Rèn luyện nghiệp vụ 3 KỸ NĂNG GIẢI VÀ KHAI THÁC TOÁN VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Phần 1: ĐẠO HÀM, ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP ĐẠO HÀM HÀM SỐ HỢP 1 Rèn luyện nghiệp vụ 3 VẤN ĐỀ 1:SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.Định lí :Giả sử hàm số y =f(x) có đạo hàm trên I(I là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn ) 1.Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) đồng biến trên I 2. Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I 3 Nếu f’(x)=0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) không đổi trên I 2.Định lí mở rộng : Giả sử cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên I .Nếu f’(x) ( hoặc f’(x) 0) và f’( x )= 0 chỉ tại hữu hạn điểm của I thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến trên I) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x) 1.Tìm tập xác định (hay miền xác định của hàm số). 2 Rèn luyện nghiệp vụ 3 2.Tính đạo hàm f’(x).Tìm các điểm (i=1,2…n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định 3.Lập bảng xét dấu f’(x) 4.Dựa vào định lí tên để kết luận các khoảng đông biến nghịch biến Định gía trị của tham số để hàm số y=f(x) đồng biến nghịch biến trên khoảng cho trước Cho hàm số y=f(x) phụ thuộc tham sô m ,Ta phải định tất cả giá trị m sao cho hàm số *Đồng biến (nghịch biến )trên R f’(x) 0( ) Để giải những bài toán dạng này cần nhớ kiến thức của tam thức bậc 2 vì (f’x thường là tam thức bậc 2 ) f(x)= a + bx +c ( a# 0) • f’(x) 0 • f’(x) 0 * Đồng biến (nghịch biến )trên K f’(x) 0( ) * f’ (x) 0 hoặc 3 Rèn luyện nghiệp vụ 3 *f’ (x) 0 hoặc *f’ (x) 0 hoặc * f’ (x) 0 hoặc * f’(x) 0( ) VẤN ĐỀ 2:CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1.Định nghĩa : Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp ( ) và a. gọi là điểm cực đại của hàm số f(x)nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm sao cho (a;b ) và f(x) < f( ) 4 Rèn luyện nghiệp vụ 3 b. gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x)nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm sao cho (a;b ) và f(x) > f( ) Khi đó f( ) được gọi là giá trị cực tiểu cua hàm số f(x),kí hiệu Chú ý -Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị -Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được chung là cực trị -( f( ) được goi là điểm cực trị của hàm số 2.Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị -Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực trị tại điểm (a;b ) thì f’( = 0 3.Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị ĐL 1: -Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng (a, ( b) khi đó a.BBT 5 Rèn luyện nghiệp vụ 3 X a b y’ _ y cực tiểu (f b.BBT X a b y’ + _ y cực đại f( ) 6 Rèn luyện nghiệp vụ 3 * Quy tắc 1: tìm cực trị của hàm số 1.Tím TXĐ 2.Tính f’(x) .Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định 3.Lập BBT 4.Từ BBT suy ra các điểm cực trị ĐL2: - hàm số đạt cực đại tại điểm hàm số đạt cực tiểu tại điểm *Quy tắc 2 : tìm cực trị của hàm số 1.Tìm TXĐ 2.Tính f’(x) ,giải phương trình f’(x) =0 kí hiệu (i=1,2…n)là các nhiệm của nó 3.Tính f’’(x) và f’’ ) -Nếu f’’ ) <0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm -Nếu f’’ ) >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm Chú ý : 1.Hàm số có 3 cực trị y’=0 có 3 nghiệm phân biệt 7 Rèn luyện nghiệp vụ 3 2.Hàm số có 2 cực trị y’=0 có 2 nghiệm phân biệt 1.Hàm số không có cực trị y’=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm 4.Quy tắc tính giá trị cực trị của hàm số hữu tỉ và hàm bậc 3 a.Quy tắc 1: Nếu hàm số y= đạt cực trị tại giá trị Có thể tính bằng công thức b.Quy tắc 2: cho đa thức y =P(x) nếu R(x) là dư thức trong phép chia y cho y’và hàm số đạt cực trị tại thì giá tri của ham số y =P(x) là VẤN ĐỀ 3:GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [a,b] 1.Hàm số liên tục trên đoạn [a,b] 2.Tính f’(x) .Tìm các nghiệm , …… (a,b) của phương trình f’(x)=0 3.Tính f(a),f( ,)………… );f(b) 4.Kết luận : (M là số lớn nhất ,m là số nhỏ nhất trong các số vừa tính Chú ý 8 Rèn luyện nghiệp vụ 3 - Nếu hàm số f(x) đồng biến trên [a,b] thì : - Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên [a,b] thì : VẤN ĐỀ 4 :KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Hàm số 1.TXĐ D=R 2.Sự biến thiên a) Giới hạn: ……………:: ………… * Tính y’=3a +2bx+c .Tìm nghiệm của y’=0 * Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn ) Kết luận • Các khoảng đông biến ( nghịch biến) • Cực trị 3 .Vẽ đồ thị Điểm uốn :tính y”=6ax+2b. cho y’’=0 x= Nếu y’’đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = thì U (- = )) là điểm uốn của đồ thị Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ 9 Rèn luyện nghiệp vụ 3 (trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tìm giao điểm phức tạp thì bỏ qua phân này ) Nhận xét Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Hàm số y = a + b +c (a # 0) 1.TXD D=R 2.Sự biến thiên a) Giới hạn: ……………:: ………… b) Bảng biến thiêng * Tính y’’=4a +2bx .Tìm nghiệm của y’=0 * Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn ) Kết luận • Các khoảng đồng biến ( nghịch biến) • Cực trị 3 .Vẽ đồ thị Điểm uốn :Tương tự như hàm số y =a + b +cx+d Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ (trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tìm giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này ) 10 [...]... bậc P(x) Q(x) thì ta chia P(x) cho Q(x) o Ngược lại ( tức là bậc của tử < bậc của mẫu) ta phân tích mẫu số thành tích số Ví dụ: Bước 2: Phân tích phân thức: Bước 3: Đồng nhất 2 vế tìm A, B, C, D Bước 4: Thế A, B, C, D vào (*) để đưa tích phân ban đầu về tích phân cơ bản VẤN ĐỀ 5 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I.Tính diện tích: - Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường: - Diện tích hình phẳng được giới hạn... công thức: ( là một nguyên hàm của 1.2.Khái niệm tích phân: ) Định nghĩa: Cho là hàm số liên tục trên đoạn là một nguyên hàm của Hiệu số trên đoạn Giả sử được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số Ta còn dùng kí hiệu , kí hiệu là để chỉ số hiệu Vậy: Với: - : dấu tích phân - a là cận dưới, b là cận trên - là biểu thức dưới dấu tích phân là hàm dưới dấu tích phân. .. Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn một chữ khác thay cho Chẳng hạn, nếu sử dụng chữ , chữ ,… làm hàm biến số lấy tích phân thì ,… đều là một số và số đó là 1.3.Ý nghĩa hình học của tích phân: Cho hàm số liên tục và không âm trên đoạn Khi đó, diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi dồ thị hàm số hoành và 2 đường thẳng , trục là II Tính chất của tích phân Giả sử các hàm số liên... được kết quả tích phân I Dạng 3: Tính tích phân I = Phương pháp chung Bước 1: Đặt: , với a \ + u = ln x => du = + dv = => v = Bước 2: Khi đó: I = VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN I.Khái niệm tích phân: 1.1.Diện tích hình thang cong: - Cho hàm số liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn [a.b] Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được gọi là hình thang cong - Diện tích hình thang... pháp tích phân từng phần: Để tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Biến đổi Bước 2: về dạng Bước 3: Tính Lưu ý: Cần nhớ các dạng cơ bản sau: Dạng 1: biến x; với f(x) là một trong các là đa thức theo hàm Ta đặt: Dạng 2: , với f(x) là 1 trong các hàm , Ta đặt: Dạng 3: với P(x) là đa thức theo biến x Ta đặt: III Tích phân hàm hữu tỉ Để tính tích phân hàm... sao cho 3) , có ba cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông 4) có cực tiểu mà không có cực đại 5) có 2 diểm cực trị A và B sao cho 6) , có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số sau 1) 3) 4) 2) trên khoảng (1;+ Bài 8: Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi của nó không... có 2 nghiệm thì: thì: II Tính thể tích: - Thể tích vật thể xoay quanh trục Ox, giới hạn bởi - Thể tích vật thể xoay quanh trục Oy, giới hạn bởi BÀI TẬP Bài 1: Tìm các ngyên hàm sau 1) 3) 2) 4) Bài 2: Tính các tích phân sau: 1) 9) 2) 10) 3) 11) 4) 12) 5) 13) 6) 14) 7) 15) dx 8) 16) Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1) 2) 3) 4) Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi... trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tim giao điểm phức tạp thì bỏ qua phân này ) Nhận xét 11 Rèn luyện nghiệp vụ 3 Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng Hàm số y= 1.TXĐ D=R { (y = = } 2.Sự biến thi n a) Giới hạn: ……………: …………… đường thẳng y = là đường tiệm cận ngang b) Sự biến thi n -Tính y’= Tìm nghiệm của phương trình y’=0 -Bảng biến thi n (xét dấu y’;chiều biến thi n ;cực trị... từ điểm A(-4;0) ta có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (C): , 5) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành 6).Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì trên (C): cắt hai đường tiệm cận của (C) tại P và Q Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ PHẦN 2.NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VẤN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM 1 Nguyên hàm: ĐN: Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi... hạn bởi dồ thị hàm số hoành và 2 đường thẳng , trục là II Tính chất của tích phân Giả sử các hàm số liên tục trên K và kỳ thuộc K Khi đó ta có: 1) 2) 3) 4) 5) VẤN ĐỀ 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I.Phương pháp đổi biến số: Giả sử tích phân cần tính là 3 số bất 1.1.Dạng 1: Ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi cận: (thế và vào Bước 3: Biến đổi tìm thành Bước 4: Tính Lưu ý: - Gặp , ta . THÁC TOÁN VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Phần 1: ĐẠO HÀM, ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP ĐẠO HÀM HÀM. P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ. PHẦN 2.NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VẤN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM 1. Nguyên hàm: ĐN: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên. Có thể tính bằng công thức b.Quy tắc 2: cho đa thức y =P(x) nếu R(x) là dư thức trong phép chia y cho y’và hàm số đạt cực trị tại thì giá tri của ham số y =P(x) là VẤN ĐỀ 3:GIÁ TRỊ LỚN NHẤT