Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐINH XUÂN BẰNG LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐINH XUÂN BẰNG LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên-2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Đinh Xuân Bằng Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của ngƣời hƣớng dẫn khoa học Hà Huy Khoái Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy hướng dẫn GS.TSKH. Hà Huy Khoái. Thầy đã giành nhiều thời gian, công sức chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện đề tài và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cùng gia đình. Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau Đại Học của trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Toán khóa 19. Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn bè, những người thân yêu trong gia đình đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để tôi học tập tốt. Thái Nguyên, Tháng 6 Năm 2013 Học viên Đinh Xuân Bằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1.1. Trường không archimed 2 1.2. Các hàm giải tích và hàm phân hình 5 1.3. Tích phân Schnirelman và công thức tích phân Cauchy 8 1.4. Hệ quả của công thức tích phân Cauchy 14 Chƣơng 2: ĐA GIÁC ĐỊNH GIÁ VÀ CÔNG THỨC POISSON – JENSEN 19 2.1. Trường lớp thặng dư 19 2.2. Giá trị tuyệt đối không Archimed trên vành hàm giải tích 19 2.3. Đa giác định giá 26 2.4. Thuật toán chia Euclid 33 2.5. Công thức Poisson – Jensen 41 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, nhiều vấn đề quan trọng của lý thuyết hàm phức một biến được xem xét đối với các lớp hàm trên trường không Archimed. Bên cạnh nhiều tính chất tương tự, có nhiều tính chất là đặc thù của không gian hàm trên trường không Archimed. Bản luận văn nhằm mục đích giới thiệu một số tính chất cơ bản của trường không Archimed và không gian các hàm chỉnh hình và phân hình trên đó. Những tính chất tương tự với hàm chỉnh hình và phân hình phức thường được chứng minh dựa vào tích phân Schnirelman, trong khi những tính chất đặc thù lại được thiết lập chủ yếu nhờ vào đa giác định giá của hàm chỉnh hình trên trường không Archimed. Nội dung luận văn được trình bày dựa theo bài giảng “p-adic Function Theory” của W. Cherry, với một đôi chỗ chứng minh được chi tiết hóa (mà trong bài giảng được cho dưới dạng bài tập). Luận văn gồm hai chương và phần tài liệu tham khảo. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Trƣờng không Archimed Định nghĩa: Giả sử  là vành giao hoán. Giá trị tuyệt đối không Archimed trên  là hàm từ  đến các số thực không âm 0  thỏa mãn ba tính chất sau: AV 1. a  0 khi và chỉ khi 0a  . AV 2. ab a b với mọi ,ab . AV 3.   ax ,a b m a b với mọi ,ab . Nhận xét 1.1.1. Nếu ab , thì   ax ,a b m a b Chứng minh: Theo định nghĩa trên ta có:   max ,a b a b . Ta chứng minh   max ,a b a b Thật vậy: Xét ab . Ta có   max ,a a b b a b b     nên a a b . Xét ab . Ta có b a b b     max ,a b a nên b a b . Như vậy ta có   max ,a b a b . Vậy   max ,a b a b Ý nghĩa hình học: Nhận xét 1.1.1 có ý nghĩa là : - Mỗi tam giác trong không gian không Archimed là cân. - Mỗi điểm nằm trong hình cầu đều là tâm của nó. Điều này có nghĩa là cứ hai đĩa tròn thì hoặc là chúng rời nhau hoặc đĩa này nằm trọn trong đĩa kia. Nhận xét 1.1.2. Nếu là giá trị tuyệt đối không Archimed trên miền nguyên  thì mở rộng duy nhất tới trường hữu tỉ của  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kí hiệu: Cặp ( F , ) bao gồm có trường F cùng với giá trị tuyệt đối không Archimed trên F hoặc ta kí hiệu ngắn gọn bởi F . Định nghĩa (Tính liên tục của dãy). Dãy n a trong trường không Archimed F được gọi là hội tụ tới phần tử a trong F , nếu với mỗi  0 , có tồn tại số tự nhiên N sao cho với mỗi số tự nhiên nN , ta có n aa   . Định nghĩa (Dãy Cauchy của trƣờng không Archimed). Dãy n a trong F được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi 0   , có tồn tại số tự nhiên  sao cho với mọi số tự nhiên m và n ; ,mn  , thì nm aa   . Nhận xét 1.1.3. Giả sử F là trường không Archimed. Giả sử F là tập của các dãy Cauchy trong F mà các dãy modulo hội tụ tới 0. Nói cách khác , định nghĩa quan hệ tương đương trên tập hợp của dãy Cauchy trong F bằng cách xác định hai dãy Cauchy là tương đương nếu hiệu của chúng là dãy hội tụ tới 0, và giả sử F là tập hợp các lớp tương đương dưới quan hệ tương đương . Khi đó, F là trường, và là mở rộng một cách tự nhiên tới F , và rằng F là trường không Archimed đầy đủ mà ta gọi bổ sung đầy đủ của F. Cho trường F, F  kí hiệu cho F \   0 . Cho trường không Archimed (F, ), tập hợp × F =   :xx  F 0  là nhóm con với phép nhân của 0  gọi là nhóm giá trị của F. Nếu  F là rời rạc trong 0  , thì F được gọi là trường không Archimed với giá trị tuyệt đối rời rạc . Dưới đây chúng tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ về trường không Archimed đầy đủ: (i) Giá trị tuyệt đối tầm thƣờng: Giả sử F là trường. Giá trị tuyệt đối , được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường trên F nếu 0 0 và 1x  với mọi x × F . Khi đó, mọi dãy là Cauchy khi và chỉ khi từ lúc nào đó nó là hằng số, và do đó hội tụ. Như vậy một trường Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn F tùy ý có thể trở thành trường không Archimed đầy đủ bằng cách trang bị trên F một giá trị tuyệt đối tầm thường. (ii) Các trƣờng số p –Adic. Xét các số hữu tỉ Q và giả sử p là số nguyên tố. Khi đó, một số x khác không trong Q có thể được viết duy nhất dưới dạng sau : n a xp b  ở đây p không chia hết a hoặc b . Với xQ ta có: : 0 0 : 0 n p px x x        Ví dụ: (1) Cho 5p  , 45x  . Ta có 5.9x  nên 1 5 1/ 25 p x   . (2) Cho 5p  , 22 / 2015x  . Ta có 1 22 5 403 x      · nên 1 55 p x  . (3) Cho 5p  , 2013x  . Ta có 5 2013 1 p x  . Mệnh đề 1.1.4. Hàm p là giá trị tuyệt đối không Archimed trên Q. Mệnh đề 1.1.5. Giả sử p là số nguyên tố, 0 n là số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên 0 nn , ta có 01 n ap   . Khi đó, dãy tổng riêng 0 k n kn nn S a p    là dãy Cauchy trong   , p Q . Hơn nữa, k S hội tụ trong Q nếu và chỉ nếu n a từ một lúc nào đó là tuần hoàn , nói cách khác tồn tại số nguyên 1 n và t 1 sao cho n t n aa   với mọi 1 nn . Chứng minh: Xem [24, § I .5.3]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa (Trƣờng p Q ): Với số nguyên tố p , bổ sung đủ của Q theo tôpô sinh bởi giá trị tuyệt đối p là một trường, kí hiệu là p Q . Giá trị tuyệt đối p trên p Q , được mở rộng từ giá trị tuyệt đối p trên Q , thỏa mãn: (1) Q trù mật trong p Q . (2) p Q là đầy đủ. Trường p Q được gọi là trường các số p -adic. Định nghĩa ( Trƣờng p  ): Bao đóng đại số của p Q kí hiệu là p Q , giá trị tuyệt đối trên p Q được mở rộng từ giá trị tuyệt đối p trên p Q và cũng kí hiệu là p . Chú ý p Q không đầy đủ. Trường bổ sung đủ của p Q theo tôpô cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối p , kí hiệu là p  . Như vậy (1) Tồn tại một phép nhúng p Q p  và giá trị tuyệt đối p trên p  nhận được bằng cách mở rộng giá trị tuyệt đối p trên p Q . (2) p Q trù mật trong p  . (3) p  là đầy đủ. Trường p  thỏa mãn ba điều kiện trên được gọi là trường các số phức p -adic. p  đầy đủ, đóng đại số, có đặc số không. 1.2. Các hàm giải tích và hàm phân hình. Giả sử ( F , ) là trường không Archimed, đầy đủ, đóng đại số. Mệnh đề 1.2.1. Chuỗi n a  các phần tử của F hội tụ nếu và chỉ nếu lim 0 n n a   . [...]... Trong giải tích phức, hàm chỉnh hình bị chặn trên toàn mặt phẳng là hàm hằng Tương tự như vậy , ta cũng có định lý Liouville trong lý thuyết hàm p adic Định lý 1.4.5 ( Định lý Liouville ) Hàm nguyên bị chặn là hàm hằng Hơn nữa, nếu f  z z d bị chặn khi z   thì f là đa thức có bậc không quá d Chứng minh: Viết f dưới dạng chuỗi lũy thừa  a z j j j 0 , ta chứng minh định lý bằng phương pháp phản... tới hàm giải tích h f  0  j 0   trên B r2 Ở đây ta sử dụng điều dãy hàm hội tụ trong A  r2  nếu và chỉ nếu là dãy hội tụ trong A  r  với mọi r  r2 Cuối cùng, chỉ cần đặt g  h / f  0  ta có mệnh đề được chứng minh  Định lý Liouville và định lý Riemann mở rộng Từ các tính chất cơ sở của r ta có định lý Liouville và định lý Riemann mở rộng Định lý 2.2.6 ( Định lý Liouville ) Nếu f là hàm. .. của định lý Bây giờ, chọn   z  w , hệ quả được chứng minh  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 2 ĐA GIÁC ĐỊNH GIÁ VÀ CÔNG THỨC POISSON –JENSEN Trong chương trước, tích phân Schnirelman đã được sử dụng để cho tương tự không Acsimét của các kết quả quen thuộc từ lý thuyết hàm phức cổ điển Tuy nhiên có rất nhiều sự khác biệt giữa lý thuyết hàm không...  b1  z  bn  n   ở đây g giải tích trên z  a  r Áp dụng định lý 1.3.6 ta chứng minh được định lý  Tương tự như trong giải tích phức, ta cũng có các hệ quả của công thức tích phân Cauchy, như nguyên lý môđun cực đại, định lý Liouville 1.4 Hệ quả của công thức tích phân Cauchy Nguyên lý mô đun cực đại Định lý 1.4.1 (Nguyên lý mô đun cực đại) Giả sử r và a thuộc F, và giả sử f là giải tích trên... là hàm nguyên và f r bị chặn với mọi r , thì f là hàm hằng Chứng minh: Do f là hàm nguyên nên ta đặt f  z    cn z n Giả sử f không là hàm hằng, tồn tại chỉ số n0  0 sao cho cn0  0 Do đó f r  cn0 r n0   khi r   Điều này mâu thuẫn với tính bị chặn của f r Vậy f là hàm hằng  Để chuẩn bị cho định lý Riemann mở rộng, ta đưa ra định nghĩa hàm f giải tích tại vô cực Số hóa bởi Trung tâm Học...  an,m r m   r m r m Vậy vành hàm giải tích trên A r1, r2  là đầy đủ  Theo tính nhân trong mệnh đề 2.2.3, ta mở rộng r tới các hàm phân hình Ta nhắc lại rằng hàm phân hình là giải tích trừ tại các cực điểm Mệnh đề 2.2.5 Giả sử f là hàm giải tích trên B r1 , với r1  0 và f  0   0 Đặt   r2  sup r  r1 : f r  f  0   0 , khi đó, có tồn tại duy nhất hàm giải tích g trên B r2 sao cho... giải tích trên hình vành khuyên A[1,1] đơn giản là các phần tử của F [ z, z 1 ] 1.3 Tích phân Schnirelman và công thức tích phân Cauchy Trong lý thuyết hàm phức, không có gì quan trọng như định lý tích phân Cauchy và công thức tích phân Cauchy Trong trường hợp p-adic, có thể xem tích phân Schnirelman [25] là tương tự tích phân đường trong trường hợp phức Định nghĩa tích phân này sẽ được sử dụng trong... Khi đó, theo định lý 1.3.6 và mệnh đề 1.3.2, tương tự như trong chứng minh của nguyên lý môđun cực đại, ta có f  z Dn f  w    z  w dz  r max n 1 z a  r z a  r f  z zw n 1 · Ngoài ra, theo nhận xét 1.1.1 có z  w   z  a    w  a   z  a  r , do đó mệnh đề được chứng minh  Định lý sau cho phép chuyển đạo hàm Hasse vào trong dấu tổng của chuỗi đối với hàm giải tích  Mệnh... http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa: Ta nói rằng hàm giải tích f trên A r1,   là giải tích ở vô cực nếu f 1/ z  là hàm giải tích trên A0,1/ r1  =B  r 1 1 Định lý 2.2.7 ( Định lý Riemann mở rộng ) Nếu f là giải tích trên A r1,   và tập hợp f r : r  r1 bị chặn trong  thì f là giải tích ở vô cực Chứng minh: Đặt f  z    cn z n Để chứng minh hai định lý trên, ta chỉ cần chứng minh sự tồn tại... đạt giá trị lớn nhất trong phần trong hình cầu thì f sẽ là hằng số Tuy nhiên điều này dễ dàng nhìn thấy sai trong lý thuyết hàm không Archimed Thực vậy, xét c  1 và giả sử f  z   z  c Khi đó , f  z   c với mọi z  1, nhưng f không là hằng số Tuy nhiên f là hằng số trên z  1 Nguyên lý môđun cực đại có thể diễn đạt dưới dạng sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn . trọng của lý thuyết hàm phức một biến được xem xét đối với các lớp hàm trên trường không Archimed. Bên cạnh nhiều tính chất tương tự, có nhiều tính chất là đặc thù của không gian hàm trên. http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐINH XUÂN BẰNG LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC. http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐINH XUÂN BẰNG LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-2013 Số hóa bởi Trung