PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn: Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một bước. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và phát triển, xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì mỗi giáo viên phải tự mình đổi mới, đề ra những định hướng kịp thời. Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phương pháp dạy phù hợp. Môn toán là một môn học khó nhưng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những em yêu thích Toán học. Nó giúp các em từng bước phát triển năng lực tư duy. Hình thành kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng như vào việc học tập các môn học khác. Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học sinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến “ Phương trình bậc hai : ax 2 +bx+c= 0 có chứa tham số” nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c =0 (a ≠ 0) nói riêng. Trong chương trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa. Tuy nhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng. Là một giáo viên dạy Toán trước thực trạng như vậy tôi không khỏi băn khoăn trăn trở làm như thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng túng trong việc giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0). Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin được trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phương trình bậc hai. 2. Cơ sở tâm lí Theo tâm lý, con người chỉ tư duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thức chỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích một cách tự giác. Đối với học sinh cũng vậy nếu các em chỉ học một cách thụ động, tức là tiếp thu kiến thức theo lối “nhồi nhét’, không có thói quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bị lãng quên. Vì vậy để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh không còn cách nào khác là phải tạo niềm tin và hứng thú học tập cho các em. Có nghĩa là chúng ta phải có những phương pháp phù hợp giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động có hệ thống. Giúp các em nhận dạng bài toán và nắm được hướng giải quyết tốt nhất. 1 3. Cơ sở giáo dục học Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục sẽ cao hơn nếu quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục được biến thành quá trình tự giáo dục. II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1. Mục đích nghiên cứu - Chuyên đề giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề có liên quan đến hệ thức Vi-ét, rút ra những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp dạy- học có hiệu quả, giúp học sinh giảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội dung này. - Thực hiện chuyên đề này thấy được những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội dung hệ thức Vi-ét. Qua đó có định hướng năng cao chất lượng dạy học môn Toán. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Thấy được vai trò của hệ thức Vi-ét trong chương trình Toán THCS đặc biệt là những dạng toán có liên quan. - Giảm bớt những khó khăn, lúng túng của các em khi nghiên cứu nội dung có liên quan đến hệ thức Vi-ét. Học sinh xác định được cách giải của một số dạng toán cơ bản. III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Nghiên cứu phần “ Phương trình bậc hai : ax 2 +bx+c=0 có chứa tham số” nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) . 2. Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng. 3. Giáo viên giảng dạy cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối lớp 9. IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu lí luận Đọc các tài liệu có liên quan để phân dạng bài tập và phương pháp giải. - Các tạp chí giáo dục toán học. - Sách giáo khoa, sách giáo viên toán 9 tập hai. - Sách tham khảo. - Phương pháp dạy học môn Toán THCS. 2. Phương pháp thực nghiệm Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả áp dụng chuyên đề. 3.Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn. 2 PHẦN II: NỘI DUNG I. HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn. Phương trình bậc hai một ẩn ( gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax 2 +bx+c=0.Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số cho trước a ≠ 0 2. Cách giải phương trình bậc hai a) Phương trình khuyết b (b=0) ax 2 +c=0 2 c x a = − + Nếu c a − <0 => Phương trình vô nghiệm + Nếu c a − >0 => Phương trình có hai nghiệm 1 .c c a x a a − = − = 2 .c c a x a a − = − − = − b) Phương trình khuyết c (c=0) ax 2 +bx =0 ⇔ x(ax+b) =0 + x=0 + ax+b=0 ⇔ x= b a − c)Nếu a, b, c ≠ 0 phương trình bậc hai có dạng ax 2 +bx+c=0. 2 4b ac∆ = − + Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 b x a − + ∆ = 2 2 b x a − − ∆ = + Nếu ∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a − = = + Nếu ∆ <0 thì phương trình vô nghiệm. d) Công thức nghiệm thu gọn Phương trình ax 2 +bx+c=0 có b=2b’ 2 ' 'b ac∆ = − + Nếu '∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 ' 'b x a − + ∆ = 2 ' 'b x a − − ∆ = + Nếu '∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép 3 1 2 'b x x a − = = + Nếu '∆ <0 thì phương trình vô nghiệm. 3. Hệ thức Vi-ét +Nếu phương trình ax 2 +bx+c=0 có hai nghiệm 1 x , 2 x ( ∆ ≥ 0) thì ta có: 1 2 b x x a + = − 1 2 . c x x a = + Nếu có hai số a, b sao cho a+b=S, a.b=P thì a,b là hai nghiệm của phương trình X 2 -SX+P=0 4. Hệ quả của định lí Vi-ét *Phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 + Nếu có a+b+c=0 thì phương trình có hai nghiệm: 1 2 1; c x x a = = + Nếu có a-b+c=0 thì phương trình có hai nghiệm: 1 2 1; c x x a − = − = *Phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có hai nghiệm 1 x , 2 x thì ta có: ax 2 +bx+c=a( 1 x x− )( 2 x x− ) *Phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có nghiệm kép 0 x x= thì ta có: ax 2 +bx+c=a( 0 x x− ) 2 II. CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG Để học sinh nắm kiến thức một cách có hệ thống tôi đã phân thành các dạng bài tập cụ thể . Sau đó đưa ra ví dụ minh họa để học sinh vận dụng. Một số bài tập học sinh rèn luyện tại lớp và bài tập về nhà để cho học sinh luyên tập rèn trí nhớ. Dạng I: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm 1 x , 2 x của phương trình bậc hai nếu có: 1. Cách giải: Bước 1: Chứng tỏ phương trình bậc hai có nghiệm ( ∆ ≥ 0 hoặc a.c<0) Bước 2: Vận dụng hệ thức Vi- ét tính: 1 2 b x x a + = − 1 2 . c x x a = 2. Bài tập áp dụng: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm 1 x , 2 x của phương trình bậc hai nếu có: Ví dụ 1: x 2 -5x-6=0 Giải: Xét phương trình x 2 -3x-6=0 có a.c=1.(-6)=-6<0 nên phương trình có hai nghiệm 1 x , 2 x Theo hệ thức Vi-ét ta có: 4 1 2 3x x+ = 1 2 . 6x x = − Ví dụ 2: x 2 -5x+3=0 Giải: Xét phương trình x 2 -5x+3=0 có ∆ =(-5) 2 -4.1.3=25-12=13>0 nên phương trình có hai nghiệm 1 x , 2 x Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 5x x+ = 1 2 . 3x x = Ví dụ 3: 3x 2 -4x+3=0 có ∆ =(-4) 2 - 4.3.3=16-36=-20<0 nên phương trình vô nghiệm. 3. Bài tập thực hành: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm 1 x , 2 x của phương trình bậc hai nếu có: a) 3x 2 - 4x-7=0 b) 2x 2 - 7x+3=0 c) 9x 2 - 4x+1=0 Dạng II: Kiểm tra một số 0 x x= có phải là nghiệm của phương trình bậc hai không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại. 1. Cách giải: 0 x x= là nghiệm của phương trình bậc hai khi và chỉ khi 2 0 0 0ax bx c+ + = Dùng hệ thức Vi-ét 1 2 b x x a + = − 1 2 . c x x a = để tìm nghiệm còn lại biết 1 0 x x= 2. Bài tập áp dụng: Ví dụ 1: Kiểm tra một số 3x = có phải là nghiệm của phương trình bậc hai x 2 - x- 6 = 0 không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại. Giải: Thay x=3 vào vế trái của phương trình ta có: 3 2 -3-6=0 nên x=3 là một nghiệm của phương trình Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 . 6x x = − mà x 1 =3=>x 2 =-2 Vậy 3x = là nghiệm của phương trình bậc hai x 2 - x- 6 = 0 và nghiệm còn lại x=-2. Ví dụ 2: Kiểm tra một số x=1 có phải là nghiệm của phương trình bậc hai 2 2( 3 1) 2 3 1 0x x− + + + = không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại. Giải: Thay x=1 vào vế trái của phương trình ta có: 2 1 2( 3 1).1 2 3 1 0− + + + = nên x=1 5 là một nghiệm của phương trình Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 . 2 3 1x x = + mà x 1 =1=>x 2 = 2 3 1+ Vậy x=1 là nghiệm của phương trình bậc hai 2 2( 3 1) 2 3 1 0x x− + + + = và nghiệm còn lại x 2 = 2 3 1+ 3. Bài tập thực hành: Kiểm tra một số 0 x x= có phải là nghiệm của phương trình bậc hai không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại. a) 2 3 2 0x x− + = ( 0 2x = ) b) 2 2 5 3 0x x− − = ( 0 3x = ) c) 2 3( 3 1) 3 3 2 0x x− + + + = ( 0 1x = ) Dạng III: Tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai có một nghiệm cho trước. Tính nghiệm số còn lại. 1. Cách giải: Cho ax 2 +bx+c=0 ( a ≠ 0) phương trình tham số m + Thay 0 x x= vào phương trình ta được phương trình ẩn m + Dùng hệ thức Vi-ét tính nghiệm còn lại. 2. Bài tập ứng dụng Ví dụ 1: Cho phương trình 2x 2 +(m+4)x+2m=0. Tìm m để phương trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại. Giải: Thay x=-1 vào phương trình ta được: 2(-1) 2 +(m+4).(-1)+2m=0 ⇔ 2- m- 4+2m=0 ⇔ -2+m=0 ⇔ m=2 Với m=2 phương trình có một nghiệm x 1 =1 Theo Vi-ét ta có: 1 2 .x x m= mà x 1 =1, m=2=> x 2 =2 Vậy với m=2 thì phương trình có một nghiệm x=1, nghiệm còn lại x=2. Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 +4x+m 2 -2m+1=0. Tìm m để phương trình có một nghiệm là -2. Tìm nghiệm còn lại. Giải: Thay x=-2 vào phương trình ta được: (-2) 2 +4.(-2)+ m 2 -2m+1=0 ⇔ 4-8+m 2 -2m+1=0 ⇔ m 2 -2m-3=0 ( phương trình có a-b+c=0) ⇔ m 1 =-1, m 2 =3 Với m 1 =-1, m 2 =3 thì phương trình có một nghiệm x=-2 Theo Vi-ét ta có: 6 1 2 .x x = m 2 -2m+1 Với x 1 =-2, m 1 =-1 thì 2 2 ( 1) 2.( 1) 1 4 2 2 2 x − − − + = = = − − − Với x 1 =-2, m 2 =3 thì 2 2 3 2.3 1 4 2 2 2 x − + = = = − − − Vậy với m=-1, m=3 thì phương trình có 1 nghiệm x=-2, nghiệm còn lại x=-2. Ví dụ 3: Cho phương trình x 2 -mx+m 2 -7=0. Tìm m để phương trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại. Giải: Thay x=-1 vào phương trình ta được: (-1) 2 -m.(-1)+ m 2 -7=0 ⇔ 1+m+m 2 -7=0 ⇔ m 2 +m-6=0 ( phương trình có ∆ =25) ⇔ m 1 =2, m 2 =-3 Với m 1 =2, m 2 =-3 thì phương trình có một nghiệm x=-1 Theo Vi-ét ta có: 1 2 .x x = m 2 -7 Với x 1 =-1, m 1 =2 thì 2 2 2 7 3 3 1 1 x − − = = = − − Với x 1 =-1, m 2 =-3 thì 2 2 ( 3) 7 2 2 1 1 x − − = = = − − − Vậy với m=2, nghiệm còn lại của phương trình x=3 với m=-3, nghiệm còn lại của phương trình x=-2 3. Bài tập thực hành Bài 1 : Cho phương trình 4x 2 +2(m-1)x+2m=0. Tìm m để phương trình có một nghiệm là 1. Tìm nghiệm còn lại. Bài 2: Cho phương trình 3x 2 +6x+3m 2 -6m-18=0. Tìm m để phương trình có một nghiệm là 3. Tìm nghiệm còn lại. Bài 3: Cho phương trình x 2 -(m+1)x+m 2 +m-7=0. Tìm m để phương trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại. Bài 4: Cho phương trình x 2 -2x+m=0. Tìm m để phương trình có một nghiệm là 3 . Tìm nghiệm còn lại. Dạng IV: Không giải phương trình hãy tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai: 1. Cách giải + Chứng tỏ phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 , x 2 ( ∆ >0) + Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm + Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị 2. Bài tập ứng dụng Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 - 10x+15 = 0 không giải phương trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 1 <x 2 ) 7 a) 2 2 1 2 x x+ b) 1 2 1 1 x x + c) 3 3 1 2 x x+ d) 2 1 1 2 x x x x + e) 2 2 1 2 x x− g) 3 3 1 2 x x− Giải: Xét phương trình x 2 - 10x+15 = 0 ∆ ’=(-5) 2 -1.15=10>0=> phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 (x 1 <x 2 ) Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 10x x+ = (1) 1 2 . 15x x = (2) a) 2 2 1 2 x x+ = 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x+ − =10 2 -2.15=100-30=70 b) 1 2 1 1 x x + = 1 2 1 2 x x x x + = 10 15 = 2 3 c) 3 3 1 2 x x+ = 2 2 1 2 1 1 2 2 ( )( )x x x x x x+ − + = 2 1 2 1 2 1 2 ( )[( ) 3 ]x x x x x x+ + − = 3 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( )x x x x x x+ − + =10 3 -3.10.15=1000-450=550 d) 2 1 1 2 x x x x + = 2 2 2 1 1 2 . x x x x + = 70 14 15 3 = e) Đặt A= 2 2 1 2 x x− =( 1 2 x x+ )( 1 2 x x− ) B= 1 2 x x− <0 vì x 1 <x 2 Ta có B 2 =( 1 2 x x− ) 2 = 2 2 1 2 x x+ 1 2 2x x− =70-2.15=40 =>B=- 2 10 Do đó A= 2 2 1 2 x x− =10.(- 2 10 )=- 20 10 g) 3 3 1 2 x x− = 2 2 1 2 1 1 2 2 ( )( )x x x x x x− + + =- 20 10 (70 15)+ =- 20 10 . 85 = 170 10− Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 -5x+6=0 không giải phương trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 1 >x 2 ) a) 1 2 x x+ b) 1 1 2 2 x x x x+ c) 2 1 1 2 x x x x+ d) 1 2 x x− Giải: Xét phương trình x 2 -5x+6=0 ∆ =(-5) 2 -4.6=25-24=1>0 Phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 5 0x x+ = > 1 2 . 6 0x x = > => x 1 >0, x 2 >0 a)A= 1 2 x x+ >0 A 2 = ( 1 2 x x+ ) 2 = 1 2 x x+ 1 2 2 x x+ = 5 2 6+ = 2 ( 3 2)+ Vậy A= 3 2+ b) 1 1 2 2 x x x x+ = 1 2 1 2 1 2 ( )( )x x x x x x+ + − = ( 3 2+ )( 5 6)− = 3 3 2 3+ c) 2 1 1 2 x x x x+ = 2 1 1 2 ( ) 6( 3 2) 3 2 2 3x x x x+ = + = + d) Đặt B= 1 2 x x− >0 vì x 1 >x 2 B 2 =( 1 2 x x− ) 2 = 1 2 x x+ 1 2 2 x x− = 5 2 6− = 2 ( 3 2)− 8 Vậy B= 3 2− Ví dụ 3: Cho phương trình x 2 +3x+1=0 không giải phương trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ) a) x 1 (2-x 2 )+x 2 (2-x 1 ) b) 12-10x 1 x 2 -(x 1 2 +x 2 2 ) c) (2x 1 -x 2 )(2x 2 -x 1 ) Giải: Xét phương trình x 2 +3x+1=0 ∆ =3 2 -4.1=9-4=5>0 Phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 3 0x x+ = − < 1 2 . 1 0x x = > a) x 1 (2-x 2 )+x 2 (2-x 1 ) = 2x 1 - x 1 x 2 +2x 2 - x 1 x 2 = 2(x 1 +x 2 )-2x 1 x 2 =2.(-3)-2.1=-8 b) 12-10x 1 x 2 -(x 1 2 +x 2 2 )= 12-10x 1 x 2 -(x 1 +x 2 ) 2 +2 x 1 x 2 =12-8x 1 x 2 -(x 1 +x 2 ) 2 = 12-8.1-(-3) 2 =-5 c) (2x 1 -x 2 )(2x 2 -x 1 ) =4 x 1 x 2 -2x 1 2 -2x 2 2 + x 1 x 2 =5 x 1 x 2 -2(x 1 2 +x 2 2 ) = 5 x 1 x 2 -2(x 1 +x 2 ) 2 + 4 x 1 x 2 =9 x 1 x 2 -2(x 1 +x 2 ) 2 =9.1-2.(-3) 2 =-9 3. Bài tập thực hành Bài 1. Cho phương trình x 2 - 27x+43 = 0 không giải phương trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình trên x 1 <x 2 ) a) 2 2 1 2 x x+ b) 1 2 1 1 x x + c) 3 3 1 2 x x+ d) 2 1 1 2 x x x x + e) 2 2 1 2 x x− g) 3 3 1 2 x x− Bài 2: Cho phương trình x 2 -3x+2=0 không giải phương trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 1 >x 2 ) a) 1 2 x x+ b) 1 1 2 2 x x x x+ c) 2 1 1 2 x x x x+ d) 1 2 x x− Bài 3: Cho phương trình x 2 +4x+3=0 không giải phương trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ) a)x 1 (2-x 2 )+x 2 (2-x 1 ) b) 1 2 1 2 1 1 2 x x x x + + c) 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x x x + − − Dạng V: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn một hệ thức cho trước. 1. Cách giải + Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 , x 2 9 + Viết hệ thức Vi-ét 1 2 b x x a + = − (1) 1 2 . c x x a = (2) + Kết hợp (1) và (2) với hệ thức đầu bài cho ta tìm được m( ở mỗi dạng hệ thức có cách giải riêng) 2. Bài tập áp dụng 2.1 Hệ thức chứa tổng và tích hai nghiệm (3) Thay (1), (2) vào (3) ta được phương trình ẩn m. Giải phương trình ẩn m và so với điều kiện => trả lời. Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 +mx-m 2 -8=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 1 +x 2 2 =25 Giải: Xét phương trình x 2 +mx-m 2 -8=0 Phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ = m 2 +4(m 2 +8)= 5m 2 +32>0 với mọi m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 + Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 x x m+ = − (1) 2 1 2 . 8x x m= − − (2) Theo đề bài ta có: x 2 1 +x 2 2 =25 ⇔ 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x+ − =25 (3) Thay (1), (2) vào (3) ta có: (-m) 2 +2m 2 +16=25 ⇔ 3m 2 =9 ⇔ m 2 =3 ⇔ m= 3± Vậy với m= 3± thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 1 +x 2 2 =25 Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 -mx+m-1=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 1 +x 2 2 -6 x 1 x 2 =8 Giải: Xét phương trình x 2 -mx+m-1=0 Phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ =m 2 -4(m-1)= m 2 -4m+4=(m-2) 2 ≥ 0 với mọi m Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 + Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 x x m+ = (1) 1 2 . 1x x m= − (2) Theo đề bài ta có: x 2 1 +x 2 2 -6 x 1 x 2 =8 ⇔ (x 1 +x 2 ) 2 -8x 1 x 2 =8 (3) Thay (1), (2) vào (3) ta có: (m) 2 -8(m-1)=8 ⇔ m 2 -8m+8=8 ⇔ m(m-8)=0 ⇔ m=0, m=8 Vậy với m=0, m=8 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 1 +x 2 2 -6 x 1 x 2 =8 Ví dụ 3: Cho phương trình x 2 -2x+m+2=0. Tìm m để phương trình có hai 10 [...]... = x2 + x Dạng VIII: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 1 Cách giải: Cho phương trình: ax2+bx+c= 0 (a ≠ 0) Phương trình có 2 nghiệm ⇔ ∆ ( ∆ ’) ≥ 0 (ac . toán có liên quan đến “ Phương trình bậc hai : ax 2 +bx+c= 0 có chứa tham số” nói chung và ứng dụng của định lí Vi- ét trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c =0 (a ≠ 0) nói riêng. Trong chương trình. a,b là hai nghiệm của phương trình X 2 -SX+P=0 4. Hệ quả của định lí Vi- ét *Phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 + Nếu có a+b+c=0 thì phương trình có hai nghiệm: 1 2 1; c x x a = = + Nếu có a-b+c=0. DUNG I. HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn. Phương trình bậc hai một ẩn ( gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax 2 +bx+c=0.Trong đó x là ẩn,