyên dương n ta nói A có n phần tử Hai tập hợp hữu hạn có số phần tử thiết lập tương ứng chúng cho phần tử tập hợp ứng với phần tử tập hợp 1.1.2.5 Tập hợp tất tập tập hợp cho trƣớc Cho trước tập hợp A Ta lập tập hợp cách lấy tập hợp tập A làm phần tử cho tập hợp Khi ta tập hợp kí hiệu (A) Ví dụ 5: Khi A =  ta có Khi A = {a} ta có Khi A = {a, b} ta có (A) = {  } (A) = {  , {a}} (A) = {  , {a}, {b}, {a, b}} Khi A tập hợp có n phần tử (A) tập hợp có 2n phần tử * Nhận xét: Với tập hợp A cho trước, (A) ln khác rỗng (vì có phần tử tập hợp  tập hợp A) Số phần tử lớn số phần tử A Tập hợp (A) (A) cịn kí hiệu 2A 1.1.3 Phép tốn tập hợp Tích Đềcác 1.1.3.1 Các phép tốn tập hợp a) Phép giao * Định nghĩa: Giả sử A, B tập cho Tập hợp gồm tất phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B gọi giao A với B kí hiệu A  B Như vậy, x  A  B  x  A x  B * Định nghĩa phép giao số hữu hạn tập hợp: Giả sử A1,A2 , An tập hợp cho trước Ta gọi tập hợp tạo tất phần tử chung tập hợp A1,A2 , An giao A1,A2 , An kí hiệu A1 A2 An n Ai hay i 1 b Mỗi hàm số f(x) khả tích [a; b] xác định số  f (x)dx Tương ứng a b f(x) với  f (x)dx ánh xạ từ tập hợp hàm khả tích [a; b] đến tập a hợp số thực Ánh xạ có tính chất cộng tính Tức là: b b b a a a +  (f (x)  g(x))dx  f (x)dx  g(x)dx b b a a +  (kf (x))dx  k  f (x)dx 38 CHƢƠNG 3: QUAN HỆ VÀ KIẾN THỨC MƠN TỐN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 3.1 Kiến thức sở quan hệ 3.1.1 Định nghĩa quan hệ phép toán quan hệ 3.1.1.1 Định nghĩa quan hệ * Định nghĩa: Cho n tập X1,X2, ,Xn (n   ) , tập S tích Đềcác X1  X2   Xn quan hệ n xác định tập hợp X1,X2 , ,Xn + Trường hợp n = ta có hai tập hợp X1,X , quan hệ hai xác định tập hợp X1,X gọi quan hệ hai từ tập hợp X1 đến X Nếu X1  X2  X quan hệ hai ngơi từ X đến X gọi quan hệ hai X hay quan hệ X Quan hệ hai S từ tập X đến tập Y, phần tử (x, y)  S kí hiệu xSy nói phần tử x có quan hệ S với phần tử y * Quan hệ ngược quan hệ hai tập hợp Giả sử S quan hệ hai tập hợp X Tập hợp (x, y)  X  X | (y, x) S quan hệ hai X Quan hệ gọi quan hệ ngược quan hệ S kí hiệu S1 Rõ ràng, T quan hệ ngược quan hệ S quan hệ S quan hệ ngược quan hệ T Chẳng hạn, quan hệ    quan hệ  ; quan hệ  quan hệ    ,…trên 1 tập hợp số , , , ngược 1 Quan hệ chia hết chia hết cho quan hệ 3.1.1.2 Phép toán tập hợp quan hệ Mỗi quan hệ hai tập hợp X tập hợp X  X , nên ta thực phép tốn tập hợp hợp, giao, hiệu… quan hệ * Tích quan hệ Cho quan hệ S R tập hợp X Khi tập hợp:  x, y   X  X | z  X :  x,z  S (z, y)  quan hệ tập hợp X Quan hệ gọi tích (hay hợp thành) quan hệ S với R kí hiệu S R hay SR 39 3.1.2 Một số tính chất 3.1.2.1 Thuộc tính phản xạ Quan hệ S tập hợp X gọi có tính chất phản xạ x  X ln có xSx Các quan hệ tập hợp số; quan hệ đồng dạng tập hợp hình hình học; quan hệ chia hết tập hợp số nguyên hay tập hợp số tự nhiên; … quan hệ có thuộc tính phản xạ Quan hệ song song, vng góc tập hợp đường thẳng mặt phẳng ( hay khơng gian);… khơng có thuộc tính phản xạ 3.1.2.2 Thuộc tính đối xứng Quan hệ S tập hợp X gọi có tính chất đối xứng x, y  X , xSy ySx Quan hệ tập hợp số; quan hệ đồng dạng hình hình học; quan hệ đối xứng qua đường thẳng mặt phẳng (hay không gian);… quan hệ có thuộc tính đối xứng Quan hệ “>”; “ tập hợp số thứ tự ngặt chúng quan hệ ngược Tổng quát, giả sử S1 quan hệ ngược quan hệ S, S quan hệ thứ tự (thứ tự ngặt) S1 quan hệ thứ tự (thứ tự ngặt) - cho A tập hợp (A) tập hợp gồm tất tập hợp A Khi quan hệ   quan hệ thứ tự (A) Hai quan hệ quan hệ ngược * Định nghĩa: Giả sử (X,  ) tập hợp thứ tự quan hệ  Ta nói quan hệ thứ tự  X quan hệ thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tính) với  a, b phân biệt thuộc X xảy a  b b  a - Quan hệ thứ tự tập hợp X khơng phải quan hệ tuyến tính gọi quan hệ thứ tự phận - Các quan hệ thứ tự thông thường tập hợp số quan hệ thứ tự tuyến tính; quan hệ   (A) quan hệ phận có tập hợp X Y A mà X không chứa Y Y không chứa X * Định nghĩa: Giả sử (X,  ) tập hợp thứ tự quan hệ  Ta nói quan hệ thứ tự  X quan hệ thứ tự trù mật với phần tử x, y khác thuộc X cho x  y z  X cho x, y, z phân biệt x  y  z - Nếu (X,  ) tập hợp thứ tự không trù mật gọi tập thứ tự rời rạc - Ta có  ,   ( , ) rời rạc,  ,   ( , ) ;  ,   ( , ) tập hợp thứ tự trù mật * Định nghĩa: Giả sử (X,  ) tập hợp thứ tự A tập hợp X Phần tử a  A gọi phần tử bé A với 45 phần tử x  A ln có a  x; phần tử b  A gọi phần tử lớn tập hợp A với phần tử x  A ln có x  b Rõ ràng, phần tử lớn hay nhỏ có tập hợp A - Tập hợp A bị chặn ln có tập hợp chặn A khác rỗng Phần tử nhỏ tập hợp chặn gọi chặn nhỏ A hay chặn A supremun A kí hiệu sup(A) - Tương tự, tập hợp chặn A tồn phần tử lớn phần tử lớn gọi chặn lớn A hay chặn A Infimun A kí hiệu Inf(A) * Định nghĩa: Cho tập hợp thứ tự (X,  ) Phần tử a  A gọi phần tử tối tiểu hay cực tiểu X với phần tử x  X cho x  a suy a = x; phần tử b  X gọi phần tử tối đại hay cực đại tập hợp X với phần tử x  X cho b  x suy b = x Một tập hợp thứ tự không thiết tồn phần tử tối đại hay tối tiểu Trường hợp tồn phần tử tối đại hay tối tiểu phần tử không thiết * Định nghĩa: Tập hợp X với quan hệ thứ tự  gọi tập hợp thứ tự tốt với tập khác rỗng X tồn phần tử nhỏ - Quan hệ thứ tự thông thường tập hợp số tự nhiên quan hệ thứ tự tốt 3.2 Các quan hệ mơn Tốn phổ thông 3.2.1 Kiến thức quan hệ tƣơng đƣơng mơn Tốn phổ thơng 3.2.1.1 Các quan niệm dấu “=” - Bằng theo nghĩa tập hợp: Tập hợp A tập hợp B kí hiệu A = B phần tử A phần tử B ngược lại - Bằng theo nghĩa bao hàm (ánh xạ): Hai ánh xạ f : A  B g : A  B gọi với phần tử a  A ta ln có f(a) = g(a) Trong trường hợp đòi hỏi f g phải có tập nguồn (A), tập đích (B) giá trị chúng phần tử thuộc tập nguồn - Bằng theo nghĩa hình học: Hai đoạn thẳng định nghĩa thông qua số đo độ dài; hai tam giác định nghĩa thông qua số đo yếu tố (cạnh, góc) tương ứng phụ thuộc vào thứ tự liệt kê đỉnh; 46 vectơ định nghĩa thông qua hướng độ dài; - Dấu “=” dùng phương trình lại mang ý nghĩa tượng trưng Chỉ nghiệm ta thực có dấu vế 3.2.1.2 Các quan hệ tƣơng đƣơng mơn Tốn phổ thơng Trong mơn tốn phổ thông quan hệ sau quan hệ tương đương: - Quan hệ tập hợp bất kì: tập hợp số, tập hợp biểu thức, tập hợp tam giác, tập hợp đoạn thẳng, tập hợp góc, tập hợp vectơ mặt phẳng, tập hợp vectơ không gian - Quan hệ tương đương theo nghĩa nói đến trường hợp cụ thể kiến thức mơn Tốn: Hai hình phẳng tương đương (có diện tích); hai phương trình tương đương, hai bất phương trình tương đương (có tập nghiệm) - Quan hệ phương đường thẳng, véctơ - Quan hệ đồng dạng 3.2.1.3 Các khái niệm mơn Tốn đƣợc hình thành đƣờng trừu tƣợng hóa đồng Cách xây dựng khái niệm phương pháp trừu tượng hóa đồng thực sau: - Bước 1: Từ tập hợp biết tạo tập hợp nhờ phép toán tập hợp Phép toán thường dùng phép lấy tích Đềcác tập hợp biết - Bước 2: Xét quan hệ tương đương tập hợp vừa xây dựng - Bước 3: Thực chia lớp tập hợp vừa xây dựng theo quan hệ tương đương xét Phần tử tập thương dùng để định nghĩa khái niệm Việc gọi tên định nghĩa quan hệ, phép toán khái niệm phải dựa vào phần tử đại diện Trong mơn Tốn trường phổ thơng khái niệm hình thành phương pháp trừu tượng hóa đồng như: số tự nhiên, số hữu tỉ, phân thức đại số, vectơ, 3.2.2 Quan hệ thứ tự tập hợp mơn Tốn phổ thơng Một số trường hợp tập hợp quan hệ thứ tự mơn Tốn phổ thơng: 47 TT Tập hợp – kí hiệu Quan hệ S ( S1 ) Tập hợp số tự nhiên < (>) Toàn phần, ngặt, tốt, rời rạc Tập hợp số tự nhiên  () Toàn phần, tốt, rời rạc Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên < (>) Toàn phần, ngặt, rời rạc Tập hợp số nguyên  () Toàn phần, rời rạc Tập hợp số < (>) Toàn phần, ngặt, trù mật  () Toàn phần, trù mật < (>) Toàn phần, ngặt, trù mật  () Tồn phần, trù mật (chia hết cho) Tính chất S Bộ phận hữu tỉ Tập hợp số hữu tỉ Tập hợp số thực Tập hợp số thực 10 Tập hợp đa thức ẩn x f g  Bộ phận bậc f  bậc g 48 3.2.3 Phƣơng pháp quy nạp tốn học a) Dạng thơng thường Để chứng minh kết luận f(n) số tự nhiên n với số tự nhiên ta thực hai bước sau: - Bước 1: Kiểm tra khẳng định f(n) n = (khẳng định f(0) đúng); - Bước 2: Giả sử khẳng định với số tự nhiên k bất kì, chứng minh khẳng định với k + (f(k) suy f(k + 1) đúng) b) Dạng suy rộng Để chứng minh kết luận f(n) số tự nhiên n với số tự nhiên số tự nhiên a ta thực hai bước sau: - Bước 1: Kiểm tra khẳng định f(n) n = a (khẳng định f(a) đúng); - Bước 2: Giả sử khẳng định với số tự nhiên k  a bất kì, chứng minh khẳng định với k + (f(k) với k  a suy f(k + 1) đúng) c) Dạng quy nạp kiểu Côsi (quy nạp lùi) Để chứng minh kết luận f(n) số tự nhiên n với số nguyên dương ta thực ba bước sau: - Bước 1: Kiểm tra khẳng định f(n) n = (khẳng định f(1) đúng); - Bước 2: Giả sử khẳng định với số tự nhiên k bất kì, chứng minh khẳng định với 2k ( tức giả sử f(k) suy f(2k) đúng) ; - Bước 3: : Giả sử khẳng định với số k + chứng minh khẳng định với k Trong bước thứ hai ta thay hay số nguyên dương Ví dụ: Chứng minh n  n với  n (n ) + Chứng minh phương pháp quy nạp thông thường: Đặt f(n) = n  n Bước 1: Khi n = ta có f(0) = 05  = Vậy kết luận n = Bước 2: Giả sử kết luận với n = k, tức (k5  k) , k  Ta chứng minh kết luận với n = k + Thật vậy, ta có: (k  1)5  (k  1) = k5  5k  10k  5k   k 1 = (k  k)  5(k  2k  2k  k) (*) 49 Theo giả thiết quy nạp ta có (k  k) mà 5(k  2k  2k  k) Do (*) chia hết kết luận với n = k + Vậy, kết luận với  n (n ), tức (n  n) , n  + Chứng minh phương pháp quy nạp lùi: Bước 1: Khi n = ta có 05  = Khi n = ta có 15  = Như kết luận với n = n = Bước 2: Giả sử kết luận với n = k, tức (k  k) , k  Ta chứng minh kết luận với n = 2k Thật vậy, ta có: (2k)5  (2k)  2k  2k  30k  2(k  k)  30k (**) Theo giả thiết quy nạp ta có (k  k) mà 30k 5 Do (**) chia hết kết luận với n = 2k Bước 3: Giả sử kết luận với n = k + 1, tức ((k  1)5  (k  1)) , k  Ta chứng minh kết luận với n = k Thật vậy, ta có: (k  1)5  (k  1) = k5  5k  10k  5k   k 1 = (k  k)  5(k  2k  2k  k) Hiển nhiên 5(k  2k  2k  k) , (k  k) Vậy kết luận chứng minh 50 KẾT LUẬN Với nhiêm vụ đặt ra, khóa luận trình bày cách có hệ thống tương đối đầy đủ kiến thức tập hợp, ánh xạ, quan hệ bao gồm định nghĩa kiến thức liên quan, thuật ngữ kí hiệu lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ Qua đó, chúng tơi đưa mối quan hệ chúng với kiến thức môn Tốn phổ thơng: kiến thức lí thuyết tập hợp sử dụng ngơn ngữ để trình bày kiến thức mơn Tốn trường phổ thơng để làm tăng sáng, tiện lợi, đặc biệt sử dụng nhiều thuật ngữ kí hiệu lí thuyết tập hợp; kiến thức ánh xạ thể nội dung kiến thức mơn Tốn phổ thơng dãy số, hàm số, đạo hàm, tích phân, phép tốn, phép biến hình; kiến thức quan hệ tương đương quan hệ thứ tự thể nội dung kiến thức mơn Tốn phổ thơng quan hệ tập hợp số, quan hệ tương đương trường hợp: hai hình phẳng tương đương, hai phương trình tương đương, hai bất phương trình tương đương, quan hệ phương vectơ, quan hệ đồng dạng, quan hệ dấu {, ,  }… Như biết kiến thức tập hợp, ánh xạ quan hệ mảng kiến thức tốn học quan trọng, xem sở để hiểu nội dung môn Tốn phổ thơng theo xu hướng phát triển chương trình Chúng tơi mong khóa luận trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc quan tâm, hi vọng tương lai tơi bạn có nhiều đóng góp to lớn cho ngành Tốn học 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Nguyễn Bá Kim (1994), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Giáo dục Hồng Xn Sính (2006), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Chu Trọng Thanh – Trần Trung (2010), Cơ sở tốn học đại kiến thức mơn Tốn phổ thông, NXB Giáo dục Sách giáo khoa, sách giáo viên mơn Tốn cấp Tiểu học; THCS; PTTH hành 52 ... tập hợp Giả sử S quan hệ hai tập hợp X Tập hợp (x, y)  X  X | (y, x) S quan hệ hai X Quan hệ gọi quan hệ ngược quan hệ S kí hiệu S1 Rõ ràng, T quan hệ ngược quan hệ S quan hệ S quan hệ. .. quan hệ T Chẳng hạn, quan hệ    quan hệ  ; quan hệ  quan hệ    ,…trên 1 tập hợp số , , , ngược 1 Quan hệ chia hết chia hết cho quan hệ 3.1.1.2 Phép toán tập hợp quan hệ Mỗi quan hệ. .. luận với đề tài: ? ?Lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ kiến thức mơn Tốn phổ thơng” Mục đích nghiên cứu - Xây dựng tài liệu tham khảo về: Lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ mối liên hệ chúng với nội