ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC HẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG CĨ RÀNG BUỘC NĨN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN NĂNG TÂM Thái Ngun - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn được hồn thành tại trường Đại học khoa học - Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình hướng dẫn về phương hướng, nội dung và phương pháp nghiên cứu trong suốt q trình nghiên cứu, thực hiện và hồn thành luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học khoa học - Đại học Thái Ngun, phòng sau đại học đã tạo điều kiện rất thuận lợi về mọi mặt cho tác giả trong q trình tác giả học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn. Thái Ngun, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Ngọc Hải i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Trong q trình nghiên cứu đề tài luận văn, tơi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà tốn học và các nhà khoa học khác với sự trân trọng và biết ơn. Thái Ngun, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Ngọc Hải ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1. Khái niệm về khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Khái niệm về ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG CĨ RÀNG BUỘC NĨN 12 2.1. Bài tốn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón . . . 13 2.3. Điều kiện cực trị cho bài tốn qui hoạch tồn phương có ràng buộc nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4. Sự ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1. Sự ổn định của tập hợp điểm KKT . . . . . . . . 17 2.4.2. Sự ổn định của tập nghiệm tồn cục . . . . . . . 22 2.4.3. Tính liên tục của hàm giá trị tối ưu . . . . . . . . 26 2.5. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 30 iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG R n khơng gian Euclid n-chiều . chuẩn Euclid trong R n x, y tích vơ hướng của hai véc tơ x; y B  x 0 , ε  =  x ∈ R n :   x − x 0   < 0  hình cầu mở trong R n có tâm tại x 0 , bán kính ε A ∈ R n×n ma trận đối xứng clS bao đóng của tập hợp S intS miền trong của tập hợp S S (Q, a, c) tập hợp các điểm KKT loc (Q, c, a) nghiệm địa phương của (P ) Sol (Q, c, a) nghiệm (tồn cục) của (P ) 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết tối ưu có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong các bài tốn thực tế chẳng hạn, trong quy hoạch tài ngun, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, kiến trúc đơ thị, cơng nghệ thơng tin Chính vì vậy, các lĩnh vực của Tối ưu hóa ngày càng trở nên đa dạng. Hiện nay, mơn học Tối ưu hóa được đưa vào giảng dạy trong nhiều chương trình đào tạo đại học cho các ngành khoa học cơ bản, kỹ thuật - cơng nghệ, kinh tế - quản lý, sinh học - nơng nghiệp, xã hội - nhân văn, sinh thái - mơi trường Quy hoạch tồn phương là một trong những lĩnh vực của Tối ưu hóa. Lý thuyết quy hoạch tồn phương đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [5], [7]. Sau một thời gian học cao học, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về tốn ứng dụng, tơi chọn đề tài Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất của Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón và các ứng dụng của bài tốn liên quan đến các vấn đề thực tiễn. Qua đó, giúp củng cố các kiến thức đã được học như: khơng gian R n , khơng gian affine, giải tích hàm,. . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hố các vấn đề lý luận về các kiến thức cơ sở liên quan đến nội dung chính của bài tốn. Hệ thống hố các định nghĩa, tính chất, ví dụ và ứng dụng của Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón. 4. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở nghiên cứu mở rộng bài tốn quy hoạch tồn phương để áp dụng giải quyết các vấn đề thực tiễn, các bài tốn thực tế của con người nhằm nâng cao hiệu quả cơng việc. 5. Phương pháp nghiên cứu Q trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trong q trình nghiên cứu lí thuyết. Đầu tiên, sau khi tìm được nguồn tài liệu tham khảo thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các kiến thức sẵn có. Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn ra những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa ra những nhận xét riêng. Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ ràng. 6. Đóng góp của luận văn Hệ thống hố các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Vận dụng Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón vào giải quyết các bài tốn, các vấn đề thực tế trong cuộc sống con người. 7. Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 2 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1. Khái niệm về khơng gian Hilbert 1.2. Khái niệm về ánh xạ đa trị 1.3. Kết luận chương 1 Chương 2: Bài tốn Quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.1. Bài tốn tối ưu 2.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.3. Điều kiện cực trị cho bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.4. Sự ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.5. Kết luận chương 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1], [3], [4] và [7]. 1.1. Khái niệm về khơng gian Hilbert Cho V là khơng gian véc tơ trên trường số thực R. Định nghĩa 1.1. Ta gọi mỗi ánh xạ ., . : V × V → R; (x, y) → x, y là một tích vơ hướng trên V nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn: Với mọi x, y, z ∈ V và α ∈ R i) x, y = y, x ii) αx, y = α x, y iii) x, y + z = x, y + x, z iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0 Số x, y được gọi là tích vơ hướng của x và y. Khơng gian véc tơ V cùng với một tích vơ hướng xác định được gọi là khơng gian có tích vơ hướng và thường được viết là (V, ., .). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... tính ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị Chương 2 trình bày về điều kiện cực trị và tính ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón Việc nghiên cứu về bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón còn đòi hỏi nhiều thời gian và cơng sức Với năng lực còn hạn chế và thời gian có hạn luận văn khơng tránh khỏi nhiều thiếu... bình phương có ràng buộc nón Cụ thể: đã trình bày điều kiện cực trị và tính ổn định của tập hợp điểm KKT, của tập nghiệm tồn cục và tính liên tục của hàm giá trị tối ưu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày một số kiến thức về bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón, bao gồm điều kiện cực trị và tính ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương. .. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG CĨ RÀNG BUỘC NĨN Mục đích của chương này là trình bày một vài tính chất định tính của bài tốn cực tiểu hố hàm tồn phương trên giao của khơng gian con affine và hình nón lồi đóng n chiều có miền trong khác rỗng Những nội dung trình bày trong chương này lấy từ [3], [5], [6] và [7] 2.1 Bài tốn tối ưu Bài tốn tối ưu là bài tốn có dạng: inf f (x) với x... của bài tốn (2.1) nếu x∗ ∈ D và f (x∗ ) f (x) ∀x ∈ D Điểm x∗ ∈ D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của (2.1) nếu tồn tại một lân cận mở U trong X của điểm x∗ sao cho f (x∗ ) ≤ f (x) , ∀x ∈ U ∩ D Dễ thấy, mọi nghiệm tối ưu tồn cục cũng là phương án tối ưu địa phương, trong khi đó một phương án tối ưu địa phương khơng nhất thiết là phương án tối ưu tồn cục 2.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc. .. Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 17 2.4 Sự ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón Định nghĩa 2.2 Chúng ta nói rằng x ∈ V là một điểm KKT (KarushKuhn-Tucker) của (2.2) nếu có s ∈ V thoả mãn s ∈ K ∗, x ∈ K ∩ (a + X) , Qx + c − s ∈ X ⊥ , x, s = 0 (2.4) Kí hiệu tập hợp các điểm KKT, nghiệm địa phương, và nghiệm (tồn cục) của (2.2) lần lượt là S(Q, c, a), loc(Q, c, a),... hoạch tồn phương có ràng buộc nón 1 x, Qx + c, x 2 với x ∈ a + X, x ∈ K inf f (x, Q, c) := Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.2) 14 trong đó Q ∈ LS (V ) , c, a ∈ V và X ⊂ V là một khơng gian con tuyến tính Gần đây, đã có thuật tốn cho (2.2) được đề nghị trong khn khổ của đại số Jordan-Euclide [6] Dễ dàng chỉ ra rằng bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính là... khơng gian Rn−1 Đó chính là bài tốn phụ miền tin cậy 2.3 Điều kiện cực trị cho bài tốn qui hoạch tồn phương có ràng buộc nón Bổ đề 2.1 Cho x ∈ K, giả sử K (x) = y ∈ E : x + ty ∈ K, t > 0 đủ nhỏ Khi đó đối ngẫu của nó K (x)∗ = {s ∈ K ∗ : x, s = 0} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 Chứng minh Dễ dàng thấy rằng K(x) là một nón lồi Vì K ⊂ K(x), ta có K (x)∗ ⊂ K ∗ Giả sử s... buộc nón Cho (V, , ) là khơng gian Hinbert hữu hạn chiều và K ⊂ V là hình nón lồi đóng với đối ngẫu dương K ∗ := {y ∈ V : y, x ≥ 0, ∀x ∈ K} Giả sử miền trong intK của K là khác rỗng và K nhọn, nghĩa là K ∩ (−K) = {0} Kí hiệu LS (V ) là tập hợp các tốn tử tuyến tính đối xứng Q : V → V Do đó, cho bất kỳ Q ∈ LS (V ) và x, y ∈ V, ln có Qx, y = x, Qy Ta gọi bài tốn sau là Bài tốn quy hoạch tồn phương có. .. tơ pơ X, f : D → R là một hàm số Hàm f gọi là hàm mục tiêu, tập D gọi là miền ràng buộc hoặc tập chấp nhân được của bài tốn (2.1) Nếu D = X thì ta nói bài tốn (2.1)khơng có ràng buộc Như vậy, ta cần tìm điểm x ∈ D sao cho hàm mục tiêu f (x) đạt được giá trị bé nhất - cực tiểu hố Điểm x ∈ D được gọi là điểm chấp nhận được của bài tốn (2.1) Định nghĩa 2.1 Điểm x∗ ∈ X được gọi là nghiệm tối ưu (hay nghiệm)... S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) Ví dụ 1.3 i) Hàm số f : R → R với f (x) = x2 là một hàm lồi ii) Hàm số hai biến f : R2 → R với f (x, y) = x2 + y 2 là hàm lồi Định nghĩa 1.7 Cho S ⊂ V là một tập hợp khác rỗng S được gọi là nón nếu ∀λ > 0 và x ∈ S ta ln có λx ∈ S Nón S được gọi là nón lồi nếu S là tập lồi Nón S được gọi là nón lồi đóng nếu S vừa là nón lồi vừa là tập . 2: Bài tốn Quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.1. Bài tốn tối ưu 2.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.3. Điều kiện cực trị cho bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.4 kiện cực trị cho bài tốn qui hoạch tồn phương có ràng buộc nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4. Sự ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón . . . . . . . . . 11 2 BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG CĨ RÀNG BUỘC NĨN 12 2.1. Bài tốn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón . . . 13 2.3.