PHẦN I MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Tốn học cơng cụ giúp học tốt mơn học khác, đóng vai trị vơ quan trọng nhà trường Bên cạnh cịn có tiềm phát triển lực tư phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực đời sống sản xuất Tốn học mang sẵn phương pháp quy nạp thực nghiệm, mà phương pháp suy diễn lơgic Nó tạo cho người học có hội rèn luyện khả suy đốn tưởng tượng Tốn học cịn có tiềm phát triển phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành giới quan khoa học cho học sinh Toán học đời từ thực tiễn lại quay trở phục vụ thực tiễn Tốn học cịn hình thành hồn thiện nét nhân cách say mê có hồi bão học tập, mong muốn đóng góp phần nhỏ cho nghiệp chung đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,… Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới nhân cách hoàn thiện toàn diện Mặt khác tốn học cịn có nhiệm vụ hình thành cho HS kỹ năng: - Kỹ vận dụng tri thức nội mơn tốn để giải tập toán - Kỹ vận dụng tri thức toán học để học tập môn học khác - Kỹ vận dụng tri thức tốn học vào đơì sống, kỹ đo đạc, tính tốn,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính… Tuy nhiên ba kỹ có quan hệ mật thiết với Kỹ thứ sở để rèn luyện hai kỹ Chính kỹ vận dụng kiến thức để giải tập tốn vơ quan trọng học sinh Trong việc trình bày lời giải tốn thước đo cho kỹ để có lời giải tốt học sinh cần có kiến thức, kỹ ngược lại có kiến thức, có kỹ học sinh trình bày tốt lời giải toán Là giáo viên dạy tốn, có 20 năm gắn bó với nghề q trình giảng dạy tơi ln học hỏi đồng nghiệp tìm tịi phương pháp thích hợp để giúp em học sinh u thích học tốt mơn toán hơn, vững bước vào kỳ thi, kiểm tra có kĩ vận dụng vào sống Vì vậy, chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh sử dụng hệ thức Vi-et giải toán theo hướng tích cực hóa hoạt động học sinh” Từ tốn đơn giản khơng giải phương trình tính tổng tích nghiệm phương trình bậc 2, học sinh có phương tiện hệ thức Vi – ét để tính tốn Hệ thức cịn giúp học sinh xét dấu nghiệm phương trình mà khong biết cụ thể nghiệm Giải biện luận phương trình bậc có chứa tham số loại tốn khó Tiếp tục tốn thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ nghiệm , phép tính nghiệm phương trình Việc tính nghiệm phương trình theo cơng thức nghiệm vơ khó khăn phương trình chứa tham số Trong trường hợp hệ thức Vi – ét phương tiện hiệu giúp học sinh giải loại toán Cuối học kỳ lớp , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ kỳ thi cuối cấp Các toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào trường chuyên lớp chọn Trong viết , tơi hy vọng đóng góp thêm số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen tiến tới giải tốt cần áp dụng hệ thức Vi - ét II Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu mong muôn giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu toán học từ đạt kết cao giải tốn nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hồn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc giải tốn Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em III Nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp câu hỏi khoa học sau đây: - Kỹ gì? Cơ chế hình thành kỹ nào? - Những tình điển hình thường gặp trình giải vấn đề liên quan - Trong trình giải vấn đề liên quan, học sinh thường gặp khó khăn sai lầm nào? - Những biện pháp sư phạm sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ giải vấn đề liên quan? - Kết thực nghiệm sư phạm nào? IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: - Các dạng toán phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú kết học tập học sinh - Học sinh lớp trường THCS XXX V Phương pháp nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán PHẦN II NỘI DUNG A) KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1) Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm phân biệt x1 , x2 tổng tích hai nghiệm là: b S = x1 + x2 = − a P = x1.x2 = c a ) Tính nhẩm nghiệm a ) Nếu a + b + c = phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm số x1 =1, x2 = c a b ) Nếu a - b + c = phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm số x1 = −1, x2 = − c a ) Tìm số biết tổng tích chúng Nếu số u v có tổng u + v = S phương trình bậc hai : tích u.v = P u v nghiệm x − Sx + P = B ) BÀI TẬP ÁP DỤNG VÀ BÀI TẬP PHÁT TRIỂN , NÂNG CAO ) Loại tốn xét dấu nghiệm phương trình mà khơng giải phương trình Bài tập 1: Khơng giải phương trình cho biết dấu nghiệm ? a) x − 13 x + 40 = b) x + x + = c) x + x − = Giải b a)Theo hệ thức Vi – ét có S = x1 + x2 = − a = 13 P = x1.x2 = c = 40 a Vì P > nên nghiệm x x dấu S > nên nghiệm dấu dương c a b) Theo hệ thức Vi – ét có P = x1.x2 = = > nên nghiệm dấu −b −7 S = x1 + x2 = a = < nên nghiệm dấu âm c) P = x1.x2 = c −1 = < nên nghiệm trái dấu a b a S = x1 + x2 = − = − < Bài tập : Cho phương trình x − 10 x − m = (1) Chứng minh phương trình ln có nghiệm trái dấu với giá trị m ≠ Nghiệm mang dấu có giá trị tuyệt đối lớn ? Giải Ta có a = > , c = - m < với m ≠ Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) ln ln có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi - ét : P = x1 , x2 = −m < Do x1 x2 trái dấu S = x1 + x2 = 10 nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn Bài tập 3: (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000) Cho phương trình x − (m − 1) x − m + m − = (1) (3đ) (với m tham số) a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình cho có nghiệm trái dấu ∀ m c) Gọi nghiệm phương trình cho x , x Tìm m để biểu thức 3 x  x  A =  ÷ +  ÷ đạt giá trị lớn  x2   x1  Giải : a) Thay m = vào phương trình ta x −x −4 =0 ∆=1 −4.( − =17 >0 4) Phương trình có nghiệm phân biệt + 17 x1 = − 17 x2 = b)Xét 1 3  ac = − m + m − = −(m − m + 2) = −(m − m + + ) = − (m − ) +  4 4  2 1 1 3   Có  m − ÷ ≥ ⇔  m − ÷ +1 ≥ ⇔ P ≤ −1 ⇒ P < 0∀m 2 2 4   Vậy phương trình (1) có nghiệm trái dấu ∀m c) Gọi nghiệm phương trình cho x , x Từ kết phần b có x , x ≠ , biểu thức A xác định với x , x tính theo m ( Đặt ( x1 x ) > 0; ( ) < x2 x1 x1 ) = −a Với a > x2 Có A = -a + −a ⇒( x2 ) = x1 −a mang giá trị âm A đạt giá trị lớn - A có giá trị nhỏ a2 +1 Có – A = a + = a a Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số khơng âm a ( a > a >0) a 1 ( a + ) : ≥ a a a Có ⇔ a + ) : ≥1 ( a ⇔ + ≥2 a a Vậy – A ≥ nên – A có giá trị nhỏ A ≤ nên A có GTLN -2 * A =− ⇔ a + − =− − a ⇔ a − =− − a ⇔ a.a − =− a − ⇔ a + a − =0 − ⇔ − a + =0 a ⇔a − =0 ( 1) ⇔ = a ( thoả mãn điều kiện a > ) • ( Với a = x1 x ) = −1 ⇔ = −1 ⇔ x1 = − x2 x2 x2 • Theo kết x1 = − x2 có S = x1 + x2 = − x2 + x2 = = b a ⇔ −( m − 1) = ⇔ m −1 = ⇔ m =1 * Kết luận : Với m = biểu thức A đạt giá trị lớn - 2) Loại tốn tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích nghiệm Bài tập 4: Cho phương trình : x − (m − 1) x − m + m − = a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm trái dấu với m Gọi nghiệm x x tìm giá trị m để x12 + x2 đạt giá trị b) nhỏ Giải: a ) Ta có a = > c =− +m −2 =− m −m +2) m ( =− m −m + + ) ( 4 − =− m − ) − ≤ ( Phưong trình có nghiệm trái dấu ⇔ −7 + m < ⇔ − < m < Với điều kiện giả sử x < ,x > theo đề ta có x1 = −7 + m ⇔ − x1 x2 = ⇔ −( ) = ⇔ − m2 = ⇔ m2 = ⇔ m = ± x2 Vì m > nên ta chọn m= ( thoả mãn điều kiện − < m < ) Kết luận : Vậy với m = phương trình cho có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối ngịch đảo nghiệm Bài tập : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ) Xét phương trình : x − 2(m + 2) + 5m2 + = (1) với m tham số 1) Chứng minh với giá trị m phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt 2) x1 , x2 , x3 , x4 Gọi nghiệm phương trình (1) Hãy tính theo m giá trị biểu thức M = 1 1 + + + 2 x1 x2 x3 x4 Giải : ( ĐK : y ≥ ) Pt (1) trở thành 1) Đặt x = y y − 2(m + 2) y + 5m + = (2) ∆, = −(m + 2)  − (5m + 3)   10 = ( m + 2) − (5m + 3) = m + m + − 5m − = m − m +1 1 + + 4 = (m2 − )2 + = ( m ) − 2m 2 3 2 Có ( m − ) ≥ ⇒( m − ) + ≥ 2 4 nên ∆, ≥ Phương trình (2) ln có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – ét có −b 2(m + 2) S = y1 + y2 = = = 2(m + 2) a P = y1 y2 = c = 5m + a Xét P = 5m + có m ≥ ⇔ 5m ≥ ⇔ 5m + ≥ nên P > với m ∈ Z ⇒ , y2 dấu y Xét S = y1 + y2 = −b = 2(m + 2) a Vì m ≥ ⇔ m + ≥ ⇔ 2(m + 2) ≥ nên S > ⇒ y1 , y2 dấu dương (thoả mãn ĐK y ≥ 0) Vậy phương trình (2) có nghiệm phân biệt dấu dương nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt đối đôi 2) Theo kết phần a có x1 , x2 , x3 , x4 ≠ x1 = x3 = M = y1 , x2 = − y1 y , x4 = − y 1 1 + + + 2 ( y1 ) (− y1 ) ( y2 ) ( − y2 ) 11 = 1 1 + + + y1 y1 y2 y2 = 2 + y1 y2 = y1 +2 y2 y1 y2 = 2( y1 + y2 ) y1 y2 Thay kết S P vào M ta 2.2(m + 2) 4(m + 2) M = = 5m + 5m + 4( m + 2) Kết luận: M = 5m + Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ) Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m = ( mlà tham số) a) Chứng minh : Phương trình cho ln ln có nghiệm với m Trong trường hợp m > x1 , x2 nghiệm b) phương trình nói tìm GTLN biểu thức x12 + x2 − 3( x1 + x2 ) + A= x1 x2 Giải: a) ∆, = [ −( m +1) ] − m = ( m +1) −m = m +2m +1 −m = m +m +1 1 = m +2 .m + + 4 12 =(m + ) + 2 3 Vì (m + ) ≥ nên (m + ) + ≥ 2 4 ∆, > 0∀m ∈ Z ⇒ Phương trình cho ln có nghiệm phân biệt với giá trị m x12 + x2 − 3( x1 + x2 ) + b) A = x1 x2 Theo kết phần a phương trình cho ln có nghiệm phân biệt áp dụng hệ thức Vi – ét ta có S = x1 + x2 = −b = 2m + a P = x1.x2 = c =m a Vì P = m > nên x2 , x2 ≠ biểu thức A xác định với giá trị x1 , x2 x1 , x2 tính theo m x12 + x1 x2 + x2 − x1 x2 − 3( x1 + x2 ) + A= x1.x2 ( x1 + x2 ) − x1.x2 − 3( x1 + x2 ) + = x1 x2 Thay S P vào biểu thức A ta : (2m + 2) − 2m − 3(2m + 2) + m 4m + 8m + − 2m − 3(2m + 2) + = m A= 4m + m +1 m2 = = 4( ) = 4( + ) m m m m = 4(m + ) m 13 Theo bất dẳng thức Cơ Si ( m + 1 ( m > 0và ) : ≥ m m m > 0) m ≥ m ⇔ m+ ≥ m ⇔ 4( m + ) ≥ m ⇔ m+ Vậy biểu thức A có GTNN Trong bất đẳng thức Cô Si dấu xảy ⇔ m = m ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 Với m = thoả mãn điều kiện m > m = -1 không thoả mãn điều kiện m > Vậy với m = A có GTNN Bài tập : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) Xét phuương trình mx + (2m -1) x + m -2 = (1) (2 đ) với m tham số a ) Tìm m để phương trình có nghiệm x , x thoả mãn x12 + x2 − x1 x2 = b) Chứng minh m tích số tự nhiên liên tiếp phương trình có nghiệm số hữu tỉ Giải m ≠ a ) Điều kiện để m có nghiệm  ∆ ≥ Xét ∆ = (2m −1) − 4m( m − 2) 14 m − m + − m + 8m = m +1 ∆ ≥ ⇔ 4m +1 ≥ ⇔ m ≥ −1 Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm m ≠ m ≥ −1 Với điều kiện theo hệ thức Vi ét có S = x1 + x2 = P = x1.x2 = Gọi −b − 2m = a m c m −2 = a m A = x12 + x2 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 m ≠  Áp dụng hệ thức Vi ét có A = ( ĐK  −1 ) m ≥  ⇔( − 2m m−2 ) −3 =4 m m − 4m + 4m 3m − ⇔ − =4 m2 m ⇔ − 4m + 4m − 3m + 6m = 4m ⇔ −3m + 2m + = ⇔ 3m − 2m − = Có a + b + c = – – = => m = ( thoả mãn điều kiện m ≠ m ≥ −1 ) m2 = ≥ −1 ( không thoả mãn điều kiện m ≠ m −1 ) 15 Vậy với m = phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x2 − x1 x2 = c) nhiên liên tiếp d) Gọi n ∈ N * ta có m = n( n + ) tích số tự ( TMĐK m ≠ ) Theo kết phần a ta có ∆= 4m +1 = 4n( n +1) +1 = 4n + 4n +1 = (2 n +1) ∆ ≥ phương trình ln có nghiệm với m ∆ = 2n + = 2n + ( n > ) − 2m + ∆ − 2n(n +1) + 2n +1 − 2n − 2n + 2n +1 x1 = = = 2m 2n (n +1) 2n(2n +1) − 2n 2(1 − n ) 2(1 − n)(1 + n) − n = = = = 2n( n +1) 2n(n +1) 2n( n +1) n − 2n − ∆ − 2n(n + 1) − 2n − 1 − 2n − 2n − 2n − x2 = = = 2m 2n( n + 1) 2n( n + 1) −2n − 4n −2n(n + 2) n+2 = = =− 2n( n + 1) 2n( n + 1) n +1 Vì n ∈ N * nên 1- n ∈ Z n ∈ N * => x1 = tử n +2 ∈ N * n +1 ∈ N * => x2 = − 1− n phân số ∈ Q n n+2 phân số ∈ Q n +1 Kết luận:Với m tích số tự nhiên liên tiếp phương trình có nghiệm số hữu tỉ ) Loại tốn tìm hai số biết tổng tích chúng Bài tập : Tìm hai số x y biết a) x + y = 11 xy = 28 b) x – y = xy = 66 Giải : 16 a ) Với x + y = 11 xy = 28 theo kết hệ thức Vi ét x ,y nghiệm phương trình x - 11x + 28 = ∆ = b − 4ac = 121 – 112 = > ∆ = Phương trình có nghiệm phân biệt x1 = 11 + 11 − = 7; x2 = =4 2 Vậy x = y = x = y = x − y =  x + (− y ) = ⇔ b) Ta có   xy =  x(− y ) = −66 có x , y nghiệm phương trình x - 5x - 66 = ∆ = b − 4ac = 25 + 264 = 289 > , ∆ = 17 + 17 − 17 = 11; x2 = = −6 2 Phương trình có nghiệm phân biệt x1 = Vậy x = 11 y = - cịn x = - y = 11 Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x + y = 25 xy = 12 Giải : Ta có x + y = 25 (x + y ) - 2xy = 25 (x + y ) - 2.12 = 25 (x + y ) = 49 x +y = ± * Trường hợp x + y = xy =12 Ta có x y nghiệm phương trình x - 7x +12 = ∆ = b − 4ac = 49 – 4.12 = x1 = +1 −1 = 4; x2 = =3 2 * Trường hợp x + y = - xy =12 Ta có x y nghiệm phương trình x +7x +12 = Giải phương trình ta x = -3 ; x = - cặp số x, y cần tìm (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- ; - 3) ; ( -3 ; -4) 17 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ tổng tích nghiệm không phụ thuộc tham số : Bài tập 11 : Cho phương trình x - ax + a - = có nghiệm x1 , x2 x12 + 3x2 − a) Không giải phương trình tính giá trị biểu thức M = 2 x1 x2 + x2 x1 b) Tìm a để tổng bình phương nghiệm số đạt GTNN ? Giải 2 3( x12 + x2 − 1) ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 1   a) M = = x1 x2 ( x1 + x2 ) x1 x2 ( x1 + x2 ) Theo hệ thức Vi ét có S = x1 + x2 = a; P = x1.x2 = a − Vậy M =  a − 2( a − 1) − 1   a (a − 1) = [ (a + 1)(a − 1) − 2(a − 1) ] a (a − 1) 3(a − 1) 3( a − 1) 3( a − 1) = = = a (a − 1) a (a − 1) a b) Ta có S = x1 + x2 = a (ĐK : a ≠ 0, a ≠ ) (1) P = x1.x2 = a − (2) Trừ vế (1) cho (2) ta có x1 + x2 − x1 x2 = , biểu thức liên hệ x x không phụ thuộc vào a C) CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập : Khơng giải phương trình cho biết dấu nghiệm ? a) x - 6x +8 = b) 11 x +13x -24 =0 c) x - 6x + = Bài tập : Chứng minh với giá trị k , phương trình a) x + kx -23 = có nghiệm trái dấu 18 b) 12 x +70x + k +1 = khơng thể có nghiệm trái c) x - ( k +1)x + k = có nghiệm dấu Bài tập : Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a) mx - 2(m +1)x + m + = b) (m -1) x + 3m + 2m + = c) (1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = Bài tập : Cho phương trình x - 2m + m - = a) Tìm m để phương trình có nghiệm đối Tính nghiệm b) Định m để phương trình có nghiệm thực dương Bài tập : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) Cho phương trình (2,5 đ) x - mx +1 = ( m tham số ) a) Giải phương trình m = b) Với m = , giả sử phương trình cho có nghiệm x1 , x2 Khơng giải phương trình , tính giá trị biểu thức x12 + x1 x2 + x2 A= 3 x1 x2 + x1 x2 Hướng dẫn giải: a) Với m = phương trình trở thành x -5x +1 = ∆ = 21 , phương trình có nghiệm phân biệt x1 = (5 + 21) , x2 = − 21 b)Với m = , ta có phương trình bậc hai : x − x + = Theo hệ thức Vi ét : S = x1 + x2 = P = x1.x2 = x12 + x1 x2 + x2 A= 3 x1 x2 + x1 x2 19 3( x12 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = x1 x2 ( x12 + x2 + x1 x2 ) − x1 x2    = 3( x1 + x2 ) − x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2    Thay S P vào A ta : A= 14 Bài tập :( đề thi học sinh giỏi lớp thị xã Hà Đơng , Hà Tây 2003 -2004) (4đ) Cho phương trình bậc ẩn x : x − 2( m −1) x + 2m − 3m + = (1) a) Chứng minh phương trình có nghiệm ≤ m ≤ Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình , chứng b) minh x1 + x2 + x1 x2 ≤ 8 Hướng dẫn giải: a) Phương trình (1) có nghiệm ∆ , = (m − 1) − (2m − 3m + 1) ≥ ⇔ m − m ≤ ⇔ m(m − 1) ≤ ⇔ m ≥ m − ≤ ⇔ ≤ m ≤1 Khi m ≥ , theo hệ thức Vi ét có c) S = x1 + x2 = 2(m −1) P = x1.x2 = 2m − 3m +1 ⇒ Q = x1 + x2 + x1.x2 = 2(m − 1) + 2m − 3m + = 2m − m − = m2 − m 1 − = (m − ) − 2 16 20 Vì ≤ m ≤ ⇔ − 1 ≤ m − ≤ ⇒ (m − )2 ≤ 4 4 16 (m − ) − ≤ 16  9 Q =  − (m − )  = − 2( m − )  16 2 9 Vì 2(m − ) ≥ ⇔ −2( m − ) ≤ ⇔ − 2( m − ) ≤ ⇔ Q ≤ 4 8 Bài tập : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dương 2003 – 2004 ) (1đ) Cho phương trình : x − x +1 = Tính x1 x2 + x2 x1 (Với x , x nghiệm phương trình) Hướng dẫn giải: Theo định lý Vi ét ta có x1 + x2 = 1 ; x1 x2 = ⇒ x1 x2 = 2 Ta có A = x1 x2 + x2 x1 = x1 x2 ( x1 + x2 ) Nếu S = x1 + x2 ⇒ S = x1 + x2 + x1 x2 = + ⇒ S = Do A = x1 x2 + x2 = +2 = 2 5+2 2 x1 +2 Bài tập : (đề thi học sinh giỏi lớp - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004) (4đ) a) Xác định m để phương trình x + 2mx + m − = có nghiệm phân biệt b) Gọi nghiệm x , x , Tìm GTNN biểu thức A = x1 x2 + x1 + x2 − Hướng dẫn giải: a) ∆, = m − 2( m − 2) = −m + 21 Phương trình có nghiệm ⇔ ≥0 ∆ ⇔ m ≥0 − ⇔ ≤4 m ⇔ ≤m ≤2 − m2 − b)Theo định lý Vi ét có x1 + x2 = −m; x1 x2 = Do ta có A = x1 x2 + x1 + x2 − = (m + 2)(m − 3) Vì m ∈[ −2; ] nên (m + 2)(m - 3) ≤ 25 25 ≤ Khi A = ( m + 2)(3 − m) = −m + m + = −(m − ) + 4 Vậy GTNN A 25 m = Bài tập : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT khiếu Trần Phú) (2,5đ) 1) Chứng tỏ phương trình x − x +1 = có nghiệm phân biệt x , x2 Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 x2 2) Tìm mđể phương trình x − 2mx + 2m − = có hai nghiệm dấu Khi hai nghiệm dấu âm hay dấu dương ? Hướng dẫn giải: 1) ∆, = − > nên phương trình có nghiệm phân biệt S = x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1x2 = 42 − 2.1 = 14 P = x12 x2 = ( x1 x2 ) = Vậy phương trình cần tìm x - 14x +1 = 2) Phương trình có nghiệm dấu ( m −1) + ≥ ∆, = m − 2m + ≥  ⇔ ⇔ ⇔m > x1 x2 = 2m − > m ≥  22 Khi x1 + x2 = 2m > Suy phương trình có nghiệm dương Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006) Xét phương trình mx + (2m − 1) x + m − = vói m tham số a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thoả mãn x12 + x22 − x1 x2 − b) Chứng minh m tích hai số tự nhiên liên tiếp phương trình có nghiệm hữu tỉ 23 PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ Qua áp dụng vấn đề nêu vào giảng dạy khối lớp , kết thu học sinh hình thành , định hướng cách giải loại toán Bằng phương pháp gợi mở nêu vấn đề , câu hỏi dẫn dắt , em tự phát hướng giải cho tập Giáo viên tạo hứng thú , phát triển trí thơng minh sáng tạo cho học sinh KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ học giải tập toán cho học sinh Thống kê số dạng tốn điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Thiết kế thức dạy học số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận Trong q trình giảng dạy mơn Tốn trường, từ việc áp dụng hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh có kết rõ rệt, thân tơi rút nhiều học kinh nghiệm phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh : – Trình bày giải mẫu – Trình bày giải bước xếp chưa hợp lý - Đưa tốn có gợi ý giải - Đưa giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai sửa lại cho 24 Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân, với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện Tốn học nói chung Vấn đề tơi thấy học sinh khá, giỏi hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng chuyên đề KIẾN NGHỊ Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT - Quan tâm đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán Nên tổ chức hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên tỉnh Với BGH nhà trường - Hiện nay, nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa đầy đủ Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo mơn Tốn để học sinh tìm tịi, học tập giải tốn để em tránh sai lầm làm tập nâng cao hứng thú, kết học tập mơn tốn nói riêng, nâng cao kết học tập học sinh nói chung Với PHHS - Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường 25 ... em học sinh u thích học tốt mơn tốn hơn, vững bước vào kỳ thi, kiểm tra có kĩ vận dụng vào sống Vì vậy, tơi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh sử dụng hệ thức Vi-et giải tốn theo hướng tích cực hóa. .. tích cực hóa hoạt động học sinh? ?? Từ tốn đơn giản khơng giải phương trình tính tổng tích nghiệm phương trình bậc 2, học sinh có phương tiện hệ thức Vi – ét để tính tốn Hệ thức giúp học sinh xét dấu... thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để