MT S BI TP V A TP KH VI V LI GII CHI TIT Bi 3.1 Chng minh rng ỏnh x : ( ) ( ) ( ) V M V M V M ì xỏc ủnh bi: ( ) [ ] , , X Y X Y cú cỏc tớnh cht sau: a) [ ] [ ] , , X Y Y X = . b) [ ] [ ] [ ] , , , , , 0 X Y Z Y Z X Z X Y + + = vi mi ( ) , , X Y Z V M . Bi 3.2 Cho RaVVV lsk );( );(,, );(,, 2121 . Chứng minh rằng: 1. + = + 2121 )( . 2. 2121 )( + = + . 3. ) ( ) ( ) ( = = a a a . 4. = = ) ( ) ( . 5. = ks )1( . Bi 3.3 Cho N M , là các đa tạp khả vi, * f là ánh xạ kéo lùi ).(, N k Chứng minh rằng: 1. *** )( fff = . 2. *** )( gffg = . 3. ddffd ( . ** = là phép toán lấy vi phân ngoài). Bi 3.4 Chứng minh các tính chất của vi phân ngoài a. ( ) 1 2 1 2 d w w dw dw + = + b. ( ) 2 0, k d w w= M Bi 3.5 a) Chng minh rng mt cu ủn v ( ) { } 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 , , , ; 1 n n n n S x x x x x x + + + = ∈ + + + = ℝ là ña tạp khả vi n chiều trong 1 n + ℝ . b) Trong 2 R xét { } 2 2 2 ( , ) , 1 M x y x y = ∈ + = ℝ . Chứng minh rằng M là ña tạp khả vi 1 chiều trong 2 R . Bài 3.6 Chứng minh rằng Nếu M và N là hai ña tạp khả vi thì M × N là ña tạp khả vi (gọi là ña tạp tích). Bài 3.7 Trong 2 ℝ cho ( ) { } 2 2 2 , : 0; ( ) M x y y x x y = ∈ ≥ − ℝ coi M là không gian tô pô con của 2 ℝ . Chứng minh rằng: M không thể là ña tạp khả vi. Bài 3.8 Mặt nón: 2 2 2 2 2 1 2 1 0(1 ) q q n x x x x x q n + + + + − − − = ≤ ≤ có là ña tạp con của n ℝ không? Tại sao? Bài 3.9 Xét các ñường cong sau ñây trong 2 ℝ có là ña tạp khả vi hay không? a, 2 3 y x x = + b, 2 3 y x x = − Bài 3.10 Chứng minh rằng trong 3 ℝ . Hyperbolic hai tầng xác ñịnh bởi phương trình ẩn 2 2 2 1 x y z + − = − (H) là một ña tạp không compact không liên thông cung. Bài 3.11 Chứng minh rằng xuyến 1 1 1 1 2 n n S S S π = × × × là ña tạp khả vi n chiều. LỜI GIẢI Bài 3.1 Giải a) ∀ f ∈ F r ( M ), ∀ ( ) , , X Y Z V M ∈ ta có: [ ] ( ) ( ) ( ) , X Y f X fY Y Xf = − và [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , Y X f Y Xf X Yf X Yf Y Xf = − = − − . Vậy [ ] [ ] , , X Y Y X = − . b) Ta có: [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , . X Y Z f X Y Zf Z X Y f X YZf Y XZf Z X Yf Y Xf X YZf Y XZf ZX Yf ZY Xf   = −   = − − − = − − + [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , . Y Z X f Y Z Xf X Y Z f Y ZXf Z YXf X Y Zf Z Yf Y ZXf Z YXf XY Zf XZ Yf   = −   = − − − = − − + [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , . Z X Y f Z X Yf Y Z X f Z XYf X ZYf Y Z Xf X Zf Z XYf X ZYf YZ Xf YX Zf   = −   = − − − = − − + Từ ñó ta có: [ ] [ ] [ ] , , , , , 0 X Y Z Y Z X Z X Y      + + =       . Bài 3.2 Giải 1. Ta cã: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 , , , , , ( )! ( , , , , , ) ! ! k k k s k k k s v v v v k s Alt v v v v k s ω ω η ω ω η + + + + + ∧ =     + = + ⊗ ( )( ) ( ) )( )1( )()1(21 , ,,, ,sgn )!( 1 !! )!( sk k k vvvv sksk sk + + ⊗+ + ⋅ + = ∑ σσσσ ηωωσ ( ) ( ) ( ) )( )1( )()1(21 , ,, ,sgn )!( 1 !! )!( sk k k vvvv sksk sk + + + + ⋅ + = ∑ σσσσ ηωωσ ( ) ( ) [ ] ( ) )( )1( )()1(2)()1(1 , ,, ,, ,sgn )!( 1 !! )!( sk k kk vvvvvv sksk sk + + + + ⋅ + = ∑ σσσσσσ ηωωσ ( ) ( ) )( )1( )()1(1 , ,, ,sgn )!( 1 !! )!( sk k k vvvv sksk sk + + ∑ + ⋅ + = σσσσ ηωσ ( ) ( ) )( )1( )()1(2 , ,, ,sgn )!( 1 !! )!( sk k k vvvv sksk sk + + ∑ + ⋅ + + σσσσ ηωσ ( ) ( ) )()1( )( )1(1 ,,, ,sgn )!( 1 !! )!( skk k vvvv sksk sk ++ ⊗ + ⋅ + = ∑ σσσσ ηωσ ( ) ( ) )()1( )( )1(2 ,,, ,sgn )!( 1 !! )!( skk k vvvv sksk sk ++ ⊗ + ⋅ + + ∑ σσσσ ηωσ ( ) ( ) )()1( )( )1(1 ,,, , ! ! )!( skk k vvvvAlt s k sk ++ ⊗ + = σσσσ ηω ( ) ( ) )()1( )( )1(2 ,,, , ! ! )!( skk k vvvvAlt s k sk ++ ⊗ + + σσσσ ηω ( ) ( ) ( ) ( ) ., ,,, ,, ,,, , 112111 skkkskkk vvvvvvvv ++++ ∧ + ∧ = η ω η ω ( ) ( ) ., ,,, , 1121 skkk vvvv ++ ∧ + ∧ = η ω η ω ⇒ η ω η ω η ω ω ∧ + ∧ = ∧ + 2121 )( . NhËn xÐt: §Ó cho gän h¬n ta cã thÓ lµm theo c¸ch 2 nh− sau vµ nh÷ng ý cßn l¹i ta lµm theo c¸ch 2. ( ) [ ] ( ) ( )( ) ), ,,, ,( ! ! )!( , ,,, , 11211121 skkkskkk vvvvAlt s k sk vvvv ++++ ⊗+ + =∧+ ηωωηωω ( ) ), ,,, ,( ! ! )!( 1121 skkk vvvvAlt s k sk ++ ⊗+⊗ + = ηωηω ( )( ) skkk vvvvAlt s k sk ++ ⊗ + = , ,,, , ! ! )!( 111 ηω ( )( ) skkk vvvvAlt s k sk ++ ⊗ + + , ,,, , ! ! )!( 112 ηω ( ) ), ,,, ,( 1121 skkk vvvv ++ ∧ + ∧ = η ω η ω ⇒ η ω η ω η ω ω ∧ + ∧ = ∧ + 2121 )( . 2. T−¬ng tù ta cã: [ ] ( ) ( ) ( )( )( ) skkkskkk vvvvAlt s k sk vvvv ++++ +⊗ + =+∧ , ,,, , ! ! ! , ,,, ,)( 11211121 ηηωηηω ( ) ( )( ) skkk vvvvAlt s k sk ++ ⊗+⊗ + = , ,,, , !! ! 1121 ηωηω ( ) ( )( ) skkk vvvvAlt s k sk ++ ⊗ + = , ,,, , !! ! 111 ηω ( ) ( )( ) skkk vvvvAlt s k sk ++ ⊗ + + , ,,, , !! ! 112 ηω ( ) ( ) skkk vvvv ++ ∧ = , ,,, , 111 η ω ( ) ( ) skkk vvvv ++ ∧ + , ,,, , 112 η ω ( ) ( ) skkk vvvv ++ ∧ + ∧ = , ,,, , 1121 η ω η ω . ⇒ 2121 )( η ω η ω η η ω ∧ + ∧ = + ∧ . 3. Víi R a ∈ ta cã: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) skkkskkk vvvvaAlt s k sk vvvva ++++ ⊗ + =∧ , ,,, , ! ! ! , ,,, , 1111 ηωηω ( ) ( ) [ ] ( ) skkk vvvvaAlt s k sk ++ ⊗ + = , ,,, , ! ! ! 11 ηω ( ) ( )( ) skkk vvvvAlt s k sk a ++ ⊗ + = , ,,, , ! ! ! 11 ηω ( ) ( ) skkk vvvva ++ ∧ = , ,,, , 11 η ω (*). MÆt kh¸c ta cã: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) skkkskkk vvvvaAlt s k sk vvvva ++++ ⊗ + =∧ , ,,, , ! ! ! , ,,, , 1111 ηωηω ( ) ( ) [ ] ( ) skkk vvvvaAlt s k sk ++ ⊗ + = , ,,, , ! ! ! 11 ηω ( ) [ ] ( ) skkk vvvva ++ ∧ = , ,,, , 11 η ω (**). Tõ (*) vµ (**), ⇒ ) ( ) ( ) ( η ω η ω η ω ∧ = ∧ = ∧ a a a . 4. Theo trªn ta cã: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) lskskskkk lskskskkk vvvvvvAlt lsk lsk vvvvvv ++++++ ++++++ ⊗∧ + ++ = ∧ ∧ , ,,, ,,, , !! ! , ,,, ,,, , 111 111 θηω θ η ω ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] lskskskkk vvvvvvAlt lsk lsk ++++++ ∧ + + + = , ,., ,,, , !! ! 111 θηω ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )       ⊗ + + ++ = ++++++ lskskskkk vvvvvvAlt sk sk Alt lsk lsk , ,., ,,, , !! ! !! ! 111 θηω ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) lskskskkk vvvvvvAltAlt sk sk lsk lsk ++++++ ⊗⊗ + + + + = , ,,, ,,, , !! ! !! ! 111 θηω ( ) ( )( )( ) lskskskkk vvvvvvAlt l s k lsk ++++++ ⊗⊗ + + = , ,,, ,,, , ! ! ! ! 111 θηω ( ) ( ) ( ) lskskskkk vvvvvv ++++++ ∧ ∧ = , ,,, ,,, , 111 θ η ω (a). T−¬ng tù ta chøng minh ®−îc: ( ) [ ] ( ) lskskskkk vvvvvv ++++++ ∧ ∧ , ,,, ,,, , 111 θ η ω ( ) ( ) lskskskkk vvvvvv ++++++ ∧ ∧ = , ,,, ,,, , 111 θ η ω (b). Tõ (a) vµ (b), ⇒ θ η ω θ η ω θ η ω ∧ ∧ = ∧ ∧ = ∧ ∧ ) ( ) ( . 5. Ta cã: ( )( ) ( ) ( )( ) skkkskkk vvvvAlt s k sk vvvv ++++ ⊗ + =∧ , ,,, , ! ! ! , ,,, , 1111 ηωηω ( ) ( ) )( )1( )()1( , ,,, ,sgn )!( 1 !! )!( sk k k vvvv sksk sk + + ⊗ + ⋅ + = ∑ σσσσ ηωσ ( ) ( ) )( )1( )()1( , ,, ,sgn )!( 1 !! )!( sk k k vvvv sksk sk + + ∑ + ⋅ + = σσσσ ηωσ ( ) ( ) ( ) )()1()( )1( , ,, ,sgn )!( 1 !! )!( 1 ksk k ks vvvv sksk sk σσσσ ωησ + + ∑ + ⋅ + −= ( ) ( ) ( ) )( )1( )()1( , ,,, ,sgn )!( 1 !! )!( 1 sk k k ks vvvv sksk sk + + ⊗ + ⋅ + −= ∑ σσσσ ωησ ( ) ( ) ( ) )( )1( )()1( , ,,, , ! ! )!( 1 sk k k ks vvvvAlt s k sk + + ⊗ + −= σσσσ ωη ( ) ( ) ( ) ., ,,, ,1 )( )1( )()1( sk k k ks vvvv + + ∧−= σσσσ ωη ⇒ ωηηω ∧−=∧ ks )1( . Bài 3.3 Giải 1) Ta cã: ( ) ( ) ( ) ( ) skkkskkk ufufufufuuuuf ++++ ∧=∧ *1**1*11 * , ,,, ,, ,,, , ηωηω ( ) ( ) skkkskkk ufufufufufufufuf ++++ ∧ = *1**1**1**1* , ,,, ,, ,,, , η ω ( ) ( ) skkkskkk uuuufuuuuf ++++ ∧= , ,,, ,, ,,, , 11 * 11 * ηω ( ) ( ) ., ,,, , 11 ** skkk uuuuff ++ = *** )( fff = . 2) ( ) ( ) skkk uuuugf ++ , ,,, , 11 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) skkk ugfugfugfugf ++ = * 1 * * 1 * , ,,, , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) skkk ufgufgufgufg ++ = **1****1** , ,,, , ( ) skkk ufufufufg ++ = *1**1* * , ,,, , ( ) ( ) skkk uuuugf ++ = , ,,, , 11 ** ( ) ( ) skkk uuuugf ++ = , ,,, , 11 ** . *** )( gffg = . 3) Với ( ) k M ta có: 1 1 1 , , 1 k k k i i i i i i n a dx dx < < = . Nếu là dạng bậc không thì ta có: ( ) ( ) d f f d = Chứng minh bằng phơng pháp quy nạp nh sau: Giả sử ( ) ( ) d f f d = với là dạng bậc k . Ta chứng minh rằng với dạng: i dx có bậc là 1 k + thì đẳng thức trên vẫn đúng. Tức là phải chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) (**) i i d f dx f d dx = Thật vậy, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] i k ii dxddxdfdxdf += 1 ** ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 vì k i i f d dx d dx = = (Theo tính chất phép toán vi phân ngoài) ( ) ( ) i f d f dx = (áp dụng chứng minh phần ( 1 .)) ( ) ( ) i d f f dx = (áp dụng giả thiết quy nạp) ( ) ( ) i d f dx = (áp dụng chứng minh phần ( 1 .)) ( ) ( ) ( ) ( ) (*) i i f d dx d f dx = = đợc chứng minh. Vậy: d f f d = . Bi 3.4 Gii a, 1 2 , w w ( ) k M ta có: 1 1 1 1 1 k k k i i i i i i n w dx dx < < = 1 1 1 2 1 k k k i i i i i i n w dx dx < < = Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 k k k k k k i i i i i i i i i i n i i n d w w d dx dx dx dx < < < < + = + ( ) 1 1 1 1 1 k k k k i i i i i i i i n d dx dx < < = + ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 k k k k k k k k k k i i i i i i i i n i i i i i i i i i i n i i n d dx dx d dx dx d dx dx dw dw < < < < < < < < = + = + = + d, Vì 1 1 1 1 k k k i i i i i i n dw d dx dx < < = Nên: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , 1 1 0 k k k k k k k k k i i i i i i n i i j j i i j j i i n j j n d dw d d dx dx d dx dx dx dx < < < < < < = = = (Vì trong tổng đó có các cặp triệt tiêu, và k l l k i i i i dx dx dx dx = ) Bi 3.5 Gii a) Cỏch 1: Xột hm 1 2 1 1 n i i f x + = = Ta cú 1 1 1 1 2 , , 2 n n D f x D f x + + = = hng 1 f i J x khụng ủ ng th i b ng khụng h ng 1 1 1 0 f n J x x + = = = . Vì ñ i ể m (0, ,0) n S ∉ ⇒ ∀ ñ i ể m ( ) 1 2 1 , , , n n P x x x S + = ∈ ta ñề u có h ạ ng ( ) 1 f J p = ( ) 1 0 n f S − ⇒ = là ñ a t ạ p con n chi ề u c ủ a 1 n + ℝ , vì ñ a t ạ p con c ủ a ñ a t ạ p kh ả vi là ñ a t ạ p kh ả vi nên ta có ñ i ề u ph ả i ch ứ ng minh. Cách 2: Ta xây d ự ng h ệ b ả n ñồ ( ) { } 1 2 1 , , , 0 n i n i U x x x S x + + = ∈ > ( ) 1, 1 i n = + ( ) { } 1 2 1 , , , 0 n i n i U x x x S x − + = ∈ < ( ) 1, 1 i n = + ( ) : n i i i i U U ϕ ϕ ± ± ± ± → ⊂ ℝ ( ) ɵ ( ) 1 2 1 1 2 1 1 1 , , , , , , , , , , i n i i n x x x x x x x x x + − + + ֏ ( ) 1, 1 i n = + Xét ánh x ạ : ( ) ( ) ( ) 1 : j i i i j j i j U U U U ϕ ϕ ϕ ϕ − + + + + + + + + ⋅ ∩ → ∩ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1, , , , , , , 1 , , , n n i i k i n k k i x x x x x x x x ϕ − + − + = ≠ ∑   −      ɵ 2 1 1 1 1 1, , , , 1 , , , , , j n j i k i n k k i x x x x x x ϕ + − − + = ≠ ∑   → −     (gi ả s ử j >i) ( ) 1 j i ϕ ϕ − + + ⋅ là ánh x ạ kh ả vi. L ậ p lu ậ n t ươ ng t ự các tr ườ ng h ợ p còn l ạ i ta có { } , i i U ϕ ± ± ( ) 1, 1 i n = + là Atlas kh ả vi c ủ a n S . Do ñ ó n S là ñ a t ạ p kh ả vi n chi ề u trong 1 n + ℝ . b) Cách 1: Ta c ũ ng ch ứ ng minh t ươ ng t ự ph ầ n a), ch ứ ng minh M là ñ a t ạ p con c ủ a 2 ℝ . Cách 2: Xét ph ủ c ủ a M g ồ m 4 t ậ p m ở { } { } 1 1 ( , ) , 0 , ( , ) , 0 U x y M x U x y M x + − = ∈ > = ∈ < { } { } 2 2 ( , ) , 0 , ( , ) , 0 U x y M y U x y M y + − = ∈ > = ∈ < L ậ p các ánh x ạ 1 1 1 1 : ( 1,1), : ( 1,1) (x,y) y (x,y) y U U ϕ ϕ + + − − → − → − ֏ ֏ 2 2 2 2 : ( 1,1), : ( 1,1) (x,y) (x,y) U U x x ϕ ϕ + + − − → − → − ֏ ֏ Ta có i ϕ ± là các ñồ ng phôi. Suy ra ( ) 1,2 , i i i U ϕ ± ± = là họ bản ñồ của M. Ta có ( ) 1 2 1 2 : (0,1) (0,1) y (x,y) 1 y ϕ ϕ − + + → −  ֏ ֏ 2 ( ) 1 f y y = − khả vi trên (0,1) (lập luận tương tự các trường hợp còn lại) Suy ra ( ) 1,2 , i i i U ϕ ± ± = là họ bản ñồ khả vi của M. Do ñó M là ña tạp khả vi 1 chiều. Bài 3.6 Giải Vì M và N là các ña tạp khả vi ⇒ có các Atlas khả vi ( ) { } , i i i I A U ϕ ∈ = ( ) { } , j j j J B V ψ ∈ = của M và N tương ứng Xét hệ bản ñồ sau: ( ) { } ij , , i j i I j J A B u v f ∈ ∈ × = × ( ) ij , : n m i j i j f U V ϕ ψ + = × → ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) , , i j p q p q ϕ ψ ֏ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ij ij : , , , , kl i j k l kl i j k l f f f U V U V f U V U V − ∩ → ∩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ij 1 1 1 1 , , , kl f f i j k i k j p q p q p q ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ − − − − − ֏ ֏   ; ( ) 1 1 1 ij , i j f ϕ ψ − − − = Vì A, B là các Atlas kh ả vi 1 1 , k i l j ϕ ϕ ψ ψ − − ⇒ ⋅ ⋅ là kh ả vi , , , i j k l ∀ . 1 ij kl f f − ⇒  kh ả vi , , , i j k l ∀ . A B ⇒ × là Atlas kh ả vi trên M × N ⇒ M × N là ð a t ạ p kh ả vi. Bài 3.7 Giải +) 2 3 3 2 0 ( ) 0 x x x y x y =   − = ⇔  = ±  ⇒ M g ồm 3 nhỏt Oy + , hai ñường cong 3 2 x y = ± với y ≥ 0 [...]... kh vi con m t chi u c a ℝ 2 b) y 2 = x3 − x (C1) Xét hàm f ( x, y ) = y 2 − x3 + x 1  x = ± J f ( x, y ) = ( −3x + 1 2y) H ng J f = 1 ⇔  3 y = 0  2  1  ,0  ∉ (C1 ) Do ñó C1 = f −1 (0) là ña t p con m t chi u c a ℝ 2 Ta th y  ± 3   Bài 3.10 Xét f = x 2 + y 2 − z 2 + 1 , J f = (2 x 2y -2z) do ñó h ng J f ≠ 1 ⇔ x = y = z = 0 , mà (0,0,0) ∉ ( H ) suy ra H = f −1 (0) là ña t p kh vi hai chi. .. fi = xi2 + yi2 − ri 2 ( ri ≠ 0 ) Ta có J fi = (2 xi 2yi ) nên H ng J fi ≠ 1 ⇔ xi = yi = 0 mà (0,0) ∉ Si1 Suy ra Si1 = fi −1 (0) là ña t p con kh vi m t chi u, m t khác tích hai ña t p kh vi là 1 ña t p kh vi nên π n = S1 × S 21 × × Sn1 là ña t p kh vi n chi u ... mãn f(0)=A, f(1) =B Xét ánh x g:H → R (x,y,z) ֏ z là ánh x liên t c và hơn n a g f (0) = g ( A) = z1 > 1, g f (1) = g ( B ) = z2 < −1 Theo ñ nh lý Bônxano-Cosi ∃t0 ∈ (0,1) : g f (t0 ) = 0 Suy ra ∃( x0 , y0 , z0 ) ∈ ( H ) : f (t0 ) = ( x0 , y0 , z0 ) và g f (t0 ) = 0 ⇒ z0 = 0 ði u này mâu thu n v i z ≥ 1 v y (H) không liên thông cung Bài 3.11 Gi i Trong ℝ 2n ch n h to ñ sao cho S11 có phương trình x12... Do ñó M không là ña t p tôpô nên nó không là ña t p kh vi Bài 3.8 Gi i 2 2 2 2 M t nón: x12 + x2 + + xq − xq +1 − − xn = 0(1 ≤ q ≤ n) 2 2 2 2 Xét hàm f = x12 + x2 + + xq − xq +1 − − xn J f = (2 x1 2x q -2x q +1 -2x n ) Ta có h ng J f ≠ 1 ⇔ x1 = x2 = = xq = = xn = 0 Vì (0,0,…,0) thu c m t nón suy ra N = f −1 (0) không là ña t p con c a ℝ n Bài 3.9 Gi i a) y 2 = x3 + x (C) Xét hàm f ( x, y ) = . y = − khả vi trên (0,1) (lập luận tương tự các trường hợp còn lại) Suy ra ( ) 1,2 , i i i U ϕ ± ± = là họ bản ñồ khả vi của M. Do ñó M là ña tạp khả vi 1 chi u. Bài 3.6 Giải Vì M và N là. − (H) là một ña tạp không compact không liên thông cung. Bài 3.11 Chứng minh rằng xuyến 1 1 1 1 2 n n S S S π = × × × là ña tạp khả vi n chi u. LỜI GIẢI Bài 3.1 Giải a) ∀ f ∈ . ña tạp khả vi n chi u trong 1 n + ℝ . b) Trong 2 R xét { } 2 2 2 ( , ) , 1 M x y x y = ∈ + = ℝ . Chứng minh rằng M là ña tạp khả vi 1 chi u trong 2 R . Bài 3.6 Chứng minh rằng Nếu M và