ĐẠI HỌC THÁI NGUN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ GIANG MƠĐUN COHEN-MACAULAY VỚI CHIỀU > s VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ > s > s > s a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (R, m) a R M R dim M = d s  −1 M > s f M > −1, 0, 1 M > s M > s > s f f > −1, 0, 1 > s 3 1 1.5 1 f f 2 3 2 > s Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ext M s  0 a R dim M/aM > s M > s a M > s M > s a i dim(Supp(H i a (M))) > s, i dim(Ext i R (R/a, M)) > s > s M a depth(a, M, > s). 2 > s > s M > s (Supp(M)) >s dim M = dim R/p p ∈ (Supp(M)) >s M p R p p ∈ (Supp(M)) >s . R M > s m  M M > s > s M = R R M M f Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ R M R dim M = d. M R p R M 0 = x ∈ M p = Ann R (x). Q M M M/Q = 0 a ∈ ZD(M/Q), n ∈ N a n (M/Q) = 0. p =  Ann R (M/Q) R, Q p M. N R M N Q i i = 1, . . . , n, N = Q 1 ∩ . . . ∩ Q n p i N = 0 N = 0 N p i Q i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i = 1, . . . , n Q j ⊆ n  i=1;i=j Q i . N {p 1 , . . . , p n } N M/N Ass R M/N Q i , i = 1, . . . , n N p i Ass R M/N Q i Q i p M N R M N R/p. p R Ass(R/p) = {p}. p Ann(x), 0 = x ∈ M. p ∈ Ass(M). M = 0 Ass(M) = ∅. ZD(M) M M. Ass  R  M =  p∈Ass M Ass  R  M/p  M. R 0 −→ M  −→ M −→ M  −→ 0. Ass R (M  ) ⊆ Ass R (M) ⊆ Ass R (M  ) ∪ Ass R (M  ) Supp R (M) = Supp R (M  ) ∪ Supp R (M  ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ M R Ass R (M) Ass R (M) ⊆ Supp R (M). Ass R (M) Supp R (M) , (R, m) M R d x 1 , . . . , x d ∈ m  R (M/(x 1 , . . . , x d )M) < ∞ M. (x n ) ⊆ R m k ∈ N n 0 x n − x m ∈ m k n, m ≥ n 0 . (x n ) ⊆ R k ∈ N n 0 x n ∈ m k n ≥ n 0 . (x n ), (y n ) (x n − y n )  R (x n ) + (y n ) = (x n + y n ) (x n )(y n ) = (x n y n )  R  R m  R.  R m R (z n ) ⊆ M m k ∈ N n 0 z n − z m ∈ m k M n, m ≥ n 0 . m  R  M. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ x ∈ m M x /∈ p, p ∈ Ass(M) dim R/p = d. x 1 , . . . , x d ∈ m M x i+1 /∈ p, p ∈ Ass R (M/(x 1 , . . . , x i )M) dim R/p = d − i, i = 1, . . . , d − 1. x 1 , . . . , x t ∈ m t  d dim(M/(x 1 , . . . , x t )M) ≥ dim M − t. x 1 , . . . , x t M. x 1 , . . . , x d M a 1 , . . . , a d , x a 1 1 , . . . , x a d d M. x 1 , . . . , x d M  M,  M m M. Ext M, N R n  0 n Hom(−, N) M M N, Ext n R (M, N). Ext n R M . . . → P 2 .u 2 → P 1 .u 1 → P 0 ε → M → 0. Hom(−, N) 0 → Hom(P 0 , N) u ∗ 1 → Hom(P 1 , N) u ∗ 2 → Hom(P 2 , N) → . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... /(pRp )Sq ) n÷a, v× ®ång cÊu c¶m sinh Chó ý 2.2.5 Sq /(pRp )Sq mµ theo gi¶ thiÕt tÊt c¶ c¸c thí lµ Cohen- Macaulay nªn (Rp /pRp ) ⊗R S Cohen- Macaulay hay khi ®ã lµ Cohen- Macaulay lµ Cohen- Macaulay depthSq Sq = dimSq Sq , hay Sq lµ q ∈ (Spec (S) ) >s Chó ý r»ng nÕu R lµ vµnh th­¬ng cđa vµnh Cohen- Macaulay th× Spec(R) vµ do ®ã (Supp(M )) >s lµ catenary V× vËy tõ §Þnh lý 2.2.3, S hóa bởi Trung tâm Học liệu... > s V× S lµ mét R- m«®un hoµn toµn ph¼ng, nªn tån t¹i q ∈ Spec (S) sao cho p = q ∩ R vµ dim (S/ q) > s Rp −→ Sq , XÐt ®ång cÊu ph¼ng víi r/u −→ f (r)/f (u) Theo [BH, MƯnh ®Ị 1.2.16], ta cã depthSq Sq = depthRp Rp + depthSq (Sq /(pRp )Sq ) vµ dimSq Sq = dimRp Rp + dimSq (Sq /(pRp )Sq ) V× depthSq (Sq /(pRp )Sq ) theo gi¶ thiÕt Sq lµ Cohen- Macaulay víi mçi ®¼ng thøc trªn ta cã víi mçi dimSq (Sq /(pRp )Sq... cã: S hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 27 Sq (i) NÕu lµ Cohen- Macaulay víi mçi Cohen- Macaulay víi mçi vµnh Cohen- Macaulay, th× Chøng minh (i) Cho Sq th× Rp lµ p ∈ (Spec(R)) >s ; S (ii) NÕu céng thªm gi¶ thiÕt p ∈ (Spec(R)) >s q ∈ (Spec (S) ) >s , Rp lµ mét më réng nguyªn cđa vµ víi mçi (Rp /pRp ) ⊗R S vµ tÊt c¶ c¸c vµnh thí lµ Cohen- Macaulay víi mçi R, lµ q ∈ (Spec (S) ) >s p ∈ Spec(R)... (v), ta cã M lµ Cohen- Macaulay víi chiỊu Cohen- Macaulay víi mäi >s nÕu vµ chØ nÕu lµ Mp p ∈ (Supp(M )) >s vµ dim R/p = dim M víi mäi p ∈ (min(Supp(M ))) >s Theo Chó ý 2.2.5 ë trªn, tÝnh Cohen- Macaulay víi chiỊu > s cã thĨ chun qua ®Çy ®đ nh­ sau M MƯnh ®Ị 2.2.6 NÕu lµ Cohen- Macaulay víi chiỊu Cohen- Macaulay víi chiỊu > s H¬n n÷a, nÕu R > s M th× còng lµ lµ mét vµnh th­¬ng cđa vµnh Cohen- Macaulay th× ®iỊu... c¸c d·y chÝnh quy, f-d·y, f-d·y suy réng nªn râ rµng r»ng mçi m«®un Cohen- Macaulay víi chiỊu > −1, 0, 1 t­¬ng øng lµ m«®un Cohen- Macaulay, f-m«®un theo nghÜa cđa C­êng-Shenzel-Trung [CST] vµ f-m«®un suy réng theo nghÜa cđa Nhµn-Morales [NM] (ii) Theo Chó ý 2.1.2, mçi phÇn tư chÝnh quy víi chiỊu quy víi chiỊu > s + 1 nªn mçi m«®un Cohen- Macaulay víi chiỊu > s lµ mét m«®un Cohen- Macaulay víi chiỊu (iii)... q ∈ (Spec (S) ) >s , nªn tõ c¸c depthRp Rp = dimRp Rp , suy ra Rp p ∈ (Spec(R)) >s (ii) Cho q ∈ (Spec (S) ) >s vµ p = q ∩ R ®Þa ph­¬ng hãa cđa h×nh thøc (Rp /pRp ) ⊗R S, Ta cã Sq /(pRp )Sq R/p −→ S/ q Cohen- Macaulay víi mçi H¬n lµ më réng nguyªn nªn tõ dim R/p > s ta cã dim S/ q > s Do ®ã, tõ gi¶ thiÕt Rp vµ kÕt hỵp víi c¸c ®¼ng thøc ë trªn ta cã lµ còng lµ depthSq (Sq /(pRp )Sq ) = dimSq (Sq /(pRp )Sq ) n÷a,... (i) M -d·y víi chiỊu > s V× vËy M Ng­ỵc l¹i, nÕu M ⇔ (ii) ta cã lµ Cohen- Macaulay víi chiỊu s, x1 , , x d lµ > s R lµ vµnh th­¬ng cđa vµnh Cohen- Macaulay, chøng minh r»ng lµ Cohen- Macaulay víi chiỊu > s th× M còng lµ Cohen- Macaulay víi chiỊu > s ThËt vËy, tõ Chó ý 2.2.5 ta thÊy, víi mçi q ∈ (Supp(M )) >s , ta cã lµ Cohen- Macaulay vµ víi mçi Mq dim R/q = dim M V× thÕ, lÊy q ∈ (Min(Supp(M ))) >s , ta... (Supp(M )) >s vµ tÝnh chÊt khi chun qua ®Þa ph­¬ng hãa C¸c kÕt qu¶ nµy lµ më réng tõ c¸c kÕt qu¶ vỊ líp m«®un Cohen- Macaulay, f-m«®un vµ f-m«®un suy réng ®· ®­ỵc nghiªn cøu trong [CST], [NM], §Þnh nghÜa 2.2.1 hƯ tham s cđa M M ®­ỵc gäi lµ Cohen- Macaulay víi chiỊu lµ mét Cohen- Macaulay víi chiỊu chiỊu M -d·y >s víi chiỊu > s Vµnh R >s nÕu mçi lµ mét vµnh nÕu nã lµ mét m«®un Cohen- Macaulay víi > s trªn... tham s cđa víi chiỊu nghÜa > s nªn x1 , , xr+1 lµ M V× M -d·y M lµ m«®un Cohen- Macaulay víi chiỊu > s Do ®ã theo ®Þnh xr+1 ∈ p sao cho p ∈ Ass(M/(x1 , , xr )M ) v× thÕ ®iỊu gi¶ s lµ sai / Suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh (ii) ⇒ (i) B»ng quy n¹p, ta chØ cÇn chøng minh cho mét phÇn tư Gi¶ s x lµ mét phÇn tư tham s cđa M vµ gi¶ s M kh«ng lµ m«®un Cohen- Macaulay víi chiỊu x ∈ p > s p ∈ Ass(M/xM ) sao... Cohen- Macaulay víi chiỊu > s nªn suy ra Mp còng lµ Cohen- Macaulay theo §Þnh lý 2.2.3, (i) ⇔ trªn ta cã lµ Cohen- Macaulay H¬n n÷a, lÊy dim Mq = depth Mq , hay Mq (v) V× thÕ, tõ hai ®¼ng thøc q ∈ (Min(Supp(M ))) >s , khi ®ã theo MƯnh ®Ị 1.1.2, ta cã q ∈ AssR (M ) vµ dim R/q > s L¹i theo MƯnh ®Ị 1.1.2 ta cã AssR (M ) = (AssR R/(pR)) p∈AssR (M ) V× thÕ tån t¹i p ∈ (Ass(M )) >s sao cho q ∩ R = p Do ®ã, v× . THÁI NGUN ĐẠI HỌC S PHẠM DƯƠNG THỊ GIANG MƠĐUN COHEN- MACAULAY VỚI CHIỀU > s VÀ MỘT S KẾT QUẢ TRÊN MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2013 S hóa bởi Trung. R/p. p R Ass(R/p) = {p}. p Ann(x), 0 = x ∈ M. p ∈ Ass(M). M = 0 Ass(M) = ∅. ZD(M) M M. Ass  R  M =  p∈Ass M Ass  R  M/p  M. R 0 −→ M  −→ M −→ M  −→ 0. Ass R (M  ) ⊆ Ass R (M) ⊆ Ass R (M  ). > s M > s a M > s M > s a i dim(Supp(H i a (M))) > s, i dim(Ext i R (R/a, M)) > s > s M a depth(a, M, > s) . 2 > s > s M > s (Supp(M)) > ;s dim M = dim R/p p ∈ (Supp(M)) > ;s M p R p p