một số phương pháp giúp học sinh chủ động giải phương trình vô tỉ

16 255 1
  • Loading ...
1/16 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/11/2014, 05:18

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH CHỦ ĐỘNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Người thực hiện: Đoàn Mạnh Hùng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA,NĂM 2013 A. ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình vô tỉ (chứa ẩn trong căn) là một trong những dạng toán thường gây khó khăn cho các em học sinh, đặc biệt là các em tham gia các kì thi học sinh giỏi ,kì thi vào Cao đẳng – Đại học. Để giải quyết dạng toán này đòi hỏi học sinh cần phải có một tư duy nhất định, phải biết phân tích và lựa chọn cách giải cho phù hợp. Ngoài hai cách giải thông thường, đó là: bình phương và đặt một ẩn phụ đơn giản thì dạng toán này còn có thêm một số phương pháp giải đăc biệt khác. Do thời lượng chương trình giáo khoa hạn chế nên phần lớn các em không được tiếp cận nhiều với các phương pháp này. Chính vì thế, tôi đã lựa chọn đề tài: “một số phương pháp giúp học sinh chủ động giải phương trình vô tỉ”. Qua đây tôi mong muốn giúp các em có một cái nhìn tổng quát khi giải phương trình này. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I – Cơ sở lí luận - Phương trình vô tỉ là một dạng toán quan trọng là thường được dùng trong các kì thi đặc biệt là kì thi học sinh giỏi và kì thi vào đại học –cao đẳng. Để giải quyết tốt bài toán này đòi hỏi người học phải có tư duy nhạy bén và kỹ năng tính toán tốt. -Nếu học sinh chưa được tiếp cận với các phương pháp giải phương trình vô tỉ thì vịêc giải quyết bài toán này gặp không ít khó khăn. II. Thực trạng của vấn đề - Ngoài các dạng phương trình vô tỉ cơ bản, thì hầu hết các dạng mở rộng khác không được đề cập trong SGK, nhưng lại thường được khai thác trong các kì thi học sinh giỏi,kì thi vào đại học – cao đẳng. Vì thế các em rất lúng túng khi gặp dạng toán này và dẫn đến bế tắc trong việc định ra hướng giải phương trình đó. III. Giải pháp và tổ chức thực hiện: - Tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ - Đưa ra và giải quyết một số ví dụ minh hoạ. Các phương pháp giải pháp giải phương trình vô tỷ: 1/Phương pháp nhân lượng liên hợp: a/ Phương pháp: Nhẩm được nghiệm 0 x . Từ đó, ta xử lý và nhân lượng liên hợp để đưa về tích ( ) 0 . ( ) 0x x A x− = . Sau đó, ta giải ( ) 0A x = . Thông thường ta chú ý điều kiện có nghĩa và điều kiện có nghiệm của phương trình để chứng minh ( ) 0A x = vô nghiệm. b/ Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 1 5 + = − x x (1) Phân tích phương trình: Nếu phương trình này mà bình phương hai vế thì sẽ đưa về phương trình bậc 4, sẽ khó khăn cho việc giải quyết sau này. Còn việc đặt ẩn phụ cũng sẽ khá phức tạp. Tuy nhiên, ta nhận thấy x = 3 thoả mãn phương trình. Do đó, ta sẽ tìm cách đưa về phương trình tích có chứa thừa số x – 3, từ đó ta thêm bớt để nhân lượng liên hợp. Giải: Điều kiện: 1≥ −x Ta có ( ) 2 2 2 1 5 2 1 2 9+ = − ⇔ + − = −x x x x ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 1 2 − ⇔ = − + + + x x x x ( ) 3 0 2 3 1' 2 2 − =   ⇔  = +  + +  x x x Pt (1’) vô nghiệm vì: 2 1 1 2 = ≤ + + VT x 3 2 = + ≥ VP x Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 1 2 3 7 1 0− + + + − − =x x x x (2) Phân tích phương trình: Ta nhẩm thấy x = 2 thoả mãn phương trình. Từ đó xử lý như ví dụ 1. Giải: Điều kiện: 1 ≥ x Phương trình (2) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 3 7 2 0⇔ − − + + − + − + =x x x x ( ) ( ) 2 2 2 3 1 0 1 1 2 2 − − ⇔ + + − − = − + + + x x x x x x ( ) ( ) 2 0 1 1 3 1 0 2' 1 1 2 2 − =   ⇔  + + − =  − + + +  x x x x Ta thấy phương trình (2’) vô nghiệm vì: với 1≥x thì ( ) 1 1 3 1 0 1 1 2 2 = + + − > − + + + VT x x x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x=2 Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2 12 5 5 3+ + = + −x x x (3) Phân tích phương trình: ta thấy : x =- 2 thoả mãn phương trình (3). Giải: Phương trình (3) 2 2 12 4 5 3 3 6⇔ + − = + − − −x x x ( ) 2 2 2 2 4 4 3 2 12 4 5 3 − − ⇔ = − + + + + + x x x x x ( ) 2 2 2 0 2 2 3 3' 5 3 12 4 + =   − − ⇔  − =  + + + +  x x x x x Từ phương trình ( ' 3 ), suy ra: 2 2 12 5 3 5+ − + = − −x x x Vì 2 2 12 5 0x x+ − + > nên điều kiện có nghiệm là 5 3 − <x Nên 2 2 2 2 0 5 3 12 4 − − − < + + + + x x x x suy ra (3’) vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x=-2 Ví dụ 4: Giải phương trình sau : ( ) 2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + (4) Phân tích phương trình ta thấy : ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − − Và ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 2x x x x− − − + = − Giải: Điều kiện: 2 2 2 3 5 1 0 2 0 1 0 x x x x x  − + ≥   − ≥   − − ≥   phương trình (4) ⇔ ( ) 2 2 2 2 2 4 3 6 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x x − + − = − + − + − + + − + ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 0 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x    ÷ ⇔ − + =  ÷ − + − + − + + − −   ( ) 2 2 2 2 2 0 3 2 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x =      ⇔ =  ÷ +   ÷ − + − + − + + − −     ( ' 4 ) Dễ thấy phương trình ( ' 4 ) vô nghiệm và x=2 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2. Ví dụ 5 : Giải phương trình sau : 2 3 1 6 3 14 8 0+ − − + − − =x x x x (4) (trích đề thi đại học khối B-2010) Giải: Điều kiện: 1 6 3 x− ≤ ≤ Phương trình (4) ( ) ( ) 2 3 1 4 1 6 3 14 5 0x x x x⇔ − − + − − + − − − = ( ) ( ) ( ) 3 5 5 3 1 5 0 3 1 4 6 1 x x x x x x − − ⇔ + + + − = + + − + 5 3 1 0 3 1 3 1 4 6 1 x x x x =   + + =  +  + + − +  Ta thấy phương trình 3 1 3 1 0 3 1 4 6 1 x x x + + + = + + − + vô nghiệm vì 3 1 1 3 1 0, ;6 3 3 1 4 6 1 x x x x   + + + > ∀ ∈ −   + + − +   Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=5 2/Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình thuần nhất bậc hai: a/ Phương pháp: Chọn đặt 2 ẩn u, v thích hợp để đưa về phương trình thuần nhất bậc hai 2 2 . . . 0u uv v α β γ + + = . Khi đó, ta giải bằng cách: + Xét v = 0 xem có thoả phương trình không. + Khi 0v ≠ , chia hai vế pt cho 2 v , ta được pt 2 . . 0 u u v v α β γ   + + =  ÷   . Chú ý: Trong phương pháp này ta cần để ý đến việc sử dụng các đẳng thức:  ( ) ( ) 3 2 1 1 1x x x x− = − + +  ( ) ( ) 3 2 1 1 1x x x x+ = + − +  ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1x x x x x x x x+ + = + − = + + − +  ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 4 1 2 1 4 2 2 1 2 2 1x x x x x x x+ = + − = + + − + b/ Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 3 1 0x x x x− + − + = (1) Giải: Điều kiện: 0x ≥ Đặt ( ) 2 3 , 1 0, 0u x v x u v= = + ≥ > Phương trình (1) trở thành: ( ) 2 2 2 2 3 0 2 3 2 0 u u v u uv v v   − − = ⇔ + − =  ÷   ( ) 1 2 2 u v u loai v  =  ⇔   = −   Với 2 2 6 35 1 2 3 1 12 1 0 2 6 35  = + = ⇔ = + ⇔ − + = ⇔  = −   x u x x x x v x Ta thấy cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: 6 35= +x và 6 35= −x Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 3 3 1 1x x x− − = + (2) Giải: Điều kiện: 1x ≥ − Phương trình (2) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1x x x x x x⇔ − + − + = + − + Đặt ( ) 2 1, 1 0, 0u x v x x u v= + = − + ≥ > Phương trình (2) trở thành: 2 2 2 2 2 1 0 u u v u uv v v   − = ⇔ + − =  ÷   ( ) 1 2 1 u v u loai v  =  ⇔   = −   Với 2 2 5 37 1 2 2 1 1 5 3 0 2 5 37 2 x u x x x x x v x  + =   = ⇔ + = − + ⇔ − − = ⇔  − =   Ta thấy cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: 5 37 2 + =x và 5 37 2 − =x Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 4 2 3 3 3 1 0x x x x− + − + + = (3) Giải: Phương trình (3) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 3 1 1 0x x x x x x x x⇔ + + + − + − + + − + = Đặt ( ) 2 2 1, 1 0, 0u x x v x x u v= + + = − + > > Phương trình (3) trở thành: 2 2 2 2 3 0 3 2 0 u u u v uv v v   + − = ⇔ − + =  ÷   1 2 u v u v  =  ⇔   =   Với 2 2 1 1 1 0 u x x x x x v = ⇔ + + = − + ⇔ = Với 2 2 2 2 1 2 1 3 5 3 0 u x x x x x x v = ⇔ + + = − + ⇔ − + = (phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x=0 Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 4 2 6 1 4 1 0x x x+ + − + = (4) Giải: Phương trình (4) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0x x x x x x x x ⇔ + + − − + − + + − + = Đặt ( ) 2 2 2 2 1, 2 2 1 0, 0u x x v x x u v= + + = − + > > Phương trình (4) trở thành: 2 2 2 2 0 2 1 0 u u u v uv v v   − − = ⇔ − − =  ÷   ( ) 1 1 2 u v u loai v  =  ⇔   = −   Với 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 u x x x x x v = ⇔ + + = − + ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x=0 Ví dụ 5: Giải phương trình: ( ) 2 3 2 2 5 1+ = +x x (5) Giải: Phương trình (5) ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5 1 1x x x x x x− + + + = + − + ( ) 2 1, 1 0, 0= + = − + ≥ >u x v x x u v Phương trình (5) trở thành: ( ) 2 2 2 2 5 2 2 5 2 0 1 2 u v uv u u u v v v u v + =  =    ⇔ − + = ⇔   ÷    =   Với 2 2 1 2 1 u x x x v = ⇔ + = − + ( phương trình này vô nghiệm) Với 2 5 37 1 2 2 1 1 2 5 37 2 x u x x x v x  + =   = ⇔ + = − + ⇔  − =   Ta thấy cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: 5 37 2 + =x và 5 37 2 − =x Ví dụ 6: Giải phương trình: 4 2 3 1 1 2 1− − + = −x x x (6) Giải: Điều kiện: 1≥x Đặt ( ) 4 4 1, 1 0, 0= − = + ≥ >u x v x u v Phương trình (6) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 1 0 1 1 3     ⇔ − = ⇔ − − =  ÷  ÷      =  ⇔   = −   u u u v uv v v u v u loai v Với 4 4 1 1 1= ⇔ − = + u x x v ( phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 3/phương pháp đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình: a/ Phương pháp:đặt u=u(x),v=v(x)sau đó đưa về giải một hệ phương trình theo u,v đơn giản b/ Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 3 1 4 4 3 2− + − − − − = −x x x x Giải: Điều kiện: 3 0 1 3 1 0 x x x − ≥  ⇔ ≤ ≤  − ≥  Đặt 3 0; 1 0u x v x= − ≥ = − ≥ Phương trình 2 2 4 2 1 3 1 2 1 2 1 1 u v uv u x x v u v x  + − = −  = − =    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =    = + =   − =    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2 Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : 3 2 3 2 3 6 5 8 0− + − − =x x (trích đề thi đại học khối A-2009) Giải: Điều kiện: 6 5 x ≤ Đặt 3 3 2; 6 5 0u x v x= − = − ≥ Ta có hệ: 3 2 2 3 8 0 5 3 8 u v u v + − =    + =   3 2 3 2 8 2 8 2 4 3 3 2 5 3 8 15 4 32 40 0 u u v v v u u v u u u − −   = = =    ⇔ ⇔ ⇔    = −    + = + − + =   Với 3 4 6 5 4 2 2 3 2 2 v x x u x  = − =   ⇔ ⇔ = −   = −  − = −   Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-2 Ví dụ 3: Giải phương trình sau : 3 3 34 3 1+ − − =x x Giải: Đặt 3 3 34; 3u x v x= + = − Ta có hệ: 3 3 12 37 u v u v − =    − =   4 3 3 4 u v u v  =    =   ⇔  = −    = −    Với 4 3 u v =   =  3 3 34 4 3 3 x x  + =  ⇔  − =   30x⇔ = Với 3 4 u v = −   = −  3 3 34 3 3 4 x x  + = −  ⇔  − = −   61x⇔ = − Vậy phương trình có các nghiệm là x=30 và x=-61 Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 3 2 3 2 2 1 3+ + + + − =x x x x [...]... x 2 − 2 x + 3 = x − 1 phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình có các nghiệm là: x = 1 − 2 và x = 1 + 2 5 /Phương pháp hàm số : (Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số) a/ Nhận xét:  Nếu f(x) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng K và u, v ∈ K thì phương trình f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v  Nếu f(x) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng K thì phương trình f ( x ) = 0 có nhiều... Vậy phương trình có nghiệm: x= − Ví dụ 3: Giải phương trình: 1 5 x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8 Giải: Xét phương trình: f ( x ) = 3x − 2 + x 2 + 8 − x 2 + 15 = 0 3 2 -Nếu x〈 thì f ( x ) 〈 0 phương trình vô nghiệm - Nếu x ≥ x ' 3 thì ta có f ( x ) = 3 + 2 2 x +8 x − 2 x + 15 >0 3  ⇒ f ( x ) đồng biến trên  ; +∞ ÷ vµ f ( x ) = 0 khi x = 1 2  Vậy phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 4: Giải phương trình: ... dụng thiết kế kiểm tra sau tác động đối với các nhóm tương đương Tôi dùng một câu giải phương trình vô tỷ (tương đương với một câu trong đề thi đại học được thực hiện với cùng một đề bài) làm bài kiểm tra sau tác động với thời gian làm bài là 20 phút Đề bài :giải phương trình 3 x + 7 − x = 1 Bảng thống kê điểm kiểm tra(quy sang thang điểm 10) sau tác động: Lớp Số HS Điểm /số HS đạt điểm Điểm TB 1 2 3 4... nghiệm và lớp 12A2 là lớp đối chứng Tôi dùng một câu giải phương trình vô tỷ (tương đương với một câu trong đề thi đại học được thực hiện với cùng một đề bài) làm bài kiểm tra trước tác động với thời gian làm bài là 20 phút Đề bài :giải phương trình 3 − x − 1 = 1 − x + 2 Bảng thống kê điểm kiểm tra (quy sang thang điểm 10) trước tác động: Lớp Số HS Điểm /số HS đạt điểm Điểm TB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12A1... khác f ( x ) = 4 khi x=7 Vậy phương trình có nghiệm x=7 h ( x ) = 2 x − 1 − 3 ⇒ h' ( x ) = IV/ Hiệu quả áp dụng: * Phần lớn các em đều rất hứng thú khi tiếp cận với các phương pháp này, đặc biệt là các em khá giỏi, các em luyện thi Đại học * Qua đề tài này, các em cảm thấy tự tin hơn khi giải các phương trình vô tỉ Kết quả cụ thể : Tôi chọn 30 học sinh ở lớp 12A1 và 30 học sinh ở lớp 12A2: Lớp 12A1 là... và cũng là một tài liệu nhỏ để các em học sinh tham khảo vận dụng có hiệu quả vào trong các kì thi Đại học –Cao đẳng và kì thi học sing giỏi II/ Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển: Qua đề tài này giúp tôi có cơ hội nâng cao được trình bộ chuyên môn và có thêm một tư liệu hỗ trợ cho công tác giảng dạy của bản thân,từ đó có được nhiều học sinh giỏi,nhiều học sinh đậu vào các trường Đại học- Cao đẳng... x5 + x3 − 1 − 3x + 4 = 0 Giải: 1  Xét phương trình: f ( x ) = x5 + x 3 − 1 − 3x + 4 = 0 có tập xác định là  −∞;  và 3  3 1  f ' ( x ) = 5x 4 + 3x 2 + > 0 ⇒ f ( x ) đồng biến trên  −∞;  và f ( x ) = 0 3 2 1 − 3x  khi x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x=-1 Ví dụ 5: Giải phương trình: ( x + 2 ) ( 2 x − 1) − 3 x + 6 = 4 − ( x + 6 ) ( 2 x − 1) + 3 x + 2 Giải: Xét phương trình: f ( x ) = ( x +... 1: Giải phương trình : x + 3 − x + 2 x = 1 + 2 x + 2 Giải: t = 3 2 Đặt t = x 2 + 2 , ta có phương trình : t − ( 2 + x ) t − 3 + 3x = 0 ⇔  t = x −1  Với t=3 ⇔ x 2 + 2 = 3 ⇔ x = ± 7 Với  x ≥ −1 1  2 t = x +1⇔ x + 2 = x +1⇔  2 ⇔x= 2 2  x + 2 = ( x + 1)  1 Vậy phương trình có các nghiệm là: x = ± 7 và x = 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: x 2 + 5 x − 9 = ( x + 2 ) x 2 + 2 x − 6 (2) Giải:  x ≥ −1 +.. .Giải: Đặt u = x 3 + x 2 + 2 ≥ 0; v = x 3 + x 2 − 1 ≥ 0 u + v = 3 u = 2  ⇔ Ta có hệ:  2 2 u − v = 3 v = 1  u = 2 ⇔ x3 + x 2 − 2 = 0 ⇔ x = 1 Với  v = 1 Vậy phương trình có nghiệm là x=1 4 /Phương pháp đổi biến không hoàn toàn: a/ Phương pháp: Đổi biến không hoàn toàn tức là sau khi đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn cũ và ta thường xem ẩn cũ là tham số b/ Ví dụ minh hoạ: ) ( 2 2 2 Ví dụ 1: Giải phương. .. nghiệm là:x=1 và x=2 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( 2 x + 1)  2 + 2   x 2 + x + 1  + 3 x  2 + 9 x 2 + 3  = 0 (2) ÷  ÷    Giải:   Phương trình (2) ⇔ ( 2 x + 1)  2 +   ( 2 x + 1) 2 + 3  = −3x  2 + ( −3 x ) 2 + 3 ÷ ÷    Mặt khác xét hàm số f ( t) = t( 2 + t + 3 2 ) t2 2 ⇒ f '( t ) = 2 + t + 3 + 2 t +3 > 0, ∀t ∈ R Suy ra, f(t) đồng biến trên R 1 5 Do đó, phương trình (2) ⇔ f ( 2 x + 1) = . hướng giải phương trình đó. III. Giải pháp và tổ chức thực hiện: - Tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ - Đưa ra và giải quyết một số ví dụ minh hoạ. Các phương pháp giải pháp giải phương. lựa chọn đề tài: một số phương pháp giúp học sinh chủ động giải phương trình vô tỉ . Qua đây tôi mong muốn giúp các em có một cái nhìn tổng quát khi giải phương trình này. B. GIẢI QUYẾT VẤN. NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH CHỦ ĐỘNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Người thực hiện: Đoàn Mạnh Hùng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA,NĂM 2013 A. ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình vô
- Xem thêm -

Xem thêm: một số phương pháp giúp học sinh chủ động giải phương trình vô tỉ, một số phương pháp giúp học sinh chủ động giải phương trình vô tỉ, một số phương pháp giúp học sinh chủ động giải phương trình vô tỉ

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay