ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Hải Đường HÀM LỒI, HÀM LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH CHẤT CONVEX FUNCTIONS AND GENERALIZATIONS WITH THEIR PROPERTIES Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Trần Vũ Thiệu Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 21 tháng 6 năm 2014 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên 1 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM 4 1.1. TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Định nghĩa tập lồi, bao lồi và nón lồi . . . . . . . 4 1.1.2. Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Các phép toán bảo toàn tập lồi . . . . . . . . . . 8 1.2. HÀM LỒI (LỒI CHẶT) VÀ HÀM LÕM (LÕM CHẶT) . 8 1.2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3. Hàm lồi khả vi và cách nhận biết hàm lồi . . . . . 15 1.2.4. Các phép toán bảo toàn hàm lồi . . . . . . . . . . 17 Chương 2. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY RỘNG 21 2.1. HÀM TỰA LỒI VÀ HÀM TỰA LÕM . . . . . . . . . . 21 2.2. HÀM GIẢ LỒI VÀ HÀM GIẢ LÕM . . . . . . . . . . . 27 2.3. HÀM LỒI TẠI MỘT ĐIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. HÀM PHÂN THỨC AFIN . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. HÀM LÔGA-LỒI VÀ HÀM LÔGA-LÕM . . . . . . . . . 33 Chương 3. CỰC TRỊ CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY RỘNG 36 3.1. CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC . . . . . . . 36 3.2. CỰC TIỂU HÀM LỒI (CỰC ĐẠI HÀM LÕM) . . . . . 37 3.3. BÀI TOÁN TỐI ƯU TỰA LỒI . . . . . . . . . . . . . . 41 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 Lời nói đầu Hàm lồi và hàm lõm có nhiều tính chất đặc biệt, đáng chú ý và được sử dụng nhiều trong lý thuyết và ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong giải tích lồi và tối ưu hóa. Chẳng hạn, cực tiểu địa phương của một hàm lồi trên một tập lồi luôn là cực tiểu toàn cục, hàm lồi khả vi đạt cực tiểu tự do tại điểm có đạo hàm bằng 0 hay hàm lồi đạt cực đại tại một đỉnh của tập lồi đa diện Một số hàm lồi suy rộng cũng có các tính chất tương tự. Vì thế hàm lồi và hàm lồi suy rộng là chủ đề hấp dẫn và luôn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu và trình bày các khái niệm và kết quả chính liên quan đến chủ đề về các hàm lồi, lõm và các hàm lồi, lõm suy rộng: hàm tựa lồi, tựa lõm (tựa lồi chặt, tựa lồi mạnh, tựa lõm chặt), giả lồi, giả lõm, giả lồi chặt, hàm lồi tại một điểm, hàm phân thức afin, các tính chất đáng chú ý của chúng, đặc biệt là tính chất cực trị và mối quan hệ giữa các hàm này. Các tính chất của hàm lồi và hàm lồi suy rộng hay được dùng trong thiết lập các điều kiện tối ưu và trong xây dựng các lược đồ tính toán giải các bài toán tối ưu có chứa các hàm lồi và hàm lõm. Luận văn được viết thành ba chương. Chương 1 “Hàm lồi và hàm lõm” nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập lồi, tập lồi đa diện và các phép toán bảo toàn tập lồi. Tiếp theo tập trung trình bày khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và một số tính chất cơ bản như tính liên tục, đạo hàm theo hướng, dưới vi phân của hàm lồi, hàm liên hợp, dấu hiệu nhận biết hàm lồi và các phép toán bảo toàn hàm lồi, cho phép từ các hàm lồi đã có tạo ra nhiều hàm lồi mới. Nội dung trình bày trong chương được minh họa bằng nhiều ví dụ và hình vẽ cụ thể, cung cấp thêm các thông tin cần thiết giúp hiểu rõ hơn về tập lồi và hàm lồi. Chương 2 “Hàm lồi (lồi chặt) và hàm lõm (lõm chặt)” trình bày một số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng và các tính chất đáng chú ý của chúng. Hàm tựa lồi (tựa lõm) là mở rộng trực tiếp của hàm lồi (hàm lõm). 3 Đáng chú ý là hàm tựa lồi khi và chỉ khi mọi tập mức dưới của nó là lồi. Các hàm tựa lồi chặt (tựa lõm chặt) có vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu phi tuyến, bởi vì cực tiểu địa phương của hàm tựa lồi chặt (cực đại địa phương của hàm tựa lõm chặt) trên một tập lồi là cực tiểu (cực đại) toàn cục. Hàm tựa lồi chặt là tựa lồi nếu nó nửa liên tục dưới. Hàm giả lồi giống hàm lồi ở chỗ nếu ∇f(¯x) = 0 tại ¯x nào đó thì ¯x là cực tiểu toàn cục của hàm. Chú ý là hàm giả lồi vừa tựa lồi chặt vừa tựa lồi và hàm giả lồi chặt là hàm tựa lồi mạnh. Hàm phân thức afin vừa giả lồi vừa giả lõm. Trong một số trường hợp, hàm lồi có thể thay bằng hàm lồi tại một điểm. Các hàm lôga-lồi, lôga-lõm thường gặp trong lý thuyết xác suất và trong các nghiên cứu kinh tế cũng được đề cập tới ở chương này. Chương 3 "Cực trị của hàm lồi và hàm lõm suy rộng" trình bày tóm tắt những tính chất cực trị đáng chú ý của các hàm lồi và hàm lõm suy rộng, tương tự như các tính chất đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi chặt. Chẳng hạn, mọi cực tiểu địa phương của hàm tựa lồi chặt đều là cực tiểu toàn cục, cực tiểu của hàm tựa lồi mạnh là duy nhất, cực đại của hàm tựa lồi liên tục trên đa diện lồi (nếu có) đạt được tại một đỉnh của đa diện đó. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin, Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, trường THPT Hoàng Văn Thụ và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành bản luận văn này. Thái Nguyên, 2014. Tác giả Nguyễn Thị Hải Đường 4 Chương 1 HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập lồi, tập lồi đa diện và các phép toán bảo toàn tập lồi. Tiếp theo tập trung trình bày khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và một số tính chất cơ bản như tính liên tục, đạo hàm theo hướng, dưới vi phân của hàm lồi, hàm liên hợp, dấu hiệu nhận biết hàm lồi và các phép toán bảo toàn hàm lồi, cho phép từ các hàm lồi đã có tạo ra nhièu hàm lồi mới. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [4], [6] và [7]. 1.1. TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.1.1. Định nghĩa tập lồi, bao lồi và nón lồi Tập lồi là một khái niệm quan trọng được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết tối ưu. Tập lồi có nhiều tính chất đáng chú ý, đặc biệt là tập lồi đa diện. Định nghĩa 1.1. Tập con C trong R n được gọi là một tập lồi nếu nó chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Nói cách khác, C là tập lồi nếu (1 −λ) a + λb ∈ C với mọi a, b ∈ C và mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Nói riêng, tập ∅ (không chứa phần tử nào), tập gồm duy nhất một phần tử và toàn bộ không gian R n đều là các tập lồi. Hình 1.1 Tập A lồi. Tập B không lồi Sau đây là một số tập lồi đáng chú ý: a) Tập afin là tập chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ thuộc nó. 5 b) Siêu phẳng là tập có dạng H =  x ∈ R n : a T x = α, a ∈ R\{0}, α ∈ R  . c) Nửa không gian đóng H 1 =  x ∈ R n : a T x ≤ α  , H 2 =  x ∈ R n : a T x ≥ α  . d) Nửa không gian mở K 1 =  x ∈ R n : a T x < α  , K 2 =  x ∈ R n : a T x > α  . e) Hình cầu đóng B (a, r) = {x ∈ R n : x −a ≤ r}, a ∈ R n , r > 0 cho trước. f) Tập lồi đa diện D = {x ∈ R n : Ax ≤ b}, trong đó A ∈ R m×n , b ∈ R m . g) Nón lồi đa diện K = {x ∈ R n : Ax ≤ 0}, trong đó A ∈ R m×n , 0 ∈ R m . Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau: a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi. b) Tổng, hiệu của hai tập lồi cũng là tập lồi C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D}. c) Nếu C ⊂ R m , D ⊂ R n thì tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} là một tập lồi trong R m×n . (Có thể mở rộng cho tích của nhiều tập lồi). d) Tập M là một tập afin khi và chỉ khi M = a + L với a ∈ M và L là một không gian con, gọi là không gian con song song với M. Khái niệm tương đương: M là một tập afin khi và chỉ khi M là tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tức có biểu diễn M =  x ∈ R n : Ax = b, A ∈ R m×n , b ∈ R m  . Giao của một họ bất kỳ các tập afin cũng là một tập afin. 6 Định nghĩa 1.2. a) Điểm x ∈ R n có dạng x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ k a k với a i ∈ R n , λ i ≥ 0, λ 1 + λ 2 + + λ k = 1, gọi là một tổ hợp lồi của các điểm a 1 , a 2 , , a k . b) Điểm x ∈ R n có dạng x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ k a k với a i ∈ R n , λ 1 + λ 2 + + λ k = 1, gọi là một tổ hợp afin của các điểm a 1 , a 2 , , a k . c) Điểm x ∈ R n có dạng x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ k a k với a i ∈ R n , λ i ≥ 0, gọi là một tổ hợp tuyến tính không âm hay tổ hợp nón của các điểm a 1 , a 2 , , a k . Định nghĩa 1.3. Cho E là một tập bất kỳ trong R n . a) Giao của mọi tập afin chứa E gọi là bao afin của E, ký hiệu affE. Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E. b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi (convex hull) của E, ký hiệu là convE. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E. Định nghĩa 1.4. Một tập con K của R n được gọi là một nón hay tập nón (mũi tại 0) nếu với mọi x ∈ K và mọi λ > 0 thì λx ∈ K . Nón K được gọi là một nón lồi (convex cone) nếu K là tập lồi. 1.1.2. Tập lồi đa diện Tập lồi đa diện là một dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản và rất hay gặp trong lý thuyết tối ưu. Định nghĩa 1.5. Một tập là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng gọi là một tập lồi đa diện (polyhedral convex set). Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính: a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n ≤ b i , i = 1, 2, , m nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với A = (a ij ) ∈ R m×n , b = (b 1 , , b m ) T . Nhận xét 1.1. Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng hai bất phương trình tuyến tính nên tập nghiệm của một hệ (hữu hạn) phương trình và bất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện: Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn (không giới nội). Một tập lồi đa diện bị chặn (giới nội) còn được gọi là một đa diện lồi (polytope). 7 Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường trong R 2 là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi. Hình 1.2 Tập lồi đa diện Ta nhắc lại khái niệm điểm cực biên và phương cực biên của tập lồi C: • x 0 ∈ C là điểm cực biên (extreme point) của C nếu không tồn tại x 1 , x 2 ∈ C  x 1 = x 0 , x 2 = x 0  và λ ∈ (0, 1) sao cho x 0 = λx 1 + (1 − λ) x 2 . Nói cách khác, điểm cực biên của một tập lồi là những điểm không nằm ở trong đoạn thẳng nối hai điểm khác bất kỳ thuộc tập đó. • Một phương vô hạn của C gọi là một phương cực biên (extreme direction) của C nếu nó không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính dương của hai phương vô hạn khác của C. Như vậy, nếu d 0 ∈ R n là phương cực biên của C thì không thể có d 0 = λ 1 d 1 + λ 2 d 2 với λ 1 , λ 2 > 0 và d 1 = d 0 , d 2 = d 0 là hai phương vô hạn của C . Khi C là một tập lồi đa diện thì điểm cực biên của C gọi là một đỉnh (vertex) của C và véc tơ chỉ phương của một cạnh vô hạn (unbounded edge) của C là một phương cực biên của C. Cho D = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0}, tức D là tập nghiệm không âm của một hệ phương trình tuyến tính. Theo định nghĩa, D là một tập lồi đa diện. Tập này không chứa trọn đường thẳng nào (do x ≥ 0) nên D có đỉnh. Các phương cực biên (đã chuẩn hóa) của D là các nghiệm cơ sở của hệ Ay = 0, e T y = 1, y ≥ 0, trong đó e = (1, , 1) T . Ta có định lý biểu diễn sau đây, thường được dùng trong các chứng minh. Định lý 1.1. ([2], tr. 62). Mỗi điểm của tập lồi đa diện D = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0} có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của một tập hữu hạn các đỉnh của D cộng với một tổ hợp tuyến tính không 8 âm của một tập hữu hạn các phương cực biên của D. 1.1.3. Các phép toán bảo toàn tập lồi Các qui tắc thực tiễn để xác minh tính lồi của tập C: 1. Sử dụng định nghĩa: x 1 , x 2 ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ (1 −λ) x 1 + λx 2 ∈ C. 2. Chỉ ra rằng C nhận được từ các tập lồi đơn giản (siêu phẳng, nửa không gian, hình cầu đơn vị ) bằng các phép toán bảo toàn tính lồi như phép giao, ảnh qua các hàm afin (affine function), hàm phối cảnh (perspective function), các hàm phân tuyến tính (linear-fractional function). Việc làm này dựa trên các tính chất sau của tập lồi. a) Giao của một số bất kỳ các tập lồi là một tập lồi. b) Với f : R n → R m là hàm afin (hàm phối cảnh hay hàm phân tuyến tính) thì ảnh và ảnh ngược của một tập lồi qua biến đổi f là một tập lồi. Cụ thể là C ⊆ R n lồi ⇒ f (C) = {f (x) : x ∈ C} ⊆ R m lồi, D ⊆ R m lồi ⇒ f −1 (D) = {x ∈ R n : f (x) ∈ D} ⊆ R n lồi. Để tiện theo dõi, ta nêu lại khái niệm về các hàm này. • f : R n → R m là hàm afin khi f (x) = Ax + b với A ∈ R m×n , b ∈ R m . Để ý là phép đổi tỷ xích, phép tịnh tiến hay phép chiếu đều được xác định bởi hàm afin. • Hàm phối cảnh f : R n+1 → R n được xác định theo công thức f (x, t) = x/t với x ∈ R n và t > 0 • Hàm phân tuyến tính f : R n → R m là hàm có dạng f (x) = Ax + b c T x + d với x ∈ R n và c T x + d > 0. Chẳng hạn hàm phân tuyến tính trên R 2 f (x) = 1 x 1 + x 2 + 1 x, với x 1 + x 2 + 1 > 0. 1.2. HÀM LỒI (LỒI CHẶT) VÀ HÀM LÕM (LÕM CHẶT) 1.2.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.6. a) Hàm f : C → [−∞, +∞] xác định trên một tập lồi C ⊆ R n gọi là một hàm lồi trên C nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ C và mọi [...]... bày các phép toán bảo toàn hàm lồi 21 Chương 2 HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY RỘNG Chương này trình bày một số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng: hàm tựa lồi, tựa lõm (tựa lồi chặt, tựa lồi mạnh, tựa lõm chặt), hàm giả lồi, giả lõm, giả lồi chặt, hàm lồi tại một điểm, hàm phân thức afin, hàm lôga -lồi, lôga-lõm, cùng với các tính chất đáng chú ý của các hàm này và mối quan hệ giữa chúng Nội dung của chương được... bản về tập lồi, tập lồi đa diện và các phép toán bảo toàn tập lồi Nội dung chính của chương tập trung trình bày khái niệm hàm lồi, hàm lõm và các tính chất cơ bản của các hàm này như tính liên tục, đạo hàm theo hướng, dưới vi phân của hàm lồi, hàm liên hợp, hàm lồi khả vi và các tính chất đặc trưng của hàm lồi khả vi, giúp nhận biết các hàm lồi Cuối chương trình bày các phép toán bảo toàn hàm lồi 21... các hàm lồi chặt, hàm tựa lồi, hàm tựa lồi chặt và hàm tựa lồi mạnh suy ra các mệnh đề sau đây (xem Hình 2.4): 1 Mọi hàm lồi chặt là tựa lồi mạnh 2 Mọi hàm tựa lồi mạnh là tựa lồi chặt 3 Mọi hàm tựa lồi mạnh là tựa lồi, ngay cả khi không có giả thiết nửa liên tục dưới Hình 2.2a đã vẽ ở trên minh họa hàm vừa tựa lồi chặt vừa tựa lồi mạnh, còn Hình 2.2b minh họa hàm tựa lồi chặt nhưng không tựa lồi mạnh... về hàm tựa lồi và tựa lõm 22 Hình 2.1 a) Hàm tựa lồi b) Hàm tựa lõm c) Hàm không tựa lồi, tựa lõm d) Hàm tựa đơn điệu Ví dụ 2.1 (về hàm tựa lồi, tựa lõm và tựa đơn điệu): a) |x| là hàm tựa lồi, f (x) = x3 là hàm tựa đơn điệu trên R b) ceil(x) = inf {z ∈ Z (số nguyên) : z ≥ x} là hàm tựa đơn điệu trên R c) log x là hàm tựa đơn điệu trên R++ d) f (x1 , x2 ) = x1 x2 là hàm tựa lõm trên R2 ++ e) Hàm. .. trị hàm này không giảm theo hướng đó Hình 2.3 cho một vài ví dụ về hàm giả lồi, giả lõm Hình 2.3 a) Hàm giả lồi b) Hàm vừa giả lồi vừa giả lõm c) Hàm không giả lồi, không giả lõm Định lý 2.4 ([4], tr 143) Giả sử S là một tập lồi mở, khác rỗng trong Rn và f : S → R là một hàm giả lồi (khả vi) trên S Khi đó, f vừa là hàm tựa lồi chặt vừa là hàm tựa lồi Chứng minh Trước tiên ta chỉ ra f là hàm tựa lồi. .. đó, hàm f lồi nếu g lồi, h lồi không giảm, hoặc g lõm, h lồi không tăng Chứng minh cho trường hợp n = 1 và g, h khả vi: f (x) = h (g (x)) × g (x)2 + h (g (x)) × g (x) Chẳng hạn, eg(x) là hàm lồi nếu g(x) lồi và 1/g(x) là hàm lồi nếu g(x) lõm và g(x) > 0 19 f) Hàm hợp véctơ: hợp của g : Rn → Rk và h : Rk → R: f (x) = h (g (x)) = h (g1 (x) , g2 (x) , , gk (x)) Khi đó, hàm f lồi nếu g lồi, h lồi không... có nghĩa) b) Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên C nếu với mọi x1 , x2 ∈ C, x1 = x2 , và mọi số thực λ ∈ (0, 1) ta có f λx1 + (1 − λ) x2 < λf x1 + (1 − λ) f x2 Hiển nhiên, một hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại không đúng Định nghĩa 1.7 a) Hàm f gọi là hàm lõm (hàm lõm chặt) trên C nếu −f là hàm lồi (hàm lồi chặt) trên C b) Hàm f gọi là hàm tuyến tính afin (hay đơn giản là hàm afin) trên... hàm mật độ xác suất lôga-lõm thì f (x) = prob(x + y ∈ C) là hàm lôga lõm Tóm lại, chương này đã giới thiệu một số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng và các tính chất của chúng Đáng chú ý là hàm tựa lồi khi và chỉ khi mọi tập mức dưới của nó là lồi (Định lý 2.1), hàm tựa lồi chặt là tựa lồi nếu nó nửa liên tục dưới (Định lý 2.3), hàm giả lồi vừa tựa lồi chặt ... 2 xT Qx = 2 y T Q−1 y x 1.2.3 Hàm lồi khả vi và cách nhận biết hàm lồi Mục này đề cập tới các hàm lồi, hàm lõm khả vi Trước hết, với hàm một biến số ta chú ý đến kết quả sau (xem [7], tr 44) Định lý 1.8 ([7], tr 44) Hàm khả vi ϕ (t) là lồi trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi đạo hàm ϕ (t) là một hàm không giảm Hàm hai lần khả vi ϕ (t) là lồi trên (a, b) khi và chỉ khi đạo hàm bậc hai ϕ (t) không âm trên... các hàm lồi khả vi Định lý 1.11 ([4], tr 111) Cho một tập lồimở khác rỗng C ⊆ Rn và một hàm f : C → R khả vi trên C: a) Hàm f lồi trên C khi và chỉ khi [ f (y) − f (x)]T (y − x) ≥ 0, ∀x, y ∈ C b) Tương tự, hàm f lồi chặt trên C khi và chỉ khi [ f (y) − f (x)]T (y − x) > 0 với mọi x, y ∈ C, x = y 17 Mặc dù các Định lý 1.10 và 1.11 cho các đặc trưng cần và đủ của các hàm lồi và lồi chặt, nhưng về mặt tính . các hàm lồi, lõm và các hàm lồi, lõm suy rộng: hàm tựa lồi, tựa lõm (tựa lồi chặt, tựa lồi mạnh, tựa lõm chặt), giả lồi, giả lõm, giả lồi chặt, hàm lồi tại một điểm, hàm phân thức afin, các tính. tập lồi và hàm lồi. Chương 2 Hàm lồi (lồi chặt) và hàm lõm (lõm chặt)” trình bày một số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng và các tính chất đáng chú ý của chúng. Hàm tựa lồi (tựa lõm) là mở rộng. 12 1.2.3. Hàm lồi khả vi và cách nhận biết hàm lồi . . . . . 15 1.2.4. Các phép toán bảo toàn hàm lồi . . . . . . . . . . 17 Chương 2. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY RỘNG 21 2.1. HÀM TỰA LỒI VÀ HÀM TỰA