ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN KHẮC HIẾU LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN KHẮC HIẾU LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 i Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Divisor trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Các hàm Nevanlinna của hàm phân hình . . . . . . 4 1.2 Định lý cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Công thức Jenssen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Định lí cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Định lí cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Bổ đề Borel và bổ đề về đạo hàm Logarit . . . . . . 15 1.3.2 Định lí cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Một số ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toán xác định duy nhất hàm phân hình 23 2.1 Định lý Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Định lý 5 điểm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Định lý 4 điểm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn luận văn Lí thuyết Nevanlinna, hay thường được gọi là lí thuyết phân bố giá trị, được xây dựng đầu tiên bởi R.Nevanlinna vào năm 1925 cho trường hợp một biến phức. Sau khi bài báo của ông được công bố, lí thuyết này đã được mở rộng và nghiên cứu sâu sắc bởi nhiều nhà toán học. Đầu tiên lí thuyết Nevanlinna được tổng quát lên cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều biến bởi các tác giả A. Bloch, H. Cartan, H. J. Weyles và L. Ahlfors.Sau đó nó được W. Stoll phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh. Đồng thời, lí thuyết Nevanlinna còn được xây dựng cho trường hợp hàm bởi công trình của D. Masson, J. F. Voloch, J. Noguchi và J. Wang. Đây có thể xem như một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giả thiết ABC và xấp xỉ Diophantine. Sự phát triển của lí thuyết Nevanlinna đã mang đến một công cụ vô cùng hữu hiệu để nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau trong hình học giải tích phức như vấn đề duy nhất hay hữu hạn của ánh xạ phân hình, tính chuẩn tắc và thác triển của ánh xạ phân hình. Đặc biệt là một số ứng dụng trong bài toán về xác định duy nhất hàm phân hình. Vì thế, tôi lựa chọn luận văn này là muốn được tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề này. 2. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc tế liên quan đến lý thuyết Nevanlinna. Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề này. 3. Mục đích của luận văn Mục đích của luận văn này là học tập và giới thiệu các kết quả nổi bật Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 2 về lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình và một số ứng dụng trong bài toán xác định duy nhất hàm phân hình. 4. Nội dung của Luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung chính, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1. Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình. Chương 2. Một số ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toán xác định duy nhất hàm phân hình. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo của PGS.TSKH Trần Văn Tấn. Em xin được bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, ngày 19 tháng 08 năm 2012 Tác Giả Nguyễn Khắc Hiếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 3 Chương 1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 1.1 Một số khái niệm cơ bản 1.1.1 Divisor trong mặt phẳng phức Định nghĩa 1.1. Một divisor D trên miền U ⊂ C là một tổng hình thức có dạng D = ∞  ν=1 λ ν z ν , λ ν ∈ Z, {z ν } rời rạc trong U . Định nghĩa 1.2. Một hàm f xác định trên tập con mở U ⊂ C với giá trị phức được gọi là hàm phân hình nếu với mỗi a ∈ U tồn tại lân cận mở liên thông V ⊂ U chứa a và tồn tại các hàm chỉnh hình g, h trên V, h ≡ 0, sao cho f = g h trên V . Giả sử f là hàm phân hình trên U. Khi đó, với mỗi a ∈ U ta có f(z) = (z − a) m .g(z), m ∈ Z, g(z) là hàm chỉnh hình trên U và g(a) = 0. +) Nếu m > 0 ta nói rằng a là không điểm bậc m của f. +) Nếu m < 0 ta nói rằng a là cực điểm bậc m của f. Định nghĩa 1.3. Giả sử f là hàm phân hình trên U, {a ν } ∞ ν=1 , {b ν } ∞ ν=1 lần lượt là các không điểm, cực điểm của f trên U, a ν có bậc λ ν , b ν có bậc −µ ν với µ ν < 0. Ta định nghĩa các divisor không điểm, divisor cực điểm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 4 và divisor sinh bởi hàm f lần lượt như sau: (f) 0 =  λ ν >0 λ ν a ν , (f) ∞ =  µ ν <0 −µ ν b ν , (f) = (f) 0 − (f) ∞ 1.1.2 Các hàm Nevanlinna của hàm phân hình Định nghĩa 1.4. (Hàm đếm). Giả sử D =  µ ν z ν là một divisor trên C. Với mỗi số tự nhiên k ( hoặc k = ∞), ta xác định hàm đếm của D chặn bội đến bậc k như sau: N k (r, D) =  r 1 n k (t, D) t dt, t > 1 trong đó n k (t, D) =  |z ν |<t min{k, µ ν } Ta sử dụng các kí hiệu n(t, D) và N(r, D) thay cho n +∞ (t, D) và N +∞ (r, D)− hàm đếm với bội không bị chặn, và khi đó ta có N(r, D) =  r 1 n(t, D) t dt, n(t, D) =  |z ν |<t µ ν . Định nghĩa 1.5. (Hàm xấp xỉ). Giả sử f ≡ 0 là hàm phân hình trên C, hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi m(r, f) = 1 2π  S(r) log + |f(z)|dθ. Trong đó với mỗi x ∈ R ta có log + (x) =  log x : nếu x > 1 0 : nếux ≤ 1 Định nghĩa 1.6. (Hàm đặc trưng Nevanlinna). Hàm đặc trưng Nevan- linna T(r, f) của hàm f được xác định bởi: T (r, f) = N(r, (f) ∞ ) + m(r, f). Từ các định nghĩa trên ta có một số tính chất sau : i) tính chất của log + : (a) logx = log + x − log + 1 x ≤ log + x. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 5 (b) |logx| = log + x + log + 1 x . (c) log + n  i=1 x i ≤ n  i=1 log + x i + logn. (d) log + n  i=1 x i ≤ n  i=1 log + x i . ii) Tính chất của hàm đặc trưng. Giả sử f 1 , f 2 , . . . , f n là các hàm phân hình. Khi đó: (a) T (r, n  i=1 f i ) ≤ n  i=1 T (r, f i ) + logn. (b) T (r, n  i=1 f i ) ≤ n  i=1 T (r, f i ). (c) N(r, ( n  i=1 f i ) ∞ ) ≤ n  i=1 N(r, (f i ) ∞ ). (d) N(r, ( n  i=1 f i ) 0 ) ≤ n  i=1 N(r, (f i ) 0 ). Chứng minh. (a) Ta có m(r, n  i=1 f i ) = 1 2π  S(r) log + | n  i=1 f i |dθ ≤ 1 2π n  i=1  |z| log + |f i |dθ + logn = n  i=1 m(r, f i ) + logn. (1.1) Mặt khác n  r, ( n  i=1 f i ) ∞  ≤ n  i=1 n(r, (f i ) ∞ ). Suy ra: N  r, ( n  i=1 ) ∞  ≤ n  i=1 N(r, (f i ) ∞ ). (1.2) Cộng vế với vế của (1.1) và (1.2) ta có kết luận ii.(a) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 6 (b) Ta có: m(r, n  i=1 f i ) = 1 2π  S(r) log + | n  i=1 f i |dθ ≤ 1 2π n  i=1  S(r) log + |f i |dθ = n  i=1 m(r, f i ). và n  r, ( n  i=1 f i ) ∞  ≤ n  i=1 n(r, (f i ) ∞ ). Suy ra N  r, ( n  i=1 f i ) ∞  ≤ n  i=1 N(r, (f i ) ∞ ). Từ đó ta có kết luận ii.(b). (c), (d) Từ kết quả ii.(a) và ii.(b) ta có kết luận của ii.(c) và ii.(d). 1.2 Định lý cơ bản thứ nhất 1.2.1 Một số kí hiệu Ta kí hiệu tọa độ phức trên không gian phứ C là z = x + iy, (x, y ∈ R). Với a ∈ C, r > 0 ta đặt ∆(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r}, ∆(r) = {z ∈ C; |z = r|} Với ϕ = ϕ(x, y) là hàm khả vi, ϕ = u + iv, ta định nghĩa các toán tử đạo hàm riêng ∂ϕ ∂x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x , ∂ϕ ∂y = ∂u ∂y + i ∂v ∂y . và ∂ϕ ∂z = 1 2  ∂ϕ ∂x − i ∂ϕ ∂y  , ∂ϕ ∂z = 1 2  ∂ϕ ∂x + i ∂ϕ ∂y  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 7 Ta định nghĩa các toán tử ∂ϕ, ∂ϕ, dϕ, d c ϕ như sau: ∂ϕ = ∂ϕ ∂z dz, ∂ϕ = ∂ϕ ∂z dz, dϕ = ∂ϕ + ∂ϕ, d c ϕ = i 4π (∂ϕ −∂ϕ). Từ đây ta có: d c ϕ = i 4π  ∂ϕ ∂z dz − ∂ϕ ∂z dz  = 1 4π  ∂ϕ ∂x dy − ∂ϕ ∂y dx  . dd c = i 4π (∂ + ∂)(∂ −∂)ϕ = i 2π ∂∂ϕ = i 2π ∂ 2 ϕ ∂z∂z dz ∧ dz. Trong hệ tọa độ cực z = r.e iθ , z = r.e −iθ . Ta có r 2 = z.z = x 2 + y 2 , r.cosθ = x, r.sinθ = y, cho nên: ∂r ∂x = cosθ, ∂r ∂y = sinθ, ∂θ ∂x = − sinθ r , ∂θ ∂y = − cosθ r Từ đó ta có: d c ϕ = 1 4π  ∂ϕ ∂x dy − ∂ϕ ∂y dx  = 1 4π   ∂ϕ ∂r ∂r ∂x + ∂ϕ ∂θ ∂θ ∂x  sinθdr + rcosθdθ  − −  ∂ϕ ∂r ∂r ∂y + ∂ϕ ∂θ ∂θ ∂y  cosθdr − rsinθdθ   = 1 4π   ∂ϕ ∂r cosθ − ∂ϕ ∂θ sinθ r  (sinθ + rcosθdθ)− − ( ∂ϕ ∂r sinθ + ∂ϕ ∂θ cosθ r )(cosθdr − rsinθdθ)  = 1 4π  r ∂ϕ ∂r dθ − 1 r ∂ϕ ∂θ dr  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 [...]... − ai )0 ) + o(T (r, f )) i=1 Định lí được chứng minh Sau đây chúng tôi phát biểu Định lý cơ bản thứ hai cho một số trường hợp khác: Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C Ký hiệu, R là tập các hàm phân hình a trên C và bé so với f, có nghĩa Ta (r) = o(Tf (r)) Năm 2004, Yamanoi, mở rộng định lý cơ bản thư hai cho trường hợp các hàm phân hình bé như sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái... quả sau được chứng minh bởi j∈J Fujimoto Bổ đề 2.3 Nếu A có tính chất Pr,s , khi đó tồn tại {i1 , , iq−r+2 } trong {1, , q} sao cho xi1 = = xiq−r+2 [1] Ký hiệu Af là tập tất cả các hàm a ∈ Rf sao cho δf (a) = 1 Rõ ràng rằng #Af ≤ 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn27 25 2.3 Định lý 4 điểm Nevanlinna Định lý 2.4 Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt khác... Định lý 2.1 Nếu hàm phân hình f xác định trên C mà không nhận ba giá trị phân biệt trên C thì f là hàm hằng Đặc biệt, nếu hàm chỉnh hình f xác định trên C mà không nhận hai giá trị phân biệt trên C thì f là hàm hằng Chứng minh Giả sử f không phải là hàm hằng và imf ⊂ C/{a1 , a2 , a3 } Theo định lí cơ bản thứ hai ta có 3 ||T (r, f ) ≤ N1 (r, (f − ai )0 ) + o(T (r, f )) = o(T (r, f )) 1 Cho r → +∞, ta... sử f không phải là hàm hằng Vậy f phải là hàm hằng 2.2 Định lý 5 điểm Nevanlinna Định lý 2.2 Giả sử f, g là các hàm phân hình trên C khác hằng số, {ai }5 là năm điểm phân biệt thuộc C Giả sử f −1 (ai ) = g −1 (ai ) với mỗi 1 i = 1, , 5 Khi đó f ≡ g Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn26 24 Chứng minh Giả sử f ≡ g lấy c ∈ C là một điểm sao cho c = ai , ∀i =... CP n và H1 , , Hq (q n + 1) là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát Khi đó q (q − n − 1)Tf (r) Nn (r, (f − Hj )0 ) + o Tf (r) j=1 với mọi r ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn25 23 Chương 2 Một số ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toán xác định duy nhất hàm phân hình 2.1 Định lý Picard Định lý 2.1... http://www.lrc-tnu.edu.vn24 22 Định lý 1.15 Chof là một hàm phân hình trên C Ký hiệu a1 , , aq là q hàm phân biệt thuộc Rf Khi đó với mỗi > 0, ta có q (q − 2 − )Tf (r) ≤ N1 (r, (f − ai )0 ) i=1 với mọi r ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Năm 1933, Cartan mở rộng định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna sang trường hợp chiều cao như sau: Định lý 1.16 Cho f là một ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào không gian... http://www.lrc-tnu.edu.vn15 13 1.2.3 Định lí cơ bản thứ nhất Định lý 1.10 Giả sử f là hàm phân hình trên C và a là một điểm thuộc C khi đó 1 ) = T (r, f ) + O(1), f −a 1 |O(1)| ≤ log|f (z) − a|dθ + log + |a| + log2 2π |z|=1 T (r, Chứng minh Áp dụng công thức Jenssen cho hàm ϕ(z) = log |f (z) − a| ngoài những điểm z sao cho ϕ(z) = ±∞ , ∂∂ϕ(z) ≡ 0 và do đó ta có : N r, (f − a)0 − N r, (f − a)∞ = 1 2π log|f... trên C và cho a1 , a2 , a3 , a4 4 hàm phân hình thuộc Rf Giả sử min{ν(f,aj ) , 2} = min{ν(g,aj ) , 2} với mọi 1 ≤ j ≤ 4 Khi đó {a1 , a2 , a3 , a4 }∩ Af chứa đúng 2 phần tử, gọi chúng là a3 , a4 hơn nữa tỷ số kép (a1 , a2 , a3 , a4 ) đồng nhất bằng −1 và (f,a1 ) = − (g,a1 ) (f,a2 ) (g,a2 ) Chứng minh Từ min{ν(f,aj ) , 2} = min{ν(g,aj ) , 2} với mọi 1 ≤ j ≤ 4, và theo Định lý cơ bản thứ nhất và thứ... có thể giả sử rằng Φ(r) ≡ 0 Lấy r1 ≥ r0 sao cho d Φ(r1 ) > 0 Đặt E(δ) = {r ≥ r1 ; Φ(r) > Φ(r)1+δ } Trên E(δ) chúng ta dr có dΦ(r) b > dr Φ(r)1+δ Chứng minh Vì Φ(r) là hàm đơn điệu tăng cho nên đạo hàm Do vậy dr ≤ E(δ) dΦ(r) ≤ 1+δ E(δ) Φ(r) ∞ r1 1 dΦ(r) ≤ Φ(r)1+δ δΦ(r1 )δ Ta có điều phải chứng minh Bổ đề 1.13 (Bổ đề đạo hàm logarit) Giả sử f là hàm phân hình Khi đó với mỗi δ > 0 ta có : (1 + δ)2 δ... các kết quả, ta được điều phải chứng minh của định lí trong trường hợp này Định lý 1.8 Giả sử f là hàm phân hình trên C Khi đó N (r, (f )) = N (r, (f )0 ) − N (r, (f )∞ ) 1 1 = log|f (z)|dθ − 2π S(r) 2π log|f (z)|dθ ∀r > 1 S(1) Chứng minh Gọi {aν } là tập các không điểm và cực điểm của f (z) Tại mỗi lân cận của aν ta có f (z) = (z − aν )λν g(z) với g(z) là hàm chỉnh hình, g(aν ) = 0 Suy ra log|f (z)| . chính, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1. Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình. Chương 2. Một số ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toán xác định duy nhất hàm phân hình. Luận văn. học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 2 về lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình và một số ứng dụng trong bài toán xác định duy nhất hàm phân hình. 4. Nội dung của Luận văn Luận văn bao gồm. 19 2 Một số ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toán xác định duy nhất hàm phân hình 23 2.1 Định lý Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Định lý 5 điểm Nevanlinna