®¹i häc th¸i nguyªn Tr-êng ®¹i häc khoa häc VŨ VĂN CÔNG MỘT CẢI TIẾN CÁCH CHỌN VÉC TƠ ĐƯA VÀO CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP NÓN XOAY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC th¸i nguyªn - n¨m 2014 ®¹i häc th¸i nguyªn Tr-êng ®¹i häc KHOA HäC VŨ VĂN CÔNG [ MỘT CẢI TIẾN CÁCH CHỌN VÉC TƠ ĐƯA VÀO CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP NÓN XOAY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên, 2014 1 Mục lục Mục lục 1 Mở đầu 2 Chương 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính và phương pháp giải 4 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 4 1.1. Dạng chuẩn và dạng chính tắc 5 1.2. Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chuẩn hoặc chính tắc 5 2. Phương pháp đơn hình và phương pháp nón xoay 7 2.1. Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT dạng chính tắc 7 2.2. Phương pháp nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính 11 2.2.1. Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính 11 2.2.2. Khái niệm về cạnh của nón đơn hình 11 2.2.3. Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh ra từ nón M 14 2.2.4. §Þnh nghÜa Nón cực tiểu (Nón-min) 17 2.3. Phương pháp nón xoay tuyến tính 18 2.3.1. Thuật toán nón xoay tuyến tính 19 2.3.2. Bảng lặp giải bài toán qui hoạch tuyến tính bởi thuật toán nón xoay tuyến tính và ví dụ minh hoạ 21 Chương 2 Một cách chọn véc tơ đưa vào cơ sở 26 2.1. Lựa chọn chỉ số đưa vào cơ sở 26 2.2. Ví dụ bằng số minh hoạ 30 Tài liệu tham khảo 32 2 Mở đầu Như chúng ta đã biết, bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) có hai dạng cơ bản là dạng chuẩn và dạng chính tắc, hai dạng này có quan hệ mật thiết với nhau. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn là bài toán có miền ràng buộc là một hệ bất phương trình tuyến tính, còn bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán quy hoạch có miền ràng buộc là một hệ phương trình tuyến tính với các biến của nó có dấu không âm. Trong thế kỷ trước, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, lý thuyết tối ưu đã có những bước tiến lớn, trong đó phải nói đến các phương pháp và các thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính, gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học như L.V. Kantorovich (1939), George Dantzig (1947), Lemke (1954), Leonid Khachian (1979), Karmarkar (1984), Nội dung của luận văn là đề nghị một quy tắc chọn chỉ số đưa vào cơ sở trong thuật toán nón xoay tuyến tính trình bày ở cuốn sách [5] giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính. Cụ thể là chúng ta đề nghị một quy tắc chọn chỉ số ràng buộc đưa vào cơ sở mới thay cho cơ sở cũ làm cho số bước lặp đi tới lời giải là giảm đi. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát và hai dạng cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính là dạng chính tắc và dạng chuẩn với hai phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính là phương pháp đơn hình và phương pháp nón xoay. Chương 2: Nội dung dựa trên phương pháp nón xoay tuyến tính trình bày trong chương 1, đề nghị một quy tắc MAX giải bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính và ví dụ bằng số minh họa. 3 Luận văn này hoàn thành dựa trên cuốn sách “Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay” [5] và trên các sách, tài liệu có trong phần tài liệu tham khảo. Tác giả Vũ Văn Công 4 Chương 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính và phương pháp giải Trong chương này chúng tôi trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát và hai dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính là dạng chính tắc và dạng chuẩn. Sau đó trình bày phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc và phương pháp nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính. 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát Để nhất quán lập luận ta xét bài toán tìm cực đại, sau đó ta sẽ xét cách chuyển bài toán tìm cực tiểu sang tìm cực đại. Bài toán tổng quát của quy hoạch tuyến tính có dạng: 1 ( ) , . ax n i i i f x C x c x m = =< >= → ∑ (1.1) 1 . ( , , ) , 1,2, , = ≤ = ≥ = ∑ n ij j i j a x b i m (1.2) 0, 1,2, , . j x j n ≥ = (1.3) Nếu gặp bài toán Min, tức là: 1 ( ) min n j j j f x c x = = → ∑ x D ∈ Thì giữ nguyên ràng buộc và đưa về bài toán Max bằng cách: 1 ( ) ax n j j j f x c x m = = − → ∑ x D ∈ Nếu bài toán Max có phương án tối ưu là * x thì bài toán Min cũng có phương án là * x và min ax m f f = − . Thật vậy, vì * x là phương án tối ưu của bài toán Max nên ta có: 5 * ax 1 1 , n n m j j j j j j f c x c x x D = = = − ≥ − ∀ ∈ ∑ ∑ Hay * 1 1 , n n j j j j j j c x c x x D = = ≤ ∀ ∈ ∑ ∑ Chứng tỏ * x là phương án tối ưu của bài toán Min và * min ax 1 n j j m j f c x f = = = − ∑ . 1.1. Dạng chuẩn và dạng chính tắc Người ta thường xét bài toán quy hoạch tuyến tính dưới hai dạng sau: • Dạng chuẩn: 1 ax n j j j c x m = → ∑ ij 1 , 1, , 0, 1, , n j i j j a x b i m x j n = ≤ = ≥ = ∑ • Dạng chính tắc: 1 ax n j j j c x m = → ∑ ij 1 , 1, , 0, 1, , n j j j j a x b i m x j n = = = ≥ = ∑ 1.2. Đưa bài toán QHTT về dạng chuẩn hoặc chính tắc Bất kỳ quy hoạch tuyến tính nào cũng có thể đưa về một trong hai dạng chuẩn hoặc chính tắc nhờ phép biến đổi tuyến tính sau: 1. Một ràng buộc 6 ij 1 n i j a b = ≥ ∑ Có thể đưa về ràng buộc: ij 1 n j i j a x b = − ≤ − ∑ , bằng cách nhân hai vế với (-1) và viết lại ' ' ij 1 . = ≤ ∑ n j i j a x b 2. Một ràng buộc đẳng thức ij 1 n j i j a x b = = ∑ Có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức: ij ij 1 1 ; . = = ≤ − ≤ − ∑ ∑ n n j i j i j j a x b a x b 3. Một biến j x không bị ràng buộc dấu có thể thay bởi hiệu của hai biến không âm bằng cách đặt: j j j x x x + − = − với 0, 0 . + − ≥ ≥ j j x x 4. Một ràng buộc bất đẳng thức ij 1 n j i j a x b = ≤ ∑ Có thể đưa về ràng buộc đẳng thức bằng cách đưa vào biến phụ 0 i y ≥ : ij 1 . = + = ∑ n j i i j a x y b Về nguyên tắc, áp dụng nhiều lần các phép biến đổi 1, 2 và 3 ta có thể đưa một bài toán quy hoạch tuyến tính bất kỳ về dạng chuẩn, sau đó áp dụng nhiều lần phép biến đổi 4 ta sẽ đưa nó về dạng chính tắc. 7 2. Phương pháp đơn hình và phương pháp nón xoay Trong mục này chúng tôi trình bày sơ lược về phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc và phương pháp nón xoay [5] giải bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính. 2.1. Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT dạng chính tắc Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT dạng chính tắc do nhà toán học Dantzig người Mỹ đề xuất năm 1947, sau đây chúng tôi xin tóm tắt sơ lược phương pháp này. Xét bài toán QHTT dạng chính tắc sau: , ax c x m < >→ (1.4) Ax b = (1.5) 0 x ≥ (1.6) Trong đó A là ma trận kích thước m.n, với m ≤ n và hạng của ma trận A bằng m. Cơ sở của thuật toán đơn hình chúng ta có thể xem trong sách [3]. Để ngắn gọn chúng tôi chỉ trình bày tóm tắt các bước giải của thuật toán đơn hình dưới đây như sau: Thuật toán đơn hình Bước 1: Xây dựng bảng đơn hình xuất phát. Tìm một phương án cực biên xuất phát x và cơ sở của nó , j A j J ∈  Xác định các số jk z bởi hệ phương trình: jk j k j J z A A ∈ = ∑ (1.7)  Đối với mỗi k J ∉ , tính các ước lượng: k jk j k j J z c c ∈ ∆ = − ∑ (1.8) Còn với 0 j ≠ thì 0 j ∆ = . 8  Tính giá trị hàm mục tiêu 0 . ∈ = ∑ j j j J Z c x Bước 2: Kiểm tra tối ưu Nếu 0, k k J ∆ ≥ ∉ thì x là phương án tối ưu, dừng thuật toán. Trái lại, chuyển sang bước 3. Bước 3: Tìm véctơ đưa vào cơ sở . Có hai khả năng xảy ra:  Tồn tại k J ∉ sao cho 0 k ∆ < và 0, jk z j J ≤ ∈ thì bài toán QHTT không có lời giải tối ưu (Z không bị chặn trên). Dừng thuật toán.  Đối với mỗi k J ∉ sao cho 0 k ∆ < đều tồn tại : 0 jk j J z ∈ > . Khi đó chọn chỉ số s theo tiêu chuẩn: { } min / 0 s k k ∆ = ∆ ∆ < (1.9) Đưa véctơ s A vào cơ sở. Bước 4: Tìm véctơ loại khỏi cơ sở. Xác định s s min / 0 j r r jk r r x x z z z θ   = > =     (1.10) Và đưa véctơ r A ra khỏi cơ sở. Bước 5: Chuyển sang phương án cực biên mới và cơ sở mới. Cơ sở mới là { } ' , j A j J ∈ với { } { } ' \ J J r s = ∪ . ' j J ∀ ∈ các thành phần của phương án cực biên mới ' x được tính theo công thức: − ≠  =  =  ' ( / ) , / , j r rs js j r rs x x z z nÕu j s x x z nÕu j s (1.11) Khai triển của các véctơ k A theo các véctơ cơ sở mới được tính theo công thức (1.12). Quay lên bước 2. [...]... thấy nón xoay Mk+1 đợc xây dựng (trong thu t toỏn) sinh ra t nún-min Mk vẫn l một nón - min của b i toán (L) 2) Sự lựa chọn ch s a vo sk = min{j: j J+(xk)} v ch s a ra rk = min{v: v Vks } sẽ l m cho thuận toán đề nghị trên kết thúc sau một số hữu hạn bớc lặp (không xảy ra xoay vòng) Điều n y đợc ch ng minh bởi định lý 2.9 d i õy 3) Cụng th c (2.25) g i l cụng th c xoay c s v ph n t c g i l ph n t xoay, ... chuẩn bị (b c 0) Gi s ta ó bi t M0 l nón - min của b i toán (L) v i t p ch s c s l I0:={ i10 , i20 , , in0 }, x0 = x M l đỉnh của M0 v các véctơ 0 i i chỉ phơng c a cỏc c nh i c a nún M0 l z0 = zM (i I0) 0 Bớc k ( k=0, 1, 2, ) Giả sử Mk l nún c c ti u (nún min) của b i toán (L) (đ đợc xây dựng), v i tập chỉ số c s , đỉnh v các véctơ chỉ phơng c a i cỏc c nh c a nún Mk tơng ứng l Ik:= {i1k , i2k , , ink... a hm f(x) = 2.2.4 Định nghĩa Nún c c ti u (Nún-min) Nón đơn hình tuyến tính M với đỉnh l xM đợc gọi l nún c c ti u (nún min) của hm f(x)= c a bi toỏn (L) nếu f(xM) f(x) , x M Ta nói M l một nón - min của b i toán (L) khi M l m t nún min c a hm m c tiờu f c a bi toỏn (L) Gi s M l m t nún n hỡnh xỏc nh t h (2.1) nh l xM, với véc tơ i ch phng c a c nh i l zM (i I), xác định bởi (2.4), ta... bi toỏn (L) thỡ nón M(r,s) xỏc nh t (2.13) cng l một nún c c ti u (nún min) c a hm m c tiờu b i toán (L) Chứng minh (xem [5]) nh x M ( r , s ) c a nún xoay M(r,s) cũn cú th xỏc nh cụng th c sau õy khi bi t cỏc vộct ch phng cỏc c nh c a nún xoay M(r,s): x M ( r ,s ) = i bi z M ( r , s ) (2.20) iI ( r , s ) Dới đây chúng ta sẽ xõy d ng thu t toỏn nún xoay giải b i toán (L) dựa vo cơ sở lý thuy t trỡnh... l : r xM(r,s) =x r = xM + r zM trong đó r xác định từ (2.11) (2.14) Đỉnh xr thoả m n: + bi = 0 i I(r,s) = (I {s}\{r}) Tập chỉ số cơ sở mới I(r,s) nhận đợc từ tập chỉ số cơ sở cũ I bằng cách loại chỉ số r ra khỏi tập cơ sở cũ, đa chỉ số s v o thay Ta núi nún xoay M(r,s) sinh ra t nún M 15 2.1 H Ai v i i I(r,s) l m t h B c l p tuy n tớnh Ch ng minh Th t v y, n u ng c l i h Ai v i i I(r,s) l... V s }) s kết thúc sau một số hữu hạn bớc lặp v k cho ta lời giải của b i toán (L), hoặc phát hiện ra miền r ng buộc PL của b i toán (L) l rỗng Ch ng minh nh lý ny cú th tỡm th y trong [5] Nm 1977 RG Bland ó xu t qui t c trỏnh xoay vũng tng t nh trờn cho vi c gi i bi toỏn qui ho ch tuy n tớnh d ng chớnh t c 2.3.2 B ng l p gi i bi toỏn qui ho ch tuy n tớnh b i thu t toỏn nún xoay tuy n tớnh v vớ d minh... mi n rng bu c PL c a bi toỏn quy ho ch tuy n tớnh bao gi cng cú rng bu c v d u c a bi n x 2.2.1 Khỏi ni m v nún n hỡnh tuy n tớnh Xột t p M đợc xác định từ n r ng buộc tuyến tính n o đó của PL , cụ thể l : M:={x Rn : + bi 0 i I} Trong đó I:= {i1 , i2 , , in } {1, 2, , m}, /I/ = n ( (2.1) õy /I/ l s o hay l s ph n t c a t p I) v Ai v i i I l một h độc lập tuyến tính T p M g i l nún n hỡnh... = r iAi => < As, zM >=< iI \{ r } r iAi, zM >= iI \{ r } r i=0 iI \{ r } i u ny mõu thu n v i 0 (vỡ r I ) s B r M s ny cho ta th y nún xoay M(r,s) v n l m t nún n hỡnh i Các véctơ chỉ phơng zM ( r ,s ) , i I(r,s) của nón xoay m i M(r,s) đợc xác định từ (2.4) với tập chỉ số c s mới I(r,s), ho c xác định t m t trong cỏc i r công thức đơn giản d i õy theo cỏc xi, xr, zM , zM (xỏc... tiờu v ta cú: f ( x ) f ( x ), k = 1, 2, Sự lựa chọn sk = min{j: j J+(xk)} v rk(sk)= min{v: v V s }( ho c sk = k max{j: j J+(xk)} v rk(sk) = max{v: v V s }) sẽ l m cho thuận toán đề nghị k trên kết thúc sau một số hữu hạn bớc lặp (không xảy ra xoay vòng) Điều n y đợc chứng minh bởi định lý sau Định lý 2.9 Gi i bi toỏn (L) theo thuật toán nún xoay v i ch s ch n a vo c s l sk = min{j: j J+(xk)}... bi toỏn (L) có ít nhất một điểm chấp nhận đợc thì I +s l một tập khác rỗng 2.2.3 Khỏi ni m nún xoay M(r,s) sinh ra t nún M Gi s M l m t nún n hỡnh tuy n tớnh c a h rng bu c PL xỏc nh b i (2.1) v J+(xM)ỉ, khi ú v i m i r I s , tập hợp các điểm x thoả m n hệ bất đẳng thức: < i A , x > +bi 0, i I , i r s < A , x > +bs 0 (2.13) xác định một nón n hỡnh tuy n tớnh m i g i l nún xoay M(r,s), đỉnh l : . VĂN CÔNG [ MỘT CẢI TIẾN CÁCH CHỌN VÉC TƠ ĐƯA VÀO CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP NÓN XOAY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã. khoa häc VŨ VĂN CÔNG MỘT CẢI TIẾN CÁCH CHỌN VÉC TƠ ĐƯA VÀO CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP NÓN XOAY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC th¸i nguyªn - n¨m. nghÜa Nón cực tiểu (Nón- min) 17 2.3. Phương pháp nón xoay tuyến tính 18 2.3.1. Thuật toán nón xoay tuyến tính 19 2.3.2. Bảng lặp giải bài toán qui hoạch tuyến tính bởi thuật toán nón xoay tuyến