ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Tích vô hướng của hai vectơ một phần nhỏ trong chương trình Hình học 10. Tuy vậy tích vô hướng của hai vec tơ đóng vai trò quan trọng trong Hình học nói riêng và trong toán học nói chung. Trong các kì thi ta thường thấy xuất hiện một số bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hay chúng minh một số bất đẳng thức hoăc các bài toán về cực trị. Những bài toán toán đó nếu ta gặp dạng của chúng và biết được các phương pháp giải của từng dạng thì đó là điều khá đơn giản. Tuy vậy có những bài toán có độ khó nhất định đối với học sinh bởi vì sự đa dạng của nó và để giải được thì chúng ta cần kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến chúng, trong đó tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng quan trọng trong một số dạng Toán như các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hay chúng minh một số đẳng thức và bất đẳng thức, hoăc các bài toán về cực trị. Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và thực trạng trên, để học sinh có thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp một số bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hay chúng minh một số bất đẳng thức hoặc các bài toán về cực trị, giúp các em phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa qua các bài tập nhỏ, cùng với sự tích lủy kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng dạy, tôi đưa ra bài viết này. Hy vọng đó là tài liệu tham khảo nhỏ của quý thầy cô và các bạn học sinh. I. ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN 1. Định nghĩa: Cho hai véctơ u,v 0≠ r r r , tích vô hướng của hai véc tơ được định nghĩa như sau: u.v u v .cos(u,v)= r r r r r r (I), với (u,v) r r là góc giữa hai véctơ Suy ra: u v cos(u,v) u.v = r r r r r r Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: - Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy cho 1 1 2 2 u (x ;y );v (x ;y )= = r r thì 1 1 2 2 u.v x y x y= + r r - Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz cho 1 1 1 2 2 2 u (x ;y ;z );v (x ;y ;z )= = r r thì 1 1 2 2 1 2 u.v x y x y z z= + + r r 2. Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ Từ công thức (I) ta có thể vận dụng để chứng minh hai đường thẳng hoặc là song song hoặc là vuông góc hoặc tính góc tạo bởi hai đường thẳng. Tuy nhiên, nếu dừng ở đó thì 1 chưa thấy hết được ứng dụng của nó. Chỉ cần chú ý rằng cos(u,v) 1≤ r r thì từ (I) ta có thể suy ra các bất đẳng thức: u.v u v≤ r r r r (II) u.v u v≤ r r r r (III) • Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy cho 1 1 2 2 u (x ;y );v (x ;y )= = r r thì biểu thức giải tích của (II) và (III) là 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 x y x y x y . x y+ ≤ + + (II 1 ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 | x y x y | x y . x y+ ≤ + + (III 1 ) (II) trở thành đẳng thức khi u,v r r cùng hướng,còn (III) khi trở thành đẳng thức khi u,v r r cùng phương,tức là u kv= r r hay 1 2 1 2 x kx y ky =   =  (IV 1 ) với k 0;≠ k > 0 khi u,v r r cùng hướng, k < 0 khi u,v r r cùng phương khác hướng. • Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz cho 1 1 1 2 2 2 u (x ;y ;z );v (x ;y ;z )= = r r thì biểu thức giải tích của (II) và (III) là 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 x y x y z z x y z . x y z+ + ≤ + + + + (II ’ ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 | x y x y z z | x y z . x y z+ + ≤ + + + + (III ’ ) (II) trở thành đẳng thức khi u,v r r cùng hướng,còn (III) khi trở thành đẳng thức khi u,v r r cùng phương,tức là u kv= r r hay 1 2 1 2 1 2 x kx y ky z kz =   =   =  (IV) với k 0;≠ k > 0 khi u,v r r cùng hướng, k < 0 khi u,v r r cùng phương khác hướng. Các bất đẳng thức (II ’ ), (III ’ ) gợi ý cho ta có thể chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hoặc bài toán cực trị. II. MỘT SỐ VÍ DỤ 1.Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình a. Giải phương trình 2 Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x x 1 3 x 2 x 1+ + − = + (1) Lời giải: ĐK: 1 x 3− ≤ ≤ Đặt u (x;1),v ( x 1; 3 x).= = + − r r Khi đó u.v x x 1 3 x;= + + − r r 2 2 2 2 u . v x 1. ( x 1) ( 3 x) 2 x 1= + + + − = + r r . Do đó theo (II 1 ) thì phương trình (1) xảy ra khi u.v u . v u,v= ⇒ r r r r r r cùng phương x x 1 1 3 x + ⇔ = − (ĐK: 0< x < 3) 2 3 2 1 2 3 x 1 x x 3x x 1 0 3 x (x 1)(x 2x 1) 0 x 1,x 1 2,x 1 2 + ⇔ = ⇔ − + + = − ⇔ − − − = ⇔ = = + = − Với nghiệm 3 x 1 2= − < 0 không thỏa mãn đk Ví dụ 2: Giải phương trình 2 2 sin x 2 sin x 2 sin x 3+ − + − = (2) Lời giải: Đặt 2 2 u (sin x;1; 2 sin x),v (1; 2 sin x;sin x)= − = − r r Ta có: u v 3= = r r Phương trình (2) xảy ra khi u.v u . v= r r r r = 3 theo (III ’ ) và từ (IV) ta có hệ phương trình 2 2 sin x k 1 k 2 sin x 2 sin x ksin x k 1vàsin x 1 x k2 (k ) 2 =    = −   − =   π ⇒ = = ⇒ = + π ∈¢ b. Giải bất phương trình Ví dụ 3: Giải bất phương trình 2 x 1 x 3 2(x 3) 2x 2− + − ≥ − + − (3) 3 Lời giải ĐK: x 1≥ Đặt u ( x 1;x 3),e (1;1)= − − = r r Ta có: 2 u x 1 (x 3) và e 2.= − + − = r r Theo (II ’ ) ta được: 2 x 1 x 3 2(x 3) 2x 2− + − ≤ − + − , Suy ra bất phương trình (3) chỉ có thể lấy dấu đẳng thức và nhờ (IV) ta được x 1 x 3 x 5− = − ⇔ = Ví dụ 4: Giải bất phương trình x 1 2x 3 50 3x 12+ + − + − ≤ (4) Lời giải ĐK: 3 50 x 2 3 ≤ ≤ Đặt u ( x 1; 2x 3; 50 3x),v (1;1;1)= + − − = r r Ta có: u 48 4 3và v 3.= = = r r Theo (II ’ ), ta có bất phương trình (2) luôn được thỏa mãn. Vậy nghiệm của (2) là 3 50 x 2 3 ≤ ≤ c. Giải hệ phương trình Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 x y y(x z) x x y 2yz 3x 8y 8xy 8yz 2x 4z 2  + = − +   + + = −   + + + = + +   (5) Lời giải Hê đã cho tương đương với Đặt u (x;y),v (x y;y z);w (x 1;2z 1)= = + + = + + r r ur 2 2 u.v 0,u.w 0,4v w ⇒ = = = r r r ur r ur • Nếu 1 u 0 x y 0,z 2 = ⇒ = = = r r • Nếu u 0 v,w≠ ⇒ r r r ur cùng phương w 2v⇒ = ± ur r . Xét hai trường hợp w 2v,w 2v= = − ur r ur r ta có nghiệm của hệ 1 1 x 0;y ;z 2 2 = = = 4 2 2 2 2 x(x y) y(y z) 0 x(x 1) y(y 1) 0 4(x y) 4(y z) (x 1) (2y 1)  + + + =  + + + =   + + + = + + +  Vậy hệ có hai nghiệm là 1 1 1 (0;0; );(0; ; ) 2 2 2 − Ví dụ 6: Chứng minh rằng hệ sau đây vô nghiệm 4 4 4 2 2 2 x y z 1 x y 2z 7  + + =   + + =   Lời giải Đặt 2 2 2 u (x ;y ;z ),v (1;1;2)= = r r Ta có: u 1và v 6.= = r r Theo hệ trên, ta có 2 2 2 u.v x y 2z 7= + + = r r và | u |.| v | 6= r r . Do đó u.v u . v> r r r r điều này mâu thuẫn với (II). Vậy hệ trên vô nghiệm. 2. Ứng dụng trong chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức a. Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta có 4 4 4 abc(a b c) a b c+ + ≤ + + (*) Lời giải Khai triển vế trái: VT = a 2 bc + ab 2 c + abc 2 Đặt u (ab;bc;ca),v (ca;ab;bc)= = r r Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u a b b c c a v c a a b b c = + + = + + r r Áp dụng (II) ta được: 2 2 2 2 2 2 abc(a b c) a b b c c a+ + ≤ + + (*) Lại đặt 2 2 2 2 2 2 x (a ;b ;c ),y (b ;c ;a )= = r r Áp dụng (II) một lần nữa ta được 2 2 2 2 2 2 4 4 4 a b b c c a a b c+ + ≤ + + (**) Từ (*) và (**) suy ra (1) Theo (IV), dễ thấy bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi a = b = c. Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu a > c, b > c và c >0 thì c(a c) c(b c) ab− + − ≤ (2) 5 Lời giải Đặt u ( c; b c),v ( a c; c)= − = − r r Ta có: u bvà v a.= = r r Áp dụng (II ’ ) ta được điều phải chứng minh, và theo (IV) bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi: c k a c ab c a b b c k c  = −  ⇒ =  + − =   Ví dụ 3: Cho 8 số thực x 1 , x 2, x 3, x 4 , x 5 , x 6 , x 7, x 8 . Chứng minh rằng có ít nhất một trong 6số x 1 x 3 + x 2 x 4 ; x 1 x 5 + x 2 x 6; x 1 x 7 + x 2 x 8; x 3 x 5 + x 4 x 6 ; x 3 x 7 + x 4 x 8; x 5 x 7 + x 6 x 8 không âm. Lời giải Đặt 1 1 2 2 3 4 3 5 6 4 7 8 v (x ;x ),v (x ;x ),v (x ;x ),v (x ;x ),= = = = uur uur uur uur Ta có: 1 2 1 3 2 4 1 3 1 5 2 6 4 3 5 7 6 8 v .v x x x x ,v .v x x x x , ,v .v x x x x ,= + = + = + uur uur uur uur uur uur Do ít nhất một trong các góc giữa 4 vectơ không vượt quá 90 0 nên ít nhất một trong 6 tích vô hướng là không âm. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b. Trên AB lấy điểm M. Chứng minh rằng: c 2 .CM 2 = a 2 .AM 2 + b 2 .BM 2 + (a 2 + b 2 – c 2 ).AM.BM Lời giải Giả sử MA k. MB = Ta có CA kCB CM 1 k + = + uuur uuur uuur (*) BM.CA AM.CB CM AM BM + ⇒ = + uuur uuur uuur c.CM BM.CA AM.CB⇒ = + uuur uuur uuur 2 2 2 2 2 2 c .CM b .BM a .AM 2AM.BM(CA.CB)⇒ = + + uuur uuuur 2 2 2 2.(CA.CB) a b c⇒ = + − uuur uuuur Nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c .CM b .BM a .AM (a b c ).AM.BM= + + + − 6 Ví dụ 5: Gọi , ,α β γ là ba góc tạo bởi đường chéo của một hình hộp chữ nhật với ba cạnh Xuất phát từ cùng một đỉnh. Chứng minh rằng: a. 2 2 2 cos cos cos 1α + β + γ = b. 2 2 2 4cos 1 4cos 1 4cos 1 21α + + β + + γ + ≤ Lời giải Lấy đường chéo của hình hộp chữ nhật làm vectơ đơn vị e r , ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh của hình hộp làm ba trục tọa độ thì cos ,cos ,cosα β γ là các tọa độ của e r Nên: 2 2 2 2 e cos cos cos 1= α + β + γ = r Đặt các vectơ: 2 2 2 u ( 4cos 1; 4cos 1; 4cos 1),v (1;1;1)= α + β + γ + = r r Ta có: u 7và v 3.= = r r Áp dụng (II ’ ) ta được điều phải chứng minh, và theo (IV) bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi: 2 2 2 4cos 1 4cos 1 4cos 1α + = β + = γ + 1 cos cos cos 3 ⇔ α = β = γ = Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC luôn có: 3 cosA cosB cosC 2 + + ≤ (6) Lời giải Dễ thấy bất dẳng thức (6) tương đương với A B C 3 1 4sin .sin .sin 2 2 2 2 + ≤ ⇔ A B C 1 sin .sin .sin 2 2 2 8 ≤ Và có nhiều cách chứng minh khác nhau như áp dụng định lí cosin trong tam giác, đưa về dạng tổng bình phương hoặc dựa trên bất đẳng thức hàm lồi. Lời giải sau dựa vào tích vô hướng của các vectơ. Gọi độ dài AB =c, BC = a, CA = b. Từ điểm I tùy ý trong mặt phẳng (ABC) dựng ba vectơ 1 2 3 v ,v ,v uur uur uur có độ dài đơn vị lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Theo tính chất của tích vô hướng 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 0 (v v v ) v v v 2(v .v v .v v .v )≤ + + = + + + + + uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur Để ý: 7 2 2 2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 1 3 v v v 1 v .v cos(v ,v ) cosC,v .v cosA,v .v cosB = = = ⇒ = = − = − = − uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur Suy ra 0 3 2(cosA cosB cosC)≤ − + + nên (6) được chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC luôn có A B C 3 sin sin sin 2 2 2 2 + + ≤ (7). Lời giải BĐT (7) tương đương với B C C A A B 3 cos cos cos 2 2 2 2 + + + + + ≤ Đặt B C A C B A , , 2 2 2 + + + = α = β = γ thì , ,α β γ lại là ba góc của một tam giác. Vậy ví dụ 7 đưa về ví dụ 6 Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC và ba số thực x, y, z bất kì,luôn có 2 2 2 x y z 2xycosC 2xzcosB 2yzcosA+ + ≥ + + (8) Lời giải Lại chọn các vectơ 1 2 3 v ,v ,v r r r như ví dụ 6, áp dụng tích vô hướng cho các vectơ 1 2 3 xv ,yv ,zv r r uur ta được 1 2 3 2 2 2 2 0 (xv yv zv ) x y z 2(xycosC xzcosB yzcosA).≤ + + = + + − + + r r r Từ đó ta có ngay đpcm Ví dụ 9: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC và ba số dương m, n, p tùy ý,luôn có 2 2 2 A B C mnp 1 1 1 msin nsin psin ( ) 2 2 2 2 m n p + + ≤ + + (9). Lời giải Trước mắt các bạn ví dụ 9 có vẻ “thách thức” hơn. Thế nhưng sau khi rút gọn vế phải của (9), ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 mnp 1 1 1 1 np pm mn ( ) 2 2 m n p m n p 1 (n p p m m n ) 2nmp   + + = + +  ÷  ÷   = + + Khi đó (9) tương đương 2 2 2 2 2 2 A B C (n p p m m n ) 2mnp(msin nsin psin ) 2 2 2 + + ≥ + + (9 ’ ) Đặt mn = x, mp = y, np = z. BĐT(9 ’ ) trở thành 8 2 2 2 B C A C A B (x y z ) 2(xycos xzcos yzcos ) 2(xycos xzcos yzcos ) 2 2 2 + + + + + ≥ + + = α + β + γ Với B C A C A B , , 2 2 2 + + + α = β = γ = tạo thành ba góc một tam giác. Ví dụ 9 được đưa về ví dụ 8. Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC và mọi số thực x, luôn có 2 1 1 x cosA x(cosB cosC) 2 + ≥ + + (10) Lời giải Dễ nhận thấy sau khi chuyển vế phái của BĐT(10) sang vế trái ta được điều chứng minh (10) về phép chứng minh tam thức bậc hai 2 x f (x) (cosB cosC)x 1 cosA 0, x 2 = − + + − ≥ ∀ ∈¡ Tuy nhiên đó không phải là phương pháp duy nhất hữu hiệu. Thật vậy,lại chọn các vectơ 1 2 3 v ,v ,v uur uur uur như ở ví dụ 6 rồi dung bình phương vô hướng của vectơ 1 2 3 v xv v v ,= + + r uur uur uur ta được 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 1 2 1 3 2 3 0 v (xv v v ) x v v 2x(v .v v .v ) 2v .v )≤ = + + = + + + + + r uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur Suy ra 2 0 x 2x(cosB cosC) 2cosA 2≤ − + − + 2 x 2 2x(cosB cosC) 2cosA⇒ + ≥ + + Hay 2 1 1 x cosA x(cosB cosC) 2 + ≥ + + Sau cùng chúng ta tiếp tục vận dụng ý tưởng trên vào một bài toán hình học không gian đặc sắc mà việc chứng minh bằng một đường lối khác hẳn sẽ vô cùng gay cấn. Ví dụ 11: Chứng minh rằng tổng các cosin của sáu nhị diện tạo bởi bốn mặt của tứ diện bất kì luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2. Lời giải Gọi 1 2 3 4 5 6 , , , , ,α α α α α α là các góc phẳng của sáu nhị diện tạo thành. Từ điểm I tùy ý trong hình tứ diện, ta dựng bốn vectơ đơn vị lần lượt vuông góc với bốn mặt của tứ diện, gọi các vectơ đó là 1 2 3 4 v ,v ,v ,v uur uur uur uur . 9 Bình phương vô hướng của vectơ 1 2 3 4 v v v v v= + + + r uur uur uur uur ta được 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 0 v (v v v v ) 4 2(cos cos cos cos cos cos )≤ = + + + = − α + α + α + α + α + α r uur uur uur uur Từ đó ta có 6 i i 1 cos 2 = α ≤ ∑ Cũng dễ dàng kiểm nghiệm khi tứ diện gần đều ta có 6 i i 1 cos 2 = α = ∑ 3. Ứng dụng trong bài toán cực trị Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 1 2 3 x= − + − Lời giải ĐK: 1 x 3≤ ≤ Đặt u ( x 1; 3 x),v (1;2)= − − = r r Ta có: u 2và v 5.= = r r Theo (II ’ ) ta được y x 1 2 3 x 10= − + − ≤ Suy ra max y 10= khi 7 2 x 1 3 x x 5 − = − ⇔ = Ví dụ 2: Cho , ,α β γ là ba góc dương có 2 π α +β + γ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan= + α β + + β γ + + γ α Lời giải Từ 2 π α +β = − γ ta có tan( ) tan( ) 2 π α +β = − γ tan tan 1 1 tan .tan tan α + β ⇔ = − α β γ tan .tan tan .tan tan .tan 1⇔ α β + β γ + γ α = Đặt u ( 1 tan .tan ; 1 tan .tan ; 1 tan .tan );v (1;1;1)= + α β + β γ + γ α = r r Ta có: u 2và v 3.= = r r Theo (II ’ ) ta được F 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan 2 3= + α β + + β γ + + γ α ≤ Suy ra max F 2 3= khi tan tan tan 6 π α = β = γ ⇔ α = β = γ = 10 [...]... tự giải  x+y+z=3  2 2 2 Bài 1: Giải hệ phương trình:  x + y + z = 3  5 5 5 x + y + z = 3 Bài 2: Chứng minh bất dẳng thức: sin x sin ysin z + cos x cos ycos z ≤ 1 Bài 3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có các trung tuyến ứng với cạnh AB và BC 4 Vuông góc thì ta có cos B ≥ 5 Bài 4: Cho a, b, c là ba số không âm và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F= a+b + b+c + c+a Vậy bằng một. .. c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F= a+b + b+c + c+a Vậy bằng một phương pháp thống nhất, nhiều bài toán phức tạp được giải quyết khá đơn giản, với khối lượng tính toán và biến đổi được rút gọn đến mức tối thiểu đồng thời bảo đảm được tính chính xác và sáng tỏ Giáo viên: Lê Thị Tỵ - Tổ Toán 11 . ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Tích vô hướng của hai vectơ một phần nhỏ trong chương trình Hình học 10. Tuy vậy tích vô hướng của hai vec tơ đóng. đa dạng của nó và để giải được thì chúng ta cần kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến chúng, trong đó tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng quan trọng trong một số dạng Toán như các bài toán giải. sinh. I. ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN 1. Định nghĩa: Cho hai véctơ u,v 0≠ r r r , tích vô hướng của hai véc tơ được định nghĩa như sau: u.v