Lượng Giác Thư Viện Số [...]... trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 (∗) Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu) Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu (hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý (x + 4x) = 5x và (2x + 3x ) = 5x Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản, chúng ta cần những... www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Bài 21 Giải phương trình: 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007 7x + x = 4x , ta có thể định 2 hướng nhóm (sin 7x − sin x ) , 2 sin2 2x − 1 lại với nhau, để sau khi dùng công thức Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung (x ), (2x ), (7x ) và nhận xét ( ) tổng thành tích và... 2011 Bài giải tham khảo Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc chẳn,… ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định Đặc biệt đối với những bài toán  sin  cos   nhằm mục đích " đơn có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng ,   cos  sin    giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi Ta sẽ dùng các cách sau đây... Giải phương trình: 2 2 sin x +  =   sin x + cos x   4  “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 31 - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện a sin2 x + b sin x + c = 0 a cos2 x + b cos x + c = 0 t = sin x −1 ≤ t ≤ 1 t = cos x −1 ≤ t ≤ 1 a tan2 x + b tan x +... (∗) HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC Bài 51 Giải phương trình: cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0 (∗) (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D năm 2011) Lời bình: Trong bài toán toán có chứa hai cung x và 4x nên ta đưa về cùng một cung là 2x bằng công thức nhân đôi của cos 4x = 2 cos2 2x − 1 và công thức hạ bậc 1 − cos 2x sin2 x = Từ đó, đưa ta về phương trình bậc... bình: Trong ví dụ này, cũng tồn tại hai cung khác nhau x và 4x nên ta đưa về cùng một cung là 2x , nhưng lần này cần phải kết hợp giữa hằng đẳng thức và công thức nhân đôi: 2 2 (cos x) − (sin x) = (cos 2 2 2 )( ) x − sin2 x sin2 x + cos2 x = cos 2x Còn cos 4x ta sẽ áp dụng công thức nhân đôi như trên để được phương trình bậc hai theo cos 2x Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (cos 2 )( ) x − sin2 x cos2 x + sin2... +  = sin  −  = sin 3  −  Từ đó, ta sẽ             2 2  2 10  10  10  10 2   đặt t = 3π x − và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất 10 2 “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 11 - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Bài giải tham khảo  π π  9π 3x   3π x  3x  3x      Ta có: sin  +  = sin π − ...  x = π + 2mπ   www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn 3 (∗) 2 Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000 Bài 15 Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn Bài giải tham... + c = 0 t = tan x a cot2 x + b cot x + c = 0 t = cot x π + kπ , (k ∈ ℤ) 2 x ≠ kπ , ( k ∈ ℤ ) x≠ 2 Nếu đặt t = sin x hoặc t = sin x thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1 (tương tự cho cos ) Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ 2 ● 1 + sin 2x = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = (sin x + cos x ) 2 ● 1 − sin 2x = sin2 x + cos2 x − 2 sin x cos x = (sin x − cos x ) sin 2x 2 3 3 ● sin x + cos x = (sin x +... cos2 t = 0 cos t = 0 (N) π π  sin 2t = 2 L ⇔ t = 2 + kπ ⇔ x = 4 + kπ, (k ∈ ℤ ) ( )  Lời bình: Trong (•) , tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức 1 = sin2 t + cos2 t Vậy trong giải 1    ⇔ cos t  sin 2t − 1 = 0 ⇔  2    phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên . x = ● os 2 2 1 1 tan x c x + = ● 2 2 1 1 cot x sin x + =    Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● sin2x 2 sin x.cos x= ● 2 2 2 2 cos x sin x cos2x 2. sin hoặc cả sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu (hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý ( ) x 4x 5x + = . =      −   ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x   −    − =      +      Công thức biến đổi tổng thành tích ● a b a b cosa cos b 2 cos .cos 2 2 + − + = ● a b a b cosa cos b 2 sin