Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! I. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Dạng 3: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho ( ) + min MA MB hoặc − max MA MB Phương pháp giải: +) Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P). +) Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán min phải lấy đối xứng A qua (P), bài toán tìm max là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P). +) Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán max phải lấy đối xứng A qua (P), bài toán tìm min là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P). Ví dụ 1. Cho hai điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9) và (P): x + y + z + 3 = 0. a) Tìm điểm M∈(P) sao cho +   MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm điểm N∈(P) sao cho NA 2 + NB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M(0; –3; 0) Ví dụ 2. Cho ba điểm A(4; –1; 2), B(3; 5; –1),vC(2; 5; –1) và (P): x + 2y – z – 3 = 0 a) Tìm điểm M∈(P) sao cho + +    MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm điểm N∈(P) sao cho NA 2 + NB 2 + NC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M(2; 1; 1). Ví dụ 3. Cho hai điểm A(–1; 3; –2), B(–9; 4; 9) và (P): 2x – y + z + 1 = 0. a) Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua A, B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó. b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM + BM nhỏ nhất. Đ/s: a) I(7; 2; –13) b) M(–1; 2; 3) Ví dụ 4. Cho hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) và mặt phẳng (P): x – y + z – 1 = 0. a) Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua A, B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó . b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho |MA – MB| lớn nhất. Đ/s: 4 7 0; ; 3 3       I , M trùng I. Ví dụ 5. Cho hai đ i ể m A(1; 0; 2), B(2; 1; 3) và (P): x – 2y + z – 4 = 0. Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho AM + BM nh ỏ nh ấ t. Ví dụ 6. Cho hai đ i ể m A(–4; 1; 2), B(–3; 1; 3) và (P): x – y + z + 2 = 0. Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho AM + BM nh ỏ nh ấ t. Ví dụ 7. Cho m ặ t ph ẳ ng (P): x + y + z – 1 = 0 và hai đ i ể m A(1, –3, 0), B(5, –1, –2). a) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng đườ ng th ẳ ng đ i qua A, B c ắ t m ặ t ph ẳ ng (P) t ạ i m ộ t đ i ể m I, tìm to ạ độ đ i ể m đ ó . 14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! b) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho |MA – MB| đạt giá trị lớn nhất. II. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Ví dụ 1. Cho hai điểm A(1; 1; 2), B(-1; 0; 1) và 1 1 : 2 1 1 − + = = x y z d . Tim đ i ể m M trên d sao cho a) di ệ n tích tam giác MAB nh ỏ nh ấ t. b) MA + MB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Đ /s: b) 1 . 6 = t Ví dụ 2. Cho hai đ i ể m A(0; 1; -1), B(3; 0; 1) và 1 2 : 1 1 1 − + = = − x y z d . Tim đ i ể m M trên d sao cho MA + MB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Đ /s: 1 . 3 = − t Ví dụ 3. Cho hai đ i ể m A(0; 1; -1), B(2; 0; 1) và 1 : 1 1 2 + = = − x y z d . Tim đ i ể m M trên d sao cho a) MA + MB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. b) Di ệ n tích tam giác MAB nh ỏ nh ấ t. c) Kho ả ng cách t ừ M t ớ i (P) b ằ ng hai l ầ n kho ả ng cách t ừ M t ớ i (Q) bi ế t ( ): 2 2 1 0 ( ): 2 2 3 0 + + − =   − − + =  P x y z Q x y z Đ /s: a) 7 42 50 26 − =t b) 8 5 = − t c) 11 ; 5 5 = = − t t Ví dụ 4. Cho ba đ i ể m A(1; 0; –1), B(0; 2; 3), C(-1; 1; 1) và đườ ng th ẳ ng 1 1 : . 1 2 2 + − = = − x y z d Tìm đ i ể m M trên d sao cho a) 2 2 2 2 4+ − MA MB MC đạt giá trị lớn nhất? b) min +   AM BC Đ/s: a) 4 9 = − t b) 5 9 = t Ví dụ 5. Cho các điểm A(2; 1; –1), B(1; 2; 1), C(0; 0; 3) và 1 5 : 3 1 1 − − = = x y z d . Tìm điểm M thuộc d sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: 3 12 54 ; ; . 11 11 11   −     M Ví dụ 6. Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(2; –1; –4), C(3; 0; –2) và đường thẳng 1 3 1 : . 2 1 2 − − − = = − x y z d a) Tìm trên d một điểm M sao cho 2+ −    MA MB MC nhỏ nhất. b) Tìm điểm M thuộc d sao cho –MA 2 + MB 2 –MC 2 đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 7. Cho A(1; 1; 0), B(3; –1; 4) và 1 1 2 : . 1 1 2 + − + = = − x y z d Tìm điểm M thuộc d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M(1; –1; 2) . B(5, –1, 2) . a) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng đườ ng th ẳ ng đ i qua A, B c ắ t m ặ t ph ẳ ng (P) t ạ i m ộ t đ i ể m I, tìm to ạ độ đ i ể m đ ó . 14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P2 Thầy. MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm điểm N∈(P) sao cho NA 2 + NB 2 + NC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M (2; 1; 1). Ví dụ 3. Cho hai điểm A(–1; 3; 2) , B(–9; 4; 9) và (P): 2x – y + z + 1 =. MB đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm điểm N∈(P) sao cho NA 2 + NB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M(0; –3; 0) Ví dụ 2. Cho ba điểm A(4; –1; 2) , B(3; 5; –1),vC (2; 5; –1) và (P): x + 2y – z – 3 =