Trường Đại học Duy Tân Khoa: Khoa học Tự Nhiên Bộ môn: Toán ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn : Toán cao cấp C2 Khối lớp: K15KKT 1-6 Học kỳ : 1 Năm học: 2010-2011. Thời gian làm bài: 90phút Đề số: 2 Câu 1 (3đ) Cho phương trình AX = B , trong đó 122 123 132 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ và 103 240 052 B ⎡⎤ ⎢⎥ =− ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A . b) Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình trên. Câu 2 (3.5đ) 1) Hỏi họ vec tơ sau có là cơ sở trong không gian vectơ không? 2) Trong không gian vectơ P2 cho các cơ sở 123 123 {, , }, '{, ,} B ppp B qqq = = với 22 123 1,,1pxxpxpx=+ − = =+ ; 2 123 12 , 1 , 3qxxqxqx = −+ =+ =− a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở B’. b) Cho [] ' 1 2 3 B p ⎡⎤ ⎢⎥ =− ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ tìm ma trận tọa độ [ ] B p ? Câu 3 (3.5đ) a. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi số sau: 1 1 3(4) 1. 5 nn n n ∞ − = +− ∑ 3 1 (!) 2. 3 n n nn ∞ = ∑ b. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: (Đề thi không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Tổ trưởng Bộ môn ThS. Nguyễn Đức Hiền Giảng viên ra đề ThS. Nguyễn Thị Lệ Nhung 4 \ ( ) ( ) ( ) { } = 1,0,3,0 , 0,1,2,3 , 0,0,1, 2 ,(1,3, 2,1)S −− () 2 1 3 1 n n n x n ∞ = − + ∑ Trường Đại học Duy Tân Khoa: Khoa Khoa Học Tự Nhiên Bộ môn: Toán ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn: Toán cao cấp C2 Khối: Kinh tế Lớp: K15KKT 1-6 Học kỳ :1 Năm học: 2010-2011. Thời gian làm bài: 90 phút Đề số: 2 Câu 1: Điểm a)(2đ) det(A)=-1 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A -1 Tìm ma trận C: 11 11 23 (1) 5 32 c + =− =− 12 13 21 22 23 ,1, 1,2,0, 1,ccccc = == = =− 31 32 33 2, 1, 0cc c==−= Suy ra ma trận 51 1 52 2 20 1 10 1 210 110 t CC −− ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ =−⇒=− ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ −− ⎝⎠⎝⎠ Ma trận nghịch đảo của A là 1 52 2 5 2 2 1 11 0 1 1 0 1 det( ) 110 110 t AC A − − −− ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ==− −=− ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ −− ⎝⎠⎝⎠ 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 b) Từ phương trình suy ra ma trận 1 522103 91811 10 1 240 1 5 1 11 0 052 3 4 3 XAB − −− − ⎛⎞⎡⎤⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎥ ==− − =− − ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎥ −−− ⎝⎠⎣⎦⎝ ⎠ 1 Tổng điểm câu 1: 3.0 Câu 2: 1) Xét 123 4 (1,0,3,0) (0,1,2,3) (0,0,1, 2) (1,3, 2,1) (0,0,0,0) α αα α ++−+−= 14 24 1234 234 0 30 32 2 0 32 0 αα αα αααα ααα += ⎧ ⎪ += ⎪ ⇔ ⎨ ++−= ⎪ ⎪ −+= ⎩ 10 0 1 10 0 1 10 0 1 100 1 01 0 3 01 0 3 01 0 3 010 3 det( ) 30 0 321202150011100111 03210028002 800030 A === ==−≠ −−−− −−−−−− Vậy họ đã cho là cơ sở của R 4 vì số vectơ của họ bằng số chiều của R 4 là 4. 0.25 0.25 0.75 0.25 2) a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở B’. Biểu diễn tuyến tính các đa thức của B’ sang B ta được: [] 13 1 1112233 12 2 1 13 3 1 0 0 22 2 1 11 B qppp q αα α αα α αα α αα α += = ⎧ ⎧ ⎡ ⎤ ⎪⎪ ⎢ ⎥ =+ +⇔+=−⇔=−⇒ =− ⎨⎨ ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎢ ⎥ −+ = = ⎣ ⎦ ⎩ ⎩ [] 1 13 2112233 12 2 2 13 3 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 0 1 1 2 2 B qppp q α αα αα α αα α αα α ⎧ = ⎪ ⎡ ⎤ += ⎧ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎢ ⎥ =+ +⇔+=⇔=⇒ = ⎨⎨ ⎢ ⎥ ⎪⎪ −+ = ⎢ ⎥ ⎩ ⎪ ⎣ ⎦ = ⎪ ⎩ [] 1 13 3112233 12 2 3 13 3 3 3 2 32 5 5 1 2 2 0 3 3 2 2 B qppp q α αα αα α αα α αα α ⎧ = ⎪ ⎡ ⎤ += ⎧ ⎪ ⎢ ⎥ − ⎪⎪ ⎢ ⎥ − =+ +⇔+=−⇔=⇒ = ⎨⎨ ⎢ ⎥ ⎪⎪ −+ = ⎢ ⎥ ⎩ ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎪ ⎩ Ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là ' 3 1 0 22 5 1 2 22 3 1 1 22 BB P → ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ − =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 0.3 0.3 0.4 0.5 b) Ma trận tọa độ [p] B là 0.5 T ổn g đi ể m câu 2: 3.5 Câu 3: a) 1)(1đ) 111 111 3 ( 4) 3 ( 4) 555 nn n n nnn nnn ∞∞∞ −−− === +− − =+ ∑∑∑ Chuỗi 1 1 3 5 n n n ∞ − = ∑ hội tụ và có tổng 1 1 3315 3 52 1 5 n n n ∞ − = = = − ∑ Chuỗi 1 1 (4) 5 n n n ∞ − = − ∑ hội tụ và có tổng 1 1 (4) 4 20 4 59 1 5 n n n ∞ − = − −− == − − ∑ Điểm 0.25 0.25 0.25 [] [] ' ' 3 17 0 22 2 1 5 121 22 22 2 3 39 1 1 22 2 BB BB pPp → ⎛⎞ ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎢ ⎥ − − ==− −= ⎢⎥ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎜⎟ ⎣ ⎦ ⎝⎠ Suy ra chuỗi 1 1 3(4) 5 nn n n ∞ − = +− ∑ hội tụ và có tổng 1 1 3 ( 4) 15 20 95 52918 nn n n ∞ − = +− =−= ∑ 0.25 2) (1đ) Áp dụng tiêu chuẩn Đalămbe ta có: 33 1 13 3 (1)!(1)3 (1)(1) lim lim lim 1 3!() 3 n n n nn n n u nn nn unnn + + →∞ →∞ →∞ ++ ++ ===+∞> Vậy chuỗi đã cho phân kì. 0.25 0.5 0.25 b)(1.5đ) - Đặt X = x-3, chuỗi đã cho trở thành 0.25 - Ta có Khoảng hội tụ: 0.25 0.25 - Tại x = 2: phân kì Tại x = 4: phân kì Vậy, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là 0.25 0.25 0.25 Tổng điểm câu 3: 3.5 Tổ trưởng B ộ môn ThS. Nguyễn Đức Hiền Giảng viên ra đề ThS. Nguyễn Thị Lệ Nhung  2 1 X 1 n n n n ∞ = + ∑ 2 1 2 (1) 1 lim lim 1 1 2 n nn n a nn r an n + →∞ →∞ ++ ==⇒= + () 2 1 1 1 n n n n ∞ = − + ∑ () ( ) X1,1 2,4x∈− ⇒ ∈ 2 1 1 n n n ∞ = + ∑ ( ) D2,4= () 2 1 3 1 n n n x n ∞ = − + ∑ . Khoa học Tự Nhiên Bộ môn: Toán ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn : Toán cao cấp C2 Khối lớp: K15KKT 1-6 Học kỳ : 1 Năm học: 2010-2011. Thời gian làm bài: 90phút Đề số: 2 Câu 1 (3đ). Tự Nhiên Bộ môn: Toán ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn: Toán cao cấp C2 Khối: Kinh tế Lớp: K15KKT 1-6 Học kỳ :1 Năm học: 2010-2011. Thời gian làm bài: 90 phút Đề số: 2 Câu. của chuỗi lũy thừa: (Đề thi không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Tổ trưởng Bộ môn ThS. Nguyễn Đức Hiền Giảng viên ra đề ThS. Nguyễn