ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Đặng Thị Khuyên VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Đặng Thị Khuyên VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013 Tác giả Đặng Thị Khuyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS Đỗ Văn Lưu, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôi trong suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19, các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013 Tác giả Đặng Thị Khuyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP CAO 4 1.1. Các định nghĩa và khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Điều kiện cần tối ưu cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Điều kiện đủ tối ưu cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CHẶT CẤP CAO CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LỒI 20 2.1. Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Phân hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu . . . . . . . . . 22 2.3. Tiêu chuẩn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Tiêu chuẩn điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết các điều kiện tối ưu nói chung và các điều kiện tối ưu cấp cao nói riêng là các bộ phận quan trọng của lý thuyết các bài toán tối ưu. Khái niệm cực tiểu chặt cấp cao đã được M. R. Hestenes nghiên cứu từ năm 1966 trong [5] và sau đó phát triển bởi L. Cromme, A. Auslender, M. Studniarski, B. Jiménez, V. Novo, Mới đây, B. Jiménez và V. Novo ([7], 2008) đã thiết lập các điều kiện tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao của bài toán tối ưu không trơn với ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ các đạo hàm Studniarski trên và dưới. A. Gupta, A. Mehra và D. Bhatia ([3], 2011) đã thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi với ràng buộc bất đẳng thức bằng cách phân hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu, lập các bài toán con và thiết lập mối quan hệ của nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán gốc với nghiệm của một trong các bài toán con. Lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp cao đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế tôi chọn đề tài: "Về điều kiện tối ưu cấp cao". Đây là đề tài có tính thời sự. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các điều kiện cần và các điều kiện đủ tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao, bao gồm: các điều kiện tối ưu cấp cao của B. Jiménez và V. Novo [7] cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu với ràng buộc nón và ràng buộc tập, và các điều kiện tối ưu cấp cao của A. Gupta, A. Mehra và D. Bhatia [3] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi với ràng buộc bất đẳng thức. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo tiếng Anh của B. Jiménez - V. Novo và A. Gupta - A. Mehra - D. Bhatia. - Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn. 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lý thuyết tối ưu. 4. Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1. Điều kiện cần và đủ cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao Trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp cao của Jiménez - Novo [7] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao của bài toán tối ưu với ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trên và dưới. Chương 1 cũng trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trong trường hợp hữu hạn chiều. Chương 2. Điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu chặt cấp cao của bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi. Trình bày các kết quả của Gupta - Mehra - Bhatia [3] về điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp cao của bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi có ràng buộc bất đẳng thức bằng cách phân hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu, lập các bài toán con và thiết lập mối quan hệ của nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán gốc với một trong các bài toán con, các tính chất đặc trưng điểm yên ngựa cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cũng được trình bày trong chương này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP CAO Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao của bài toán tối ưu với ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trên và dưới. Các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski dưới trong trường hợp hữu hạn chiều cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả được trình bày trong chương này là của B. Jiménez và V. Novo [7]. 1.1. Các định nghĩa và khái niệm Giả sử X là không gian định chuẩn, f : X → R và M ⊂ X. Xét bài toán tối ưu min {f(x) : x ∈ M}. Ta nhắc lại khái niệm cơ bản sau: Điểm x 0 ∈ M gọi là điểm cực tiểu địa phương của f trên M nếu tồn tại lân cận U của x 0 sao cho f(x)  f(x 0 ), ∀x ∈ U ∩ M. Nếu bất đẳng thức này chặt với ∀x = x 0 (x ∈ U ∩ M) thì x 0 được gọi là cực tiểu địa phương chặt. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Định nghĩa 1.1. Điểm x 0 ∈ M được gọi là cực tiểu địa phương chặt cấp k (k  1, k là số nguyên), kí hiệu x 0 ∈ Strl(k, f, M) nếu tồn tại α > 0 và lân cận U của x 0 sao cho f (x) > f (x 0 ) + αx −x 0  k , ∀x ∈ M ∩ U\{x 0 } Khái niệm này đã được nghiên cứu bởi Hestenes [5] cho k = 1 để chứng minh các điều kiện đủ tối ưu. Ta nhắc lại các khái niệm cơ bản sau: Tập K ⊆ X được gọi là tập lồi, nếu K chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Điều này có nghĩa là, K lồi khi và chỉ khi ∀x, y ∈ K, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ K. Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu với ∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K. Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là lồi nếu K là một tập lồi, tức là ∀x, y ∈ K, λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ K. Với M là một tập con của X, ta kí hiệu intM, clM, coneM lần lượt là phần trong của M, bao đóng của M, nón sinh bởi M và B(x 0 , ε) là hình cầu mở có tâm tại x 0 , bán kính ε. Định nghĩa 1.2. a) Nón tiếp liên của tập M tại x 0 ∈ M là T (M, x 0 ) =  v ∈ X : ∃t n → 0 + , x n ∈ M, x n → x 0 sao cho x n − x 0 t n → v  ; b) Nón tiếp tuyến phần trong là IT(M, x 0 ) = {v ∈ X : ∃ε > 0 sao cho x 0 + tu ∈ M, ∀t ∈ [0, ε], ∀u ∈ B(v, ε)}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 1.3 Điều kiện đủ tối ưu cấp cao Trong mục này, chúng tôi trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao cho điểm cực tiểu địa phương chặt cấp k của bài toán (1.1) (1) Trước hết ta trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski của f + IQ cho các trường hợp k > 1 và k = 1 (2) Ta trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ đạo hàm của hàm... hệ quả (1.1) ta suy ra x0 là cực tiểu địa phương chặt cấp 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Chương 2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CHẶT CẤP CAO CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LỒI Chương 2 trình bày các điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp cao của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi có ràng buộc bất đẳng thức... ) và áp dụng định nghĩa, trong đó T (Q, x0 )c nghĩa là phần bù đại số của tập T (Q, x0 ) 1.2 Điều kiện cần tối ưu cấp cao Trong mục này, chúng ta trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán (1.1) Định lý 1.1 trình bày các điều kiện cần dưới ngôn ngữ đạo hàm trên Studniarski Định lý 1.2 trình bày các điều kiện cần dưới ngôn ngữ đạo hàm dưới Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn... các bài toán vectơ (M OP )α và RM OP Pα,δ (x∗ ) , x có thể xem như các bài toán tối ưu D.C (hiệu của các hàm lồi) Điều này cho phép ta sử dụng các điều kiện tối ưu của quy hoạch D.C để đặc trưng cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp 1 của M OP dưới ngôn ngữ dưới vi phân lồi Chúng ta trình bày tóm tắt một kết quả của lý thuyết tối ưu D.C cần dùng Chi tiết hơn có thể tham khảo [2] Bài toán tối ưu D.C... số của hàm mục tiêu, rồi lập các bài toán con và mối quan hệ của nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán gốc với một trong các bài toán con Trên cơ sở đó, chúng tôi trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m cho bài toán gốc lồi, và các đặc trưng điểm yên ngựa cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m cho bài toán gốc lồi Các kết quả trình bày trong... fi + i=1 µj gj (x) j=1 Định lý tiếp theo trình bày điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp 1 của (M OP ) < Định lý 2.5 (Điều kiện đủ tối ưu) Xét bài toán RM OP Pα,δ (x∗ ) , x , ∗ ∗ và giả sử x ∈ F Giả sử rằng với mọi ω1 , , ωp , ∗ ωi αi , i ∈ P, tồn tại λ ∈ Rp , µ ∈ Rq , (λ, µ) = 0 sao cho (2.5), (2.6) đúng Hơn nữa, + + giả sử điều kiện chính quy ( RC) dưới đây thỏa mãn: < ∗ ∗ ( RC)... đó Pα,δ (x∗ ) và Pα,δ (x∗ ) kí hiệu bản số của Pα,δ (x∗ ) và Pα,δ (x∗ ) (tương ứng) Điều kiện cần đặc trưng cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp 1 của (M OP ) sau đây là một hệ quả trực tiếp của định lý 2.3 Định lý 2.4 (Điều kiện cần tối ưu) Cho α ∈ int (Rp ) sao cho x là + ∗ một nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp 1 của (M OP ) Khi đó, ∀ωi ∈ ∂ (αi x − x ) (x) , i ∈ P, tồn tại λ ∈ Rp , µ ∈ Rq ,... chúng ta xét bài toán tối ưu sau: min f (x) g(x) ∈ −K, (1.1) x ∈ Q, trong đó g : X → Y , Y là không gian định chuẩn, Q là tập con tùy ý của X và K là nón lồi của Y, intK = ∅ Kí hiệu G = {x ∈ X : g(x) ∈ −K} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Khi đó, tập chấp nhận được của bài toán (1.1) là M = G ∩ Q Bài toán (1.1) bao gồm các bài toán tối ưu với các ràng buộc... x0 ) = Q, C(f, x0 ) = v : −4v1 − v2 0 hoặc v1 0 , trong đó v = (v1 , v2 ) Khi đó, điều kiện (1.8) trở thành dLµ (x0 , u) = (µ2 − 4) u1 + µ1 u2 0, ∀u = (u1 , u2 ) ∈ T (Q, x0 ) Điều kiện này thỏa mãn nếu ta chọn µ1 = 0 và µ2 = 4 Với v = (0, v2 ) ∈ C (G, x0 ) ∩ T (Q, x0 ) ∩ C (f, x0 ) \ {0} = {(0, v2 ) : v2 < 0} , điều kiện (1.9) thỏa mãn với µ = (0, 4) bởi vì d2 Lµ (x0 , v) = d2 f (x0 , v) + µ1 r r... định lý 1.2 không là điều kiện đủ Thật vậy, ta xét trong R2 , Q = x : x2 x4 , G = {x : g(x) := −x2 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 0} , f (x) = x2 + x2 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 và x0 = (0, 0), trong đó x = (x1 , x2 ) ∈ R2 Khi đó, d2 (f + IQ ) (x0 , v) > 0, ∀v ∈ C0 (G, x0 ), nhưng x0 ∈ Strl(2, f, G ∩ Q) / Bây giờ chúng ta trình bày các điều kiện đủ tối ưu với hàm Lagrange: . chiều. Chương 2. Điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu chặt cấp cao của bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi. Trình bày các kết quả của Gupta - Mehra - Bhatia [3] về điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm. đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các điều kiện cần và các điều kiện đủ tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao, bao gồm: các điều kiện tối ưu cấp cao của B. Jiménez và. . . . . . . . . . 7 1.3. Điều kiện đủ tối ưu cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CHẶT CẤP CAO CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LỒI 20 2.1.