TRUNG TÂM K THUT TNG HNG NGHIP DY NGH VÀ GIÁO DC THNG XUYÊN LÀO CAI ( BÀI TP GII PHNG TRÌNH VÔ T GV: Dng Th Bích Vân Nm hc: 2010 - 2011 PHN I: M U I/ LÝ DO CHN  TÀI. - Trong chng trình toán THPT, mà c th là phân môn i s 10, các em hc sinh đã đc tip cn vi phng trình cha n di du cn và đc tip cn vi mt vài cách gii thông thng đi vi nhng bài toán c bn đn gin. Tuy nhiên trong thc t các bài toán gii phng trình cha n di du cn rt phong phú và đa dng và đc bit là trong các đ thi i hc - Cao đng -THCN, các em s gp mt lp các bài toán v phng trình vô t mà ch có s ít các em bit phng pháp gii nhng trình bày còn lng cng cha đc gn gàng, sáng sa thm chí còn mc mt s sai lm không đáng có trong khi trình bày. - Lý do chính  đây là: S tit phân phi chng trình cho phn này quá ít nên trong quá trình ging dy, các giáo viên không th đa ra đa ra đc nhiu bài tp cho nhiu dng đ hình thành k nng gii cho hc sinh. Nhng trong thc t, đ bin đi và gii chính xác phng trình cha n di du cn đòi hi hc sinh phi nm vng nhiu kin thc, phi có t duy  mc đ cao và phi có nng lc bin đi toán hc nhanh nhn thun thc. II/ MC ÍCH NGHIÊN CU - T lý do chn đ tài. Tôi đã h thng hoá các kin thc thành mt chuyên đ: “Mt s gii pháp giúp hc sinh có k nng gii phng trình vô t’’. - Qua ni dung ca đ tài này tôi mong mun giúp các em hc sinh gii bài toán v phng trình vô t tt hn. III/ I TNG NGHIÊN CU : - Phng trình vô t (Phng trình cha n di du cn). IV/ PHM VI NGHIÊN CU : - Ni dung phn phng trình vô t và mt s bài toán c bn, nâng cao nm trong chng trình đi s 10. - Mt s bài gii phng trình cha n di du cn trong các đ thi i hc - Cao đng - TCCN. PHN II: NI DUNG  TÀI CHNG 1: C S LÝ LUN Trong sách giáo khoa i s 10 ch nêu phng trình dng và trình bày phng pháp gii bng cách bin đi h qu, trc khi gii ch đt điu kin f ≥ (x) 0 . Nhng chúng ta nên đ ý rng đây ch là điu kin đ đ thc hin đc phép bin đi cho nên trong quá trình gii hc sinh d mc sai lm khi ly nghim và loi b nghim ngoi lai vì nhm tng điu kin f ≥ (x) 0 là điu kin cn và đ ca phng trình. Tuy nhiên khi gp bài toán gii phng trình vô t, có nhiu bài toán đòi hi hc sinh phi bit vn dng kt hp nhiu kin thc k nng phân tích bin đi đ đa phng trình t dng phc tp v dng đn gin Trong gii hn ca SKKN tôi ch hng dn hc sinh hai dng phng trình thng gp mt s bài toán vn dng bin đi c bn và mt s dng bài toán không mu mc (dng không tng minh) nâng cao. * Dng 1: phng trình (1) () x f = g (x) () 2 () () 0 x x x g f g ≥ ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ Phng trình (1) ⇔ điu kin g ≥ x) 0 là điu kin cn và đ ca phng trình (1) sau khi gii phng trình f 2 (x) = g (x) ch cn so sánh các nghim va nhn đc vi điu kin g ≥ x) 0 đ kt lun nghim mà không cn phi thay vào phng trình ban đu đ th đ ly nghim. * Dng 2: phng trình () x f = () x g (2) () () () 0 x x x f f g ≥ ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ Phng trình (2) ⇔ iu kin f (x) ≥ 0 là điu kin cn và đ ca phng trình (2). Chú ý  đây không nht thit phi đt điu kin đng thi c f (x) và g (x) không âm vì f (x) = g . (x) *Dng bài toán không mu mc: Loi này đc thc hin qua các ví d c th. CHNG II : MT S DNG BÀI TP 1/ DNG 1 : () ( ) f xgx= * Gii phng trình : (1) a, Phng pháp : Giáo viên: ch cho hc sinh thy đc rng nu khi bình phng hai v đ đi đn phng trình tng đng thì hai v đó phi không âm () 2 () () 0 x x x g f g ≥ ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ () ( ) f xgx= pt ⇔ iu kin g x) ≥ 0 là điu kin cn và đ vì f (x) = g 2 (x) ≥ 0 . Không cn đt thêm điu kin f ≥ 0 x) b, Các ví d : Ví d 1+ : Gii phng trình 34x − = x - 3 . (1) . iu kin x ≥ 3 (*) (Chú ý: không cn đt thêm điu kin 3x - 4 0) ≥ 2 Khi đó pt(1) 3x - 4 = (x - 3) ⇔ x 2 - 6x + 9 = 3x - 4 ⇔ 2 x - 9x + 13 = 0 ⇔ 929 2 929 2 x x ⎡ + = ⎢ ⎢ ⎢ − = ⎢ ⎣ ⇔ đi chiu vi điu kin (*) ta thu đc nghim ca phng trình (1) 92 2 + 9 là x = Lu ý : không cn phi thay giá tr ca các nghim vào phng trình ban đu đ th mà ch cn so sánh vi điu kin x 3 (*) đ ly nghim. ≥ Ví d 2+ : Gii phng trình 2 321 x x−− = 3x + 1 . (2) Nhn xét . : Biu thc di du cn là biu thc bc hai, nên nu s dng phng pháp bin đi h qu s gp khó khn khi biu th điu kin đ 3x 2 - 2x -1 ≥ 0 và thay giá tr ca các nghim vào phng trình ban đu đ ly nghim. Ta có th gii nh sau: 1 3 . iu kin: x ≥ - (**) 2 2 Khi đó pt(2) 3x - 2x - 1 = (3x + 1) ⇔ 3x 2 - 2x - 1 = 9x 2 + 6x + 1 ⇔ 1 1 3 x x = − ⎡ ⎢ ⎢ = − ⎣ 6x 2 + 8x + 2 = 0 ⇔ ⇔ 1 3 đi chiu vi điu kin (**) ta thu đc nghim pt(2) là x = - Ví d 3+ : Gii phng trình 2 5 2 4121xx−+1 = 4x - 12x + 15 . (3) . Nhn xét : Biu thc ngoài du cn là biu thc bc hai, nu ta bình phng hai v thì s đi đn mt phng trình bc bn rt khó gii. Ta có th gii bài toán nh sau: Cha vi đt điu kin  bc gii này.ta bin đi pt(3) 4x 2 - 12x + 11 - 5 2 4121xx ⇔ 1 − + + 4 = 0 t 2 4121xx−+1 = t ; đk t 0 , (***) . ≥ 2 Phng trình tr thành: t - 5t + 4 = 0 1 4 t t = ⎡ ⎢ = ⎣ (tho mãn điu kin (***) ) ⇔ . Vi t = 1 2 4121xx−+⇔ 1 = 1 4x 2 - 12x + 10 = 0 phng trình này vô nghim. ⇔ . Vi t = 4 2 4121xx−+⇔ 1 = 4 2 4x - 12x - 5 = 0 ⇔ 356 4 356 4 x x ⎡ + = ⎢ ⎢ ⎢ − = ⎢ ⎣ ⇔ 356 4 + 356 4 − ; x = Vy nghim ca phng trình là: x = 2/ Dng 2 () ( ) f xgx= . (2) * Gii phng trình: Phng pháp a. : Giáo viên hng dn hc sinh đt điu kin và bin đi pt(2) () () () () 0( 0) xx xx fg fg ≥≥ ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ ⇔ Chú ý : Không cn đt đng thi c g và f vì f (x) 0≥ (x) 0≥ (x) = g (x) . Các ví d b. : Ví d 1 + : Gii phng trình 32x−+ = 21 x + , (1) 1 2 − .iu kin x ≥ , (*) pt(1) -3x + 2 = 2x + 1 ⇔ 1 5 5x = 1 x = (tho mãn vi điu kin (*) ) ⇔ ⇔ 1 5 . Vy nghim ca phng trình là x = 1 2 − Lu ý : iu kin x ≥ , (*) là điu kin cn và đ ca phng trình (1) nên ta ch cn đi chiu vi điu kin (*) đ ly nghim cui cùng ca phng trình. Ví d 2 + : Gii phng trình 2 23xx+−4 = 72x + , (2) . Nhn xét : Biu thc di du cn  v trái là biu thc bc hai nên ta đt điu kin cho v phi không âm. 7 2 . K: x - , (*). ≥ 2 pt(2) 2x + 3x - 4 = 7x +2 ⇔ 1 3 x x = − ⎡ ⎢ = ⎣ 2 2x - 4x - 6 = 0 ⇔ ⇔ i chiu vi điu kin (*), nghim ca phng trình là x = 3 . Ví d 3 + : Gii phng trình 25 2xx + =− (*) Tóm tt bài gii ⎩ ⎨ ⎧ −=+ ≥− ⇔−=+⇔ 252 02 252 xx x xx (*) ⎩ ⎨ ⎧ −= ≥ 7 2 x x ⇔ Vy phng trình đã cho vô nghim 3/ Dng 3 :  Hng dn hc sinh gii mt s phng trình không mu mc Ví d 1 + : Gii phng trình 22 1 x x++ + - = 4 (1) 2 1 x + iu kin ca phng trình là x -1 , (*) ≥ 22 1 x x + ++ .Nhn xét: Biu thc di du cn có dng hng đng thc 2 (a + b) = a 2 2 +2ab + b nên ta bin đi nh sau. 2 (11)x ++ pt(1) 2 - = 4 1 x + ⇔ 2 +2 - = 4 1 x + 1 x +⇔ = 2 x + 1 = 4 ⇔ x = 3 (tho mãn điu kin (*) ) 1 x +⇔ ⇔ Vy, nghim ca phng trình là x = 3. Ví d2 + : Gii phng trình 37x + - = 2 (2) 1 x + 7 3 1 x x ⎧ ≥− ⎪ ⎨ ⎪ ≥− ⎩ iu kin 37 10 x x +≥ ⎧ ⎨ +≥ ⎩ 0 x (**) 1≥− ⇔ ⇔ Chuyn v và bình phng hai v ta đc pt(2) ⇔ 37x + = 2 + 1 x + vi điu kin (**) nên hai v luôn không âm , bình phng hai v ta đc. 3x + 7 = x + 5 + 4 1 x +⇔ 2 = x + 1 tip tc bình phng hai v 1 x +⇔ 2 4x + 4 = x + 2x + 1 ⇔ 2 x -2x - 3 = 0 ⇔ (tho mãn điu kin (**)) 1 3 x x =− ⎡ ⎢ = ⎣ ⇔ Vy nghim ca phng trình là x = -1 và x = 3 . Ví d 3+ : Gii phng trình 2 75xxx−+ + = (3) 2 32 x x − − 2 2 75 32 0 50 xxx xx x ⎧ −+ +≥ ⎪ ⎪ −−≥ ⎨ ⎪ +≥ ⎪ ⎩ 0 (***) Hng dn : k Lu ý : H điu kin (***) rt phc tp nên ta không cn gii ra c th. T K (***) nên hai v không âm ,bình phng hai v ta đc 2 2 pt(3) 7 - x + x = 3 - 2x - x 5x +⇔ x = - 2x - 4 5x +⇔ 22 (2 4) 0 ( 5) 4 16 16 xx xx x x +≤ ⎧ ⎨ += + + ⎩ ⇔ 32 20 16 16 0 x xx x −≤ ≤ ⎧ ⎨ +− −= ⎩ ⇔ 20 1 4 x x x − ≤≤ ⎧ ⎪ =− ⎡ ⎨ ⎢ ⎪ =± ⎣ ⎩ 2 20 ( 1)( 16) 0 x xx −≤ ≤ ⎧ ⎨ +−= ⎩ x = -1 ⇔ ⇔ ⇔ Thay giá tr ca x = -1 vào h K (***) , tho mãn Vy nghim ca phng trình là x = -1 Ví d 4 + : Gii phng trình 23x + + = 3x + 2 2 25xx 1 x + 3 + + - 16 (4) 3 2 1 x x ⎧ ≥− ⎪ ⎨ ⎪ ≥− ⎩ HD: iu kin 23 10 x x +≥ ⎧ ⎨ +≥ ⎩ 0 x -1 (****) ⇔ ⇔ ≥ t 23x + + = t (K: t 0) 1 x + ≥ 3x + 2⇔ 2 25xx++3 2 = t - 4 2 pt(4) t - t - 20 = 0 t = 5 (nhn) hoc t = - 4 (loi) ⇔ ⇔ . Vi t = 5 2 2 25xx++3 =21 - 3x ( là phng trình thuc dng 1) ⇔ 22 21 3 0 4(2 5 3) 441 216 9 x x xx −≥ ⎧ ⎨ ++= − + ⎩ ⇔ x ⇔ 2 7 236 429 0 x xx ≤ ⎧ ⎨ −+= ⎩ x = 118 - (tho mãn K) 1345 ⇔ Vy nghim phng trình là x = 118 - 1345 + Ví d5 : Gii phng trình () ( ) 63 2 −−− xxx 2 – 7x + 12 = x Li gii sai: Ta có () ( ) 63 2 −−− xxx 2 x – 7x + 12 = ()() 23 2 −− xx () ( ) ( ) 233 −−− xxx (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = ⇔ ⇔ () (3) 2(3)(4)(1) (3) 2(3)(4) 2 xx xx xx xx ⎡ −+=−− ⎢ −− +=− − ⎢ ⎣ ⇔ ( ) ( ) 0423 =+−+−⇔ xxx () 23 +−⇔ xx Gii (1) = (x-3)(x-4) 3 24 x x x = ⎡ ⇔ ⎢ +=− ⎣ 3 7 x x = ⎡ ⇔ ⎢ = ⎣ () ( ) 324xxx () 3xx⇔− − + Gii (2) 2= (x-3)(x-4) 0 ⇔ −− ++−= 3 24 x x x = ⎡ ⇔ ⎢ +=− ⎣ 3 2 x x = ⎡ ⇔ ⎢ = ⎣ Vy phng trình đã cho có nghim là : x = 2 v x = 3 v x = 7. Nhân xét: Bài toán này HS có th gii mc sai lm nh sau: Li gii sai: () ( ) 63 2 −−− xxx 2 Ta có: x – 7x + 12 = () ( ) ( ) 233 −−− xxx ()() 23 2 −− xx (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = ⇔ ⇔ ( ) ( ) 0423 =+−+−⇔ xxx () 23 +−⇔ xx = (x-3)(x-4) () ⎢ ⎣ ⎡ ∗−=+ = ⇔ 42 3 xx x [...]... Gi i ph ng trình: x2 - 3x + x 2 3x 5 = 7 HD: t t = x 2 3x 5 (t 0 ) S: x = -1 và x = 4 3 Gi i ph ng trình: x 1 + 3x 2 = 5 x 1 HD: t k sau ó bình ph ng hai v S: x = 2 4 Gi i ph HD : A B ng trình: AB B ng trình x 2 x 1 x 1 x 1 AB khi A 0; B 0 B AB khi A 0; B 0 B S : Nghi m ph 5 Gi i ph HD: B A B ng trình là : x = -3 x 2 x 5 ng trình: x 5 AB khi A AB S: Nghi m c a ph khi A 0; B x 2 0 0; B 0 ng trình là:... S: Nghi m c a ph khi A 0; B x 2 0 0; B 0 ng trình là: x = 14 6 Gi i ph ng trình: x 1 + x 10 = 7 Gi i ph ng trình: 8 Gi i ph ng trình: x + 9 Gi i ph ng trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 1 x 1 + x x 2 + x 5 x 1 =4 1 2 x 1 = 2 4 10 Gi i ph ng trình: (4x - 1) x3 1 = 2x3 + 2x +1 11 Gi i ph ng trình: x2 - 1 = 2x x 2 2 x 12 Gi i ph ng trình: x2 + 4x = (x + 2) x 2 2 x 4 PH N III: K T LU N * K t qu ki m nghi... 4 x 2 9 x 14 0 V y ph x 4 x 4 x 0 x 2 x 4 2 7 ng trình ã cho có nghi m x = 3 và x = 7 HS có th k t lu n v i x =3 và x = 7 là hai nghi m tho mãn c a ph Mà không ng r ng ph ng trình ã cho còn có m t nghi m n a là x = 2 c ng tho mãn 0 khi A 0 Chú ý r ng: A2 B A B A B khi A 0 A B L i gi i trên ã b sót m t tr khi A 0 ng h p A 0 Bài t p 1 Gi i ph a b c ng trình 3 x 2 = 1 - 2x 5 2x = x 1 3x 2 9 x 1 + x -... i5 T ng s S l 2007- i mt 5 T l ng S l T l S ng T l l ng 10A3 42 5 12% 20 48% 17 40% 10A1 43 7 16% 22 51% 14 37% 10A3 44 8 18% 23 52% 13 30% 2010 * Ph ng trình vô t là m t n i dung quan tr ng trong ch 10 nói riêng và b c GDTX nói chung Nh ng t ng ng trình môn toán l p i v i h c sinh l i là m t m ng i khó, ây c ng là ph n nhi u th y cô giáo quan tâm ra giúp các em h c sinh có h ng thú h c t p h n . phng trình vô t’’. - Qua ni dung ca đ tài này tôi mong mun giúp các em hc sinh gii bài toán v phng trình vô t tt hn. III/ I TNG NGHIÊN CU : - Phng trình vô t (Phng trình. VI NGHIÊN CU : - Ni dung phn phng trình vô t và mt s bài toán c bn, nâng cao nm trong chng trình đi s 10. - Mt s bài gii phng trình cha n di du cn trong các đ thi. -THCN, các em s gp mt lp các bài toán v phng trình vô t mà ch có s ít các em bit phng pháp gii nhng trình bày còn lng cng cha đc gn gàng, sáng sa thm chí còn mc mt s