BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TÒNG VĂN HẢI BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Sơn La - Năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TÒNG VĂN HẢI BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Giải Tích Giáo viên hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG Sơn La - Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành phần lớn là do sự hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Thạc sĩ Vũ Việt Hùng. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy. Em xin gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Em cũng xin cảm ơn những ý kiến đóng góp, khích lệ, động viên của các thầy cô và bạn bè trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Sơn La, tháng 06 năm 2014 Người thực hiện Sinh viên: TÒNG VĂN HẢI KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Giả sử Ω là tập mở không rỗng của R n , x = (x 1 , , x n ) ∈ Ω với n là số nguyên cố định lớn hơn 1 và hàm u : Ω → C. Khi đó ta ký hiệu: 1. ∂u ∂x i (x) là đạo hàm riêng của u theo tọa độ thứ i tại điểm x. 2. Đạo hàm riêng cấp hai của u theo tọa độ thứ i, j tại điểm x là ∂ 2 u ∂x i ∂x j . 3. ∆u = ∂ 2 u ∂x 2 i là toán tử Laplace. 4. x = (x 2 1 +x 2 2 +···+x 2 n ) 1 2 là chuẩn Euclide của x, đôi khi để giản ta thường dùng ký hiệu là |x|. 5. Với k là số nguyên dương, C k (Ω) là ký hiệu của tập tất cả các hàm khả vi liên tục cấp k trên Ω, C ∞ (Ω) là tập tất cả các hàm thuộc lớp C k (Ω) với mọi k. Với E ⊂ R n , C(E) là ký hiệu của tập tất cả các hàm liên tục trên E. 6. Cho Ω là tập mở bị chặn của R n , ký hiệu ∂Ω là biên của Ω, Ω là bao đóng của Ω. Độ đo V = V n là độ đo thể tích Lesbegue trên R n và s là độ đo bề mặt của ∂Ω. 7. ∂u ∂ −→ l (x) = lim t→0 u(x + t −→ l ) −u(x) t , −→ l = −→ 0 , là đạo hàm theo hướng −→ l của u tại x. Nếu u khả vi tại x thì u có đạo hàm mọi hướng tại x và ∂u ∂ −→ l (x) = n  i=1 ∂u ∂x i (x)l i , −→ l = (l 1 , . . . , l n ). 8. Với u ∈ C(Ω) ta viết: D n u = ∂u ∂ν , với ν = (υ 1 , . . . , υ n ) là vector pháp tuyến đợn vị hướng ra ngoài của ∂Ω; u = (D 1 u, . . . , D n u) = Du là vector gradient của u. Do đó với ξ ∈ ∂Ω ta có (D n u)(ξ) = (u)(ξ) · η(ξ), với η = ν. 9. B(a, r) = {x ∈ R n : x − a < r} là hình cầu mở tâm a bán kính r, bao đóng của nó là hình cầu đóng B(a, r); hình cầu đơn vị B(0, 1) được ký hiệu là B, còn bao đóng của nó là B. Khi số chiều là quan trọng ta viết B n thay cho B để chỉ hình cầu đơn vị trong không gian có số chiều là n. Biên của hình cầu đơn vị được ký hiệu bởi S = ∂B, bình thường độ đo bề mặt S được ký hiệu bởi σ (sao cho σ(S) = 1). Độ đo σ là độ đo xác suất duy nhất trên S đó là phép quay bất biến (giá trị T(E) = σ(E) với mọi tập Borel E ⊂ S và với mỗi phép biến đổi tuyến tính trực giao T). 10. Bộ chỉ số α là n số nguyên không âm (α 1 , . . . , α n ). Đạo hàm từng phần của toán tử D α được xác định bởi D α 1 1 . . . D α n n (D 0 j là toán tử đồng nhất). Với x ∈ R n và bộ chỉ số α = (α 1 , . . . , α n ) ta định nghĩa: x α = x α 1 . . . x α n , α! = α 1 ! . . . α n !, |α| = α 1 + ··· + α n . 11. D m u =  ∂ α u ∂x α 1 1 . . . ∂x α n n : |α| = α 1 + ··· + α n = m  là tập tất cả các đạo hàm riêng cấp m của u. Mục lục Mở đầu 3 1 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa 5 1.1 Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tính chất bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Nhân Poisson cho hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Bài toán Dirichlet cho hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Định lý đảo của Tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . . . 22 1.8 Mối liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm giải tích . . . . . . . . . . 24 2 Hàm điều hòa bị chặn 28 2.1 Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Tính kỳ dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Ước lượng Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Họ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6 Giới hạn dọc tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 3 Hàm điều hòa dương 37 3.1 Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnanck . . . . . . . . . . 39 3.3 Tính kỳ dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 47 2 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hàm điều hòa - nghiệm của phương trình Laplace đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của Toán học, Vật lý và Kỹ thuật. Lý thuyết hàm điều hòa, chính xác hơn là các tính chất của nó cho ta rất nhiều ứng dụng phải kể đến đó là tính chất bất biến qua hình cầu tâm và bán kính bất kỳ, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực đại (giá trị cực đại hoặc cực tiểu trên miền đạt được trên biên), Hiện nay tài liệu tiếng Việt viết và nghiên cứu về hàm điều hòa nói chung là rất ít. Đặc biệt hơn ở trường Đại học Tây Bắc đề tài nghiên cứu về hàm điều hòa vẫn còn hạn chế. Ta có thể tìm thấy trong thư viện trường Đại học Tây bắc, lý thuyết hàm điều hòa chủ yếu chỉ được giới thiệu trong một mục nhỏ thông qua các cuốn Phương trình đạo hàm riêng [1], [3] và Hàm biến phức [2]. Để tìm hiểu về nó không phải lúc nào cũng dễ dàng và đôi khi gây rất nhiều chở ngại cho các bạn sinh viên, nhất là các bạn sinh viên học Toán và Lý. Xuất phát từ những lý do trên, em chọn hướng nghiên cứu của mình là: Bước đầu nghiên cứu một số lớp hàm điều hòa. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của đề tài này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và nghiên cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3. Đối tượng nghiên cứu. Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa trên R n . Tìm hiểu các tính chất đặc trưng cho các lớp hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương trên R n . 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa R n . Khai thác tính chất đặc trưng chỉ có trong hàm điều hòa, cụ thể có tính chất như: "Hàm điều hòa là hàm duy nhất có tính chất giá trị trung bình". Nghiên cứu lớp hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. Xét xem đã có những kết của nào mà ta đã biết trong giải tích phức mà ta vẫn áp dụng được cho hàm điều hòa. Hơn nữa là nghiên cứu các tính chất đặc biệt có trong hai lớp hàm này. 5. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm và nghiên cứu các tài liệu trong nước cũng như tài liệu nước ngoài viết về những vấn đề có liên quan đến đề tài. Phân tích, tổng hợp các kiến thức sao cho có hệ thông, logic và mạch lạc. Qua đó hình thành ý tưởng và đề cương nghiên cứu đề tài. Trao đổi với giảng viên hướng dẫn, những người có kinh nghiệm và nhóm sinh viên có cùng ý tưởng nghiên cứu. Từ đó lập kế hoạch và hoàn thành đề tài. 6. Những đóng góp của đề tài Đề tài đã nêu bật được những tính chất cơ bản nhất của hàm điều hòa và bước đầu nghiên cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. 7. Cấu trúc đề tài Nội dung của đề tài gồm có phần Mở đầu, ba Chương nội dung, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo: Chương 1. Trình bày các tính chất cơ bản của hàm điều hòa, bao gồm: Tính chất bất biến, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực đại, nhân Poisson cho hình cầu, bài toán Dirichlet cho hình cầu, định lý đảo của tính chất giá trị trung bình và mối liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm giải tích. Chương 2. Nghiên cứu lớp hàm điều hòa bị chặn, trong đó trình bày một số tính chất tương tự của hàm chỉnh hình trong giải tích phức cho hàm điều hòa dương trên R n . Cụ thể là: Định lý Liouville, tính kỳ dị cô lập, ước lượng Cauchy, họ chuẩn tắc. Hơn nữa là hai tính chất nguyên lý cực đại và giới hạn dọc tia cho các hàm điều hòa bị chặn. Chương 3. Nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương thông qua các tính chất quan trọng đó là: Định lý Liouville, bất đẳng thức Harnack, nguyên lý Harnack và tính kỳ dị cô lập. 4 Chương 1 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa Hàm điều hòa tồn tại trên tập con mở của không gian Euclide thực. Trước khi đi vào các tính chất ta tìm hiểu định nghĩa về hàm điều hòa. 1.1 Định nghĩa và các ví dụ Định nghĩa 1.1.1. Một hàm u : Ω → C khả vi liên tục cấp hai được gọi là hàm điều hòa trên Ω nếu thỏa mãn phương trình Laplace: ∆u = 0. Ví dụ 1. u(x) = x 1 , với x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 . Ví dụ 2. Xét hàm u trên R 3 xác định bởi: u(x) = x 2 1 = x 2 2 − i x 2 . Dễ thấy hàm này điều hòa trên R 3 . Ví dụ 3. Cho n > 2, x ∈ R n , hàm u(x) = x 2−n là hàm điều hòa trên R n . Thật vậy: Giả sử x = (x 1 , . . . , x n ), khi đó u(x) = (x 2 1 + x 2 2 + ··· + x 2 n ) 2−n 2 . Ta có: ∂u ∂x i = (2 − n)x i (x 2 1 + x 2 2 + ··· + x 2 n ) −n 2 i = 1, n. ∂ 2 u ∂x 2 i = (2 − n)x −n [1 − nx 2 i x −2 ] i = 1, n. 5 [...]... cộng và nhân vô hướng của hàm điều hòa là hàm điều hòa 7 Định nghĩa 1.2.1 1.Với y ∈ Rn , và u là hàm điều hòa trên Ω Tịnh tiến của u là hàm trên Ω + y, nhận giá trị tại x là u(x − y) 2.Với một số dương r và một hàm u trên Ω Mở rộng của u ký hiệu ur là một hàm xác định bởi (ur )(x) = u(rx), với x thuộc (1/r)Ω = {(1/r)ω| ω ∈ Ω} Nhận xét 1.2.1 i) Tịnh tiến của hàm điều hòa là hàm điều hòa ii) Với u ∈ Ω... là hàm đặc trưng trên E được xác định bởi: χE (x) = 1.8 1 nếu x ∈ E 0 nếu x ∈ E / Mối liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm giải tích Ta đã thấy trong phần trước hàm điều hòa là khả vi vô hạn Một tính chất mạnh hơn sẽ được thiết lập trong phần này đó là hàm giải tích Để định nghĩa một cách chính xác hơn, trước tiên ta xét chuỗi số phức dạng Cα trong đó phép lấy tổng là trên mọi chỉ số α (tất cả các chỉ số. .. , n > 2 là hàm điều hòa Như chúng ta sẽ thấy sau này, hàm u(x) = x 2−n là hàm quan trọng đối với lý thuyết hàm điều hòa khi n > 2 Chúng ta có được ví dụ bổ sung cho hàm điều hòa bằng cách lấy vi phân Lưu ý với hàm điều hòa trơn toán tử Laplace thay đổi với bất kỳ đạo hàm riêng ∂u (x) = xi x −n là hàm điều hòa trên Rn \{0} khi Nói riêng v(x) = ∂xi n > 2 Chúng ta sẽ sớm chứng minh rằng mỗi hàm điều hòa... hằng số và bởi vậy u là hằng số trên Ω 14 1.5 Nhân Poisson cho hình cầu Tính chất giá trị trung bình cho thấy, nếu u là hàm điều hòa trên B thì: u(0) = u(ξ)dσ(ξ) S Bây giờ đi chứng minh với mỗi x ∈ B, u(x) là một trọng số trung bình của u trên S, chính xác hơn ta chỉ ra rằng tồn tại một hàm điều hòa P trên B × S sao cho: u(x) = u(ξ)P (x, ξ)dσ(ξ) S Để khám phá những gì P có thể đạt được, ta bắt đầu trong... Định lý (1.7.1) và Định lý (1.7.2) tính chất giá trị trung bình đặc trưng của hàm điều hòa Ta kết thúc phần này với một ứng dụng của tính chất giá trị trung bình Ta biết rằng một hàm điều hòa giá trị thực có một điểm kỳ dị cô lập, ví dụ hàm x 2−n có một điểm kỳ dị cô lập tại điểm 0 nếu n > 2 Hệ quả 1.3.1 Giá trị không của hàm điều hòa nhận giá trị thực không bao giờ bị cô lập Tức là, nếu u(a) = 0, a... Cauchy Nếu f là hàm chỉnh hình và bị chặn bởi M trên hình cầu B(a, r) ⊂ C thì m!M |f (m) (a)| rm với mọi số nguyên không âm m, đây là Ước lượng Cauchy từ giải tích phức Định lý tiếp theo cho kết quả tương tự đối với hàm điều hòa bị chặn xác định trên hình cầu trong Rn Định lý 2.3.1 (Ước lượng Cauchy) Cho α là một đa chỉ số Khi đó có một số dương Cα sao cho Cα M |Dα u(a)| r|α| với mọi hàm u điều hòa... chứng minh hàm điều hòa là hàm duy nhất có tính chất giá trị trung bình Thật vậy, định lý sau đây cho thấy rằng hàm liên tục thỏa mãn dạng yếu của tính chất giá trị trung bình phải là hàm điều hòa Định lý 1.7.1 (Định lý đảo của tính chất giá trị trung bình) Giả sử u là hàm liên tục trên Ω Nếu với mỗi x ∈ Ω có dãy các số dương rj → 0 sao cho: u(x) = u(x + rj ξ)dσ(ξ) S với mọi j, thì u là hàm điều hòa... bình Giả sử u là hàm điều hòa trên B Khi đó ta chứng minh rằng u(0) là giá trị trung bình của u trên S Ta áp dụng đồng nhất thức Green với v(y) = |y|2−n , hàm này điều hòa trên B\{0}, có một điểm kỳ dị tại 0 và là hằng số trên S Bây giờ cố định một diểm khác không x ∈ B Ta chứng minh u(x) là trọng khối trung bình của u trên S, một cách tự nhiên lần này ta thử với v(y) = |y − x|2−n , hàm này điều hòa... Bài toán là không có sắp thứ tự tự nhiên của bộ chỉ số α khi n > 1 Tuy nhiên, ở đây ta chỉ quan tâm đến Cα hội tụ tuyệt đối nghĩa là: sup |Cα | < ∞ α∈F Định nghĩa 1.8.1 Một hàm trên Ω được gọi là hàm giải tích nếu với mỗi a ∈ Ω tồn tại số phức Cα sao cho: f (x) = Cα (x − a)α với mọi x thuộc lân cận của a và chuỗi hội tụ tuyệt đối trong lân cận này Một số tính chất cơ bản của những chuỗi như vậy sẽ được... cho hệ số Taylor Cα có được bằng cách tính đạo hàm của f tại 0 Định lý (1.8.1) không khẳng định rằng hình chữ nhật là miền hội tụ, đương nhiên của nhiều chuỗi lũy thừa Ví dụ trong một miền của không ∞ gian hai chiều, miền hội tụ chuỗi (x1 x2 )j là: j=1 {(x1 , x2 ) ∈ R2 : |x1 x2 | < 1} 25 Định lý tiếp theo chỉ ra rằng hàm giải tích có một số tính chất nhất định không được đề cập trong tất cả các hàm thuộc . hướng nghiên cứu của mình là: Bước đầu nghiên cứu một số lớp hàm điều hòa. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của đề tài này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và nghiên cứu. BẮC TÒNG VĂN HẢI BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Sơn La - Năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TÒNG VĂN HẢI BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU. cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3. Đối tượng nghiên cứu. Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều