Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 Lưu hành nội bộ cá nhân MỤC LỤC Phần thứ nhất : Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................. 2 Chương 1 : Ma trận – Định thức ............................................................................................. 2 I. Nội dung cần nhớ ................................................................................................................ 2 1) Ma trận ............................................................................................................................... 2 1.1) Các khái niệm .................................................................................................................. 2 1.2) Các phép toán .................................................................................................................. 4 2) Định thức........................................................................................................................... 12 2.1) Khái niệm ....................................................................................................................... 12 2.2) Tính chất......................................................................................................................... 14 2.3) Phép biến đổi sơ cấp trên định thức ................................................................................ 17 II. Bài tập áp dụng ................................................................................................................. 19 Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính.................................................................................. 22 I. Nội dung cần nhớ ............................................................................................................... 22 1) Các khái niệm.................................................................................................................... 22 2) Ma trận nghịch đảo – Hệ Cramer ....................................................................................... 23 2.1) Ma trận nghịch đảo ......................................................................................................... 23 2.2) Hệ Cramer ...................................................................................................................... 33 3) Hạng ma trận – Phương pháp Gauss .................................................................................. 40 3.1) Hạng ma trận .................................................................................................................. 40 3.2) Phương pháp Gauss ........................................................................................................ 47 II. Bài tập áp dụng ................................................................................................................. 57 Chương 3 : Không gian vector ............................................................................................... 61 I. Nội dung cần nhớ ............................................................................................................... 61 1) Không gian vector ............................................................................................................. 61 1.1) Khái niệm ....................................................................................................................... 61 1.2) Không gian vector con.................................................................................................... 61 2) Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính ......................................................................... 61 2.1) Tổ hợp tuyến tính............................................................................................................ 61 2.2) Biểu diễn tuyến tính........................................................................................................ 62 2.3) Độc lập tuyến tính........................................................................................................... 65 2.4) Phụ thuộc tuyến tính ....................................................................................................... 69 3) Cơ sở – Ma trận chuyển cơ sở............................................................................................ 72 3.1) Cơ sở – Tọa độ vector trong cơ sở .................................................................................. 72 3.2) Ma trận chuyển cơ sở – Công thức đổi tọa độ................................................................. 74 4) Không gian con sinh bởi hệ vector – Hạng của hệ vector................................................... 80 4.1) Không gian con sinh bởi hệ vector.................................................................................. 80 4.2) Cơ sở của hệ vector ........................................................................................................ 81 4.3) Hạng của hệ vector ......................................................................................................... 81 Phần thứ hai : Một số đề bài tập luyện tập.............................................................................. 86 Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2 Lưu hành nội bộ cá nhân PHẦN THỨ NHẤT : TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương 1 : Ma trận – Định thức Trong chương này ta cần hiểu và nắm được thế nào là ma trận, định thức và cách tính định thức. I. Nội dung cần nhớ : 1) Ma trận : 1.1) Các khái niệm : 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n m m m mn a a a a a a a a A a a a a a a a a = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ . a) Ma trận là một bảng số gồm m hàng n cột và được gọi là ma trận cỡ m n× . Nó thường được ký hiệu bởi các chữ cái hoa , , ,A B C … và được viết ngắn gọn lại là ( )ij m n A a × = . Nếu viết theo kiểu tập hợp thì được viết dưới dạng ( , )A Mat m n∈ hay ( )A Mat m n∈ × , trong đó ij a là phần tử ở hàng thứ i ( 1,i m= ) và cột thứ j ( 1,j n= ). Ví dụ : ) 2 1 0 1 0 2 A = là ma trận cỡ 2 3× . ) 1 1 2 0 1 3 B − = là ma trận cỡ 3 2× . b) Ma trận mà có một hàng hay có một cột thì người ta thường hay gọi là ma trận hàng (vector hàng) hay ma trận cột (vector cột). Ví dụ : ) 1 2 3 C = là ma trận cột cỡ 3 1× . ) ( )1 1 2 1D = − là ma trận hàng cỡ 1 4× . c) Ma trận mà các phần tử của nó đều bằng 0 thì người ta gọi nó là ma trận O . Ví dụ : 0 0 0 0 O = là ma trận cỡ 2 2× . d) Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác không (nếu có) luôn ở trên các hàng bằng không và trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. Ví dụ : ) 1 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 A − = − . ) 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 B − − = − . ) 2 1 1 1 2 3 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 Lưu hành nội bộ cá nhân MỤC LỤC Phần thứ nhất : Tóm tắt lý thuyết 2 Chương 1 : Ma trận – Định thức 2 I. Nội dung cần nhớ 2 1) Ma trận 2 1.1) Các khái niệm 2 1.2) Các phép toán 4 2) Định thức 12 2.1) Khái niệm 12 2.2) Tính chất 14 2.3) Phép biến đổi sơ cấp trên định thức 17 II. Bài tập áp dụng 19 Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính 22 I. Nội dung cần nhớ 22 1) Các khái niệm 22 2) Ma trận nghịch đảo – Hệ Cramer 23 2.1) Ma trận nghịch đảo 23 2.2) Hệ Cramer 33 3) Hạng ma trận – Phương pháp Gauss 40 3.1) Hạng ma trận 40 3.2) Phương pháp Gauss 47 II. Bài tập áp dụng 57 Chương 3 : Không gian vector 61 I. Nội dung cần nhớ 61 1) Không gian vector 61 1.1) Khái niệm 61 1.2) Không gian vector con 61 2) Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính 61 2.1) Tổ hợp tuyến tính 61 2.2) Biểu diễn tuyến tính 62 2.3) Độc lập tuyến tính 65 2.4) Phụ thuộc tuyến tính 69 3) Cơ sở – Ma trận chuyển cơ sở 72 3.1) Cơ sở – Tọa độ vector trong cơ sở 72 3.2) Ma trận chuyển cơ sở – Công thức đổi tọa độ 74 4) Không gian con sinh bởi hệ vector – Hạng của hệ vector 80 4.1) Không gian con sinh bởi hệ vector 80 4.2) Cơ sở của hệ vector 81 4.3) Hạng của hệ vector 81 Phần thứ hai : Một số đề bài tập luyện tập 86 Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2 Lưu hành nội bộ cá nhân PHẦN THỨ NHẤT : TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương 1 : Ma trận – Định thức Trong chương này ta cần hiểu và nắm được thế nào là ma trận, định thức và cách tính định thức. I. Nội dung cần nhớ : 1) Ma trận : 1.1) Các khái niệm : 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n m m m mn a a a a a a a a A a a a a a a a a = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ . a) Ma trận là một bảng số gồm m hàng n cột và được gọi là ma trận cỡ m n × . Nó thường được ký hiệu bởi các chữ cái hoa , , , A B C … và được viết ngắn gọn lại là ( ) ij m n A a × = . Nếu viết theo kiểu tập hợp thì được viết dưới dạng ( , ) A Mat m n ∈ hay ( ) A Mat m n ∈ × , trong đó ij a là phần tử ở hàng thứ i ( 1, i m = ) và cột thứ j ( 1, j n = ). Ví dụ : *) 2 1 0 1 0 2 A = là ma trận cỡ 2 3 × . *) 1 1 2 0 1 3 B − = là ma trận cỡ 3 2 × . b) Ma trận mà có một hàng hay có một cột thì người ta thường hay gọi là ma trận hàng (vector hàng) hay ma trận cột (vector cột). Ví dụ : *) 1 2 3 C = là ma trận cột cỡ 3 1 × . *) ( ) 1 1 2 1 D = − là ma trận hàng cỡ 1 4 × . c) Ma trận mà các phần tử của nó đều bằng 0 thì người ta gọi nó là ma trận O . Ví dụ : 0 0 0 0 O = là ma trận cỡ 2 2 × . d) Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác không (nếu có) luôn ở trên các hàng bằng không và trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. Ví dụ : *) 1 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 A − = − . *) 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 B − − = − . *) 2 1 1 1 2 3 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 C − − − = − . Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 3 Lưu hành nội bộ cá nhân e) Ma trận mà có số hàng bằng số cột ( m n = ) thì người ta gọi là ma trận vuông cấp n và ký hiệu ( ) ij n n A a × = hay ( ) A Mat n ∈ . 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n n n n nn a a a a a a a a A a a a a a a a a = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ . Khi đó các phần tử 11 22 33 , , , , nn a a a a … được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính, còn các phần tử nằm trên đường chéo đi từ phía trên bên phải đi xuống phía dưới bên trái thì được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính được gọi là vết và ký hiệu là ( ) 11 22 33 nn tr A a a a a = + + + + ⋯ . Ví dụ : *) 1 1 1 0 1 2 1 0 1 A − = − − là ma trận vuông cấp 3 . *) 1 0 1 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2 B − = − − − là ma trận vuông cấp 4 . Từ khái niệm của ma trận vuông, ta có những khái niệm sau : e.1) Ma trận đơn vị : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n I = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Ma trận đơn vị là ma trận vuông cấp n mà các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 và các phần nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 . Ví dụ : *) 2 1 0 0 1 I = là ma trận đơn vị cấp 2 . *) 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I = là ma trận đơn vị cấp 3 . e.2) Ma trận tam giác trên : 11 12 13 1 22 23 2 33 3 0 0 0 0 0 0 n n n nn a a a a a a a A a a a = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Ma trận tam giác trên là ma trận vuông cấp n mà các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 4 Lưu hành nội bộ cá nhân đều bằng 0 . Ví dụ : *) 1 1 2 0 1 1 0 0 2 A − = − ma trận tam giác trên cấp 3 . *) 1 1 0 1 0 1 1 2 0 0 2 2 0 0 0 1 A − − = − ma trận tam giác trên cấp 4 . e.3) Ma trận tam giác dưới : 11 21 22 31 32 33 1 2 3 0 0 0 0 0 0 n n n nn a a a A a a a a a a a = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông cấp n mà các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0 . Ví dụ : *) 1 0 0 2 1 0 1 0 2 A = − ma trận tam giác dưới cấp 3 . *) 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 2 0 1 3 0 1 A = ma trận tam giác dưới cấp 4 . e.4) Như vậy : *) Ma trận đơn vị là trường hợp đặc biệt của ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới. *) Ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới góp phần trong việc tính định thức (sẽ được đề cập trong phần 2)). 1.2) Các phép toán : Nếu ta đã biết đến các phép toán cộng, trừ, nhân chia trên các trường số thực, số phức, đa thức, phân thức, … thì trên ma trận cũng có các phép toán tương tự như vậy. a) Phép toán chuyển vị : 11 12 13 1 11 21 31 1 21 22 23 2 12 22 32 2 31 32 33 3 13 23 33 3 1 2 3 1 2 3 n m n m T n m m m m mn n n n mn a a a a a a a a a a a a a a a a A a a a a A a a a a a a a a a a a a = ⇒ = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ . Ta chuyển hàng thành cột, cột thành hàng và vị trí thứ tự của các phần tử vẫn giữ nguyên. Hay viết ngắn gọn lại là ( ) ( ) T ij ji m n n m A a A a × × = ⇒ = . Ví dụ : *) 1 4 1 2 3 2 5 4 5 6 3 6 T A A = ⇒ = . *) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 1 0 2 1 3 1 0 1 1 3 1 1 0 1 T T T B B B B − − − = ⇒ = − ⇒ = = − − . Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 5 Lưu hành nội bộ cá nhân b) Phép toán cộng (trừ) ma trận : 11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1 21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , n n n n n n n n m m mn m m mn m m m m mn mn a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b A B A B a a a b b b a b a b a b ± ± ± ± ± ± = = ⇒ ± = ± ± ± ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ . Để làm phép toán cộng (trừ) các ma trận thì các ma trận đó phải cùng cỡ với nhau và ta thực hiện cộng (trừ) các phần tử tương ứng với nhau. Ta viết ngắn gọn lại là ( ) ij ij A B a b ± = ± . Ví dụ : *) 1 1 2 2 1 1 1 0 1 3 2 3 , , 1 1 1 2 0 1 1 1 2 3 1 0 A B A B A B − − − − − = = ⇒ + = − = − − . *) 1 0 1 2 1 2 3 1 3 1 1 1 0 1 1 , 1 2 1 1 3 0 , 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 0 3 1 2 1 A B A B A B − − − = − = ⇒ + = − = − − − − − − − . c) Phép toán nhân ma trận với một số : 11 12 1 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 , n n n n n n m m mn m m mn m m mn a a a a a a a a a a a a a a a a a a R A A a a a a a a a a a α α α α α α α α α α α α ∈ = ⇒ = = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ . Để thực hiện phép toán nhân ma trận với một số R α ∈ thì ta tiến hành nhân tất cả các phần tử trong ma trận A với số α . Ta viết ngắn gọn lại là ( ) ij A a α α = . Ví dụ : *) 1 2 1 3 6 3 3 2 1 3 6 3 9 A A = ⇒ = − − . *) 1 0 2 3 0 6 2 1 1 3 6 3 3 0 1 3 0 3 9 B B − − = − ⇒ − = − − − − . *) 1 2 2 1 3 6 2 4 2 1 3 3 1 1 1 1 1 , , 1 2 3 2 3 3 2 2 1 2 0 3 2 1 1 2 3 2 1 6 9 2 2 2 1 6 12 T A B C A B C − − − = − = = ⇒ − + = − + − + = − − . *) 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 4 1 1 2 2 , 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 A B A B − − = = ⇒ − = − = − − − − . d) Phép toán nhân ma trận với ma trận : Cho ( ) 11 21 11 12 1 1 , n n b b A a a a B b = = ⋯ ⋮ . Khi đó phép toán nhân ma trận với ma trận được thực hiện Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 6 Lưu hành nội bộ cá nhân theo sơ đồ như sau : ( ) ( ) 11 21 11 12 1 11 11 12 21 1 1 1 n n n n b b AB a a a a b a b a b b = × = × + × + + × ⋯ ⋯ ⋮ . Ta thực hiện phép toán nhân ma trận với ma trận được khi mà số cột của ma trận đứng trước trong phép toán nhân phải bằng số hàng của ma trận đứng sau trong phép toán nhân. Ta lấy hàng thứ i ( 1, i m = ) của ma trận đứng trước nhân cho cột thứ j ( 1, j n = ) của ma trận đứng sau thì ta được phần tử ở hàng thứ i cột thứ j . Ta có thể viết ngắn gọn lại là ( ) ( ) , ij jk m n n p A a B b × × = = ( ) ik m p C AB c × ⇒ = = . Ví dụ : *) Cho hai ma trận : ( ) 1 2 1 2 3 4 , 3 4 A B = = . Khi đó : +) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 30 3 4 AB = × = × + × + × + × = . +) ( ) 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 2 3 4 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 4 6 8 1 2 3 4 3 3 1 3 2 3 3 3 4 3 6 9 12 4 4 1 4 2 4 3 4 4 4 8 12 16 BA × × × × × × × × = × = = × × × × × × × × . *) Cho hai ma trận : 1 3 1 2 3 , 2 4 3 4 5 3 5 A B = = . Khi đó : +) 1 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 3 2 4 3 5 14 26 7 13 2 4 2 3 4 5 3 1 4 2 5 3 3 3 4 4 5 5 26 50 13 25 3 5 AB × + × + × × + × + × = × = = = × + × + × × + × + × . +) 1 3 1 1 3 3 1 2 3 4 1 3 3 5 10 14 18 5 7 9 1 2 3 2 4 2 1 4 3 2 2 4 4 2 3 4 5 14 20 26 2 7 10 13 3 4 5 3 5 3 1 5 3 3 2 5 4 3 3 5 5 18 26 34 9 13 17 BA × + × × + × × + × = × = × + × × + × × + × = = × + × × + × × + × . *) Chú ý : +) Nói chung phép toán nhân ma trận với ma trận không có tính chất giao hoán. Tức là AB BA ≠ (Khác ở đây có thể : thứ nhất là AB thực hiện được nhưng BA không thực hiện được và ngược lại. Thứ hai là AB , BA đều thực hiện được nhưng kết quả là hai ma trận đó không cùng cỡ). Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 7 Lưu hành nội bộ cá nhân +) Nếu ( ), 2 A Mat n n N ∈ ≤ ∈ thì ta có n n A A A A A = × × × × ⋯ . Ví dụ : Tìm , 2 n A n N ≤ ∈ , với : +) 1 1 1 1 A − = − . Ta có : -) Với 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2, 1 1 1 1 2 2 2 2 n A A A − − − − = = × = = = − − − − . -) Với 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 4 4 2 2 3, 2 2 1 1 4 4 2 2 n A A A − − − − = = × = = = − − − − . -) Với 3 3 4 3 3 3 4 4 1 1 8 8 2 2 4, 4 4 1 1 8 8 2 2 n A A A − − − − = = × = = = − − − − . Tới đây ta có thể đoán là 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n A − − − − − = − . Bây giờ ta cần chứng minh nó đúng bằng phương pháp qui nạp. Ta giả sử nó đúng với n k = , tức là 1 1 1 1 2 2 2 2 k k k k k A − − − − − = − . Ta cần chứng minh nó đúng với 1 n k = + , tức là 1 2 2 2 2 k k k k k A + − = − . Thật vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 .2 2 .2 2 2 1 1 2 2 2 .2 2 .2 2 2 k k k k k k k k k k k k k k VT A A A VP − − − − + − − − − − − − − = = × = = = = − − − − . Vậy 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n A − − − − − = − . +) 1 1 0 2 A = . Ta có : -) Với 2 2 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2, 0 2 0 2 0 4 0 2 n A A A − = = × = = = . -) Với 3 3 2 3 1 3 1 1 1 7 1 2 1 3, 0 4 0 2 0 8 0 2 n A A A − = = × = = = . -) Với 4 4 3 4 1 7 1 1 1 15 1 2 1 4, 0 8 0 2 0 16 0 2 n A A A − = = × = = = . Tới đây ta có thể đoán là 1 2 1 0 2 n n n A − = . Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 8 Lưu hành nội bộ cá nhân Bây giờ ta cần chứng minh nó đúng bằng phương pháp qui nạp. Ta giả sử nó đúng với n k = , tức là 1 2 1 0 2 k k k A − = . Ta cần chứng minh nó đúng với 1 n k = + , tức là 1 1 1 1 2 1 0 2 k k k A + + + − = . Thật vậy : ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 0 2 0 2 0 2 0 2 .2 k k k k k k k k VT A A A VP − + + + + − − − = = × = = = = . Vậy 1 2 1 0 2 n n n A − = . +) 1 0 1 0 1 1 1 0 1 A = . Ta có : -) Với 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 1 1 0 1 2 0 2 2 0 2 2, 0 1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 0 1 1 0 1 2 0 2 2 0 2 n A A A − − − − − − = = × = = = − . -) Với 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 0 2 1 0 1 4 0 4 2 0 2 3, 1 1 2 0 1 1 3 1 4 2 1 1 2 2 0 2 1 0 1 4 0 4 2 0 2 n A A A − − − − − − = = × = = = − . -) Với 4 1 4 1 4 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4 0 4 1 0 1 8 0 8 2 0 2 4, 3 1 4 0 1 1 7 1 8 2 1 1 2 4 0 4 1 0 1 8 0 8 2 0 2 n A A A − − − − − − = = × = = = − . Tới đây ta có thể đoán là 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 1 1 2 2 0 2 n n n n n n n A − − − − − − = − . Bây giờ ta cần chứng minh nó đúng bằng phương pháp qui nạp. Ta giả sử nó đúng với n k = , tức là 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 1 1 2 2 0 2 k k k k k k k A − − − − − − = − . Ta cần chứng minh nó đúng với 1 n k = + , tức là 1 2 0 2 2 1 1 2 2 0 2 k k k k k k k A + = − . Thật vậy : Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 9 Lưu hành nội bộ cá nhân 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 1 0 1 2 .2 0 2 .2 2 0 2 2 1 1 2 0 1 1 2 .2 1 1 2 .2 2 1 1 2 2 0 2 1 0 1 2 .2 0 2 .2 2 0 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k VT A A A VP − − − − + − − − − − − − − = = × = − = − = − = . Vậy 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 1 1 2 2 0 2 n n n n n n n A − − − − − − = − . +) 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A = . Ta có : -) Với 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2, 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 T n A A A A = = × = = = . -) Với 3 2 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3, 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n A A A I = = × = = = . -) Với 4 3 3 1 0 0 0 0 1 0 0 1 4, 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 n A A A I A A = = × = = = × = . Vậy 3 , khi 3 1 , khi 3 , 1,2,3, , khi 3 1 T n A n k A I n k k A n k = − = = = = + . +) 1 0 1 1 1 0 0 0 1 A = . Ta có : -) Với ( ) 2 1 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 1 2, 1 1 0 1 1 0 2 1 1 2 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n A A A − = = × = = = . -) Với ( ) 3 2 1 0 3 1 0 2 1 0 1 1 0 3 3 3 1 3, 2 1 1 1 1 0 3 1 3 3 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n A A A − = = × = = = . Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 10 Lưu hành nội bộ cá nhân -) Với ( ) 4 3 1 0 4 1 0 3 1 0 1 1 0 4 4 4 1 4, 3 1 3 1 1 0 4 1 6 4 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n A A A − = = × = = = . Tới đây ta có thể đoán là ( ) 1 0 1 1 2 0 0 1 n n n n A n − = . Bây giờ ta cần chứng minh nó đúng bằng phương pháp qui nạp. Ta giả sử nó đúng với n k = , tức là ( ) 1 0 1 1 2 0 0 1 k k k k A k − = . Ta cần chứng minh nó đúng với 1 n k = + , tức là ( ) 1 1 0 1 1 1 1 2 0 0 1 k k k k A k + + + = + . Thật vậy : ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 k k k k k k k k k k k VT A A A k k k k VP + + + − − + = = × = = + + = + = . Vậy ( ) 1 0 1 1 2 0 0 1 n n n n A n − = . +) Cho hàm số 2 ( ) 3 2, 2 n n f x x x n N − = − + ≤ ∈ . Tính ( ) f A , với : -) 1 0 2 3 A = . Ta có : Với 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2, 2 3 2 3 8 9 3 1 3 n A A A = = × = = = − . Với 3 2 3 3 1 0 1 0 1 0 1 0 3, 8 9 2 3 26 27 3 1 3 n A A A = = × = = = − . Với 4 3 4 4 1 0 1 0 1 0 1 0 4, 26 27 2 3 80 81 3 1 3 n A A A = = × = = = − . [...]... A ) ( ) Tính det ( AB ) , biết det ( A ) = 2013 T 20 Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính Trong chương này ta cần nắm bắt được khái niệm ma trận nghịch đảo, hệ ra Cramer, hạng ma trận và phương pháp giải một hệ phương trình tuyến tính tổng... amn xn b1 b3 ⋮ ⋮ = bm Do đó, thay vì giải hệ phương trình tuyến tính theo phương pháp thông thường ta đã học ở lớp dưới thì giờ đây ta giải hệ phương trình tuyến tính theo phương pháp ma trận mà sẽ được đề cập 21 Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền đến ở phần 2), 3), trong chương... 7 × ⋯× 2n −1 − 1 ) −1 II Bài tập áp dụng : 1) Tính giá trị của thức : A3 − 3BT C + 2 ( DE )T , với : 1 2 1 2 1 −1 0 1 1 2 −1 2 1 2 T T T a) A = , B = , C = , D = , E = 0 1 2 1 2 2 1 2 1 −1 2 −1 2 −1 18 Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế... Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) m = 2 m − 2 = 0 ⇔ 2 ⇔ m = −1 − 2i m + 2m + 5 = 0 m = −1 + 2i x1 + x2 + x3 − mx4 2 x + mx + 2 x − 4 x 2 3 4 *) 1 x1 + x2 + mx3 − x4 mx1 + 2 x2 + x3 + 7 x4 Biên soạn Phạm Thế Hiền = = = = 0 0 0 0 Vì số phương trình bằng số ẩn nên để hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường... Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) a11 +) a12 ⋯ a1n 0 a22 ⋯ a2 n Biên soạn Phạm Thế Hiền ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 a11 = a11 × a22 ×⋯ × ann +) ⋯ ann a21 ⋮ ⋯ 0 a22 ⋯ 0 0 ⋮ an1 ⋱ ⋮ = a11 × a22 × ⋯ × ann an 2 ⋯ ann Ví dụ : 1 0 1 −1 -) −1 0 2 −2 1 −2 1 -) 0 2 0 = 1× 2 × (−1) = −2 0 0 −1 0 0 2 1 0 0 = 1× (−1) × 2 × 3 = −6 0 3 2.2) Tính chất : a) det ( AT ) = det( A) (Phép... Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 9 8 4 8 5 0 0 0 VT = A2 − 4 A − 5I 2 = − − = = 0 = VP 16 17 16 12 0 5 0 0 2) Định thức : 2.1) Khái niệm : a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ an1 ⋮ ⋱ ⋮ an 2 ⋯ ann Từ khái niệm ma trận vuông thì người đưa ra khái niệm về cách tính của nó và người ta gọi là định thức... 1− m 0 m2 − m −1 0 m 0 25 Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền +) Cho A, B ∈ Mat (n), det ( B ) ≠ 0, m, n ∈ N Chứng tỏ rằng ( B −1 AB ) = B −1 Am B Tính ( B −1 AB ) , với : m m 1 2 1 1 1 0 A = 0 1 0, B = 1 0 0 0 2 1 0 0 1 Thật vậy : ( B −1 AB... x 3 −1 0 −1 x 2 x − 1 x − 1 −9 −1 1 9 x 0 −1 x −1 −2 −8 x − 2 4 x2 − 8 19 Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 7) Tính det ( ( A + B)C ) , với : 1 −1 2 −1 3 1 2 1 2 1 2 T −1 0 1 T 1 2 3 a) A = , B = , C = b) A = −1 1 , B = , C = 2... trong một định nếu có một hàng hay một cột mà có phần tử chung thì ta đưa phần tử đó ra 14 Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền ngoài định thức 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ví dụ : −1 4 1 = 2 −1 2 1 = 2 × 3 −1 2 1 = 6 −1 2 1 = 36 3 6 9 3 3 9 1 1 3 1 1 3 d) Nếu A, B ∈ Mat (n) thì det... b c a b c e f +d e f =d e f e f g h i h i 1 1 e e+d c −1 2 2 1 3 1 b d f h 1 1 −1 2 g 15 Lưu hành nội bộ cá nhân Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền *) Trong một định thức nếu có hai hàng hoặc hai cột mà giống nhau (bằng nhau) thì giá trị của định thức đó bằng 0 1 1 −1 Ví dụ : 2 1 3 = 0 1 1 −1 *) . .det 1 det .det 1 det 1 det 1 T T n B B I B B B B B B = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± . Mà : ( ) ( ) ( ) det det n n n n n n n n B I AB B AB I I B AB I I A B I I A B I − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ − = . n n n n n n n m m mn m m mn m m m m mn mn a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b A B A B a a a b b b a b a b a b ± ± ± ± ± ± = = ⇒ ± = . 1 T T T B B B B − − − = ⇒ = − ⇒ = = − − . B i giảng tóm tắt đại số tuyến tính B( 2đvht) Biên so n Phạm Thế Hiền 5 Lưu hành nội b