i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN DUY THANH PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN DUY THANH PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Minh Khoa Thái Nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi tự hồn thành Các kết luận văn trung thực chưa công bố tạp chí Tác giả Phan Duy Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv LỜI CẢM ƠN Trong trình học Cao học viết Luận văn tốt nghiệp, tác giả nhận nhiều ủng hộ Phòng giáo dục đào tạo huyện Tam Nông – Phú Thọ, lãnh đạo đồng nghiệp trường THCS Dị Nậu, giúp đỡ quý báu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tác giả nhận chia sẻ, động viên bạn đồng nghiệp người thân Trong trình thực Luận văn thạc sĩ Toán học, tác giả nhận hướng dẫn trực tiếp TS Nguyễn Minh Khoa chuyên mơn Thầy ln nhiệt tình, tận tâm bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức cung cấp nhiều tài liệu quý báu Thầy dẫn cho tác giả trình bày kiến thức thu qua học tập ngiên cứu cách có hệ thống luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ động viên quý báu Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Phan Duy Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ v MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa…………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………… i Lời cảm ơn…………………………………………………… ii Mục lục…………………………………………………………… iii MỞ ĐẦU NỘI DUNG…………………………………………………………… Chương Phép biến đổi tích phân Fourier cosine Tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y)  cos ay 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 1.2 Tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y)  cos ay Chương II Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosin với hàm trọng 13 (2-1) Định nghĩa 13 (2-2) Định lý kiểu Watson Bổ đề 2.1 13 (2-3) Định lý kiểu Plancherel 19 Định lý 3.4 19 (2-4) Các ví dụ 22 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ vi CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Các không gian hàm dùng luận văn     x  R : x  0 L(  ) tập hợp tất hàm f xác định  0,   cho   f ( x) dx   Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU 1) Lý chọn đề tài Phép biến đổi tích phân vấn đề trụ cột giải tích tốn học, đời khơng ngừng phát triển khoảng hai trăm năm qua Phép biến đổi tích phân đóng vai trị quan trọng toán học nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác quang học, điện, lượng tử, y sinh học, âm thanh, Các phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trị đặc biệt lý thuyết ứng dụng, trước hết phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Xuất phát từ toán thực tế nghiên cứu trình truyền nhiệt năm 1807 Fourier hồn thành cơng trình phép biến đổi tích phân Fourier  6 Phép biến đổi tích phân Fourier có dạng (Xem  2 )  Ff  ( y)  2  e  iyx f ( x)dx, f  L1 (  * ) ; (0.1)  Lim  Ff  ( y )  N  2 N e  iyx f ( x)dx, f  LP (  ) (0.2) N Trong trường hợp f hàm số chẵn lẻ ta nhận phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine có dạng sau (xem 6,10 ):  F f  ( y)  C   F f  ( y)  S Số hóa Trung tâm Học liệu   f ( x)cos( xy)dx, f  L1 (   ) ; (0.3)    f ( x)sin( xy)dx, f  L1 (   ) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (0.4) Và  F f  ( y)  Lim C N   F f  ( y)  Lim S N    f ( x)cos( xy)dx,  N f  LP (  ) ; (0.5) f  LP (  ) (0.6) N N  f ( x)sin( yx)dx, N Ở giới hạn hiểu theo chuẩn không gian LP (  ) Các định nghĩa trùng f  L1 (  )  LP (  ) Cùng với phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân, hướng phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỷ 20 Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f, g phép biến đổi Fourier có dạng sau (Xem 7 ): ( f *g)(x)  F 2   f (y)g ( x  y)dy, x   (0.7)  Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F ( f *g)( y)  ( Ff )( y).( Fg )( y), y   ; f , g  L1 (  ) F (0.8) Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập hai hàm f, g phép biến đổi Fourier cosine (Xem 7 ): ( f *g)(x)  F 2 C     f (y)  g ( x  y)  g ( x  y )  dy, x  (0.9) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Đẳng thức Parseval sau (Xem 7 ): FC ( f *g)( y)  ( FC f )( y).( FC g )( y), y  0; f , g  L1 (   ) ; F (0.10) ( f *g)( x)  Fc  ( Fc f )( y ).( Fc g )( y )  ( x), x  0; f , g  L2 (   ) F (0.11) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Vào năm 2004 tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa xây dựng tích chập với hàm trọng  ( y )  cos y hai hàm f, g thuộc L1 (  ) phép biến đổi Fourier cosine (Xem 8 ):   f * g  ( x)   F    2 c    f ( y)  g  x  u  1  g  x  u    g  x  u    g  x  u    du, x >  (0.12) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa  Fc  f * g  ( y )  cos y.( Fc f )( y ).( Fc g )( y ), y   F    (0.13) c Đối với tích chập hai hàm f, g cố định hàm, chẳng hạn hàm g cho hàm f thay đổi không gian hàm ta nhận phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Phép biến đổi tích phân với thống xây dựng theo hướng phép biến đổi Watson dựa tích chập Melin phép biến đổi Melin Gần số phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tích chập suy rộng khảo sát (Xem 3,5,9,11 ) Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trong luận văn mình, tác giả xét tích chập với hàm trọng  ( y)  cos ay phép biến đổi tích phân Fourier cosine Dựa tích chập tích chập (0.9) để xây dựng nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng nhận diều kiện cần đủ để phép biến đổi xây dựng unita không gian L2 (  ) Định lý kiểu Plancherel tính bị chặn phép biến đổi xây dựng không gian LP (  ) chứng minh Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Phƣơng pháp nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Sử dụng phép biến đổi tích phân, tích chập biết kết giải tích, giải tích hàm Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 Và sử dụng đẳng thức Parseval tích chập Fourier cosine L2 (  ) ta 2 Fc cos ay. Fc f  ( y )  Fc g  ( y )  ( x)   có:  2 Fc cos ayFc  f * g  ( y )  ( x)     f * g  ( x  a )   f * g  ( x  a )    Từ đẳng thức ta nhận đẳng thức (2.2) Bổ đề chứng minh Định lý 2.2 Giả thiết k1 , k2  L2 (  ) a0  1, a j  cho a y  L2 (  ) n 2j j j 0 Khi điều kiện: 2cos ay  Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y )  2 a y (2.3) n 2j j j 0 điều kiện cần đủ để phép biến đổi tích phân: f g  g ( x)     n j 0  d2 j   (1) a j j   f (u ) k1  x  u  a   k1  x  u  a   k1  x  u  a   dx     j  k1  x  u  a   du       f (u )  k2  x  u   k2  x  u   du  , x      (2.4) unita L2 (  ) phép biến đổi ngược có dạng:  f ( x)     n j 0  d2 j   (1) a j j   g (u )  k1  x  u  a   k1  x  u  a   k1  x  u  a   dx    j Số hóa Trung tâm Học liệu  http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 15  k1  x  u  a   du       g (u ) k  x  u   k  x  u  du  , x      (2.5) Chứng minh Điều kiện cần: Như biết h  y  , yh  y  , y2h  y   L2 (  ) d d2  Fh  ( x);  Fh  ( x);  Fh  ( x)  L2 (  ) (Định lý 68, 10 ) Hơn dx dx d2  Fh  ( x)  F  iy  h( y)  ( x)   dx (2.6)  Đặc biệt, h hàm chẵn cho    n j 0  a j y j  h( y )  L2 (  ) có đẳng  thức sau:     n (1) j a j j 0  d2j    Fc h  ( x)  Fc  dx j     n j 0   a j y j  h( y )  ( x )    (2.7) Giả sử k1 , k2  L2 (  ) thỏa mãn điều kiện (2.3) Sử dụng bổ đề 2.1 đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập ta có:  g ( x)     n j 0 d2j   (1) a j j  Fc  2 cos ay  Fc k1  ( y )  Fc f  ( y ) dx  j  2  Fc k2  ( y )  Fc f  ( y )  ( x)     Fc  2      n j 0   a j y j   2cos ay. Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y ) . Fc f  ( y )  ( x)    Điều kiện (2.3) ra:  2    n j 0  a j y j   2cos ay. Fc k1  ( y )   Fc k  ( y ). Fc f  ( y )   L2 (   )  Do g  L2 (  ) Hơn theo đẳng thức Parseval phép biến đổi Fourier cosine: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 16 f  Fc f g từ điều kiện (2.3) ta nhận được:  2    L2 (   )  Fc f L2 (  ) L2 (   )  f a y n 2j j j 0 L2 (   )    2cos ay. Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y )   Fc f  ( y )    L2 (   ) Điều phép biến đổi (2.4) unita Bên cạnh đó, từ  2    n j 0  a j y j   2cos ay. Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y )   Fc f  ( y )  L2 (   ) ,    ta có:   Fc g  ( y )  2   a y n 2j j j 0  Do  Fc f  ( y )  2      2cos ay. Fc k1  ( y )   Fc k  ( y )   Fc f  ( y )     n j 0  a j y j   2cos ay. Fc k1  ( y )   Fc k  ( y )   Fc f  ( y )    Lại điều kiện (2.3):  2    n j 0  a j y j   2cos ay. Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y )   Fc g  ( y )  L2 (   )    Công thức (2.7) dẫn đến:   f ( x)  Fc  2         n j 0   a j y j  2cos ay. Fc k1  ( y )   Fc k  ( y )  Fc g  ( y )  ( x)      d2j    1 a j j  Fc  2  Fc k1  ( y )  Fc g  ( y )  2  Fc k2  ( y )  Fc g  ( y )  ( x)  dx  j 0  n j Sử dụng công thức (2.7) bổ đề 2.1 ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 17  f ( x)     n j 0   d j  (1) a j j   g (u )  k1  x  u  a   k1  x  u  a   k1  x  u  a   du     dx      j   g (u )  k2  x  u   k2  u  x   du , x     Do phép biến đổi (2.4) unita L2 (  ) , biến đổi ngược xác định công thức (2.5) Điều kiện đủ Giả sử phép biến đổi (2.4) unita   Khi tích đẳng cự L2 (  ) phép biến đổi Fourier cosine f L2 (   )   Fc f  L2 (   ) dẫn đến: g  L2 (   )  Fc f  2   L2 (   )  f  n j 0  a j y j   2cos ay  Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y )   Fc f  ( y )    L2 (   ) L2 (   ) Ở k1 , k2  L2 (  ) Do đó, tốn tử nhân M . với   ( y )  2    n j 0  a j y j   2cos ay  Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y )     Unita L2 (  ) Điều tương đương với  ( y)    Tức là:  2    n j 0  a j y j   2cos ay  Fc k1  ( y )   Fc k  ( y )   1, y     Như k1, k2 thỏa mãn (2.3) Chứng minh cho định lý 2.2 hoàn thành Nhận xét: 1) Chúng ta lưu ý điều kiện a y  L2 (  ) thỏa mãn n 2j j j 0 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 18 P( y )  a y n 2j j khơng có nghiệm thực j 0 2) Bây ta tồn hàm k1, k2 thỏa mãn điều kiện (2.3) Giả sử a j ( j  1, n) số thực cho đa thức a y n 2j j khơng có nghiệm j 0 thực, h1 , h2  L2 (  ) thỏa mãn đẳng thức sau:  F h  ( y)  F h  ( y)  c c 1  cos ay   a y n 2 (2.8) 2j j j 0 Sự tồn hàm h1 , h2 thỏa mãn (2.8) đảm bảo Cụ thể, ta lấy:     ei 1( y )   h1 ( x)  Fc    ( x) ; n   1  cos ay  a j y j     j 0         ei ( y )   h2 ( x)  Fc    ( x) n     cos ay  a j y j     j 0     Ở  ,  số dương thỏa:     Đặt k1 ( x)  2    h * h  ( x) ; k ( x)   h * h  ( x)  1F 2  2   2  F  c c Dễ dàng chứng minh k1 , k2  L2 (  ) Hơn nữa: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 19 2cos ay  Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y ) cos ay  Fc h1  ( y ). Fc h2  ( y )   Fc h1  ( y )  Fc h2  ( y ) 2 2   Fc h1  ( y )  Fc h2  ( y ) (1  cos 2ay) 2  n 2j 2 aj y   j 0 Vì k1 , k2 thỏa mãn điều kiện (2.3) (2-3) Định lý kiểu Plancherel Định lý 3.1 Cho k1 , k2 hai hàm khả vi L2 (  ) thỏa mãn điều kiện (2.3) giả sử  K1 ( x )     n j 0  d2j  (1) a j j  k1 ( x) ; K ( x)   dx   j  n j 0 d2j  (1) a j j  k ( x) bị chặn dx  j địa phương Cho f  L2 (  ) , với số dương N Ta đặt: N g N ( x)     f (u)  K  x  u  a   K  x  u  a   K  x  u  a   K  x  u  a  du 1 1 N  f (u )  K  x  u   K  x  u   du , x     Khi ta có: 1) g N  L2 (  ) N  , g N hội tụ L2 (  ) g  L2 (  ) Hơn g L2 (   )  f L2 (   ) 2) Nghịch đảo Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ đến hàm 20 N f N ( x)  g (u )  K1  x  u  a   K1  x  u  a   K1  x  u  a   K1  x  u  a   du    N  g (u )  K  x  u   K  x  u   du , x     (3.1) Thuộc L2 (  ) hội tụ L2 (  ) tới f N   Chứng minh: Đặt f N  f  (0, N ) Bằng đổi biến, ta có:  g N ( x)  K1 (u )  f N  x  u  a   f N  x  u  a   f N  x  u  a   f N  x  u  a   du      K (u )  K  x  u   K  x  u   du        d2 j   (1) a j j   k1 (u )  f N  x  u  a   f N  x  u  a   f N  x  u  a   dx   j 0   n  j   f N  x  u  a  du   k (u ) k  x  u   k  x  u  du      2   Ta đổi thứ tự lấy tích phân vi phân tích phân khoảng hữu hạn Đổi biến trở lại ta nhận được:  g N ( x)     n j 0 N  d j  (1) a j j    k1  x  u  a   k1  x  u  a   k1  x  u  a    du  dx      j  N  f (u )  k2  x  u   k2  x  u   du    Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 21 Từ từ Định lý 2.2 ta kết luận g N  L2 (  ) ta kết luận g N  L2 (  ) Nhận g ảnh f qua phép biến đổi (2.4) Khi định lý 2.2 dẫn tới g  L2 (  ) g L2 (   )  f L2 (   ) Hơn công thức lặp (2.5) tỏa mãn Ta có:   g  g N  ( x)     n j 0  d j  (1) a j j    f  f N  (u )  k1  x  u  a   k1  x  u  a   dx     j     f  f  (u ) k  x  u   k  x  u du    k1  x  u  a   du   N 2 Lại định lý 2.2, g  g N  L2 (  ) g  g N Từ f  fN L2 (   )  L2 (   )  f  fN L2 (   ) N   , g N hội tụ L2 (  ) đến g N  Phần thứ định lý chứng minh tương tự Nhận xét: 1) Định lý 2.2 định lý 3.1 phép biến đổi tích phân (2.4) Unita L2 (  ) phép biến đổi ngược xác định bới công thức (2.5) Hơn tốn tử tích phân (2.4) (2.5) xấp xỉ L2 (  ) theo chuẩn toán tử (3.1) (3.2) tương ứng 2) Nếu giả thiết:  K1 ( x )     chặn  n j 0  d2j  (1) a j j  k1 ( x) K ( x)   dx   j   n j 0 d2j  (1) a j j  k ( x) bị dx  j phép biến đổi (2.4) toán tử bị chặn từ L1 (  ) vào L (  ) Mặt khác Định lý 3.1 toán tử (2.4) bị chặn L2 (  ) Khi theo định lý nội suy Rierz dẫn tới kết sau Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 22 Định lý 3.2 Giả sử k1 , k2 thỏa mãn điều kiện (2.3) giả sử K1 ( x), K ( x) xác định định lý bị chặn   Cho  p  q số mũ liên hợp nó, tức là: 1   Khi phép biến đổi : p q N N f ( x)  g ( x)  lim  f (u )  K1  x  u  a   K1  x  u  a  K1  x  u  a   N   0    K1  x  u  a   du   N    f (u )  K  x  u   K  x  u  du 2 (3.2) toán tử bị chặn từ Lp (  ) vào Lq (  ) Ở giới hạn hiểu theo chuẩn Lq (  ) (2-4) Các ví dụ: Ta đề cập vài ví dụ nhân k1 , k2 thỏa mãn điều kiện (2.3) tương ứng với phép biến đổi (2.4) Ví dụ 4.1 Cho  Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y)  cos ay ; 2 1  y  sin ay 2 1  y  (4.1) Rõ ràng k1 , k2 xác định (4.1) thỏa mãn điều kiện (2.3) Hơn nữa:   cos ay k1 x  Fc   2 1  y   2     4     cos ay.cos( xy )  y2 cos( x  a) y  cos( x  a) y dy  y2 Từ công thức (1.4.1)  4 ta nhận Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 23 1 1 k1 x   e   e ax ; 2 e (4.2) Mặt khác :   sin ay  sin ay.cos( xy ) k2 x  Fc  dy  ( x)    y2  2 1  y       4 Lần k2 ( x)    sử 2cos xy  cos( x  2a) y  cos( x  a) y dy  y2 dụng công thức (1.4.1)  4 , ta có:  e  e2  e2  eax Ví dụ 4.2 Cho  Fc k1  ( y )   F k  ( y)  c ; 2 1  y  i sin ay 2 1  y  Rõ ràng 2cos ay  Fc k1  ( y )   Fc k2  y  (4.3) 2 1  y  Hơn công thức (1.2.11)  4 dẫn tới: k1 x  2   cos( xy ) e x dy   y2 Sử dụng công thức (2.2.14)  4 , ta có: k2 x  i    sin ay.cos( xy ) i dy  1 y 2   sin( x  a ) y  sin( x  a ) y dy  y2 Ở Ei tích phân  4 Ví dụ 4.3 Cho  Fc k1  ( y )  isin ay ; 2 1  y  Rõ ràng 2cos ay  Fc k1  ( y )   Fc k2  y   F k  ( y)  c cos2ay 2 1  y  2 1  y  Hơn nữa: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (4.4) 24 k1 x  i e xa Ei ( x  a)  e x a Ei ( x  a)  e x a Ei ( x  a)  e x a Ei ( x  a)   4  Và: k2 x     cos2ay.cos( xy ) dy  1 y 2   cos( x  2a) y  cos( x  2a) y dy   e 2  e  e  ax 1 y Ví dụ 4.4 Ta xét trường hợp mở rộng ví dụ 4.1 Cho  Fc k1  ( y )  cos ay 2  y  b2  n 1 sin ay  Fc k2  ( y )  2  a  y  n 1 (4.5) Dễ thấy k1 , k2 xác định theo biểu thức (4.5) điều kiện (2.3) Hơn nữa:   cos ay k1 x  Fc  n 1  ( x )  2  2  y  b      4    cos( x  a) y  cos( x  a ) y  y  b2  n 1  y cos ay.cos( xy )  b2  n 1 dy dy Sử dụng công thức (1.2.28)  4 ta nhận được: n  e  ( x a ) z  d n  e ( xa ) z  n d k1 ( x)  (1) n    (1) n   ;( z  b ) 2n! dz  z  z  z  n  (4.6) Tương tự   sin ay k2 x  Fc   ( x)  2 n 1 4  2  a  y       2cos( xy)  cos( x  a) y  cos( x  a) y b  y2  n 1 dy Lại sử dụng công thức (1.2.28)  4 ta được: n   e( xa ) d n  e x z  n  n d k2 ( x)   2(1) n    ( 1) n   2n! dz  z  z  z  Ví dụ 4.5 Cho k1 , k2 hàm thuộc L2 (  ) Số hóa Trung tâm Học liệu  d n  e  ( x a ) z   n    ( 1) n    ;( z  b ) 2n dz  z    xác định : z http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 25  Fc k1  ( y )  cos ay sin ay ;  Fc k2  ( y )  2  x n  b n  2  x n  b2 n  (4.7) Dễ thấy k1 , k2 xác định (4.7) thỏa mãn điều kiện (2.3) Do k1 , k2  L2 (  ) nên ta có:   cos ay k1 x  Fc   ( x)  2n 2n 4  2  x  b       cos( x  a) y  cos( x  a) y dy x2 n  b2 n Sử dụng công thức (1.3.29)  4 ta nhận được:   k 1    2k  1    n  b x  a  sin n    2k  1     k1 ( x)  e  b  x  a  cos  sin   n 1   8nb   k 1 2n     2n      n  e   k 1    b x  a  sin  2n   k 1   2k  1   2k  1  sin   b  x  a  cos 2n   2n  Tương tự   sin ay k2 x  Fc   ( x)  2n 2n 4  2  x  b       2cos( xy )  cos( x  2a) y  cos( x  2a) y dy x2n  y 2n Do sử dụng cơng thức (1.3.29)  4 ta có:  n k2 ( x)  e   k  a     bx sin  2n   k 1  e n   k 1    b  x  a  sin  2n     2k  1   2k  1  sin   b  x  2a  cos 2n   2n    k 1    b  x  a  sin  2n     2k  1   2k  1  sin   b  x  2a  cos 2n   2n  k 1   n k 1 e   2k  1   2k  1  sin   b  x  a  cos 2n   2n  Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 26 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày tích chập Fourier cosine có hàm trọng từ nghiên cứu phép biến đổi phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng Nhận điều kiện cần đủ để phép biến đổi tích phân nói unita không gian L2 (  ) thiết lập công thức biến đổi ngược Trình bày cách chứng minh định lý hàm Plancherel xét tính bị chặn khơng gian Lp (  ),  p  Đồng thời trình bày số ví dụ minh họa cho biến đổi tích phân kiểu tích chập xây dựng Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 M.Abramowitz and I.A.Stegan, Hand book of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Tables, Natimal Burean of Standards Applied Mathematics Series, 55, Washington D.C 1964  2 S.Bochwer and K.Chandrasek Lharom, Fourier transforms, Princeton Univ, Press, Princeton, 1949 3 L.E.Briltina, A class of integral transforms related to the fourier cosine convolution, Integral transforms and Special Functions 16 (5) (2005), 379 389 4 A.Erdelyi and H.Bateman, Table of Integral Transforms, Vol.I.McGraw Hill Book Co., New York - Toronto - London, 1954  5 F.Al-Munsallom and Vu Kim Tuan, A class of convolution transforms, Fract.calc.Apple.Anol (3) (2010), 303-314 6 I.N.Snedon, Fourier transforms, Mc Gray - Hill, New York 1951  7 I.N.Sneddon (1972), The use of integral transforms; Mc Gray – Hill, New York  8 Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa, On the convolution with a weight – function for the Cosine – Fourier integral transforms Acta Math.Vietnam 29 (2) (2004), 142 - 162 9 Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Thanh Hong, Genneralired convolution transforms and Toeplitz plus Halvel integral equations Frac.Cal.amel Appl.Anal 11 (2) (2008), 153 - 174 10 E.C.Titchmarsh, Introduction to the theory of Fourier integrals (Third Edition), Chelsea Publishing Co., New York, 1986 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 28 11 T.S.B.Yavonbovich, transforms of the Vontorovich – Lebedev convolution type Collect Math 54 (2) (2003), 99 - 110 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... Phép biến đổi tích phân Fourier cosine Tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y)  cos ay 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 1.2 Tích chập Fourier cosine với hàm trọng. .. thay đổi khơng gian hàm ta nhận phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Phép biến đổi tích phân với thống xây dựng theo hướng phép biến đổi Watson dựa tích chập Melin phép biến đổi Melin Gần số phép. .. CHƢƠNG II PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG  ( y )  cos ay Trong chương ta xét lớp phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập Fourier cosine tích chập Fourier