BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐỖ THẾ HẢI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ MỘT SỐ TÍCH CHẤT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Sơn La, năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐỖ THẾ HẢI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ MỘT SỐ TÍCH CHẤT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Giải Tích Giáo viên hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG Sơn La, năm 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng, người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình, giúp đỡ em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên em có thêm nghị lực hoàn thành khóa luận này. Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là thầy giáo: Thạc sĩ Vũ Việt Hùng và các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán - Lí. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận này. Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo cùng với sự nỗ lực của bản thân, mặc dù đã rất cố gắng, song do trình độ nghiên cứu khoa học còn hạn chế, thiếu kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót và kết quả còn chưa được như mong muốn. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin để khóa luận này được hoàn thiện hơn. Nhân dịp này, cho phép em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên. Em xin trân t hành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2014. Người thực hiện ĐỖ THẾ HẢI Tích phân Fourier và một số tính chất i Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến t hức chuẩn bị 3 1.1 Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Các định lí quan trọng của lí thuyết tích phân . . . 3 1.1.2 Không gian L p ,1 ≤ p ≤∞ . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Một vài định lí về không gian Banach và không gian Hilbert 6 1.3 Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian Hilbert . . . . . 8 1.4 Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Chuỗi Fourier 13 2.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 Các hệ số Fouirer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.4 Hệ trực giao của các hàm. . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2 Sự hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier . . . . . 24 2.4 Tính đầy đủ của các hệ đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Tính chất của các hệ số Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Đạo hàm, tích phân, và tính hội tụ của chuỗi Fourier . . . . 34 Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất ii 2.7 Dạng phức của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Biến đổi Fourier 40 3.1 Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier . . . . . . . . . . 40 3.2 Dạng khác của công thức Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.6 Tích chập và biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Có thể nói trong số những biến đổi tích phân phổ biến nhất thì biến đổi Fourier ra đời trước tiên, mặc dù trước Fourier, Euler đã đưa ra khái niệm khai triển một hàm số theo chuỗi lượng giác, song lý thuyết này chưa được hoàn chỉnh. Fourier viết xong công trình về biến đổi Fourier vào năm 1807, nhưng do sự hoài nghi của các nhà toán học thời bấy giờ như Lagrange, Laplace, Poisson v.v nên phải chờ đến năm 1815 công trình của Fourier mới được công bố. Lí thuyết của ông được hình thành và phát triển trong quá trình tìm hiểu về truyền nhiệt. Từ khi ra đời cho đến nay, lý thuyết chuỗi đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học. Có nhiều bài toán trong toán học và trong thực tiễn dẫn đến việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng trong khoa học hiện nay. Đặc biệt được sử dụng nhiều trong toán học và trong vật lý kỹ thuật, áp dụng phương pháp này vào các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, biến các phương trình này thành các phương trình đại số, hoặc phương trình đạo hàm riêng có số biến ít hơn. Vì vậy, việc tiếp cận và tìm hiểu về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier và tính chất của nó là điều bổ ích và cần thiết. Do đó em chọn đề tài: “Tích phân Fourier và một số tính chất” làm khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là trình bày về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier và một số tính chất. Từ đó cung cấp tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành toán trường Đại học Tây Bắc. Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về tích phân Fourier và một số tích chất. Trình bày một số phép biến đổi Fourier, các tính chất. Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 2 2.3. Phạm vi nghiên cứu Khóa luận sẽ trình bày về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier và các tính chất cơ bản. 3. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, đọc tài liệu, phân tích tổng hợp các ý kiến. Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminar với tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn từ đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương ngiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoàn thành đề tài. 4. Những đóng góp của khóa luận Đề tài trình bày đầy đủ, có hệ thống kèm theo chứng minh chi tiết các định lý, các tính chất. Sẽ là tài liệu tham khảo có giá trị cho các bạn sinh viên quan tâm phép biến đổi Fourier và tích phân Fourier. 5. Cấu trúc khóa luận Với mục đích như trên đề tài được chia thành 3 chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, và các kiến thức có liên quan khác. Chương 2: Trình bày các kiến thức về chuỗi Fourier, các tính chất của chuỗi Fourier. Chương 3: Trình bày kiến thức về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier và các tính chất. Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này chủ yếu nhắc lại các kết quả của giải tích và giải tích hàm để làm kiến thức chuẩn bị cho các chương sau. Các kết quả này phần lớn là không chứng minh và có thể tham khảo trong [1], [3]. 1.1 Không gian L p 1.1.1 Các định lí quan trọng của lí thuyết tích phân Dưới đây là các định lí quan trọng của lí thuyết tích phân. Định lý 1.1. (Định lí hội tụ đơn điệu của Beppo Levi). Cho {f n } là dãy tăng các hàm khả tích (Lesbesgue) trên tập Ω ⊂ R N sao cho sup n  f n < ∞. Khi đó f n hội tụ hầu hết trên Ω về một hàm f khả tích trên Ω và f n − f  1 =  Ω |f n (x) − f (x)|dx → 0 khi n → ∞. Định lý 1.2. (Định lí hội tụ bị chặn Lesbesgue). Cho {f n } là một dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω. Giả sử a, f n (x) → f (x) hầu hết trên Ω. b, Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n,|f n (x)| ≤ g(x) hầu hết trên Ω. Khi đó f khả tích và f n − f  1 =  Ω |f n (x) − f (x)|dx → 0 khi n → ∞. Hệ quả 1.3. Cho f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên Ω. Nếu |f (x)| ≤ g(x) hầu hết trên Ω thì f khả tích trên Ω. Suy ra, nếu |f | khả tích thì f khả tích (điều ngược lại cũng đúng). Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 4 Bổ đề 1.4. (Bổ đề Fatou). Giả sử {f n } là một dãy các hàm khả tích sao cho a, f n ≥ 0 hầu hết trên Ω, ∀n. b, sup  f n < +∞. Với mỗi x ∈ Ω, ta đặt f (x) = liminf f n (x). Khi đó f khả tích trên Ω và  f ≤ lim n→∞ inf  f n . Giả sử Ω 1 ⊂ R d 1 ,Ω 2 ⊂ R d 2 là hai tập mở và F : Ω 1 × Ω 2 −→ R (hoặc C) là hàm đo được. Định lý 1.5. (Tonelli). Giả sử  Ω 2 |F(x,y)|dy < +∞,∀x ∈ Ω 1 và  Ω 1 dx  Ω 2 |F(x,y)|dy < +∞. Khi đó F khả tích trên Ω 1 ×Ω 2 . Định lý 1.6. (Fubini). Cho F là hàm khả tích trên Ω 1 ×Ω 2 . Khi đó, ∀x ∈ Ω 1 , ta có F(x, ·) :→ F(x,y) khả tích trên Ω 2 và x →  Ω 2 F(x,y)dy khả tích trên Ω 1 . Ta có kết quả tương tự khi đổi vai trò x cho y, Ω 1 cho Ω 2 . Hơn nữa ta có  Ω 1 dx  Ω 2 F(x,y)dy =  Ω 2 dy  Ω 1 F(x,y)dx =  Ω 1 ×Ω 2 F(x,y)dxdy. 1.1.2 Không gian L p ,1 ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.7. Cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa L p (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); do f đo được và |f | p khả tích }, L ∞ (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); f đo được và ∃C, |f (x)| ≤ C}, và ký hiệu f  p =     Ω |f (x)| p dx    1/p , f  ∞ = inf { C;|f (x)| ≤ C } . Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 5 Nhận xét 1.8. Nếu f ∈ L ∞ (Ω) t hì |f (x)| ≤ f  ∞ ,∀x ∈ Ω. Thật vậy, có dãy {C n } hội tụ về f  ∞ sao cho ∀n,|f (x)| ≤ C n hầu hết trên Ω. Vì vậy với mỗi n,|f (x)| ≤ C n ,∀x ∈ Ω \ E n , trong đó E n là tập không đáng kể (có độ đo 0). Đặt E = ∪ n E n thì E là tập không đáng kể và với mỗi n,|f ( x)| ≤ C n ,∀x ∈ Ω \ E, suy ra |f (x)| ≤ f  ∞ ,∀x ∈ Ω \ E. Ta kí hiệu q là số liên hợp của p,1 ≤ p ≤ ∞ nghĩa là 1 p + 1 q = 1. Định lý 1.9. (Bất đẳng thức Holder). Giả sử p, q > 1 sao cho 1 p + 1 q = 1. Khi đó với mọi f ∈ L p (X), g ∈ L p (X), ta có  X |f .g|dµ ≤    X |f | p dµ   1 p    X |g| q dµ   1 q . Hay f .g 1 ≤ f  p g q . Định lý 1.10. (Riemann- Lesbegue). Cho f ∈ L 1 (a,b), với (a, b) là khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của R thì ta có lim n→∞ b  a f (x)cosnxdx = 0, lim n→∞ b  a f (x)sinnxdx = 0, khi n → ∞. 1.1.3 Tích chập Cho hai hàm số ϕ,ψ xác định trên R N thì hàm số ϕ ∗ψ, xác định như sau: (ϕ ∗ ψ)(x) = +∞  −∞ ϕ(t)ψ(x −t)dt. với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, gọi là tích chập của ϕ và ψ. Ta có định lí sau. Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc [...]... Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 1.4 11 Tích phân Dirichlet Trong mục này sẽ phát biểu một bổ để về tích phân Dirichlet, công cụ để khảo sát tính chất hội tụ của chuỗi Fourier và tích phân Fourier trong các chương sau Trước hết ta có định nghĩa sau đây về các hàm có biến phân bị chặn Định nghĩa 1.30 Cho f là hàm số (thức hoặc phức) xác định trên [ a, b] Giả sử P = { x0 , x1 , , xn } là một phân. .. trên 2.5 Tính chất của các hệ số Fourier Trong phần này, ta luôn hiểu tích phân theo nghĩa tích phân suy rộng Khi ấy tính khả tích của một hàm số không kéo theo tính khả tích của bình phương của nó (và ngược lại) Ví dụ, hàm f ( x ) = 1/ | x | là khả tích trên đoạn [−1; 1], còn bình phương của nó thì không Tuy nhiên nếu hàm f chỉ có một số hữu hạn các điểm đặc biệt (không xác định) và là khả tích Riemann.. .Tích phân Fourier và một số tính chất 6 Định lý 1.11 Giả sử ϕ ∈ L1 (RN ) và ψ ∈ L p (RN ) với 1 ≤ ∞ Khi đó, với mỗi x ∈ RN , hàm số y → ϕ(t)ψ( x − t) khả tích trên RN và ϕ ∗ ψ ∈ L p (RN ) Hơn nữa, ϕ∗ψ 1.2 p ≤ ϕ 1 ψ p Một vài định lí về không gian Banach và không gian Hilbert Định nghĩa 1.12 Cho E và F là hai không gian định chuẩn và f là ánh xạ tuyến tính từ E vào F Ta định nghĩa... Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 12 c, Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p và q đơn điệu tăng trên [ a, b] sao cho f ( x ) = p( x ) − q( x ), ∀ x ∈ [ a, b] Hơn nữa, nếu f liên tục thì p, q cũng liên tục Nhận xét 1.33 Từ ví dụ a và tính chất c, ta thấy rằng có mối liên hệ chặt chẽ giữa hàm đơn điệu và hàm có biến phân bị chặn Tính chất c cũng cho ta thấy f khả tích. .. x + u)] du −π Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 1 ≤ 2π 27 π φn (u)| f ( x ) − f ( x + u)|du −π Do hàm f là liên tục và tuần hoàn cho nên nó liên tục đều trên toàn trục số Suy ra với mọi số ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho ω (δ; f ) := max | f ( x ) − f (y)| ≤ ε/3 | x −y|≤δ Từ công thức trên, bằng cách tách tích phân vế phải thành 3 tích phân trên 3 đoạn, ta có 1 | f ( x ) −... đó, ta biến đổi x = π − α ở tích phân thứ hai Áp dụng bổ đề tích phân Dirichlet, ta suy ra lim Sn ( x ) = n→∞ 1 f (π − ) + f (π + ) 2 Với x = −π, chứng minh tương tự Chú thích: Có những hàm f liên tục trên [−π; π ] mà tại một điểm nào đó thuộc đoạn [−π; π ], chuỗi Fourier của f không hội tụ Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 20 2.2.2 Sự hội tụ đều... p ≤ r ≤ q; bất đẳng thức sau cùng là do tính toán trực tiếp tích phân Áp dụng điều này vào (2.12) và để ý thêm sin ξ ≥ sin µ, suy ra 1 π π/2 [ F ( x + 2α) − F ( x )] sin(2n + 1)α 16C dα ≤ sin α (2n + 1)π sin µ (2.13) µ Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 24 Từ (2.10) − (2.13) dẫn đến đánh giá sau cùng cho số hạng thứ nhất bên vế phải của (2.8)... xạ mở nếu và chỉ nếu f ( B(x,r) ) là lân cận của f ( x ) với mọi x ∈ X và với mọi r > 0 Nhận xét 1.16 Nếu f : E → F là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian định chuẩn E và F thì f là mở nếu và chỉ nếu f ( B(0,r) ) là lân cận của 0 ∈ F với mọi r > 0 Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 7 Định lý 1.17 (Định lí ánh xạ mở) Mọi toàn ánh tuyến tính liên... f (x ) −π Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí 1 sin 2 (2n + 1)( x − x ) 1 sin 2 ( x − x ) dx Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 1 + 2π Đổi biến α = x−x 2 19 π f (x ) sin 1 (2n + 1)( x − x ) 2 1 sin 2 ( x − x ) x và α = x −x 2 dx lần lượt trong tích phân thứ nhất và tích phân thứ hai của đẳng thức trên, ta được: ( x +π )/2 1 Sn = 2π + f ( x − 2α) 0 ( x −π )/2 1 π sin(2n + 1)α dα... trong tích phân thứ hai và tính tuần hoàn chu kỳ 2π của f trong tích phân thứ ba Do f = F − G, tách cận tích phân và biến đổi ta được 1 Sn ( x ) = π = 1 π π/2 −π/2 π/2 sin(2n + 1)α 1 F ( x + 2α) dα − sin α π F ( x + 2α) 0 sin(2n + 1)α 1 dα + sin α π Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí π/2 G ( x + 2α) −π/2 π/2 F ( x − 2α) 0 sin(2n + 1)α dα sin α sin(2n + 1)α dα sin α Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và . cứu về tích phân Fourier và một số tích chất. Trình bày một số phép biến đổi Fourier, các tính chất. Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 2 2.3 Bắc Tích phân Fourier và một số tính chất 11 1.4 Tích phân Dirichlet Trong mục này sẽ phát biểu một bổ để về tích phân Dirichlet, công cụ để khảo sát tính chất hội tụ của chuỗi Fourier và tích phân. vậy, việc tiếp cận và tìm hiểu về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier và tính chất của nó là điều bổ ích và cần thiết. Do đó em chọn đề tài: Tích phân Fourier và một số tính chất làm khóa luận