Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 1 A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả : 1. 2 2 sin cos 1 α + α = . 2. sin tg cos α α = α . 3. cos cot g sin α α = α . 4. 2 2 1 1 tg cos + α = α . 5. 2 2 1 1 cot g sin + α = α . 6. tg . cot g 1 α α = . II. Công thức cộng - trừ : 1. ( ) sin a b sin a.cos b sin b.cos a + = + . 2. ( ) sin a b sin a.cos b sin b.cos a − = − . 3. ( ) cos a b cos a.cos b sin a.sin b + = − . 4. ( ) cos a b cos a.cos b sin a.sin b − = + . 5. ( ) tga tgb tg a b 1 tga.tgb + + = − . 6. ( ) tga tgb tg a b 1 tga.tgb − − = + . 7. ( ) cotga.cot gb 1 cotg a b cot ga cot gb − + = + . α sin α {  Cos α } tg α  cotg α sin cos tg cotg t Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 2 8. ( ) cot ga cot gb 1 cot g a b cot ga cot gb + − = − . III. Công thức góc nhân ñôi : 1. ( ) ( ) 2 2 sin 2a 2 sin a.cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a = = + − = − − . 2. 2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a = − = − = − . 3. 2 2tga tg2a 1 tg a = − . 4. 2 cotg a 1 cotg2a 2 cotga − = . IV. Công thức góc nhân ba : 1. 3 sin 3a 3 sin a 4 sin a = − . 2. 3 cos3a 4 cos a 3 cos a = − . 3. 3 3 3tga tg a tg3a 1 3tg a − = − . 4. 3 2 cot g a 3cot ga cot g3a 3 cot g a 1 − = − . V. Công thức hạ bậc hai : 1. 2 2 2 1 cos2a tg a sin a 2 1 tg a − = = + . 2. 2 2 2 1 cos 2a cot g a cos a 2 1 cotg a + = = + . 3. 2 1 cos 2a tg a 1 cos2a − = + . 4. 1 sin a cos a sin 2a 2 = . VI. Công thức hạ bậc ba : 1. ( ) 3 1 sin a 3 sin a s in3a 4 = − . 2. ( ) 3 1 cos a 3 cos a cos 3a 4 = + . Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 3 VII. Công thức biểu diễn sin x, cos x, tgx qua x t tan 2 = : 1. 2 2t sin x 1 t = + . 2. 2 2 1 t cos x 1 t − = + . 3. 2 2t tgx 1 t = − . 4. 2 1 t cot gx 2t − = . VIII. Công thức biến ñổi tích thành tổng : 1. ( ) ( ) 1 cos a.cos b cos a b cos a b 2   = − + +     . 2. ( ) ( ) 1 sin a.sin b cos a b cos a b 2   = − − +     . 3. ( ) ( ) 1 sin a.cos b sin a b sin a b 2   = + + −     . IX. Công thức biến ñổi tổng thành tích : 1. a b a b cos a cos b 2 cos .cos 2 2 + − + = . 2. a b a b cos a cos b 2 sin .sin 2 2 + − − = − . 3. a b a b sin a sin b 2 sin .cos 2 2 + − + = . 4. a b a b sin a sin b 2 cos .sin 2 2 + − − = . 5. ( ) sin a b tga tgb cos a.cos b + + = . 6. ( ) sin a b tga tgb cos a.cos b − − = . Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 4 7. ( ) sin a b cot ga cot gb sin a.sin b + + = . 8. ( ) sin a b cot ga cot gb sin a.sin b − − − = . 9. ( ) sin a b tga cot gb cos a.sin b − + = . 10. 2 tga cot ga sin 2a + = . 11. ( ) cos a b cot ga tgb sin a.cos b + − = . 12. cot ga tga 2 cot g2a − = X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan ñặc biệt : 1. Góc ñối: ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg tg cot g cot g   −α = − α     −α = α    −α = − α    −α = − α    2. Góc bù: ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg tg cot g cot g   π − α = α     π − α = − α    π − α = − α    π − α = − α    3. Góc sai kém π : ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg tg cot g cot g   π + α = − α     π + α = − α    π + α = α    π + α = α    4. Góc phụ: sin cos 2 cos sin 2 tg cot g 2 cot g t g 2     π     − α = α               π      − α = α               π     − α = α               π      − α = α            Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 5 XI. Công thức bổ sung : 1. cos sin 2 cos 2 sin 4 4     π π       α + α = α − = α +               . 2. cos sin 2 cos 2 sin 4 4     π π       α − α = α + = −α               . 3. sin cos 2 sin a 2 cos a 4 4     π π       α − α = − = +               . 4. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 A sin a B cos a A B sin a A B cos a , A B 0 + = + + α = + − β + > . 5. ( ) 2 1 sin 2 cos sin + α = α + α . XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung ñặc biệt : Góc Hàm số 0 0 0 / 6 π 0 30 / 4 π 0 45 / 3 π 0 60 / 2 π 0 90 sin 0 1 / 2 2 / 2 3 / 2 1 cos 1 3 / 2 2 / 2 1 / 2 0 tan 0 3 / 3 1 3 || cot || 3 1 3 / 3 0 Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 6 XIII. ðịnh lý hàm số cosin : 1. 2 2 2 a b c 2bc.cos A = + − . 2. 2 2 2 b c a 2ca.cos B = + − . 3. 2 2 2 c a b 2bc.cos C = + − . XIV. ðịnh lý hàm số sin : a b c 2R sin A sin B sin C = = = Với R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp ABC △ Hay a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin B   =    =    =    XV. Công thức tính diện tích tam giác : Gọi h △ là ñường cao thuộc cạnh trong ABC △ . a b c p 2 + + = là phân nửa chu vi ABC △ . S là diện tích ABC △ . R là bán kinh ñường tròn ngoại tiếp ABC △ . R là bán kính ñường tròn nội tiếp ABC △ . 1. a b c 1 1 1 S a.h b.h c.h 2 2 2 = = = . 2. 1 1 1 S ab.sin C bc.sin A ca.sin B 2 2 2 = = = . 3. abc S 4R = . A B C a b c Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 7 4. S p.r = . 5. ( ) ( ) ( ) S p p a p b p c = − − − . (Công thức Héron) XVI. Công thức nghiệm : 1. u a 2k sin u sin a , k Z u a 2k  = + π  = ⇔ ∈  = π − + π   . 2. u a 2l cos u cos a , l Z u a 2l  = + π  = ⇔ ∈  = − + π   . 3. tgu tga u a m , m Z = ⇔ = + π ∈ . 4. cot gu cot ga u a n , n Z = ⇔ = + π ∈ . XVII. Hàm lượng giác và hàm hyperbolic ñược biểu diễn qua hàm mũ theo các công thức sau: 1. iz iz e e sin z 2i − − = . 2. iz iz e e cos z 2 − + = . 3. z z e e sinh z i sin iz 2 − − = = − . 4. z z e e cosh z cos iz 2 − + = = . Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 8 B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I. Phương trình lượng giác cơ bản 2 1) sin sin 2 2)cos cos 2 , u v k u v k u v k u v u v k k π π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  = ⇔ = ± + ∈ ℤ ℤ 3) tan tan , 4) t t , u v u v k k co u co v u v k k π π = ⇔ = + ∈ = ⇔ = + ∈ ℤ ℤ II. Một số phương tình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc hai theo một hàm số lương giác Dạng: a) a sin 2 x + bsinx + c = 0 b) acos 2 x + bcosx + c = 0 (a ≠ 0) c) a tan 2 x + btanx + c = 0 d) a cot 2 x + bcotx + c = 0 Cách giải ðặ t ẩ n s ố ph ụ cho HSLG ñể ñư a v ề ph ươ ng trình b ậ c hai m ộ t ẳ n. Ví dụ: Giải các phương trình sau: 1) 2sin 2 x – sinx – 1 = 0 2) 2cos 2 x - 5cosx – 3 = 0 3) 2sin 2 x – 3cosx = 0 4) sin 2 2x – 2cos 2 x + 3 4 = 0 5) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0 6) cos4x = cos 2 x 2. Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng: asinx + bcosx = c Cách giải: chia 2 vế phương trình cho 2 2 a b + ta ñược: Ví dụ: Giải các phương trình: Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 a b c x x a b a b a b a b do a b a b + = + + +     + =     + +     Nên ñặt 2 2 2 2 cos sin a a b b a b α α  =  +    =  +  (hoặc ngược lại) Ta ñược phương trình: ( ) 2 2 2 2 os sin sin cos sin c c x x a b c x a b α α α + = + ⇔ + = + Ta ñươ c PT b ậ c nh ấ t theo 1 hslg. ( ) ( )( ) 2 1. 3sin cos 1 2. 2 cos2 2sin 3 3. 2sin 3 sin 2 3 4. 3cos2 4sin 2 5 5. 1 sin cos sin cos 0 6. 3cos5 2sin3 cos2 sin 0 ( 2009) 1 2sin cos 7. 3 ( 2009) 1 2sin 1 sin 8. sin cos sin x x x x x x x x x x x x x x x x D x x A x x x x + = + = + = + = + + + = − − = − − = − + − + ( ) 3 2 2 3cos3 2 cos4 sin 3 1 9. 3sin cos 2cos cos 2sin cos 10. 3 2cos sin 1 x x x x x x x x x x x x + = + + + = − = + − 3. Phương trình thuần nhất bậc hai với Sinx và cosx : asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d Cách giải: Cách 1: Dùng công th ứ c h ạ b ậ c ñể ñư a v ề d ạ ng 2 Cách 2: (biến ñổi ñưa về phương trình bậc hai theo tan hoặc cot) Ki ể m tra cosx = 0 có ph ả i là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình hay không. Khi cosx ≠ 0 chia 2 v ế ph ươ ng trình cho cos 2 x ta Ví dụ: Giải các phương trình sau: 1. 3sin 2 x – 2sin2x – 3cos 2 x = 2 2. cos 3 x + sin 3 x = sinx + cosx 3. 1 4sin 6cos cos x x x = + Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 10 ñược: atan 2 x + btanx + c = d(1 + tan 2 x) <=> (a – d)tan 2 x +btanx + c – d = 0 Giải phương trình ta ñược nghiệm của phương tình ñã cho. 4. Phương trình ñối xứng bậc nhất theo sinx và cosx : ( ) a sinx + cosx + bsinxcosx + c = 0 Cách giải: ðặ t: sin cos 2 sin 4 t x x x π   = + = +     2 cos 4 x π   = −     ðiều kiện : 2 2 t− ≤ ≤ khi ñó 2 1 sin cos 2 t x x − = và phương trình ñược viết lai 2 2 2 0 bt at c b + + − = . Gi ả i ph ươ ng trình b ậ c 2 theo t. chú ý ñ i ề u ki ệ n t thích h ợ p. Sau ñ ó gi ả i ph ươ ng trình 0 2 sin 4 x t π   + =     ho ặ c 0 2 cos 4 x t π   − =     . Chú ý : N ế u g ặ p ph ươ ng trình d ạ ng Ví dụ : Gi ả i các ph ươ ng trình 1. 1 1 tan 2sin cos x x x + = + 2. 3 3 sin cos 2sin .cos sin cos x x x x x x + = + + 3. 1 1 sin cos tan cot x x x x + = − 4. 2sin cot 2sin 2 1 x x x + = + [...]... x = 1 9 tan 3 x.cot x = 1 II PHƯƠNG TRÌNH B C NH T ð I V I M T LƯ NG GIÁC Bài 1: Gi i các phương trình sau: 1 sin2x – 2cosx = 0 2 2sin2x + cos3x = 1 3 2cos2x + cos2x = 2 4 8cos2xsin2xcos4x = Trang 18 2 Chuyên ñ lư ng giác Biên so n: Lê Kỳ H i 6 cos2(x – 300) = 5 tan2x – tanx = 0 3 4 III PHƯƠNG TRÌNH B C HAI ð I V I M T HÀM LƯ NG GIÁC Bài 1: Gi i các phương trình sau: 1 sin2x + 2sinx – 3 = 0 2 2sin2x... ng giác suy ra y = 4 ⇒ 1   Maxy = 4   Miny = 0  8 y = 2sin 2 x − 4 cos 2 x + 8sin x cos x − 1  2 ( 2sin x + cos x ) 2 − 7 ≥ 7 HD: Bi n ñ i lư ng giác ñưa v d ng y =  2  3 − 2 ( sin x − 2 cos x ) ≤ 3 ⇒ 9 y = 3sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x  5+2  Maxy =  2 HD: S d ng phương trình c ñi n a sin x + b cos x suy ra   Miny = − 5 + 2   2 Trang 21  Maxy = 7   Miny = 3 Chuyên ñ lư ng giác. . .Chuyên ñ lư ng giác Biên so n: Lê Kỳ H i a ( sinx - cosx ) + bsinxcosx + c = 0 thì ta cũng π  ñ t t = sin x − cos x = 2 sin  x −  4  π  = − 2 cos  x +  4  5 Phương trình lư ng giác không m u m c : ðây là lo i phương trình r t khó gi i vì nó không tuân theo m u m c nào c ñây chúng ta... 2 : Gi i phương trình cos 2 x = cos 4x 3 Gi i Trang 16 Chuyên ñ lư ng giác cos 2 x = cos ð t t= Biên so n: Lê Kỳ H i 4x 1 + cos 2 x 4x 1 2x  4x ⇔ = cos ⇔ 1 + cos 3  = cos 3 2 3 2 3  3 2x 1 , phương trình tr thành: (1 + cos 3t ) = cos 2t (dùng công th c nhân ñôi, nhân ba khai 3 2 tri n ñ gi i ti p) C Bài t p áp d ng : I PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CƠ B N Bài 1: Gi i các phương trình sau: π 2  2... 0; +∞ ) ⇒ f ( x) = 0 có 1 nghi m duy nh t trong [ 0; +∞ ) V y phương trình ñã cho có 1 nghi m duy nh t x = 0 Ví d 2: Gi i phương trình: sin x + tan x − 2 x = 0 v i 0 ≤ x ≤ π 2 Gi i : Trang 14 Chuyên ñ lư ng giác Biên so n: Lê Kỳ H i D th y phương trình có 1 nghi m x = 0  π ð t f ( x) = sin x + tan x − 2 x liên t c trên 0;   2 Có ñ o hàm: f ' ( x) = do (cos x − 1)(cos 2 x − cos x − 1)  π ≥... sin12 x = sin 2 x kπ  Vì th : sin12 x + cos16 x = 1 ⇔  16 ⇔x= (k ∈ Z) 2 2 cos x = cos x  D ng 8: ðưa v h phương trình Ví d 1 : Gi i phương trình sin 2 x + 2 + 5 − cos 2 x = 2 Gi i: Trang 15 Chuyên ñ lư ng giác Biên so n: Lê Kỳ H i ð t a = sin 2 x + 2; b = 5 − cos 2 x 1  a = 2 a+b = 2   Pt ⇔  2 2 ⇔ a − b = −2 b = 3   2 Ví d 2 : Gi i phương trình ( 3 cos x ) 2 + 3 sin 2 x − 3 = − 3 2 Gi... 2 cos x − cos x = 0 cos x(1 − cos x) = 0 cos x = 0 ∨ cos x = ±1   D ng 2: Phương trình có d ng : f ( x ) ± a a a2 và f 2 ( x ) ± 2 thì ta ñ t t = f ( x ) ± ð f ( x) f ( x) f ( x) Trang 11 Chuyên ñ lư ng giác Biên so n: Lê Kỳ H i ñưa v d ng ñ i s D ng 3: Phương trình có d ng Bi n ñ i ñ chuy n v phương trình tích  f ( x) = 0 f ( x ) g ( x ) = 0 ⇔  g ( x) = 0  Ví d : Gi i phương trình : 4 cos... + 3 = 0 8 π  3 tan  2 x −  + 1 = 0 4  ( ) 10 ( tan x − 1) cot 2 x + 3 = 0 ( 3  =0  11 2 cos x + 3 Trang 17 2 sin 2 x + 1 = 0 6 2 cos x + 2 = 0 9 cot 2 x − 1 = 0 )( ) 3 cot 3 x + 1 = 0 Chuyên ñ lư ng giác Biên so n: Lê Kỳ H i Bài 3: Gi i các phương trình sau: 1 sin 2 x = sin 500 π  2 sin  2 x +  = sin x 6  3 sin ( x + 300 ) = sin 3 x π  4 sin  3 x −  − sin x = 0 4  π  5 sin ... ng t ng bình phương :  f ( x) = 0  g ( x) = 0 2 2 f ( x ) + g ( x ) + + h ( x ) = 0 ⇔   h ( x ) = 0  Ví d : Gi i phương trình : 8cos 4 x cos 2 2 x + 1 − cos 3 x + 1 = 0 Gi i : Trang 12 Chuyên ñ lư ng giác Biên so n: Lê Kỳ H i 8cos 4 x cos 2 2 x + 1 − cos 3 x + 1 = 0 ⇔ 4 cos 4 x(1 + cos 4 x) + 1 − cos 3 x + 1 = 0 ⇔ (4 cos 2 4 x + 4 cos 4 x + 1) + 1 − cos 3 x = 0 ⇔ (2 cos 4 x + 1) 2 + 1 − cos... – 2cos2x + 16 sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 17 3 + 5 tan x − 1 = 0 cos 2 x 18 3tanx – 4cotx + 1 = 0 IV PHƯƠNG TRÌNH B C NH T ð I V I SINX VÀ COSX Bài 1: Gi i các phương trình sau: Trang 19 3 =0 4 Chuyên ñ lư ng giác 1 sinx - 3 cosx = Biên so n: Lê Kỳ H i π  2 sin  + 2 x  + 3 sin (π − 2 x ) = 1 2  2 3 2sin2x + 3 sin2x = 3 4 2cosx – sinx = 2 5 sin5x + cos5x = -1 6 sin6x + cos6x + 7 1 + sinx – cosx . Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 1 A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả : 1. 2. cos iz 2 − + = = . Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội Trang 8 B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I. Phương trình lượng giác cơ bản 2 1) sin sin 2 2)cos cos. NHẤT ðỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC Bài 1: Giải các phương trình sau: 1. sin2x – 2cosx = 0 2. 2sin 2 x + cos3x = 1 3. 2cos 2 x + cos2x = 2 4. 8cos2xsin2xcos4x = 2 Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: