Đang tải... (xem toàn văn)
Maple và các bài toán ứng dụng
Phạm Minh Hoàng Maple và các bài toán ứng dụng Nhà xuất bản Khoa Học và Kỹ Thuật Lời nói đầu T ôi còn nhớ cách đây không lâu, một học sinh lớp 9 đặt cho tôi một bài toán như sau: ∼∼∼∼∼∼∼ Hai đội công nhân làm chung một công việc trong 2g24'. Nếu mỗi đội chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 5g. Hỏi thời gian mỗi đội làm xong công việc của mình? Loay hoay một lúc tôi mới tìm ra phương trình của bài toán và phải khó khăn lắm tôi mới cắt nghĩa được cho em, rồi lại phải mất thêm một ít thời gian mới có thể tự mình tìm được phương trình của bài toán. Nhưng đến khi thay số vào em lại làm sai, phải đợi đến khi em dùng máy tính thì mọi chuyện mới xong. Bất chợt tôi đặt câu hỏi: tìm ra được phương trình bài toán là co như đã đi được 3/4 đoạn đường, phần còn lại chỉ là thay số, vậy mà em học sinh này lại làm sai, thật uổng. Nếu là người chấm điểm, tôi có thể châm chước và cho em 7/10, nhưng nếu chỉ căn cứ vào kết quả hoặc thi bằng trắc nghiệm có thể em bị 0 điểm. Vậy thì rõ ràng máy tính đã thay đổi tất cả. Ngày nay, ở Việt Nam tất cả các kỳ thi cấp trung học trở lên đều được phép dùng máy tính (không lập trình), điều đó có nghĩa là xã hội đã chấp nhận cho các em miễn làm tính bằng tay, mà chẳng ai đặt vấn đề ''mất tư duy'' Toán học cả. Lên đến bậc đại học, công cụ này còn trở lên tối cần thiết hơn cho sinh viên khoa học tự nhiên. Bắt sinh viên tính các bước trong phương pháp Runge-Kutta không máy tính là các em chịu thua ngay mặc dù tất cả đều hiểu bài. Và lên cao hơn nữa, các nhà nghiên cứu còn phải hoàn toàn dựa vào những máy tính siêu mạnh với những phần mềm thích ứng để hỗ trợ họ trong các bài toán phức tạp. Như thế, họ đã ''khoán'' tất cả những tính toán tầm thường cho máy tính và để hết tâm trí của mình vào những chủ đề chuyên sâu của họ. Vị trí và vai trò của máy tính đã ngày một trở nên quan trọng, nhất là trong lãnh vực giáo dục. Tin học hầu như là một môn bắt buộc cho các sinh viên ngay từ bước đầu vào đại học, và càng lên cao, càng đi sâu vào một lãnh vực nào đó, con người bắt buộc phải dùng đến máy tính. Bước ra ngoài đời, bước vào kỹ nghệ, công nghiệp, vai trò của máy tính lại trở nên quan trọng hơn, đến nỗi chúng ta có thể khẳng định rằng: ngày nay nếu không có máy tính, con người sẽ không làm gì được cả. Không máy tính, ngày hôm nay con người không thể xây dựng những cây cầu hiện đại, không thể dự đoán được thời tiết, không thể vẽ được các vỏ tàu, cánh máy bay, không thể đo độ rung của một chiếc tên lửa vốn là những vật dụng, những phương tiện gần gũi với chúng ta. Lý do là máy tính có một khả năng tính toán và một bộ nhớ gần như vô hạn. Tuy nhiên, cho dù có mạnh đến đâu đi chăng nữa, tất cả các máy tính đền tính toán trên các con số. Chúng có thế tính một triệu số lẻ của số π trong nháy mắt nhưng không tai nào tìm ra n=0 ( 1) n 2n+1 = π 4 . Điều này gây ít nhiều khó khăn cho những nhà khoa học vốn đã quen với các ký hiệu như x, x f(x, s), ln[sin(x 2 + 1)] . . . nên họ vẫn ao ước có một công cụ thích ứng để làm việc, một phần mềm không chỉ thao tác các con số, mà phải làm được điều này trên các ký hiệu quen thuộc. Đó là một phần mềm tính toán hình thức 1 . Và phải đợi tới năm 1980 đại học Waterloo (Canada) mới hoàn tất công trình đồ sộ của mình và cho ra đời Maple. Maple được viết ra từ mục đích đó. Vào năm 1867, nhà thiên văn Delaunay đã bỏ ra 20 năm đằng đẵng để thiết lập và tính toán quĩ đạo của mặt trăng dưới tác dụng của mặt trời. Biểu thức hoàn toàn bằng ký tự (hình thức) này dài gần 2000 trang giấy. Một thế kỷ sau, năm 1970, nhà toán học A. Deprit chỉ mất 9 tháng để viết một chương trình để tính toán lại 2 . Ngày nay, có lẽ chúng ta chỉ mất khoảng nửa giờ! Maple quả là tiết kiệm cho người dùng một khoảng thời gian khổng lồ. Nhưng Maple có thể còn làm nhiều hơn thế. Tôi còn nhớ một trong những ''kinh nghiệm xương máu'' của mình hồi học lớp 12. Thầy dạy chúng tôi tính diện tích hình tròn bán kính r bằng cách chia nhỏ nó ra thành từng mảnh nhỏ và xem như đó là những hình chữ nhật rồi cộng diện tích chúng lại để có được kết quả là πr 2 . Nhưng tôi mãi lấn cấn cái chuyện phải xem như đó là những hình chữ nhật. Vì nếu ''xem như'' thì rõ ràng đã có sai số, và nếu cộng hết các hình chữ nhật là cộng hết cả các sai số thì đâu thể ra một cái gì tròn trịa như πr 2 . Chính cái lấn cấn ấy đã làm điểm toán của tôi sút giảm nghiêm trọng. Mãi đến khi có được Maple tôi mới nghiệm ra ''chân lý'' của vấn đề khi vẽ thật nhiều hình chữ nhật để thấy rằng rõ ràng là nó tiến về diện tích hình tròn. Đến đây , tôi nghĩ có nhiều thầy (thậm chí có cả các bạn sinh viên) phì cười cho rằng tôi thuộc loại ''chậm tiêu''. Tôi nghĩ điều ấy không sai, nhưng riêng tôi, tôi lại nhìn vấn đề cách khác. Cái gì đã làm cho mình hiểu ra vấn đề? câu trả lời là hình ảnh. Ngày xưa tôi không ''tiêu'' được chẳng qua là vì thầy không đủ sức vẽ thật nhiều những hình chữ nhật như Maple. Vậy tại sao chúng ta không tận dụng những khả năng vượt trội của máy tính để tiết kiệm thời gian?. Tôi nghĩ không cần dài dòng để thuyết phục về ưu điểm của máy tính trong một bài thuyết trình (chứ không riêng gì việc học). Một diễn giả ngồi đọc lê thê sẽ không cuốn hut bằng chiếu cùng một nội dung ấy lên màn hình. Mà đã không cuốn hút thì khó đưa nội dung ''vào đầu'' thính giả. Đặc biệt nếu những nội dung ấy là những trừu tượng như toán thì lại càng phải cụ thể hóa, sinh động hóa. Tôi còn nhớ khi dạy toán bằng Maple vào một ngày không có máy chiếu. Sinh viên ngồi nhìn bảng đen mà tôi cứ nghĩ tâm hồn các bạn đang lượn lờ ở ''chốn bồng lai'' nào (vì các khái niệm ấy các em đều đã học qua). Nhưng khi có máy chiếu, tôi thấy các em háo hức mừng lộ ra mặt. Cặp mắt lờ đờ khi nãy bỗng sinh động khác thường, cứ mỗi khi thay slide là khuôn mặt các em cũng thay đổi theo. Rồi đến khi thực hiện những bài tập lớn cuối học kỳ, rất nhiều bạn đã làm nhiều hơn những gì chủ đề đòi hỏi. Lý do là các bạn ấy đã hiểu rõ hiện tượng mà không ngần ngại sử dụng sức mạnh của máy tính để khai triển xa hơn. Điều đó là việc ''xưa nay hiếm''. Vậy thì rõ ràng Maple đã giúp ích cho việc học toán. Trên đây tôi vừa nhắc đến những hình chữ nhật xấp xỉ hình tròn. Điều ấy nếu là một người có ''hoa tay'', thầy tôi có thể vẽ được. Nhưng khi đó là những hình trong không gian, những hình co-nic 3 chiều thì không dễ dàng đề vẽ. Tôi còn nhớ khi dạy phương pháp đường dốc nhất (steepest descent) trong môn Tối Ưu hóa hàm nhiều biến, để cắt nghĩa phương pháp, tôi cứ phải liên tục làm những động tác một người đang lao xuống vực để các bạn hiểu ý nghĩa hình học của gradient. Nhưng đến khi hiển thị bằng máy tính thì tối chắc chắn các bạn sinh viên đã hiểu tại sao phương pháp steepest ascent (nghĩa là dốc lên) mà tối không cần phải làm động tác nào khác. Maple không chỉ giúp bằng hình ảnh mà còn kích thích óc sáng tạo. Chúng ta đã dạy cho học sinh làm thế nào để viết phương trình một đường thẳng qua hai điểm; vậy thì các em có thể 1 Tiếng Anh là formal computation tiếng Pháp là calcul formel. 2 và đã tìm thấy chỉ một chỗ sai trong 2000 trang của Delaunay! ii Phạm Minh Hoàng dùng Maple xác định được đường cao, đường trung tuyến, sau đó xác định được trực tâm, trọng tâm rồi viết phương trình đường thẳng Euler. Tất cả các công đoạn ấy làm bằng máy tính đâu có làm ''nhụt'' tư duy toán học của các em đâu, trái lại nó làm cho các em có cơ hội sử dụng một vũ khí sắc bén của trí tuệ là trí tưởng tượng 3 . Rồi ở bậc đại học, chúng ta đã dạy cho sinh viên điều kiện để chéo hóa một ma trận M và áp dụng nó để tính M n . Nếu làm bằng tay sẽ rất ''oải'', dễ chán, thậm chí mới chỉ là ma trận bậc 3; nhưng với Maple, sinh viên có thể ''vui chơi'' và tự tạo cho mình những trường hợp cực kỳ phức tạp và như thế các bạn sẽ hiểu rõ vấn đề. Các thí dụ như thế còn rất nhiều và trong mọi lãnh vực như lý, hóa, sinh, kỹ thuật, kiến trúc Rõ ràng là nó giúp chúng ta học hiệu quả hơn. Tôi thực sự chưa bao giờ nghĩ rằng Maple có thể thay thế người thầy vì để đánh một lệnh Maple để tính diện tích hình tròn thì ai cũng có thể làm được, thậm chí là một học sinh cấp II! nhưng nếu hiểu được ý nghĩa hình học của nguyên hàm (và các vấn đề sau sa hơn) thì không thể thiếu thầy được. Maple chỉ cung cấp cho chúng ta một công cụ để hiểu rõ vấn đề và khơi nguồn sáng tạo mà thôi. Nhưng đó lại là yếu tố rất cần trong cuộc đời sinh viên kể cả khi đã ra trường. Với tất cả những tâm tình đó, tôi đã viết cuốn Maple và các bài toán ứng dụng này. Sau lần xuất bản thứ nhất tác giả bỏ đi những chủ đề phức tạp đồng thời thêm một số chương ích lợi hơn cho việc học Maple, trong đó có một chương nói về cú pháp dành cho các độc giả chưa có kinh nghiệm với phần mềm này. Tác giả cũng chân thành xin lỗi bạn đọc về những sơ sót đã mắc phải trong lần phát hành đầu tiên. Mọi ý kiến đóng góp xin chuyển về địa chỉ: Nhà xuất bản Khoa Học và Kỹ Thuật, 28 Đồng Khởi, phường Bến Nghé, quận I, TPHCM. ĐT: 822.50.62-829.66.28 Ước mong của tác giả là cuốn sách nhỏ bé này sẽ giúp bạn đọc có một cái nhìn mới về vũ trụ vô tận của Toán học. Sài Gòn Xuân Mậu Tí 2008 Phạm Minh Hoàng email: pmhoang@hcmut.edu.vn Vài dòng về tác giả: Sinh năm 1955 tại Sài Gòn, đậu tú tài và đi du học Pháp năm 1973, tốt nghiệp Cao học Cơ Học Ứng Dụng tại Đại học Pierre & Marie Curie(Paris VI) và đã đi làm nhiều năm về tịn học quản lý và tin học kỹ nghệ tại Paris. Năm 2000 trở về Việt Nam và hiện công tác tại Bộ Môn Toán Ứng Dụng, Khoa Khoa Học Ứng Dụng, Trường Đại học Bách Khoa TPHCM. 3 Kiến thức không quan trọng bằng trí tưởng tượng. Kiến thức thì giới hạn nhưng trí tưởng tượng có thể vây quanh nhân loại (Albert Einstein) Phạm Minh Hoàng iii Mục lục Trang Lời nói đầu i Chương 1. Cú pháp Maple 1 1.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Các thao tác trên một biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Lệnh simplify: đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Lệnh expand: khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Lệnh factor: thừa số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Lệnh combine: gom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5 Lệnh convert: biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Mệnh đề và hàm mũi tên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Các thao tác trên một dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Đồ thị hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7.1 Phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7.2 Phương trình quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8.1 Cách giải giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8.2 Cách giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 Đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.10 Lập trình trong Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.10.1 Khai thác sau khi biên dịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.11 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.12 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.12.1 Các lệnh cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.12.2 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.12.3 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12.4 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12.5 Lập trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.13 Bài đọc thêm: Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 iv Mục lục Chương 2. Bài toán cực trị 33 2.1 Tiết kiệm nhôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Đoạn đường gần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Góc nhìn của phi hành gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Hình nón và hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Tính bằng thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Tính bằng diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Khúc cua gắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.1 Vấn đề 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.2 Vấn đề 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6 Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6.1 Hình vẽ cho bài toán Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7 Cực trị của hàm hai biến: Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.8 Cực trị của hàm ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.9 Bài đọc thêm: Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chương 3. Đồ thị ba chiều 54 3.1 Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Thí dụ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Thí dụ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5 Bài đọc thêm: Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Chương 4. Hình học giải tích 69 4.1 Tìm và vẽ tiếp tuyến chung của hai vòng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Diện tích phần giao của hai vòng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3 Quỹ tích 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Quỹ tích 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.5 Quỹ tích 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.5.1 Cách giải thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.5.2 Cách giải thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6 Giới hạn của Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6.1 Một thí dụ thuần hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6.2 Một khúc mắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6.3 Một thí dụ điển hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.7 Bài đọc thêm: Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Chương 5. Bài toán mô phỏng 89 5.1 Cạnh tranh tay đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1.1 Giải bằng hàm tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.1.2 Gải bằng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Phạm Minh Hoàng v Mục lục 5.1.3 Giải bằng hàm quy nạp rsolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.1.4 Biểu diễn trong không gian 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Kinh tế ASEAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3 Lãi suất ngân hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.3.1 Lập trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.3.2 Hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.3.3 Dãy truy hồi (quy nạp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.3.4 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.4 Nuôi tằm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.5 Bồn khuấy nước đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.6 Bài toán cân bằng môi sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.7 S.A.R.S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.7.1 Giải với các đại lượng rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.7.2 Giải với các đại lượng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.8 Bài đọc thêm: Eratosthene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Chương 6. Bài toán kích thước hình xoay 115 6.1 Diện tích, thể tích ellipse và ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.1.1 Diện tích một ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.1.2 Thể tích một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.1.3 Diện tích một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.2 Thể tích sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của một hàm . . . . . . . . . . . 118 6.3 Thể tích sinh ra bởi phép quay quanh trục Oy của một hàm . . . . . . . . . . . 118 6.4 Trường hợp một hàm nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.5 Tìm thể tích sinh ra bởi phép quay của phần giao của hai hàm . . . . . . . . . . 120 6.5.1 Xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.5.2 Xoay quanh Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.6 Một trường hợp phức tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.6.1 Xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.6.2 Xoay quanh Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.7 Bài đọc thêm: Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Chương 7. Bài toán sức bền vật liệu 127 7.1 Tải trọng đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.1.1 Hai đầu gối đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.1.2 Ngàm một đầu, đầu kia tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.1.3 Ngàm hai đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.1.4 Ngàm một đầu, đầu kia gối đơn (hệ siêu tĩnh) . . . . . . . . . . . . . . 131 7.1.5 Ngàm một đầu, đầu kia gối đơn ở một điểm bất kỳ u . . . . . . . . . . 131 7.2 Tải trọng tập trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.2.1 Ngàm một đầu, lực tập trung ở đầu kia. [Hình 7.14 (a)] . . . . . . . . . 137 vi Phạm Minh Hoàng Mục lục 7.2.2 Ngàm một đầu, lực tập trung ở x = u l [Hình 7.14 (b)] . . . . . . . . 138 7.2.3 Hai gối đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.3 Bài đọc thêm: Képler - Thái Dương hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Chương 8. Bài toán đạn đạo 145 8.1 Môi trường không có ma sát không khí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.2 Môi trường có ma sát không khí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.2.1 Thí dụ 1: nghiệm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.2.2 Thí dụ 2 : nghiệm bằng phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.2.3 Tìm góc bắn xa nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.2.4 Nối dài tầm bắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.2.5 Sức cản trong trường hợp phức tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.2.6 Dưỡng Do Cơ thế kỷ XXI! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.3 Bài đọc thêm: Shwerer Gustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Chương 9. Bài toán dao động 1: Lò xo 168 9.1 Lò xo nằm ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.1.1 Trường hợp 1 : Không có lực giảm xóc, λ = 0 . . . . . . . . . . . . . 170 9.1.2 Trường hợp 2 : Lực giảm xóc, λ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.1.3 Khảo sát hiện tượng cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.2 Hệ ba lò xo nằm ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.3 Bài đọc thêm: Cầu Tacoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Chương 10.Bài toán dao động 2: Con lắc toán học 183 10.1 Con lắc đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.1.1 Trường hợp 1: góc quay nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.1.2 Trường hợp 2: góc quay lớn không ma sát . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.1.3 Trương hợp 3: góc quay lớn với ma sát . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.2 Con lắc kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.2.1 Trường hợp 1: góc quay nhỏ, tính toán hình thức . . . . . . . . . . . . 191 10.2.2 Trường hợp 2: góc quay lớn - Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.2.3 Kiểm chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.3 Con lắc đơn đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 10.3.1 Vẽ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 10.3.2 Tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 10.4 Bài đọc thêm: Lịch sử số π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Chương 11.Số học và ứng dụng 209 11.1 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11.1.1 Số học mô-đun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11.1.2 Phép chia Eculide trong Z /mZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11.1.3 Ứng dụng của phép tính đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Phạm Minh Hoàng vii Mục lục 11.1.4 Định lý Trung Quốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.2 Mật mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.2.1 Mã César . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.2.2 Mã Khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 11.2.3 Mã RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 11.3 Bài đọc thêm Bẻ khóa RSA: Con đường chông gai . . . . . . . . . . . . . . . 229 Chương 12.Xử lý hình động 231 12.1 Chuyển động đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 12.1.1 Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 12.1.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 12.1.3 Thí dụ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 12.2 Chuyển động phức tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 12.2.1 Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 12.2.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 12.3 Chuyển động có sự thay đổi vận tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 12.3.1 Thay đổi đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 12.3.2 Thay đổi không đều - Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 12.3.3 Thay đổi không đều - Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 12.4 Chuyển động với một hay nhiều hình tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 12.4.1 Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 12.4.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 12.5 Đường lập lên bởi hình động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 12.5.1 Viên bi lăn theo đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 12.5.2 Viên bi lăn theo một đường bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 12.5.3 Cycloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 12.5.4 Điểm động học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 12.6 Bài đọc thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Tài liệu tham khảo 278 Chỉ mục 280 viii Phạm Minh Hoàng Danh mục hình minh họa Hình Trang 1.1 (a) Ba lời giải và (b) khi vẽ chung với tập hợp các lời giải . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Lời giải phương trình vi phân phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Lời giải phương trình vi phân và phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Sơ đồ tạo và sử dụng tập tin thực thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 (a) Hình nón nội tiếp (b) đương biểu diễn của thể tích theo h khi R = 3. . . . . 38 2.5 (a) hình nón ngoại tiếp (b) đường biểu diễn của thể tích theo h khi R = 3. . . . 39 2.6 Đồ thị của diện tích theo h khi R = 3: (a) trường hợp nội tiếp; (b) ngoại tiếp . . 41 2.7 Hình nón nội tiếp và ngoại tiếp hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.10 Hình hộp nội tiếp trong một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.11 Hình khối cực đại trong một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Đường đồng mức của hàm f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Cực trị hàm nhiều biến và hình chiếu của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Các điểm dừng của f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Điểm cực đại và cực tiểu của f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.6 Điểm yên ngựa của hàm f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.7 Đồ thị gradient, đường đồng mức và chuyển động của P k . . . . . . . . . . . . 62 3.8 Chuyển động P k trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.9 Biểu diễn tham số của hàm ràng buộc g(x, y) trên f(x, y) . . . . . . . . . . . . 65 3.10 (a) Đường đồng mức và ellips 2D, (b) Véc-tơ gradient tại điểm cực trị . . . . . 67 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 ix [...]... và tất cả những gì bạn đánh sẽ mang màu đen và đều là những dòng chữ không được biên dịch bởi Maple Sau khi hoàn tất, dùng chuột hoặc mũi tên (trên bàn phím) để ra khỏi dòng thuyết minh, nhấp vào nút > để trở lại với các lệnh Maple X Lưu vào ổ cứng: Tất cả các câu lệnh Maple và kết quả được gọi là một worksheet và được lưu lại dưới 2 dạng: dạng cũ (MWS) và dạng mới (MW, kể từ phiên bản 9) Trong phạm... dấu ">" và mặc định có nét chữ courier màu đỏ, một kết quả có màu xanh và nét chữ times Thí dụ: > p:=x+3; p := x + 3 Trước khi vào từng câu lệnh Maple, một vài quy tắc chung cần nhớ: X Lệnh đầu tiên là restart (không bắt buộc), để xoá sạch bộ nhớ và chuẩn bị cho những điều kiện làm việc tốt nhất cho Maple > restart: X Maple phân biệt chữ thường và chữ hoa: thí dụ simplify khác với Simplify Trong Maple. .. nếu bỏ lệnh u:=u1: và làm việc trực tiếp trên u1, sẽ nhận được thông báo 1.3 Lý do là vì đã sửa biến đầu vào u1 Ở dòng 10, lệnh print(k) xuất ra kết quả 10 [14 ] và lệnh u: xuất ra dãy đã được sắp xếp Nhưng chỉ có dãy u mới có thể được gán và biến q Kiểm chứng: q[5] = ln(3) 13 Trong Maple có lệnh sort, nhưng lệnh này chỉ có tác dụng trên các dãy có phần tử hửu tỷ Các số dòng được thm vào để dễ cắt nghĩa... tiết cách hay nhất vẫn là tham khảo phần trợ giúp 1.1 Tổng quan Khi khởi động maple chúng ta sẽ có một màn hình đơn giản: Ở trên cùng chúng ta có một menu với những chức năng quen thuộc của một phần mềm Windows: File,Edit,View,Insert Cách sử dụng những chức năng này cũng khá dễ dàng Phần lớn nhất của màn hình là một trang trắng, đó là nơi người sử dụng đánh các lệnh Maple và nhận kết quả Một lệnh Maple. .. 1 10 11 12 13 1 1 1 0 1.10 Lập trình trong Maple Lập trình Maple rất đơn giản, chỉ cần biết cú pháp và nhớ vài chi tiết: X Lệnh đầu tiên là tên chương trình :=proc (tham số) Lệnh sau cùng là end: Để xuống hàng nhấn Shift+Enter X Không được sửa biến đầu vào Giả sử tham số đầu vào là u và a là một biến bất kỳ, ta có thể viết u:=a Trong trường hợp này Maple sẽ xuất ra một thông báo sai: Error, (in... MWS X Maple có trên 1500 lệnh (phiên bản 8), trong đó có những lệnh ít được dung Để tránh phải nhập tất cả các lệnh vào RAM của máy một cách vô ích, người ta gom những lệnh có cùng một ứng dụng voà những package (tạm dịch là gói) Những gói thường gặp là plots,linalg,geometry,plottools Khi cần sử dụng, dùng hàm with để nhập: > with(plots): Ta cũng có thể dùng lệnh mà không cần nhập package bằng cách... Chương trình mã RSA và phép bình phương liên tiếp Chương trình mã RSA có ký tên và liên kết với phép bình phương liên tiếp 217 218 220 221 224 228 12.1 Chương trình cine 255 12.2 Lịch sử các ký hiệu Toán học 277 xv Chương1 Cú pháp Maple Chương này tóm tắt một số lệnh Maple cơ bản[1 ] và được dùng nhiều trong cuốn... trường tính toán hình thức, điều đó có nghĩa là Maple phải làm việc trên các ký tự chứ không phải những con số Khi ta viết ký tự x, trong đầu mình đã nghĩ ngay đến một con số (thậm chí là số dương) Nhưng Maple không nghĩ như thế, nó sẽ hiểu đây là một biến bất kỳ, có thể là một số phức, một ma trận, hay một đồ thị Và trong tất cả những "giả thuyết" này, số phức là hợp lý hơn cả và câu trả lời của Maple (csgn(x)x)... Để kiểm chứng, ta có thể "bảo" cho Maple rằng x là một số thực bằng cách dùng hàm assume: > assume(x,real): ? > sqrt(xˆ2):%=simplify(%); x 2 = |x | ˜ Dấu được thêm khi một biến được assume Tuy nhiên kể từ bây giờ để dễ đọc chúng ta sẽ bỏ qua và không hiển thị ký tự này Và khi x ¡ 0: > assume(x,real): ? > sqrt(xˆ2):%=simplify(%); x2 = x Nói tóm lại, trước khi áp dụng một quy tắc đơn giản, Maple phải... 'ln(xˆ3)-2*ln(x)'=Sp(p);[5 ] 4 5 4 Trong Maple, phần thực của x ký hiệu là Re(x), phần phức là Im(x) Dấu nháy đơn để tránh Maple tự động đơn giản khi x>0 Phạm Minh Hoàng 1.2 Các thao tác trên một biểu thức ln(x3 ) 2 ln(x) = ln(x) Ta có thể đơn giản hơn bằng cách: > Sp(p,assume=positive; Tuy nhiên, Maple có option symbolic cho phép đơn giản mà không cần assume nhưng vẫn bảo toàn các quy tắc toán học thông thường: > . Phạm Minh Hoàng Maple và các bài toán ứng dụng Nhà xuất bản Khoa Học và Kỹ Thuật Lời nói đầu T ôi còn nhớ cách đây không lâu, một học sinh lớp 9 đặt cho tôi một bài toán như sau: ∼∼∼∼∼∼∼ Hai. thuyết minh, nhấp vào nút > để trở lại với các lệnh Maple. Lưu vào ổ cứng: Tất cả các câu lệnh Maple và kết quả được gọi là một worksheet và được lưu lại dưới 2 dạng: dạng cũ (MWS) và dạng mới (MW,. đó, tôi đã viết cuốn Maple và các bài toán ứng dụng này. Sau lần xuất bản thứ nhất tác giả bỏ đi những chủ đề phức tạp đồng thời thêm một số chương ích lợi hơn cho việc học Maple, trong đó có một