Chương CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ỨNG DỤNG §1 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV   Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên có E(X), Var(X) hữu hạn Khi ε > ta có Var(X) P ( X − E(X) < ε ) ≥ − ε Bất đẳng thức tương đương Var(X) P ( X − E(X) ≥ ε ) ≤ ε §2 LUẬT SỐ LỚN ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV HỆ QUẢ ĐỊNH LÝ BERNOULLI ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV  Dãy đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, … thỏa mãn E(X i ) =μ i , Var(X i ) =σ i , cov(Xi, Xj) = i≠j (*)  Khi đó: Nếu lim n →∞ n n ∑σ i =1 i =0 n X1 + X + + Xn Xn = hội tụ đến ∑ μi n i=1 n theo xác suất 2 HỆ QUẢ  Giả sử dãy đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, … độc lập, có phân phối, có kỳ vọng E(X i ) =μ , Var(Xi ) =σ n phương sai hữu hạn P Xn = ∑ Xi  µ → n i=1 Khi ( lim khác Nói cách P Xn n →∞ ) −µ < ε =1 Ý NGHĨA Mặc dù biến ngẫu nhiên độc lập phân phối nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng củan chúng (μ) trung bình số học Xn = X i với n lớn lại nhận giá n i=1 (khi trị gần ε > nhỏ) với xác suất lớn (gần 1)  Điều có ý nghĩa quan trọng lý thuyết mẫu (phần thống kê) μ ∑ ĐỊNH LÝ BERNOULLI n A tần suất xuất Giả sử n biến cố A n phép thử độc lập p xác suất xuất biến cố A phép thử Khi với ε > ta có:  nA  lim P  − p < ε ÷= n →∞  n  Ý NGHĨA Khi số phép thử tăng lên vơ hạn ta có tần suất biến cố ổn định xung quanh giá trị xác suất biến cố §3 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM  Giả sử dãy đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, … độc lập có phân phối với kỳ vọng E(Xi ) =μ , phương sai Var(Xi ) =σ  0) Đặt Zn = (hữu hạnnμ khác X1 + X + + Xn - σ n §3 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Khi với x∈R ta có: lim P(Z n < x) = P(Z < x) n →∞ Trong đại lượng ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn chuẩn hóa Ζ : Ν(0,1) P(Z < x) = 2π x ∫ t2 − e dt −∞ Nói cách khác Zn hội tụ theo phân phối đến Z NHẬN XÉT (1/2)   Định lý cho thấy dù Xi đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hay liên tục, độc lập có phân phối đó, tổng chuẩn hóa Zn chúng, n đủ lớn, có phân phối xấp xỉ phân phối N(0, 1) Điều giải thích phân phối chuẩn phổ biến quan trọng thực tế NHẬN XÉT (2/2) Từ định lý Giới hạn trung tâm ta suy kết quan trọng thống kê : trường hợp Xi khơng có phân phối chuẩn (nhưng thỏa mãn giả thiết), n Xi có phân n đủ lớn X = ∑ n i=1 MỘT ÁP DỤNG KHÁC Cho X : B(n, p) với n lớn , p không gần không gần (np ≥ 10 n(1 – p) ≥ 10) Ta xấp xỉ ( X : N np, ( np(1 - p) ) ) VÍ DỤ Một nhà hàng khách sạn phải phục vụ buổi ăn trưa cho đồn có 900 khách Nhà hàng phục vụ làm hai đợt liên tiếp Giả sử khách hàng chọn ngẫu nhiên theo đợt đợt Hỏi nhà hàng phải có chỗ ngồi để xác suất khơng có đủ chỗ ngồi cho khách đến ăn bé 2%? GIẢI   Gọi X số người chọn ăn đợt 1, số người chọn ăn đợt 900 – X ỉ 1ư Ta xem X : B ỗ900; ữ , v xp x ữ ç ÷ ç è 2ø X : N ( 450; 15 ) ( n = 900 lớn p= không gần không gần 1; np(1 - p) = 15 VÍ DỤ   Gọi k số chỗ ngồi dành cho buổi ăn trưa phục vụ cho đồn khách Ta cần tìm k nhỏ cho: P ( (X ≤ k) ∩ (900 − X ≤ k) ) > 98% ⇔ P(900 − k ≤ X ≤ k) k (Chú ý: mãn) < 900 - k > 98% khơng thỏa VÍ DỤ  k − 450   450 − k  ⇔ φ ÷− φ  15 ÷ > 98%  15     k − 450  ⇔ 2φ  > 0, 98 ÷  15   k − 450  ⇔ φ > 0, 49 ÷  15  Tra bảng tích phân Laplace, ta chọn k cho: k − 450 > 2, 33 ( φ(2,33) ≈ 0,4901) 15 Từ k ³ 485 ... ε > nhỏ) với xác suất lớn (gần 1)  Điều có ý nghĩa quan trọng lý thuyết mẫu (phần thống kê) μ ∑ ĐỊNH LÝ BERNOULLI n A tần suất xuất Giả sử n biến cố A n phép thử độc lập p xác suất xuất biến... ε ÷= n →∞  n  Ý NGHĨA Khi số phép thử tăng lên vơ hạn ta có tần suất biến cố ổn định xung quanh giá trị xác suất biến cố §3 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM  Giả sử dãy đại lượng ngẫu nhiên X1,... Var(X) hữu hạn Khi ε > ta có Var(X) P ( X − E(X) < ε ) ≥ − ε Bất đẳng thức tương đương Var(X) P ( X − E(X) ≥ ε ) ≤ ε §2 LUẬT SỐ LỚN ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV HỆ QUẢ ĐỊNH LÝ BERNOULLI ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV