ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ NA VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Na i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS. Lê Dũng Mưu (Viện Toán học Việt Nam). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K19 (2011- 2013) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Na ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Các kiến thức về không gian Hilbert 2 1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Tổng của các toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . 34 3 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại 41 3.1 Giới thiệu bài toán và các trường hợp riêng quan trọng . . . . 41 3.2 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận chung 55 Tài liệu tham khảo 56 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và đang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến như Browder F.E, Rockafellar R.T, Minty G.J Bên cạnh các kết quả đặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong những công cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng chẳng hạn như bất đẳng thức biến phân. Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ dưới gradient và gradient, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho rất nhiều các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu. Đề tài của luận văn là về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực và ứng dụng của nó trong việc khảo sát bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại và một số bài toán có liên quan. Vì thế đây là một đề tài vừa có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao. Nội dung của bản luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 giới thiệu một cách hệ thống lại các định nghĩa, ví dụ và một số tính chất quan trọng của không gian Hilbert thực. Chương 2 gồm hai phần chính. Phần thứ nhất nêu lên định nghĩa và giới thiệu các tính chất cơ bản của toán tử đơn điệu. Phần thứ hai trình bày về tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại. Chương 3 giới thiệu bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại và hai trường hợp riêng quan trọng là bài toán cực tiểu hàm lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, cuối chương nêu thuật toán điểm gần kề và khảo sát sự hội tụ tới nghiệm của thuật toán này trong việc giải bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại. 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Các kiến thức về không gian Hilbert Các không gian Hilbert là những trường hợp riêng quan trọng của không gian Banach (hay còn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ với chuẩn kí hiệu là ||.||, xem [2], [4]) và là một không gian hữu ích, dễ thao tác trong các áp dụng của giải tích hàm tuyến tính vào lý thuyết và kĩ thuật. Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert trên trường số thực R. Các kiến thức trong chương được lấy từ các tài liệu [2], [4], [7]. 1.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.1. Cho H là không gian vectơ trên R, tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ ., . : H × H −→ R (x, y) −→ x, y thỏa mãn các điều kiện sau đây 1. x, y = y, x, ∀x, y ∈ H; 2. x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H; 3. λx, y = λx, y, ∀x, y ∈ H, λ ∈ R; 4. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0. Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y trong H. Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa suy ra 1. x, λy = λx, y, 2. x, y + z = x, y + x, z, 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3. x, 0 = 0, với mọi x, y, z ∈ H và λ ∈ K. Ví dụ 1.1. Với x = (x 1 , x 2 , ··· , x n ), y = (y 1 , y 2 , ··· , y n ) ∈ R n , biểu thức x, y = n  k=1 x k y k xác định một tích vô hướng trong R n . Định nghĩa 1.2. Cặp (H, ., .), trong đó H là một không gian tuyến tính trên R, ., . là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền Hilbert thực. Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau |x, y| 2 ≤ x, x.y, y (1.1) Chứng minh. Với y = 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Giả sử y = 0, khi đó với mọi số λ ∈ R ta đều có x + λy, x + λy ≥ 0, tức là x, x + λy, x+ λx, y + |λ| 2 y, y ≥ 0 Chọn λ = − x, y y, y ta được x, x − |x, y| 2 y, y ≥ 0 ⇔ |x, y| 2 ≤ x, x.y, y. Định lý được chứng minh. Chú ý 1.1. Dấu bằng trong bất đẳng thức Schwarz xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính. Mối quan hệ giữa khái niệm chuẩn và tích vô hướng được thể hiện qua định lý sau. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.2. (xem [4]) Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức ||x|| =  x, x, ∀x ∈ H. (1.2) Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng. Nhận xét 1.2. Với kí hiệu mới này, bất đẳng thức Schwarz được viết lại thành |x, y| ≤ ||x||.||y||. (1.3) Như vậy một không gian tiền Hilbert xem như không gian định chuẩn có thể đầy đủ hoặc không đầy đủ. Định nghĩa 1.3. Nếu H là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là không gian Hilbert thực. Ví dụ 1.2. R n là không gian Hilbert thực với tích vô hướng x, y = n  k=1 x k y k trong đó x = (x 1 , x 2 . . . , x n ), y = (y 1 , y 2 . . . , y n ) ∈ R n và chuẩn cảm sinh ||x|| 2 = x, x = n  k=1 x k x k = n  k=1 |x k | 2 . Ví dụ 1.3. Không gian l 2 =  x = {x n } n ∈ R : ∞  n=1 |x n | 2 < +∞  là không gian Hilbert với tích vô hướng x, y = ∞  n=1 x n y n và chuẩn cảm sinh ||x|| =     ∞  n=1 |x n | 2 với mọi x = (x n ) n∈N , y = (y n ) n∈N ∈ l 2 . 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.4. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b] xét tích vô hướng x, y = b  a x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b]. Khi đó • Không gian C[a, b] với chuẩn ||x|| = max a≤t≤b |x(t)| là không gian Banach nên C[a, b] là không gian Hilbert. • Nhưng không gian C[a, b] với chuẩn ||x|| =   b  a |x(t)| 2 dt   1/2 lại không phải là không gian Banach nên nó không phải là không gian Hilbert. 1.2 Một số tính chất quan trọng Định lý 1.3. Giả sử (x n ) n , (y n ) n là hai dãy hội tụ đến x 0 , y 0 trong không gian tiền Hilbert thực H, khi đó lim n→∞ x n , y n  = x 0 , y 0 . Chứng minh. Giả sử lim n→∞ x n = x 0 , lim n→∞ y n = y 0 trong không gian H. Ta cần chứng minh lim n→∞ x n , y n  = x 0 , y 0  trong R. Thật vậy, ta có |x n , y n  − x 0 , y 0 | = |x n , y n  + x n , y 0  − x n , y 0  − x 0 , y 0 | ≤ |x n , y n − y 0 | + |x n − x 0 , y 0 | ≤ ||x n ||.||y n − y 0 || + ||x n − x 0 ||.||y 0 ||. Vì dãy (x n ) n hội tụ trong H nên tồn tại M > 0 sao cho ||x n || ≤ M với mọi n ∈ N. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành |x n , y n  − x 0 , y 0 | ≤ M||y n − y 0 || + ||x n − x 0 ||.||y 0 ||. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho n → ∞ suy ra lim n→∞ x n , y n  = x 0 , y 0 . Định lý được chứng minh. Nhận xét 1.3. Định lý trên cho thấy tích vô hướng là một hàm liên tục xác định trên H ×H. Định lý 1.4. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta luôn có đẳng thức hình bình hành sau ||x + y|| 2 + ||x − y|| 2 = 2(||x|| 2 + ||y|| 2 ). (1.4) Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có ||x + y|| 2 = x + y, x + y = ||x|| 2 + ||y|| 2 + x, y + y, x, ||x − y|| 2 = x − y, x −y = ||x|| 2 + ||y|| 2 − x, y −y, x. Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức (1.4). Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x −y và x −z ta có hệ quả sau Hệ quả 1.1. Giả sử H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius 2  ||x − y|| 2 + ||x − z|| 2  = 4||x − y + z 2 || 2 + ||y − z|| 2 . Nhận xét 1.4 1. Đẳng thức (1.4) nói lên một tính chất hình học, tổng bình phương các cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo. 2. Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành. Ngược lại nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức hình bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ tồn tại một tích vô hướng ., . sao cho chuẩn này được xác định nhờ tích vô hướng. Điều này được thể hiện qua định lý sau. Định lý 1.5. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H, tức là ||x + y|| 2 + ||x − y|| 2 = 2(||x|| 2 + ||y|| 2 ) 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... các toán tử đơn điệu từ H → 2H và λ1 , λ2 > 0 thì λ1 T1 + λ2 T2 cũng là toán tử đơn điệu Hơn nữa nếu thêm điều kiện T1 hoặc T2 là đơn điệu ngặt thì λ1 T1 + λ2 T2 đơn điệu ngặt 3 Nếu T : H → 2H là toán tử đơn điệu và A : H → H là toán tử tuyến tính (A∗ là toán tử liên hợp của A), b ∈ H thì S(x) = A∗ T (Ax + b) cũng là toán tử đơn điệu Ngoài ra nếu A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu ngặt thì S là toán. .. OM0 < 0 Do vậy T là toán tử đơn điệu cực đại Một toán tử đơn điệu có thể được mở rộng lên thành toán tử đơn điệu cực đại dựa vào mệnh đề sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.3 [7, Định lý 20.21] Với mọi toán tử đơn điệu T : H → 2H luôn tồn tại toán tử đơn điệu cực đại T : H → 2H sao cho gphT ⊂ gphT và T được gọi là toán tử đơn điệu cực đại mở rộng... T là toán tử đơn trị Theo định nghĩa, T là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi T x − T y, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H T (x − y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H hay Đặt z = x − y , ta có T z, z ≥ 0, ∀z ∈ H Mệnh đề được chứng minh Mệnh đề dưới đây cho thấy tính chất của toán tử đơn điệu đa trị Mệnh đề 2.2 (Phép toán bảo toàn tính đơn điệu) 1 T : H → 2H là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi T −1 : H → 2H là toán tử đơn điệu. .. C Toán tử đơn điệu Định nghĩa 2.15 Toán tử đơn trị T : H → H∗ , (H = H∗ ) được gọi là toán tử đơn điệu nếu T (x) − T (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H Ví dụ 2.8 Cho toán tử đơn trị T xác định trên R cho bởi công thức T (x) = x, ∀x ∈ R Khi đó T là toán tử đơn điệu vì với mọi x, y ∈ R, ta có T (x) − T (y), x − y = x − y, x − y = ||x − y||2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R Định nghĩa 2.16 Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán. .. ∞ → Kết luận chương Trong Chương 1, chúng ta đã nhắc lại các kết quả quan trọng trong không gian Hilbert, những kiến thức trong chương này là cơ sở cho các vấn đề được nghiên cứu trong hai chương sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại Như đã biết, toán tử đơn điệu là một công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu... tính đơn điệu của T nên ta có v − u, y − x = A∗ v1 − A∗ u1 , y − x = v1 − u1 , (Ay + b) − (Ax + b) ≥ 0 Từ đó chứng tỏ S là toán tử đơn điệu Giả sử A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu ngặt Khi đó nếu x = y thì Ax = Ay thì kéo theo Ax + b = Ay + b Giả sử u, v, u1 , v1 được lấy như trên, vì T là toán tử đơn điệu ngặt nên v1 − u1 , (Ay + b) − (Ax + b) > 0 Suy ra v − u, y − x > 0 Từ đó chứng tỏ S là đơn điệu. .. minh Ta đã biết khi T = ∂f thì T là toán tử đơn điệu trên dom(∂f ) Một câu hỏi đặt ra là điều ngược lại có đúng không? Để trả lời câu hỏi đó ta nhắc lại định nghĩa và tính chất về toán tử đơn điệu tuần hoàn sau đây n Định nghĩa 2.18 Cho T : Rn → 2R là toán tử đa trị và tập hợp khác rỗng C ⊆ domT Ta nói T là toán tử đơn điệu tuần hoàn trên C nếu với mọi số nguyên không âm m và mọi cặp (xi , y i ) ∈... mọi không gian tiền Hilbert H đều tồn tại một không gian Hilbert H chứa H sao cho H là không gian con trù mật trong H Chứng minh Dùng phép bổ sung đầy đủ của một không gian định chuẩn ta được một không gian định chuẩn đầy đủ H chứa H sao cho H là không gian định chuẩn trù mật trong H [2, Định lý 2.8] Với mọi x, y ∈ H sẽ tồn tại các dãy (xn )n , (yn )n ⊂ H sao cho lim xn = x, lim yn = y n→∞ n→∞ trong. .. x∗ ) ∈ gphT nên T ⊆ ∂f Mệnh đề được chứng minh Định nghĩa 2.19 Toán tử đơn điệu T : H → 2H được gọi là cực đại nếu đồ thị của T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một toán tử đơn điệu nào khác Ví dụ 2.12 Toán tử đa trị T : R → 2R cho bởi công thức  1 nếu x > 0   T (x) := [0; 1] nếu x = 0    −x2 nếu x < 0 là toán tử đơn điệu cực đại Thật vậy Với mọi điểm M (x, y) ∈ gphT ta luôn tìm... x} Khi đó T đơn điệu mạnh với hệ số α = 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 http://www.lrc-tnu.edu.vn Thật vậy, ta có (T − I)(x, 0) = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x} := F (x, 0) Mà theo Ví dụ 2.10 thì F (x, 0) đơn điệu, do vậy T (x, 0) là đơn điệu mạnh với hệ số α = 1 Tính chất của toán tử đơn điệu đơn trị thể hiện qua Mệnh đề sau Mệnh đề 2.1 Toán tử tuyến tính T : H → H là đơn điệu khi và . bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu. Đề tài của luận văn là về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực và ứng dụng của nó trong việc khảo sát bài toán. PHẠM NGUYỄN THỊ NA VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC . http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Các kiến thức về không gian Hilbert Các không gian Hilbert là những trường hợp riêng quan trọng của không gian Banach (hay còn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ