Trường em http://truongem.com 1 I/KIẾN THỨC CẦN NHỚ I./CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos 2 a – sin 2 a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos 2 a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin 2 a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tana + tanb 1 - tana.tanb tan2a = 2.tana 1 - tan 2 a tan(a - b) = tana - tanb 1 + tana.tanb 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos 2 a = 1 2 2 cos a + sin 2 a = 1 - cos2a 2 4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos a + b 2 .cos a - b 2 cosa - cosb = -2.sin a + b 2 .sin a - b 2 sina + sinb = 2.sin a + b 2 .cos a - b 2 sina - sinb = 2.cos a + b 2 .sin a - b 2 sin( ) tan tan osacosb a b a b c + + = sin( ) tan tan osacosb a b a b c − − = 5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = 1 2 [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = 1 2 [cos(a – b) - cos(a + b)] [ ] 1 sin osb= sin( ) sin( ) 2 ac a b a b + + − [ ] 1 os sinb= sin( ) sin( ) 2 c a a b a b + − − II/Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản : • 2 2 sin cos 1 α α + = * sin tan cos α α α = ( v ới 2 k π α π ∀ ≠ + ,k ∈ Z ) • cos cot sin α α α = ( với x k π ∀ ≠ ,k ∈ Z ) * 2 2 1 tan 1 cos α α + = ( với 2 k π α π ∀ ≠ + ,k ∈ Z ) • 2 2 1 cot 1 sin α α + = ( với x k π ∀ ≠ ,k ∈ Z ) Trường em http://truongem.com 2 • tan cot 1 α α = ( với 2 k π α ∀ ≠ ,k ∈ Z ) Cung hơn kém k2π và kπ : • ( ) sin 2 sin x k x π + = ( ) cos 2 cos x k x π + = • ( ) tan tan x k x π + = ( ) cot cot x k x π + = Cung đối : • ( ) sin sin x x − = − ( ) cos cos x x − = • ( ) tan tan x x − = − ( ) cot cot x x − = − Cung bù : • ( ) sin sin x x π − = ( ) cos cos x x π − = − • ( ) tan tan x x π − = − ( ) cot cot x x π − = − Cung phụ : • sin cos 2 x x π   − =     cos sin 2 x x π   − =     • tan cot 2 x x π   − =     cot tan 2 x x π   − =     Cung hơn kém π/2 : • sin cos 2 x x π   + =     cos sin 2 x x π   + = −     • tan cot 2 x x π   + = −     cot tan 2 x x π   + = −     Cung hơn kém π : • ( ) sin sin x x π + = − ( ) cos cos x x π + = − • ( ) tan tan x x π + = ( ) cot cot x x π + = Công thức chia đôi : • 1 cos sin 2 2 x x − = ± 1 cos cos 2 2 x x + = ± • 1 cos 1 cos tan 2 1 cos sin x x x x x − − = ± = + Công thức nhân ba : • 3 sin3 3sin 4sin x x x = − • 3 cos3 4cos 3cos x x x = − Trường em http://truongem.com 3 • 3 2 3tan tan tan3 ,3 1 3tan 2 x x x x x k x π π −   = ∀ ≠ +   −   • ( ) 3 2 cot 3cot cot3 ,3 3cot 1 x x x x x k x π − = ∀ ≠ − Công thức hạ bậc : • ( ) 2 1 sin 1 cos2 2 x x = − ( ) 2 1 cos 1 cos 2 2 x x = + • 2 1 cos2 tan 1 cos 2 2 x x x k x π π −   = ∀ ≠ +   +   ( ) 2 1 cos2 cot 1 sin 2 x x x k x π + = ∀ ≠ − • 3 3sin sin 3 sin 4 x x x − = 3 3cos cos3 cos 4 x x x + = Công thức theo tan 2 x t = : • 2 2 sin 1 t x t = + 2 2 1 cos 1 t x t − = + 2 2 tan , 1 2 2 t x x x k t π π   = ∀ ≠ +   −   7π 4 5π 4 3π 4 π 4 2π 3π 2 π 2 0 π -1 -1 1 1 O sin cos 6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x r a d -π ππ π - 5π ππ π 6 - 3π ππ π 4 - 2π ππ π 3 - π ππ π 2 - π ππ π 3 - π ππ π 4 - π ππ π 6 0 π ππ π 6 π ππ π 4 π ππ π 3 π ππ π 2 2π ππ π 3 3π ππ π 4 5π ππ π 6 π ππ π đ ộ -180 o -150 o -135 o -120 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 - 3 2 - 2 2 - 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 Trường em http://truongem.com 4 cos -1 - 3 2 - 2 2 - 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 tan 0 1 3 1 3 || - 3 -1 - 1 3 0 1 3 1 3 || - 3 -1 - 1 3 0 cot || 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 || 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 || KIẾN THỨC CƠ BẢN y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Tập xác đònh D = R D = R D = R \ { 2 π + kπ} D = R \ {kπ} Tập giá trò T = [– 1 ; 1 ] T = [– 1 ; 1 ] R R Chu kỳ T = 2π T = 2π T = π T = π Tính chẵn lẻ Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ Sự biến thiên Đồng biến trên: k2 ; k2 2 2   π π − + π + π     Nghòch biến trên: 3 k2 ; k2 2 2   π π + π + π     Đồng biến trên: ( ) k2 ; k2 −π + π π Nghòch biến trên: ( ) k2 ; k2 π π + π Đồng biến trên mỗi khoảng: k ; k 2 2   π π − + π + π     Nghòch biến trên mỗi khoảng: ( ) k ; k π π + π Bảng biến thiên x –π 2 π − 0 2 π π y = sinx 0 –1 0 1 0 x – π 0 π y =cosx – 1 1 – 1 a x 2 π − 2 π y = tanx – ∞ + ∞ x 0 π y = cotx + ∞ – ∞ a Đồ thò y = sinx ………………………………………………………………………………. y = cosx y = tanx ……………………………………………………………………………………. y = cotx Trường em http://truongem.com 5 II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1≤ ≤≤ ≤ a ≤ ≤≤ ≤ 1) sinx = a ⇔ arcsina+k2 arcsina+k2 x x π π π =   = −  ; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔ +k2 +k2 x x α π π α π =   = −  ; k ∈ Z ( a = sinα) sinx = 0 ⇔ x = kπ; k ∈ Z sinx = 1 ⇔ x = π 2 + k2π; k ∈ Z sinx = -1 ⇔ x = - π 2 + k2π; k ∈ Z 2.Phương trình cosx=a.( -1≤ ≤≤ ≤ a ≤ ≤≤ ≤ 1) cosx = a ⇔ arccosa+k2 arccosa+k2 x x π π =   = −  ; k ∈ Z +cosx = cosα ⇔ +k2 +k2 x x α π α π =   = −  ; k ∈ Z ( a = cosα) cosx = 0 ⇔ x = π 2 + kπ; k ∈ Z cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z 3.Phương trình tanx=a. TXĐ: \ , 2 k k π π   + ∈       + t anx=a x=arctana+k ,k π ⇔ ∈  + tanx=tan x= +k ,k α α π ⇔ ∈  tanx=1 x= , 4 tanx=-1 x=- , 4 t anx=0 x= , k k k k k k π π π π π ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ⇔ ∈    4.Phương trình cotx=a. TX Đ : { } \ ,k k π ∈   + t x=a x=arccota+k ,kco π ⇔ ∈  + cotx=cot x= +k ,k α α π ⇔ ∈  Tr ường em http://truongem.com 6 cotx=1 x= , 4 cotx=-1 x=- , 4 t x=0 x= , 2 k k k k co k k π π π π π π ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ⇔ + ∈    III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( 2 2 0 a b + ≠ ) 2 2 2 2 2 2 sinx+ osx= a b c c a b a b a b ⇔ + + + đặ t: 2 2 2 2 os = sin a c a b b a b α α   +    =  +  phương trình trở thành: 2 2 sinx os osx sin c c c a b α α + = + 2 2 sin( ) c x a b α ⇔ + = + *Chú ý +Ph ươ ng trình có nghi ệ m khi 2 2 2 c a b ≤ + +N ế u . 0, 0 a b c ≠ = thì: sin cos 0 tan b a x b x x a + = ⇔ = − 2.Phương trình : 2 2 asin sinxcosx+ccos 0 x b x + = (1) +N ế u a = 0: 2 sinxcosx+ccos 0 b x = osx(bsinx+ccosx)=0 c ⇔ osx=0 bsinx+ccosx=0 c  ⇔   +N ế u c = 0: 2 asin sinxcosx=0 x b + sinx(asinx+bcosx)=0 ⇔ sinx=0 asinx+bcosx=0  ⇔   +N ế u 0, 0,cos 0 a c x ≠ ≠ ≠ : 2 2 2 2 2 sin sinxcosx cos (1) 0 cos cos cos x x a b c x x x ⇔ + + = 2 tan t anx+c=0 a x b ⇔ + IV /Các kết quả thường dùng : • sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x π π     + = + = −         • sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x π π     − = − = − +         • tan cot 2cot 2 2 x x x x k π   + = − ∀ ≠     Trường em http://truongem.com 7 • 2 tan cot sin 2 2 x x x k x π   − = ∀ ≠     • 4 4 3 1 sin cos cos 4 4 4 x x x + = + • 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8 x x x + = + • 2 1 sin 2cos 4 2 x x π   + = −     • 2 1 sin 2sin 4 2 x x π   − = −     • 2 cos 4 1 tan cos x x x π   −     + = 2 sin 4 1 tan cos x x x π   −     − = V/ Các hằng đẳng thức trong tam giác : • sin sin sin 4cos cos cos 2 2 2 A B C A B C+ + = • cos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C A B C+ + = + • tan tan tan tan tan tan A B C A B C + + = • cot cot cot cot cot cot 1 A B B C C A + + = • 2 2 2 cos cos cos 1 2cos cos cos A B C A B C + + = − • 2 2 2 sin sin sin 2 2cos cos cos A B C A B C + + = + • sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin A B C A B C + + = • cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cos A B C A B C + + = − − • cot cot cot cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C A B C + + = • tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A + + = VI/Các phương trình lượng giác thường gặp : Các họ nghiệm cơ bản : • 2 sin sin 2 u v k u v u v k π π π = +  = ⇔  = − +  ( ) 2 cos cos 2 u v k u v k u v k π π = +  = ⇔ ∀ ∈  = − +   • ( ) tan tan , 2 v l u v k l u v k π π π  ≠ +  = ⇔ ∀ ∈   = +   ( ) cot cot , v l u v k l u v k π π ≠  = ⇔ ∀ ∈  = +   Trường em http://truongem.com 8 1/ Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác của u : Có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) sin 1 sin 0 cos 2 cos 0 ; 0 tan 0 tan 3 cot 0 cot 4 b u a a u b b u a u b a a a u b b u a a u b b u a − = + = − = + = ≠ → + = − = + = − = Đố i v ớ i các ph ươ ng trình (1) và (2) c ầ n có thêm đ i ề u ki ệ n 1 b a − ≤ Ch ọ n α sao cho [ ] [ ] sin ; ; 2 2 co s ; 0; tan ; ; 2 2 co t ; 0; b a b a b a b a π π α α α α π π π α α α α π − −   = ∈     − = ∈ − −   = ∈     − = ∈ ⇒ đư a v ề các h ọ nghi ệ m c ơ b ả n để gi ả i. 1. 2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác của u : Có d ạ ng: 2 2 2 2 sin sin 0 cos cos 0 ; 0 tan tan 0 cot tan 0 a u b u c a u b u c a a u b u c a u b u c + + = + + = ≠ + + = + + = . Đặ t sin 1 cos tan cot u t t u t u t u t =  ≤  =  = = ⇒ Ph ươ ng trình b ậ c hai at 2 + bt + c = 0 Gi ả i ph ươ ng trình tìm t (xét đ i ề u ki ệ n n ế u có) ⇒ các h ọ nghi ệ m c ơ b ả n, gi ả i tìm x 3. Các dạng khác : Dạng của phương trình Phương pháp giải D ạng 1 : Ph ươ ng trình b ậ c nh ấ t ho ặ c b ậ c hai đố i v ớ i f(x),trong đ ó f(x) là m ộ t bi ể u th ứ c l ượ ng giác nào đ ó. Đặ t ẩ n ph ụ t = f(x). Dạng 2 : Ph ươ ng trình b ậ c nh ấ t đố i v ớ i sin x và cos x . Cách 1 : Bi ế n đổ i v ế trái v ề d ạ ng ( ) sinC x α + v ớ i 2 2 C a b = + , α là s ố th ự c sao cho 2 2 cos a a b α = + và 2 2 sin b a b α = + . Cách 2 : Trường em http://truongem.com 9 • Tìm nghiệm thỏa cos 0 2 x = . • Với cos 0 2 x ≠ thì đặt tan 2 x t = ta có: 2 2 sin 1 t x t = + ; 2 2 1 cos 1 t x t − = + .Đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc hai theo ẩn t. Dạng 3 : Phương trình đối xứng với sin x và cos x : • ( ) sin cos sin cos 0 a x x b x x c + + + = • ( ) sin cos sin cos 0 a x x b x x c − + + = Đặt sin cos 2 sin 2; 2 4 t x x x π     = ± = ± ∈ −       thì 2 1 sin cos 2 t x x   − = ±     Dạng 4 : Phương trình thuần bậc hai đối với sin x và cos x : 2 2 sin sin cos cos 0 a x b x x c x + + = Với a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 Cách 1 : • Tìm nghiệm thỏa cos 0 x = . • Với cos 0 x ≠ thì chia hai vế của phương trình cho 2 cos x dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn tan x . Cách 2 : • Tìm nghiệm thỏa sin 0 x = • Với sin 0 x ≠ thì chia hai vế của phương trình cho 2 sin x dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn cot x . D ạng 5 : Phương trình thuần bậc ba đối với sin x và cos x : 3 3 2 2 sin cos sin cos sin cos a x b x c x x d x x + + + + sin cos 0 e x f x + + = Cách giải tương tự như phương trình thuần nhất bậc hai nhưng chia hai vế cho 3 cos x hoặc 3 sin x và chú ý áp dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. 4. Kết hợp công thức nghiệm : Kết hợp công thức nghiệm trong các PTLG chẳng những giúp cho ta có thể loại được nghiệm ngoại lai mà còn có thể có được một công thức nghiệm đơn giản hơn, từ đó việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn (giống như bài toán mà ta vừa xét ở trên). Đôi lúc việc kết hợp công thức nghiệm cũng tương tự như việc giải một hệ phương trình lượng giác cơ bản bằng phương pháp thế. Ở đây ta không đề cặp đến phương pháp này mà ta chỉ nói đến hai phương pháp chủ yếu sau : a) Đường tròn lượng giác * Các khái niệm cơ bản : • Đường tròn lượng giác: là đường tròn có bán kính đơn vị R = 1 và trên đ ó ta đ ã ch ọ n m ộ t chi ề u d ươ ng ( ) + (thông th ườ ng chi ề u d ươ ng là chi ề u ng ượ c chi ề u kim đồ ng h ồ ) Trường em http://truongem.com 10 • Cung lượng giác:  AB (với A, B là 2 điểm trên đường tròn lượng giác) là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến B. • Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có một chiều nhất định *Phương pháp biểu diễn góc và cung lượng giác : • Biểu diễn các điểm ngọn của cung lượng giác biết số đo có dạng α + k π : Ta đưa số đo về dạng 2 α k m π + . Một số công thức chính được dùng nhiều ở phương pháp này : 1. cot g 2cot g 2x x tgx − = 2. 2 cot g sin 2 x tgx x + = 3. 1 cot g cot g 2x sin 2 x x − = − [...]... hợp và tổ hợp: • Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: k k An = k !Cn • Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: không có thứ tự ⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vò trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp • Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n): + Không thứ tự, không hoàn lại: k Cn + Có thứ tự, không hoàn lại: k An + Có thứ tự, có hoàn lại: k An Bài 3 NHỊ THỨC NIUTƠN 1 Cơng thức. .. (n – 1)! 11 Trường em http://truongem.com CHỈNH HP 1 Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử( n ≥ 1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp thứ tự chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử cho 2 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là k A n thì k A n = n! (n − k )! 1 Chỉnh hợp (không... của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất đònh được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A k Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: An = n k TỔ HP Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của A ( 1 ≤ k ≤ n ) được gọi là là một tổ hợp chập k của n phần tử 1 Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử... một tổ hợp chập k của n phần tử n! k Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Cn = k !(n − k )! 0 • Qui ước: Cn = 1 0 n Cn = Cn = 1 Tính chất: k n Cn = Cn −k k k −1 k Cn = Cn −1 + Cn −1 n − k + 1 k −1 k Cn = Cn k 2 Tổ hợp lặp: Cho tập A = {a1; a2 ; ; an } và số tự nhiên k bất kì Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A Số tổ hợp lặp... k )! 1 Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A n! k Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = (n − k )! • Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n n • Khi k = n thì An = Pn = n! 2 Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một... đi đến kết quả :lim(un)= ∞ f (n) Giới hạn của dãy số dạng: un = , f và g là các biển thức chứa căn g(n) Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp 1 Giới hạn của dãy số (un) với un = o o o 2 o GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn),... của hàm số dạng: lim   x →a g ( x ) 0 o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2 o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp f ( x)  ∞  2 Giới hạn của hàm số dạng: lim   x →∞ g ( x ) ∞ o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như x>0, nếu x → −∞ thì coi như xp) n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n − p)! 2 Hoán vò (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1)... nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập ¥ * các số ngun dương gọi là dãy số vơ hạn Kí hiệu u : ¥ * ® ¡ Đặt un = u (n) Ta gọi un là số hạng tổng qt ( hay số hạng thứ n) của dãy số n a u (n) 2 Cách cho một dãy số: • Cho bằng cơng thức của số hạng tổng qt • Cho bằng cơng thức truy hồi • Cho bằng cách mơ tả 3 Dãy số tăng, dãy số giảm: • (un) là dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N* u ⇔ un+1 – un > 0 với ∀ n . bởi công thức: ! k k n n A k C = • Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự. ⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vò trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp. . đẳng thức lượng giác cơ bản. 4. Kết hợp công thức nghiệm : Kết hợp công thức nghiệm trong các PTLG chẳng những giúp cho ta có thể loại được nghiệm ngoại lai mà còn có thể có được một công thức. + Không thứ tự, không hoàn lại: k n C + Có thứ tự, không hoàn lại: k n A + Có thứ tự, có hoàn lại: k n A Bài 3 .NHỊ THỨC NIUTƠN 1. Cơng thức nhị thức Niu tơn ( ) 0 1 2 1 1