LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo) Ví dụ 1: Cho hàm số 2 1 , 1 − = − x y x có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3). Ví dụ 2: Cho hàm số 2 , 2 = − x y x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với 2 = AB OA Đ/s: d: x + y – 8 = 0 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 có đồ thị là (C m ); (m là tham s ố). Xác định m để (C m ) c ắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) t ại D và E vuông góc với nhau. Đ/s: 9 65 8 − =m Ví dụ 4: (Trích đề thi Đạ i h ọ c kh ố i A n ă m 2011) Cho hàm s ố 1 , 2 1 − + = − x y x có đồ th ị là (C). Ch ứ ng minh r ằ ng đườ ng th ẳ ng d: y = x + m luôn c ắ t đồ th ị (C) t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A, B v ớ i m ọ i giá tr ị c ủ a m. G ọ i k 1 ; k 2 là h ệ s ố góc c ủ a ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị (C) t ạ i A, B. Tìm k để t ổ ng 1 2 + k k đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Đ /s: ( ) 1 2 min 1; 2 = − + = − m k k BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hàm s ố 1 , 2 + = − x y x có đồ th ị là (C). G ọ i I là giao đ i ể m c ủ a hai ti ệ m c ậ n c ủ a đồ th ị (C). Tìm đ i ể m M trên đồ th ị sao cho ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng IM. Bài 2: Cho hàm s ố ( ) 2 1 , . 1 − = + x y C x Tìm đ i ể m M thu ộ c đồ th ị (C) để ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M v ớ i đườ ng th ẳ ng đ i qua M và giao đ i ể m hai đườ ng ti ệ m c ậ n có tích h ệ s ố góc b ằ ng − 9. Bài 3: Cho hàm s ố 3 2 2 3. = − + − y x x M ộ t đườ ng th ẳ ng d đ i qua M(1 ; −2) và có h ệ s ố góc k. a) Tìm k để đườ ng th ẳ ng d và đồ th ị hàm s ố đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k để ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị t ạ i hai đ i ể m A, B vuông góc v ớ i nhau. Bài 4: Cho hàm s ố 3 – 3 1 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d: y = mx + m + 3. Xác đị nh m để d c ắ t (C) t ạ i M(−2; 3), N, P sao cho các ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i N và P vuông góc v ớ i nhau. Bài 5: Cho hàm s ố 3 2 – 3 4 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d đ i qua A(2; 0) có h ệ s ố góc k. Xác đị nh k để d c ắ t (C) t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t A, B, C sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i B và C vuông góc v ớ i nhau. Bài 6: Cho hàm s ố 3 2 2 5 ( 1) (3 2) 3 3 = − + − + − − y x m x m x có đồ th ị ),( m C m là tham s ố . Tìm m để trên )( m C có hai đ i ể m phân bi ệ t 1 1 1 2 2 2 ( ; ), ( ; ) M x y M x y th ỏ a mãn 1 2 . 0 > x x và ti ế p tuy ế n c ủ a )( m C t ạ i m ỗ i đ i ể m đ ó vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng : 3 1 0. − + = d x y Bài 7: Cho hàm s ố 3 2 (1 2 ) (2 ) 2 = + − + − + + y x m x m x m (1) v ớ i m là tham s ố . Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết 1 cos α . 26 = Bài 8: Cho hàm số 3 1 − = + x y x có đồ th ị là (C). Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị hàm s ố , bi ế t ti ế p tuy ế n đ ó c ắ t tr ụ c hoành t ạ i A, c ắ t tr ụ c tung t ạ i B sao cho OA = 4OB. Bài 9: Cho hàm s ố 3 2 ( ) 6 9 3 = = + + + y f x x x x (C). Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA OB 2011. = . Đ/s: 9 ; 6039. 2 = =k k HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ Bài 1: Cho hàm số 1 , 2 + = − x y x có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C). Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM. Ta có 2 1 2 3 3 3 1 2 2 2 ( 2) + − + ′ = = = + → = − − − − − x x y y x x x x G ọ i ( ) ( ) 3 3 ; 1 ;1 . 2 2   ∈ ⇒ = + → +   − −   o o o o o o M x y C y M x x x Ta có 2 1 lim 2 1 lim 1 2 → →∞ +  = ∞   −  +  =  −  x x x x x x , từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang. Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1).  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là ( ) 2 3 ( 2) ′ = = − − tt o o k y x x  Đườ ng th ẳ ng IM có h ệ s ố góc 2 3 1 1 2 3 2 ( 2)   − +   − −   = = = − − − o I M IM I M o o x y y k x x x x  Ti ế p tuy ế n t ạ i M vuông góc v ớ i đườ ng IM khi 2 2 3 3 . 1 . 1 ( 2) ( 2) = − ⇔ − = − − − tt IM o o k k x x 2 2 3 2 3 ( 2) 3 2 3 2 3   − = = + ⇔ − = ⇔ ⇔   − = − = −     o o o o o x x x x x + V ớ i ( ) 3 3 2 3 1 1 1 3 2 3;1 3 2 3 = + ⇒ = + = + = + → + + − o o o x y M x + V ớ i ( ) 3 3 2 3 1 1 1 3 2 3;1 3 2 3 = − ⇒ = + = + = − → − − − − o o o x y M x V ậ y có hai đ i ể m M th ỏ a mãn yêu c ầ u bài toán. Bài 2: Cho hàm s ố ( ) 2 1 , . 1 − = + x y C x Tìm đ i ể m M thu ộ c đồ th ị (C) để ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M v ớ i đườ ng th ẳ ng đ i qua M và giao đ i ể m hai đườ ng ti ệ m c ậ n có tích h ệ s ố góc b ằ ng − 9. H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ta có ( ) 2 3 . 1 ′ = + y x G ọ i ( ) 2 1 ; 1 −   ∈   +   a M a C a Ti ế p tuy ế n v ớ i (C) t ạ i M có h ệ s ố góc: ( ) 2 3 ( ) . 1 ′ = = + tt k y a a Giao đ i ể m hai đườ ng ti ệ m c ậ n I(−1; 2). LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 Đường thẳng IM có hệ số góc là ( ) 2 3 . 1 − − = = − + M I IM M I y y k x x a Theo bài ta có ( ) ( ) ( ) 4 2 2 0 3 3 . 9 . 9 1 1 2 1 1 =  − = − ⇔ = − ⇔ + = →  = − + +  tt IM a k k a a a a V ậ y có 2 đ i ể m M th ỏ a mãn đề bài là M(0; − 3), M( − 2; 5). Bài 3: Cho hàm s ố 3 2 2 3. = − + − y x x M ộ t đườ ng th ẳ ng d đ i qua M(1 ; −2) và có h ệ s ố góc k. a) Tìm k để đườ ng th ẳ ng d và đồ th ị hàm s ố đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k để ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị t ạ i hai đ i ể m A, B vuông góc v ớ i nhau. H ướ ng d ẫ n gi ả i : a) Đườ ng th ẳ ng d qua M(1 ; −2 ) và có h ệ s ố góc k nên có d ạ ng d : y = k(x − 1) − 2. Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a hai đồ th ị : 3 2 3 2 2 3 ( 1) 2 2 1 ( 1) − + − = − − ⇔ − + − = − x x k x x x k x 2 2 2 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 ( ) 1 0, (1) =  ⇔ − − + + = − ⇔  − + + = ⇔ = − + − =  x x x x k x x x k g x x x k Hai đồ th ị c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t khi (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t và khác 1. Ta có đ i ề u ki ệ n 5 0 1 4( 1) 0 4 (1) 0 (1) 1 0 1  ∆ > − − > <    ⇔ ⇔    ≠ = − ≠    ≠  k k g g k k V ậ y v ớ i 4 5 1  <    ≠  k k thì hai đồ th ị đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t, trong đ ó có đ i ể m M(1 ; −2). b) G ọ i A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) ⇒ x 1 ; x 2 là hai nghi ệ m c ủ a g(x) = 0, theo đị nh lí Vi-ét ta có 1 2 1 2 1 1 + =   = −  x x x x k Ti ế p tuy ế n t ạ i A, B l ầ n l ượ t có h ệ s ố góc là ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 3 4 3 4  ′ = = − +   ′ = = − +   A B k y x x x k y x x x Ti ế p tuy ế n t ạ i A và B vuông góc v ớ i nhau khi ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 . 1 3 4 3 4 1 = − ⇔ − + − + = − A B k k x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 12 16 1 9 1 12 1 16 1 1 9 14 14 0 ⇔ − + + = − ⇔ − − − + − = − ⇔ − + = x x x x x x x x k k k k k Ph ươ ng trình trên vô nghi ệ m, v ậ y không có giá tr ị k nào th ỏ a mãn yêu c ầ u bài toán. Bài 4: Cho hàm s ố 3 – 3 1 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d: y = mx + m + 3. Xác đị nh m để d c ắ t (C) t ạ i M(−2; 3), N, P sao cho các ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i N và P vuông góc v ớ i nhau. H ướ ng d ẫ n gi ả i : • Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a (C) và (d): 3 – ( 3) – – 2 0 + = x m x m 2 2 1 3 ( 1)( – – – 2) 0 ( ) 2 0 = − ⇒ =  ⇔ + = ⇔  = − − − =  x y x x x m g x x x m d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ( ) 9 1;3 , , , 0 4 M N P m m − ⇔ > − ≠ Khi đó x N ; x P là các nghiệm của phương trình 2 1 2 0 2 + =  − − − = ⇒  = − −  N P N P x x x x m x x m Hệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k 1 và k 2 thỏa mãn 2 1 2 2 3 3 3 3  = −  = −  N P k x k x Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi 2 1 2 3 2 2 3 . 1 9 18 1 0 3 2 2 3  − + =   = − ⇔ + + = ⇔ − −  =   m k k m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c 3 2 2 3 m − ± = là các giá tr ị c ầ n tìm. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 Bài 5: Cho hàm số 3 2 – 3 4 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d đ i qua A(2; 0) có h ệ s ố góc k. Xác đị nh k để d c ắ t (C) t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t A, B, C sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i B và C vuông góc v ớ i nhau. H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng (d): y = k(x − 2). Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a (C) và d: 3 2 2 3 4 ( 2) ( 2)( 2 ) 0 x x k x x x x k − + = − ⇔ − − − − = ( ) 2 2 ( ) 2 0, 1 A x x g x x x k = =  ⇔  = − − − =  Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 0 9 0 (2) 0 4 k f ∆ >  ⇔ ⇔ − < ≠  ≠  (*) Theo định lí Viet ta có: 1 2 M N M N x x x x k + =   = − −  Các ti ế p tuy ế n t ạ i M và N vuông góc v ớ i nhau khi ( ) ( ) . 1 . 1 M N M N x x k k y y ′ ′ = − ⇔ = − ⇔ 2 2 2 3 2 2 (3 6 )(3 6 ) 1 9 18 1 0 3 M M N N x x x x k k k − ± − − = − ⇔ + + = ⇔ = Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c 3 2 2 3 m − ± = là các giá tr ị c ầ n tìm. Bài 6: Cho hàm s ố 3 2 2 5 ( 1) (3 2) 3 3 = − + − + − − y x m x m x có đồ thị ),( m C m là tham số. Tìm m để trên )( m C có hai điểm phân biệt 1 1 1 2 2 2 ( ; ), ( ; ) M x y M x y thỏa mãn 1 2 . 0 > x x và tiếp tuyến của )( m C tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng : 3 1 0. − + = d x y Hướng dẫn giải: Ta có hệ số góc của 1 : 3 1 0 . 3 − + = ⇒ = d d x y k Do đó 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình ' 3 = − y , hay 2 2 2 2( 1) 3 2 3 2 2( 1) 3 1 0 − + − + − = − ⇔ − − − − = x m x m x m x m (1) Yêu c ầ u bài toán t ươ ng đươ ng v ớ i ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệ m 1 2 , x x th ỏ a mãn 1 2 0 > x x 2 3 ' ( 1) 2(3 1) 0 1 3 1 1 . 0 3 2  < −  ∆ = − + + >   ⇔ ⇔  − −  − < < − >     m m m m m V ậ y k ế t qu ả c ủ a bài toán là 3 < − m và 1 1 . 3 − < < − m Bài 7: Cho hàm s ố 3 2 (1 2 ) (2 ) 2 = + − + − + + y x m x m x m (1) v ớ i m là tham s ố . Tìm m để đồ th ị c ủ a hàm s ố (1) có ti ế p tuy ế n t ạ o v ớ i đườ ng th ẳ ng d: x + y + 7 = 0 góc α , bi ế t 1 cos α . 26 = H ướ ng d ẫ n gi ả i: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, suy ra tiếp tuyến có véctơ pháp 1 ( ; 1) = −  n k Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là 2 (1;1) =  n Ta có 1 1 2 2 2 1 2 2 3 . 1 1 2 cos α 12 26 12 0 2 26 2 1 3  =  − = ⇔ = ⇔ − + = ⇔   + =       k n n k k k n n k k Yêu c ầ u c ủ a bài toán th ỏ a mãn ⇔ ít nh ấ t m ộ t trong hai ph ươ ng trình: 1 ' = y k (1) và 2 ' = y k (2) có nghi ệ m x ⇔ 2 2 3 3 2(1 2 ) 2 2 2 3 2(1 2 ) 2 3  + − + − =    + − + − =   x m x m x m x m ⇔ / 1 / 2 0 0  ∆ ≥  ∆ ≥   có nghi ệ m có nghi ệ m LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 5 ⇔ 2 2 8 2 1 0 4 3 0  − − ≥  − − ≥   m m m m ⇔ 1 1 ; 4 2 3 ; 1 4  ≤ − ≥    ≤ − ≥   m m m m ⇔ 1 4 ≤ − m hoặc 1 . 2 ≥ m Bài 8: Cho hàm số 3 1 − = + x y x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB Hướng dẫn giải: Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có 1 tan 4 = = OB A OA ⇒ tiếp tuyến AB có hệ số góc là 1 4 = ± k Phương trình 2 3 4 1 ' 5 4 ( 1) =  = ⇔ = ⇔ ⇔  = − +  x y k x x + với x = 3 ⇒ y = 0, tiếp tuyến có phương trình 1 ( 3) 4 = − y x + với x = -5 ⇒ y = 2, tiếp tuyến có phương trình 1 1 13 ( 5) 2 4 4 4 = + + ⇔ = +y x y x . m m m ⇔ 1 4 ≤ − m hoặc 1 . 2 ≥ m Bài 8: Cho hàm số 3 1 − = + x y x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung. phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với 2 = AB OA Đ/s: d: x + y – 8 = 0 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 có đồ thị là (C m );. HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết 1 cos α . 26 = Bài 8: Cho hàm