Đang tải... (xem toàn văn)
Đề cương hình học 10 nâng cao tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vự...
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO NĂM HỌC 2014 – 2015 Trang CHƯƠNG I : VECTƠ BÀI – - : CÁC ĐỊNH NGHĨA – TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI – TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Các định nghĩa : Khái niệm Vectơ : Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu , điểm điểm cuối Kí hiệu: AB có : + Gốc ( điểm đầu ) A + Ngọn ( điểm cuối ) B d Giá vectơ: Đường thẳng d chứa đoạn thẳng AB giác AB Độ dài vectơ : Độ dài đoạn thẳng AB độ dài AB A B Kí hiệu : AB Như ta có : AB AB Hướng vectơ : Chiều từ gốc A đến B hướng AB Vectơ đơn vị : Vectơ có độ dài gọi đơn vị Hai vectơ phương : Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Lưu ý : Hai vectơ phương chúng hướng hay ngược hướng B E A Ta có : + AB, CD, EF phương với F C + AB, CD hướng với D + AB, EF CD, EF : ngược hướng với Hai vectơ : Hai vectơ a b chúng hướng độ dài Kí hiệu : a b Tính chất : i) AB AB a ii) AB CD CD AB b iii) AB CD CD EF AB EF Vectơ : Vectơ không vectơ có gốc trùng Kí hiệu : Ta có : i) AB A B ii) AA BB Nhận xét : Vectơ có độ dài có phương ( phương hướng với vectơ) Vectơ tự : Có nhiều vectơ vectơ AB cho trước Tập hợp vectơ coi vectơ ( Vectơ tự ) Một vectơ tự hoàn toàn xác định biết hướng độ dài Vectơ tự thường kí hiệu đơn giản a, b, x, y , 10 Xác định điểm đẳng thức vectơ: Trang Cho điểm O có định vectơ v khơng đổi Khi tồn điểm M cho : OM v (1) Ta nói điểm M xác định đẳng thức (1) II Tổng hiệu hai : Tổng hai vectơ a Định nghóa: Câo âẫ vectơ a b Lấy điểm A , ta vẽ : AB a , íạ vẽ tiếp BC b Vectơ c AC xác định gọi tổng a b Kí hiệu : a b c b Tính chất : C a A b * Gãao âoaù : a b = b a è * Keg âợ : t p B ( a b ) + c = a (b + c ) * Tíèâ câag cộng với vectơ – åâô g: a + = a t è * Bất đẳng thức tam giác : a b a b c Các qui tắc : ã Quy tắc điểm : ( Qïã tắc chèn điểm ) Câo A, B ,C tïø ý Ta có : AB + BC = AC y Mở rộng cho n điểm : Cho n điểm A1 , A2 , A3 , , An , ta có : A1 A2 A2 A3 An 1 An A1 An ãã Quy tắc hình bình hành : Neg ABCD laø ï ârèâ brèâ âaøâ târ AB + AD = AC è Hiệu hai vectơ a Vectơ đối : Cho vectơ a Vectơ có độ dài ngược hướng với a gọi vectơ đối vectơ a Kí hiệu : a Nói cách khác a b ta nói a vectơ đối b hay b vectơ đối a Các tính chất : i) AB BA ii) I trung điểm AB IA IB iii) ( AB ) AB b Định nghĩa hiệu hai Vectơ : Câo âaã vectơ a b Hiệu a b , kí hiệu a b định nghĩa : a b a b Qui tắc điểm: Câo BC , với điểm O tïø yù ta coù : OB OC CB y III Tích với số với Vectơ: Định nghĩa : Câo vectơ a số thực k Tícâ số k với vectơ a , kí hiệu å a , vectơ phương với a thỏa tính chất : * k : hướng với a Trang * k : ègược hướng với a * Có độ dài : k a | k | a Quy ước : k 0.a Tính chất : a) å(m a ) = (åm) a b) (å + m) a = å a + m a c) å( a + b ) = å a + å b d) 1.a a ; (1).a a e) å a = å = âoaq a = c Hai vectơ phương: b cïøg pâư ơèg a ( a ) cóíog tâỏ b = å a è å a Ba điểm thẳng hàng : A , B , C tâaú g âàg tồn íog è è tâực k íao câo AB = å AC Biểu diễn vectơ qua hai vectơ không phương: è è è c ï è t b åâoâ g cïøgpâư ơèg a , x lïô đư ợ bãể dãễ x = m a + è b ( m, è dïy èâag ) IV Một số tính chất quan trọng cần nhớ Câo Tính chất trung điểm : Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB , ta có : i) IA IB ii) MI ( MA MB) , với M 2 Tính chất trọng tâm tam giác : Nếu G trọng tâm tam giác ABC, ta có : i) GA GB GC ii) MG ( MA MB MC ) , với M 3 Tính chất đường trung tuyến: Nếu AM trung tuyến tam giác ABC AB AC AM Điều kiện cần đủ để ba điểm thẳng hàng : A , B , C tâẳ g âàg thỏa mãn điều kiện sau : è è a tồn íog tâực k íao câo AB = å AC b Câo điểm I tồn số thực t cho : IA t IB 1 t IC Công thức chia điểm : Cho đoạn thẳng AB số thực k khác Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k : MA k.MB Khi với điểm C , ta có : CM k CA CB ( Công thức điểm chia ) 1 k 1 k Trang B PHƯƠNG PHÁP TOÁN VẤN ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Sử dụng định nghĩa, tính chất phép tốn vectơ tính chất hình học học lớp Bài Cho hai vectơ a, b Chứng minh : a) a b b a a b b) a b b a a b Bài Gọi C trung điểm đoạn AB Các khẳng định sau hay sai? a) AC BC hướng b) AC AB hướng c) AB BC hướng d) AB BC e) f) AB BC AC BC Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC N trung điểm AB a) Đẳng thức AB AC hay sai? b) Các vectơ hướng với AC ? c) Các vectơ ngược hướng với BC d) Các vectơ nhau? Bài Cho ba điểm A, B, C Có nhận xét ba điểm : a) AB BC b) AB AC c) AB AC AB, AC phương Bài Cho ba điểm A, B, C Mệnh đề sau đúng? a) AB A B b) AB CD A C B D c) Nếu AB AC B C d) Nếu BA CA B C Bài Cho ba điểm A, B, C phân biệt Kết luận ba điểm A, B, C : a) AB BC phương b) AC AB hướng Bài Cho hình bình hành ABCD Hãy véctơ 0 có điểm đầu điểm cuối bốn điểm ABCD Trong số véctơ trên, a) Các véctơ phương b) Các cặp véctơ phương ngược hướng c) Các cặp véctơ Bài Cho lục giác ABCDEF có tâm O a) Tìm véctơ khác véctơ khơng 0 phương với AO b) Tìm véctơ với véctơ AB CD c) Hãy vẽ véctơ với véctơ AB có điểm đầu O, D, C d) Hãy vẽ véctơ với véctơ AB có điểm gốc O, D, C Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo Trang a) Tìm véctơ với véctơ AB b) Tìm véctơ với véctơ OA c) Vẽ véctơ với OA có điểm A, B, C, D Bài 10 Cho điểm A, B, C phân biệt Có véctơ khác véctơ khơng có điểm đầu điểm cuối điểm ? Bài 11 Cho điểm A, B, C, D, E phân biệt Có véctơ khác véctơ khơng có điểm đầu điểm cuối điểm ? Bài 12 Cho véctơ AB điểm C Hãy dựng điểm D cho AB CD Bài 13 Các mệnh đề sau hay sai? a) Nếu a b c a b c b) Nếu I trung điểm MN MI NI c) Nếu AB CD AC BD d) Nếu AC AB hai đối A C e) a b vectơ đối a b Bài 14 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Các khẳng định sau hay sai? a) MA MB BA c) MA BA MC BC b) BA CM AB MC d) MA MB CA CB Bài 15 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Các khẳng định sau hay sai? a) AB AD BD b) AB BD BC c) OA OB OC OD d) BD AC AD BC Bài 16 Cho điểm A, B, C, D không thẳng hàng Có hệ thức véctơ mệnh đề đặt hai cột tương ứng, nối chúng lại với để tạo thành suy luận ? Cột I 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ AD DB AB 3AC AB CD DC DA DB AD BC Cột II A : "ABCD hình bình hành" B: "ABDC hình bình hành" C: "ACBD hình bình hành" D: "D trung điểm AB" E: " C AB " Bài 17 Cho hình ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh : a) Hai vectơ OA OB OC OE phương với OD Trang b) Hai vectơ AB EC phương Bài 19 Cho tam giác ABC Chứng minh điểm G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC Bài 20 Các tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Chứng minh : GG ' AA' BB' CC ' Bài 21 Cho ABC có A', B', C' trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC' C' A A ' B ' b) Tìm véctơ với B ' C ', C ' A ' Bài 22 Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AD Dựng MK = CP KL = BN a) CMR : KP = PN b) Hình tính tứ giác AKBN c) CMR : AL = Bài 23 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm ∆ABC, B' điểm đối xứng với B qua O Chứng minh AH B'C Bài 24 Cho ∆ABC Vẽ D đối xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C F đối xứng với C qua A Gọi G giao điểm trung tuyến AM ∆ABC với trung tuyến DN ∆DEF Gọi I, K trung điểm GA GD Chứng minh: a) AM NC b) MK NI Bài 25 Cho ∆ABC M điểm không thuộc cạnh tam giác Gọi D, E, F trung điểm AB, BC, CA Vẽ điểm P đối xứng với M qua D, điểm Q đối xứng với P qua E, điểm N đối xứng với Q qua F Chứng minh MA NA Bài 26 Cho hai ∆ABC ∆AEF có trọng tâm G Chứng minh: BE FC Bài 27 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP QN, MQ PN Bài 28 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a) AC BA AD, AB AD AC b) CO OB BA , DA DB OD OC c) DA DB DC d) Nếu AB AD CB CD ABCD hình chữ nhật Bài 29 Cho hình bình hành ABCD Gọi M N trung điểm AB CD AN CM cắt BD E F Chứng minh : a) DE EF FB b) BE FD Bài 30 Cho hình bình hành ABCD Dựng AM BA, MN DA, NP DC , PQ BC Chứng minh : AQ Bài 31 Cho hình bình hành ABCD điểm M tùy ý Chứng minh : MA MC MB MD Bài 32 Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH BD Gọi M, N trung điểm DH BC Kẻ Trang BK AM cắt AH E Chứng minh rằng: MN EB Bài 33 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB = 2CD Từ C vẽ CI = DA CMR : a) I trung điểm AB DI = CB b) AI = IB = DC Bài 34 Chứng minh khẳng định sau : a) Nếu a, b hướng a b a b b) Nếu a, b ngược hướng b a a b b a c) Bài 35 a b a b Khi dấu đẳng thức sảy ra? Cho a b So sánh độ dài, phương hướng hai véctơ a b Cho hai véctơ a b hai véctơ khác véctơ không Khi có đẳng thức xảy ? a) a b a b b) a b a b Bài 36 : Câo tam gãaù ABC , trọ g tâ Pâá bãể èà ïù g c è m G t ï o ñè a) AB + BC = AC c) AB + BC = AC b) GA + GB + GC = d) GA + GB + GC = t è Bài 37 Tìm tính chất tam giác ABC, bãeg rằg : CA + CB = CA - CB Bài 38 Tứ giác ABCD hình có AB DC AB AD Bài 39 Cho tam giác ABC vuông A biết AC = a AB = 2a Tính độ dài vectơ : AB AC , AB AC Bài 40 Cho tam giác ABC vuông A, BC = a, góc C = 600 a) Xác định tính độ dài AD AB AC b) Gọi M trung điểm BC Vẽ tính AE AB AM Chứng minh ED BM Bài 41 Cho ABC vuông A Biết AB = 6a, AC = 8a Tính AB AC Bài 42 Cho ∆ABC có cạnh a Tính độ dài véctơ AB BC, AB BC Bài 43 Cho ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài HA, HB, HC Bài 44 Cho tam giác ABC cạnh a a) Xác định tính độ dài u AB AC ; v CA BA b) Gọi M, N trung điểm BC AC Xác định tính độ dài vectơ AM BN Bài 45 Cho ABC cạnh a Gọi I trung điểm BC a) Tính AB AC b) Tính BA BI Bài 46 Cho hình bình hành ABCD tâm O Hãy biểu diễn véctơ AB, BC, CD, DA theo hai véctơ AO, BO Trang Bài 47 Cho hình thoi ABCD có tâm O, AB = a góc ABC 60 Xác định tính độ dài vectơ : AB AD ; AB AD Bài 48 Cho hình thoi ABCD có BAD =600 cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính | AB AD |;| BA BC |;| OB DC | Bài 49 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; AD = a Hãy xác định tính độ dài vectơ sau: a) AC DA b) AD AC c) BC BA BD Bài 50 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a a) Tính AD AB b) Dựng u = CA AB Tính u Bài 51 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài AB AD, AB AC, AB AD , OA OC , OB BC Bài 52 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB AC AD VẤN ĐỀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Để thực phép biến đổi tương đương cho đẳng thức cần chứng minh ta lựa chọn biến đổi sau: Biến đổi vế thành vế lại - Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực việc đơn giản biểu thức - Xuất phát từ vế đơn giản ta cần phân tích Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết Biến đổi đẳng thức biết thành đẳng thức cần chứng minh Tạo dựng hình phụ Thường áp dụng qui tắc sau : - Quy tắc điểm: AB AC CB AB AC CB - Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta ln có: AD AB AC - Qïy tắc trung điểm : Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB , ta có : i) IA IB ii) MI ( MA MB) , với M - Quy tắc trọng tâm : Nếu G trọng tâm tam giác ABC, ta có : i) GA GB GC ii) MG ( MA MB MC ) , với M Bài Cho điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: a) AB CD AD CB b) AC BD AD BC Bài Cho điểm A, B, C, D, E tùy ý Chứng minh rằng: c) AB CD AC BD Trang a) AB CD EA CB ED b) CD EA CA ED c) AC DE DC CE CB AB Bài Cho điểm: A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng: a) AB CD AC DB b) AD BE CF AE BF CD c) Nếu AC BD AB CD Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F, G Chứng minh rằng: a) AB CD EA CB ED b) AB CD EF GA CB ED GF c) AB AF CD CB EF ED Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F, G, H Chứng minh rằng: AC BF GD HE AD BE GC HF Bài Cho lục giác ABCDEF có tâm O Chứng minh rằng: với M điểm tùy ý ta ln có: a) OA OB OC OD OE OF b) OA OC OE c) AB AO AF AD d) MA MC ME MB MD MF e) AF ED CB Bài Cho ∆ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) AB BC CA b) MN NP PM c) AN CM PB d) AP BM MP e) AP BM AC g) AM BN CP f) AM AB AC h) AP BM AN BP PC Bài Cho ΔABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB O điểm Câứèg mãèâ rằèg : AM BN CP OA OB OC OM ON OP Bài Cho ΔABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC 2NA Gọi K, D trung điểm MN BC Chứng minh rằng: Trang 10 d) Gọi AD phân giác góc BAC (D BC) Tính AD theo AB , AC , suy AD b) AG.BC HD: a) AB.AC , coí A c) S 29 d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB AB DC AD AB AC , AC AD 54 Bài 10 Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60 M trung điểm BC a) Tính BC, AM b) Tính IJ, I, J xác định bởi: 2IA IB 0, JB JC Bài 11 Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = a) Tính cosA, cosB, cosC b) Tính trung tuyến BM, CN Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A, BC = a , M trung điểm BC Biết AM BC a Tính AB, AC Bài 13 Cho hình bình hành ABCD có AB = 13, AD = 19, AC = 24 Tính độ dài BD Bài 14 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5, BC = Gọi M , N trung điểm BC, CD a) Tính AM theo AB AD b) AM AN Bài 15 Cho hình bình hành ABCD với AB ; AD BAD 30 a) Tính AD AB ; BA BC b) Tíèâ đ dài hai đường chéo AC BD độ c) Tính cos AC, BD Bài 16 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = a, AD = 3a, BC 9a a) Tính tích vô hướng sau : AC AB ; AC AD ; AC.BD suy góc AC , BD b) Gọi M trung điểm AC Tính BM BD Suy cosMBD Bài 17 Cho hình thang vng ABCD , có đường cao AB, cạnh đáy AD = a; BC = 2a Hãy tính độ dài đoạn AB trường hợp sau : a) AC AB a b) AC.BD a c) IC.ID a ( I trung điểm AB ) Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 4) , B(3; -2) Một điểm M di động Ox Tim giá trị nhỏ độ dài MA MB Bài 19 Cho ba điểm A( 1; 2) , B(-2; 3) , C(2; -1) Tìm m cho độ dài AB m AC VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH SỰ VNG GĨC CỦA HAI VECTƠ – HAI ĐƯỜNG THẰNG Trang 44 PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Để chứng minh hai vectơ AB CD vuông gốc với nhau, ta chứng minh : AB CD Để chứng minh hai đường thẳng vng góc với ta tìm hai đường thẳng hai vectơ khác vectơ khơng có tích vơ hướng khơng Dùng biểu thức tọa độ ( đề có liên quan đến tọa độ ) : cho hai vectơ a a1 ; b1 b a ; b2 Khi : a b a1 a b1 b2 Bài Cho tam giác ABC với A( 10; 5) , B(3; 2) , C( 6; -5) Chứng minh tam giác ABC vng B Bài Cho tam giác ABC có A(5; 3) , B(2; -1), C(-1; 5) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác Bài Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1) Gọi B điểm đối xứng với điểm A qua góc tọa độ O Tìm tọa độ điểm C có tung độ cho tam giác ABC vuông C Bài Chứng minh : AB BC CD DA AC.DB với A, B, C, D điểm Từ suy điều kiện để hai đường chéo tứ giác vng góc với Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N, P điểm thỏa : 1 AM AB; CN CA; BP BC Chứng minh : MN AP 3 Bài Cho tam giác ABC có AB = 3;AC = D, E hai điểm thỏa : DB 3DC 0; EB EC a) Biểu diễn AD, AE theo AB, AC b) Chứng minh AD AE Bài Cho hình thoi ABCD Gọi I trung điểm CD; J trung điểm BC Chứng minh : AI DJ ABCD hình vng Bài Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi H trung điểm BC D hình chiếu H lên AC Gọi M trung điểm HD Chứng minh AM BD Bài Gọi H trực tâm tam giác ABC M trung điểm BC Chứng minh : MH MA BC Bài 10 Cho tứ giác ABCD có AC BD cắt O Gọi H, J trực tâm tam giác ABO CDO Gọi I, J trung điểm AD, BC Chứng minh HK IJ ˆ Bài 11 Cho tam giác ABC có AB =2a; AC =a ; A 120 a) Tính độ dài BC trung tuyến AM b) Gọi N BC cho BN = x Biểu diễn AN theo AB, AC Từ suy giá trị x để AN BM Bài 12 Cho vecto a, b thỏa | a || b | (a 2b) (5a 4b) Tính a, b Bài 13 Cho a, b , thỏa điều kiện : (3a 5b) (2a b) (a 4b) (a b) Tính cos a, b Bài 14 a) Cho a b | a | 1, | b | CMR : 2a b a b b) Cho a, b thỏa | a b || a b | CMR : a b Bài 15 Cho tam giác ABC có đường cao AH Chứng minh tam giác vuông A a) AB2 BH BC b) AH BH HC Bài 16 Chứng minh MA MB 4OM AB với O trung điểm AB Trang 45 Bài 17 Cho tam giác cân ABC A H chân đường cao hạ từ A, điểm D hình chiếu H lên AC Gọi M trung điểm HD Chứng minh AM BD HD: AM BD AH AD BH HD AH HD AD.BH AH HD AD.HC , AD AH HD Bài 18 Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm BC, CD Chứng minh AM BN Bài 19 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a Gọi M trung điểm AD CM: BM AC Bài 20 Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b Gọi BM CN hai trung tuyến Chứng minh BM CN b2 c2 5a Bài 21 Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 2a Gọi D trung điểm AC, M điểm thỏa mãn hệ thức BM BC CMR : BD AM Bài 22 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A BA BC AB Bài 23 Cho hai đường thẳng vng góc S cắt đường tròn (O) A, B C, D Chứng minh trung tuyến kẻ từ S tam giác SAC vuông góc với BD Bài 24 Cho đường trịn (O; R) Chứng minh điều kiện cần đủ để AM tiếp tuyến đường tròn M : OA OM R Bài 25 Cho hình thang vuông ABCD đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a,BC = b.Tìm điều kiện a, b, h để : a) AC BD vng góc b) Góc AIB 90 với I trung điểm CD Bài 26 Cho tam giác ABC có I trung điểm BC, O tâm đường tròn ngoại tiếp, H điểm xác định hệ thức : OH OA OB OC a) Tính AH BC Suy H trực tâm tam giác ABC b) Tìm hệ thức liên hệ độ dài a, b, c ba cạnh BC, AC, AB cho OH vng góc với AI Bài 27 Cho tam giác ABC cạnh a Trên ba cạnh BA, BC, CA lấy điểm M, N, P cho BM 1 BA; BN BC; AP AC a) Tính AB AC b) Phân tích MP theo AB, AC ; AN theo AB, AC c) Chứng minh : MP vuông góc với AN Bà 28 Cho tam giác ABC vng cân A, AB = AC =a điểm I, J, K cho AI BJ AB ; BC ; CK k CA Tìm k để AJ IK Trang 46 VẤN ĐỀ CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VƠ HƯỚNG- ĐẲNG THỨC VỀ ĐỘ DÀI PHƯƠNG PHÁP : Áp dụng tính chất tích vơ hướng, định nghĩa, định lý hình chiếu, qui tắc : ba điểm, trung điểm, hình bình hành, trọng tâm lưu ý AB AB Bài Cho tam giác ABC M trung điểm BC CMR : AB AC AM MB Bài Cho hình chữ nhật ABCD M điểm CMR: a) MA MC MB MD b) MA.MC MB.MD c) MA MC MB MD Bài Cho hai vecto AB CD Gọi A’, B’ hình chiếu A, B lên đường thẳng CD Chứng minh : AB.CD A' B'.CD Bài Cho tam giác ABC có đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm a) Chứng minh : HA.HB HA.HA'; HA.HB HB.HB' b) Chứng minh : HA.HA' HB.HB ' HC HC ' Bài Cho tam giác ABC với trung tuyến AD, BE, CF CMR : BC AD CA.BE AB.CF Bài Cho điểm A, B, C, D a) CMR : BC AD CA.DB AB.DC b) Từ chứng minh định lý :” Ba đường cao tam giác đồng quy” Bài Cho tam giác ABC điểm H thuộc BC CMR : AH BC HB HC AB AC AB Bài Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, M điểm tùy ý CMR : MA.MB MO Bài Cho tam giác ABC có M trung điểm BC.CMR : AB AC BC a) AB AC 2 2 ˆ AB AC BC b) cos A AB AC AB AC BC AM c) Bài 10 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF CMR : AD BE CF ( BC AB AC ) Bài 11 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AC BD.Chứng minh : AB BC CD DA AC BD 4IJ Bài 12 Cho tam giác ABC có trọng tâm G M điểm a) Chứng minh : MA MB MC 3MG GA GB CG b) Cho M chạy đường thẳng cố định d Tìm vị trí M để : MA MB MC đạt giá trị nhỏ Bài 13 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm Chứng minh: a) MA2 MC MB MD b) MA.MC MB.MD Trang 47 c) MA2 MB.MD MA.MO (O tâm hình chữ nhật) Bài 14 Cho hai điểm M, N nắm đường trịn đường kính AB = 2R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN a) Chứng minh: AM AI AB.AI , BN BI BA.BI b) Tính AM AI BN BI theo R Bài 15 Cho tam giác ABC có trực tâm H, M trung điểm BC Chứng minh: M H MA BC Bài 16 Cho AA’ dây cung đường tròn ( O ) M điểm nằm dây cung Chứng minh : 2.MA MO MAMA MA' Bài 17 Cho hai đường thẳng AB CD cắt M Chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn : MA.MB MC.MD Bài 18 Cho tam giác ABC hai điểm M, M’ Gọi I I’, H H’, K K’ theo thứ tự hình chiếu M M’ lên BC, CA, AB Chứng minh : BC II ' CA.HH ' AB.KK ' Bài 19 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh : AC BD 2( AB AD ) Bài 20 Cho đường tròn ( O ) với dây cung BC đường kính AD vng góc với BC Trên đường thẳng BC lấy điểm M , đường thẳng AM cắt đường tròn ( O ) M’ CMR : a) AD AM AD AB b) AM AM ' AB Bài 21 Trên mp Oxy cho hai điểm A(1 ; 3), B( ; ) a) Tìm tọa độ điểm D nằm Ox cho DA = DB b) Tính chu vi tam giác OAB c) Chứng tỏ OA vng góc với AB từ tính diện tích tam giác OAB d) Tìm tọa độ vectơ đơn vị phương với AB Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm A(2; 3), B (-1; -1) , C(6; 0) D(x; -3) a) Chứng minhtam giác ABC vng cân b) Tìm x để A, B, D thẳng hàng c) Tìm M thuộc Oy cho tam giac ABM vng M d) Tìm điểm N(3; y – 1) cho N cách A B Trang 48 VẤN ĐỀ : TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MỘT ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VƠ HƯỚNG HAY ĐỘ DÀI PHƯƠNG PHÁP CHUNG : LOẠI MA.v k ( A cố định , v vectơ cố định ) Nếu k = : Tập hợp điểm M đường thẳng qua A vng góc với v Nếu k : Gọi H, K hình chiếu A, M lên đường thẳng chứa vectơ v Ta có : MA.v k HK v k Do H, A, v cố định nên K cố định Suy tập hợp điểm M đường thẳng qua K vng góc với v LOẠI MA MB k ( A, B hai điểm cố định cho trước, k số thực cho trước ) Nếu k = : Tập hợp điểm M đường trịn đường kính AB Nếu k : Gọi I trung điểm đoạn AB Ta có : MA MB k MI IA k MI IA k Như tập hợp điểm M : i) Nếu IA k : Tập hợp M đường trịn tâm I có bán kính R IA k ãã) Nếu IA k : M I ããã) Nếu IA k : M LOẠI MA MB MC k ( ; A, B, C điểm cố định; k số thực cho trước ) Gọi I điểm thỏa hệ thức : IA IB IC , I điểm xác định Ta có : MA2 MB MC k MI k IA IB IC 2 k IA IB IC m Như tập hợp điểm M : i) Nếu m : Tập hợp M đường trịn tâm I có bán kính R m ãã) Nếu m : M I ããã) Nếu m : M MI Bài Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M thỏa : a) AM AB AC AB Trang 49 b) MA MB ( MA MC ) Bài Cho đoạn thẳng AB Tìm quỹ tích điểm M thỏa : MA 2.MA.MB Bài Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M thỏa : a) MA MB ( 2MB MC ) b) MA MB ( MB MC ) c) 2.MA MA.MB MA.MC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm quỹ tích điểm M thỏa : a) MA.MC MB.MD a b) MA.MB MC.MD 5a c) MA MB MC 3MD d) MA MB MC ( MC MB) 3a Bài Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M cho: a) MA2 MA.MB c) ( MA MB)( MB MC ) b) ( MA MB)(2 MB MC ) d) MA2 MA.MB MA.MC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA.MC MB.MD a2 b) MA.MB MC MD 5a d) ( MA MB MC )( MC MB ) 3a2 Bài Cho ABC đường thẳng d Tìm M d để u MA MB MC có độ dài nhỏ c) MA2 MB MC 3MD BÀI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác vng ABC A, gọi b’, c’ hình chiếu vng góc cạnh AB, AC lên cạnh BC Ta có : i Cơng thức liên quan đến hình chiếu b b'.a c c'.a b' b c' c ii Định lý Pitago a2 b2 c2 iii Công thức liên quan đến đường cao h b'.c' 1 2 h a b iv Công thức liên hệ cạnh góc b a sin B a cos C c tan B c cot anC c a sin C a cos B b tan C b cot anB Trang 50 Các hệ thức lượng tam giác : Cho tam giác ABC Ta kí hiệu : Đặt BC = a, CA = b; AB = c , hb , hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến tương ứng với cạnh BC, CA, AB l a , l b , l c độ dài đường phân giác tương ứng với góc A, góc B, góc C R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC abc p chu vi tam giác ABC S diện tích tam giác ABC A b c B H la D ma M C a 2.1 Định lí cosin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta ln có : a2 = b2 +c2 -2bc cosA b = a2 + c2 – 2ac.cosB c2 = a2 + b -2ab.cosC Hệ quả: ( Tính góc tam giác biết chiều dài cạnh ) b2 c2 a cos A ; 2bc a c2 b2 a b2 c2 cos B ; cos C ac 2ab 2.2 Định lí sin: Với tam giác ABC , ta có : a b c 2R sin A sin B sin C Trong đó:R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2.3 Định lý đường trung tuyến: Cho tam giác ABC ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến tương ứng với cạnh BC = a, CA = b, AB = c Ta có : 2a 2c b 2b 2c a m b2 m ; ; 4 a m c2 a 2b c Cơng thức tính diện tích tam giác Trang 51 Ta có cơng thức diện tích sau : 1 i) S a.ha b.hb c.hc 2 1 ii) S ab sin C bc sin A ca sin B 2 abc iii) S 4R iv) S p.r v) S p ( p a )( p b)( p c) ( Công thức Hê – rơng ) Cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp, bàng tiếp tam giác A B C r p a tan p b tan p c tan 2 A B B p tan ; rb p tan ; rc p tan 2 Công thức tính chiều dài đường phân giác tam giác 4bc la p p a b c 2 4ac lb2 p p b a c 2 ab lc2 p p c a b 2 B PHƯƠNG PHÁP TỐN VẤN ĐỀ : TÍNH TỐN CÁC YẾU TỐ TRONG MỘT TAM GIÁC PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Tùy theo giả thuyết tốn, để tìm yếu tố tam giác ta : Áp dụng trực tiếp định lý hàm cosin, định lý hàm sin, cơng thức trung tuyến , cơng thức diện tích,… Chọn hệ thức thích hợp cho phép tìm số yếu tố trung gian cần thiết, từ ta tìm yếu tố cần tìm Bài Cho tam giác ABC có b = 5, c = 7, cosA = Tính a, S, R, r Bài Trong tam giác ABC , Tính A, B, C , R ma trường hợp sau : ˆ a) A 60 , b 8, c b) a = 21, b = 17, c = 10 c) a , c 2, b d) a , b 2 , c ˆ Bài Cho tam giác ABC có A 1200 , AB 1, AC a) Tính AC cosC b) Trên AC kéo dài lấy điểm D cho BD = Tính AD Bài Cho tam giác ABC Tính độ dài cạnh trường hợp sau : ˆ a) AB , BC , C 600 Trang 52 ˆ b) A 1200 , BC 13, AB AC 15 Bài Cho tam giác ABC có AB = 8, AC = 9, BC = 10.Một điểm M nằm cạnh BC cho MB = Tính độ dài đoạn thẳng AM Bài Cho tam giác ABC có BC = 12, AC = 13, trung tuyến AM = a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính góc B Bài Cho tam giác ABC có b(b a ) c( a c ) Tính góc A Bài Cho tam giác ABC Tính góc A trường hợp sau : b3 c3 a3 a2 a) a bc (a b)(b c a )(c a b) b) cos B 2abc Bài Cho tam giác ABC cạnh a, BC lấy D cho BD = 2DC.Trung trực đoạn AD cắt AC E Tính CE BE ˆ ˆ Bài 10 Cho tam giác ABC có B 450 , C 750 phân giác AD = Tính cạnh tam giác bán kính đường trịn ngoại tiếp Bài 11 Cho tam giác ABC có mb 4, mc 2, a Tính độ dài cạnh AB, AC Bài 12: Tam giác ABC có