ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯƠNG BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯƠNG BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôi trong suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19, các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và viết Luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i MỞ ĐẦU 1 1 PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN 3 1.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 3 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Nguyên lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Nguyên lý so sánh tổng quát . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Nguyên lý liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Nội dung của Nguyên lý liên tục . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Ứng dụng vào bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn . . . . . . . . . . 12 2 BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIP- TIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN 14 2.1 Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Không gian H¨older C k,α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Không gian Sobolev W k,p (Ω) . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Đánh giá cho một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.4 Các tính chất của nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.1.5 Các tính chất của nghiệm phương trình á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Bài toán Dirichlet cho trường hợp hai biến độc lập (n = 2) . 19 2.3 Bài toán Dirichlet cho trường hợp phương trình elliptic đều với n > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Đánh giá H¨older cho đạo hàm cấp hai trong trường hợp n > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Bài toán Dirichlet cho trường hợp phương trình el- liptic đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère . . 36 2.4.1 Đánh giá đạo hàm cấp hai cho phương trình kiểu Monge-Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn Luận văn Cho đến nay lớp các phương trình elliptic cấp hai tuyến tính và á tuyến tính đã được nghiên cứu khá kỹ lưỡng đối với tính chất định tính của nghiệm và tính giải được của các bài toán biên. Song việc nghiên cứu lớp phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn là một vấn đề khó. Lý thuyết lớp phương trình này còn chưa được phát triển và chưa được hệ thống. Do đó Luận văn đã chọn đề tài về tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn. 2. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp chính trong Luận văn là sử dụng Nguyên lý liên tục sẽ đưa đến đánh giá tiên nghiệm chuẩn H¨older cho nghiệm của phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn. 3. Mục đích của luận văn Nội dung chính của Luận văn là nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn. Đây là lớp phương trình khá rộng, xuất hiện nhiều trong vấn đề lý thuyết và ứng dụng. Trường hợp hai biến độc lập, do kỹ thuật đánh giá chuẩn H¨older và kết quả là khá đặc thù, nên được tách ra trình bày riêng. Trong trường hợp số chiều n > 2, kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm đòi hỏi giả thiết mạnh hơn và các phương pháp khác nên được trình bày sau, việc sử dụng phương pháp liên tục sẽ đưa đến kết luận về tính giải được của bài toán Dirichlet. Lớp con phương trình Monge-Ampère cũng được đề cập. 4. Nội dung của Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Chương 1. Giới thiệu khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn, sau đó trình bày các tính chất định tính của nghiệm như: Nguyên lý cực đại và Nguyên lý so sánh. Tiếp theo giới thiệu về phương pháp liên tục nhằm áp dụng vào tính giải được của bài toán Dirichlet. Chương 2. Giới thiệu về bài toán Dirichlet cho trường hợp hai biến và nhiều biến độc lập, trường hợp phương trình elliptic đều và trường hợp phương trình kiểu Monge-Ampère. Trên cơ sở áp dụng Nguyên lý liên tục (Định lý 1.3.3), nội dung chính của chương 2 lại là nghiên cứu đánh giá H¨older cho đạo hàm cấp hai của nghiệm. Các định lý về tính giải được của bài toán Dirichlet đã được phát biểu và chứng minh. Nội dung chính của Luận văn được trình bày dựa theo chương 17 của tài liệu [1]. Một số kiến thức được tham khảo ở tài liệu [2]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN 1.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn trên miền Ω trong R n là phương trình có dạng: F [u] = F(x, u, Du, D 2 u) = 0, (1.1) trong đó F là hàm thực trên tập Γ = Ω × R × R n × R n×n , R n×n là không gian n(n+1) 2 chiều của ma trận thực đối xứng cấp n × n. Giả sử điểm trong Γ có dạng γ = (x, z, p, r) trong đó x ∈ Ω, z ∈ R, p ∈ R n , r ∈ R n×n . Nếu F = F (x, z, p, r) là một hàm afin đối với r = [r ij ] thì phương trình (1.1) được gọi là á tuyến tính. Ngược lại, F gọi là phi tuyến hoàn toàn. Toán tử F được gọi là elliptic trên tập con U của Γ nếu ma trận [F ij (γ)] cho bởi: F ij (γ) = ∂F ∂r ij (γ), i, j = 1, , n, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 là xác định dương với mọi γ = (x, z, p, r) ∈ U, kí hiệu λ(γ), Λ(γ) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của giá trị riêng của ma trận [F ij (γ)]. F là elliptic đều (elliptic ngặt) trong U nếu Λ λ ( 1 λ ) bị chặn trong U. Nếu F là elliptic (elliptic đều, elliptic ngặt) trong toàn bộ tập Γ thì F là elliptic (el- liptic đều, elliptic ngặt) trên Ω. Nếu u ∈ C 2 (Ω) và F là elliptic (elliptic đều, elliptic ngặt) trên miền xác định của ánh xạ x → (x, u(x), Du(x), D 2 u(x)) thì ta nói F là elliptic (elliptic đều, elliptic ngặt) đối với u. 1.1.2 Ví dụ (i) Phương trình Monge-Ampère: Phương trình Monge-Ampère có dạng F [u] = det D 2 u −f(x) = 0, (1.2) trong đó F ij (γ) chính là phần phụ đại số của r ij = u x i x j và F chỉ là elliptic đối với r các ma trận không âm. Vì thế phương trình (1.2) chỉ là elliptic đối với hàm u ∈ C 2 (Ω) và là hàm lồi đều tại những điểm của Ω và f > 0. (ii) Phương trình độ cong Gauss cho trước: Cho u ∈ C 2 (Ω) và giả sử u có độ cong Gauss K(x) cho trước tại điểm (x, u(x)), x ∈ Ω. Khi đó u thỏa mãn phương trình độ cong Gauss sau đây: F [u] = det D 2 u −K(x)(1 + |Du| 2 ) n+2 2 = 0. (1.3) Phương trình (1.3) là elliptic đối với hàm lồi đều u ∈ C 2 (Ω). Các ví dụ (i) và (ii) là một loại của phương trình Monge-Ampère: F [u] = det D 2 (u) −f(x, u, Du) = 0, (1.4) trong đó f là hàm nhận giá trị dương trong Ω ×R ×R 2 . (iii) Phương trình Pucci’s: Cho 0 < α ≤ 1 n . Kí hiệu tập L α của toán tử tuyến tính elliptic đều có dạng: Lu = a ij (x)D ij u với hệ số a ij thỏa mãn: a ij ξ i ξ j ≥ α|ξ| 2 , n  i=1 a ii = 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chng 2 BI TON DIRICHLET CHO PHNG TRèNH ELLIPTIC CP HAI PHI TUYN HON TON Trong chng ny Lun vn nghiờn cu tớnh gii c ca bi toỏn Dirichlet cho phng trỡnh elliptic cp hai phi tuyn hon ton cú th ỏp dng c nh lý 1.3.3 thỡ ni dung chớnh ca chng ny l chng minh cỏc ỏnh giỏ chun Hălder i vi cỏc o hm cp hai ca nghim Mc o 2.2 nghiờn cu trng hp n = 2 Mc 2.3 nghiờn cu... tng t cng cho ta s tn ti ca phng trỡnh loi Bellman-Pucci m ta s núi n trong phn 2.3.2 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 Bi toỏn Dirichlet cho trng hp phng trỡnh 2.3 elliptic u vi n > 2 2.3.1 ỏnh giỏ Hă lder cho o hm cp hai trong trng hp o n>2 Trong phn ny, ta suy ra ỏnh giỏ Hălder bờn trong min cho o hm o cp hai ca nghim ca phng trỡnh elliptic cp hai phi tuyn hon... nu S l tp úng trong [0, 1] Nhn xột: Phng trỡnh G(u, 0) = 0 tng ng vi F [u] = 0 1.3.2 ng dng vo bi toỏn biờn Dirichlet cho phng trỡnh elliptic phi tuyn hon ton Xột ng dng ca nh lý 1.3.2 cho bi toỏn Dirichlet v phng trỡnh elliptic phi tuyn hon ton Gi s hm F trong phng trỡnh (1.1) thuc lp C 2, () v cho khụng gian Banach B1 , B2 tha món B1 = C 2, (), B2 = C () vi (0, 1) no ú D thy toỏn t F xỏc nh bi (1.1)... C 2 () Gi s mt trong hai iu kin sau xy ra b = o(|p|) + O(|p|2 ) khi |p| hoc = O(|p|2 ), |b| |p| T + O(|p|2 ) khi |p| R Khi ú ta cú |Du| C trờn , 2 n aij i j ||2 õy C = C(n, M, à(M ), ||2 , R), || i,j=1 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 2.2 Bi toỏn Dirichlet cho trng hp hai bin c lp (n = 2) Cho phng trỡnh phi tuyn hon ton vi hai bin c lp (1.1) Gi s... mi Rn , v l hm dng trong Ngoi ra phng trỡnh Bellman l elliptic u trong nu L () S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.2 1.2.1 Nguyờn lý so sỏnh v nguyờn lý cc i Nguyờn lý so sỏnh Trc ht ta phỏt biu Nguyờn lý so sỏnh yu cho phng trỡnh elliptic tuyn tớnh cp hai nh lý 1.2.1 ([1], so sỏnh vi nghim 0) Cho n n Lw = aij (x)Dij w + i,j=1 bij (x)Dj w + c(x)w j=1 l... th c lm yu tng ng vi iu kin ca phng trỡnh ỏ tuyn tớnh Kt hp cỏc nh lớ 1.2.4, 1.3.3, 2.2.3 ta thu c s tn ti nh lớ cho bi toỏn Dirichlet nh lý 2.2.4 ([1]) Cho l mt min b chn trong R2 vi biờn C 3 v cho C 3 () Gi s toỏn t F tha món Fz 0 trong cựng vi iu kin cu trỳc (2.7) Khi ú bi toỏn Dirichlet, F [u] = 0, u = trờn , l gii c duy nht, vi nghim u C 2, () vi mi < 1 Vic ỏp dng trc tip nh lý 1.3.3... Phng trỡnh trờn c gi l phng trỡnh elliptic tuyn tớnh cp hai nu tha món: (a) Tn ti > 0 sao cho vi mi x , Rn ta cú n aij (x)i j ||2 i,j=1 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Hn na aij (x) = aji (x) vi mi i, j, x (b) Tn ti K < sao cho: aij C () , b C () , c C () K vi mi i, j nh lý 2.1.4 ([1], nh lý 6.17, v trn ca nghim) Cho u l mt nghim C 2 () ca phng trỡnh... ln lt l R, 2R v tp s = 1, 2, Ms = sup w, ms = inf w BsR BsR Mt khỏc theo nh lý 2.1.6 cho hm M2 w, ta c: 1/p R n p (M2 w) C{M2 M1 + R D g n;B2R } BR C{M2 M1 + R2 |D2 g|0; } (2.13) kt thỳc ỏnh giỏ Hălder cho w t (2.13), t (2.9), ta cn mt bt ng o thc tng ng cho w bng vic coi nú nh mt phim hm liờn h gia cỏc o hm cp hai ca u bt u, ta s dng tớnh lừm ca F mt ln na, vi x, y bt k, ta cú Fij (D2 u(y))(Dij... aij Dij w + bi Di w + cw = f Do ú, nu F l elliptic i vi u, thỡ cỏc o hm cp mt ca u l nghim ca phng trỡnh elliptic tuyn tớnh trong Ta gi s phng trỡnh (1.1) tha món iu kin sau: 0 < ||2 Fij (x, u, Du, D2 u)i j ||2 , (2.2) |Fp , Fz , Fx (x, u, Du, D2 u)| à, vi mi R2 \ {0} nh lý 2.2.1 ([1]) Cho u C 3 () tha món F [u] = 0 trong R2 , trong ú F C 1 (), F l elliptic i vi u v (2.2) c tha món Khi ú,... tha món Di u 2.1.3 Lp () K ỏnh giỏ cho mt hm s B 2.1.3 ([1], B 8.23) Cho l hm khụng gim trờn khong (0, R0 ] tha món vi mi R R0 , bt ng thc ( R) (R) + (R), õy khụng gim v 0 < , < 1 Khi ú, vi à (0, 1) bt k v R R0 , ta cú R R0 (R) C 1à (R0 ) + (Rà R0 ) õy C = C(, ) v = (, , à) l cỏc hng s dng 2.1.4 Cỏc tớnh cht ca nghim phng trỡnh elliptic tuyn tớnh cp hai n ij Xột phng trỡnh Lu = n a (x)Dij . 1 PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN 1.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn. Ứng dụng vào bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn . . . . . . . . . . 12 2 BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIP- TIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN 14 2.1 Một. vào bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn Xét ứng dụng của Định lý 1.3.2 cho bài toán Dirichlet về phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn. Giả sử hàm F trong phương