ð CƯƠNG BÀI GI NG H C PH N QUY HO CH TUY N TÍNH THEO TÍN CH (TÀI LI U DÙNG CHO SINH VIÊN ð I H C SƯ PH M TOÁN) Năm 2014 M CL C Trang CHƯƠNG Bài tốn quy ho ch n tính 1.1 Các ví d d n t i toán QHTT 1.1.1 Bài toán l p th c ñơn 1.1.2 Bài toán l p k ho ch s n xu t 1.1.3 Bài toán v n t i 1.2 Bài toán QHTT t ng quát 1.3 Bài tốn d ng t c, chu n t c, d ng ma tr n, véc tơ c a tốn QHTT 1.3.1 D ng t c 1.3.2 D ng chu n t c 1.3.3 M t s kí hi u quy c 1.3.4 D ng ma tr n véc tơ c a tốn QHTT 1.4 Hình nh hình h c c a t p phương án c a toán QHTT 1.5 ð i cương v t p l i không gian R n 1.5.1 T h p l i 1.5.2 T p h p l i 1.5.3 ði m c c biên c a t p l i 1.5.4 ða di n l i t p l i da di n 1.6 Tính ch t c a t p phương án t p nghi m c a tốn QHTT 1.6.1 Tính ch t c a t p phương án c a toán QHTT 1.6.2 Cơ s c a phương án c c biên Câu h i, t p, n i dung ôn t p th o lu n CHƯƠNG Phương pháp đơn hình 12 2.1 Cơ s lý thuy t c a phương pháp đơn hình 12 2.1.1 Tư tư ng b n c a phương pháp đơn hình 12 2.1.2 Bi u di n qua s D u hi u t i ưu 12 2.1.3 Tìm phương án c c biên m i t t hơn, cơng th c đ i s 13 2.2.Th t c đơn hình, b ng đơn hình 14 2.2.1.Các bư c c a th t c đơn hình 14 2.2.2 Tính h u h n c a thu t tốn 14 2.2.3 B ng đơn hình 14 2.3 Thu t tốn đơn hình đ i v i toán chu n 16 2.4 Gi i toán QHTT t ng quát, phương pháp hai pha, phương pháp tốn M 16 2.4.1 Thu t tốn đơn hình hai pha 16 2.4.2 Phương pháp đánh thu 17 2.5 V n đ tốn suy bi n 17 Câu h i, t p, n i dung ôn t p th o lu n 17 CHƯƠNG Các tốn đ i ng u 22 3.1 Khái ni m v tốn đ i ng u 22 3.1.1 Nguyên t c thi t lâp tốn đ i ng u 22 3.1.2 Các d ng tốn đ i ng u 22 3.2 Các đ nh lý ñ i ng u ng d ng 23 3.2.1 Quan h gi a c p toán ñ i ng u 23 3.2.2 ð nh lý ñ i ng u 23 3.3 Phương pháp đơn hình đ i ng u 23 3.3.1 Cơ s ch p nh n ñư c ñ i ng u 23 3.3.2 Th t c đơn hình đ i ng u bi t s ch p nh n ñư c ñ i ng u 24 3.3.3 Thu t tốn đơn hình ñ i ng u chưa bi t s ch p nh n ñư c ñ i ng u 24 3.4 Tìm nghiệm cặp toán đối ngẫu giải hệ phơng trình tuyến tính 25 Cõu h i ôn t p th o lu n 25 CHƯƠNG Phương pháp phân ph i 29 4.1 Gi i thi u toán L p toán dư i d ng b ng 29 4.1.1 Thi t l p toán 29 4.1.2 ði u ki n t n t i nghi m 30 4.1.3 B ng v n t i, tính ch t c a b ng 30 4.2 V n đ tìm phương án s ban đ u 31 4.2.1 Phương pháp góc tây b c 31 4.2.2 Phương pháp c c ti u cư c phí 32 4.3.Gi i tốn v n t i b ng phương pháp th v 32 4.3.1 Cơ s lý lu n 32 4.3.2 Các bư c th c hi n thu t toán 32 4.4 Kh c ph c suy bi n tính tốn 33 4.4.1 Bài tốn v n t i khơng cân b ng thu phát 33 4.4.2 Bài toán v n t i có c m 33 Câu h i, t p, n i dung ôn t p th o lu n 33 TÀI LI U THAM KH O 35 CHƯƠNG Bài toán quy ho ch n tính S ti t: (Lý thuy t: 6; t p, th o lu n: 1) *) M c tiêu Cung c p cho sinh viên nh ng ki n th c b n v mô hình tốn Quy ho ch n tính (QHTT): M t s mơ hình th c t c a toán QHTT; toán QHTT d ng t ng quát m t s d ng ñ c bi t; tính ch t t p phương án, hình nh hình h c c a t p phương án c a tốn QHTT 1.1 Các ví d d n t i toán QHTT 1.1.1 Bài toán l p th c đơn ( ( ) Có n lo i th c ph m T j , j = 1, n Bi t r ng m i ñơn v T j ch a a ij ñơn v ch t i, i = 1, m ) có giá thành c j ñơn v ti n Hãy l p m t th c ñơn cho b a ăn ph i đ m b o có nh t bi ñơn v ch t dinh dư ng i, (i = 1, m ) mà có giá thành r nh t L p toán: G i x j s ñơn v th c ph m T j , ( j = 1, n ) dùng b a ăn, x j ≥ ; n ∑ aij x j ≥ bi , i = 1, m T ng giá thành c a b a ăn là: n ∑c j x j ñơn v ti n j =1 j =1 Mơ hình tốn h c c a tốn: ( n ) Tìm x j ; j = 1, n cho hàm: f ( x ) = ∑ c j x j ñ t giá tr nh nh t v i h ñi u ki n: j =1 n ∑a ij x j ≥ bi , i = 1, m; x j ≥ 0; j = 1, n j =1 1.1.2 Bài toán l p k ho ch s n xu t M t xí nghi p s n xu t n m t hàng Các m t hàng đư c s n xu t t ( m lo i v t li u ) S lư ng ñơn v v t li u lo i i i = 1, m hi n có c a xí nghi p bi Bi t r ng ñ s n xu t m t ñơn ( ) v m t hàng lo i j ( j = 1, n ) c n aij i = 1, m, j = 1, n ñơn v v t li u lo i i m t ñơn v m t hàng lo i j bán ñư c c j ñơn v ti n (s ñơn v s n ph m s n xu t ñ u bán h t) Hãy tính xem m i m t hàng nên s n xu t ñơn v s n ph m ñ ti n thu ñư c nhi u nh t v i ñi u ki n h n ch v s v t li u hi n có c a xí nghi p Mơ hình tốn h c c a tốn: n Tìm x j ; j = 1, n cho hàm: f ( x ) = ∑ c j x j ñ t giá tr l n nh t v i h ñi u ki n: ( ) j =1 n ∑a x ij j ≤ bi , i = 1, m; x j ≥ 0; j = 1, n j =1 1.1.3 Bài tốn v n t i Có m ñi m phát hàng A1 , A2 , , Am v i lư ng hàng phát Có n m thu hàng B1 , B2 , , Bn v i lư ng hàng thu kho th i, i = 1, m , i = 1, m kho th j b j , j = 1, n Gi thi t r ng: m n i =1 j =1 ∑ = ∑ b j cư c phí v n chuy n m t đơn v hàng t tr m phát Ai t i tr m thu B j cij Hãy l p phương án ñi u hàng cho yêu c u thu phát ñư c ñ m b o t ng chi phí nh nh t D ng tốn h c c a toán: G i xij (i = 1, m, j = 1, n) s ñơn v hàng c n v n chuy n theo k ho ch t tr m phát th i t i tr m thu th j (i = 1, m, m j = 1, n) tốn v n t i có mơ hình tốn h c sau: n f = ∑∑ cij xij → i =1 j =1 n ∑x ij = i = 1.m = bj j = 1, n j =1 m ∑x ij i =1 xij ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n m j = 1, n , n i =1 Trong ≥ 0, i = 1, m b j ≥ 0, j =1 ∑ = ∑ b j 1.2 Bài toán QHTT t ng quát n Tìm véc tơ x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ R n cho hàm f ( x ) = ∑ c j x j ñ t giá tr nh nh t j =1 (ho cl n nh t) v i ñi u ki n:  n  ∑ aij x j ≥ bi  j =1  n   ∑ aij x j = bi  j =1  xj ≥   x j  i ∈ I1 (1) i ∈ I2 ( 2) ( 3) ( 4) j ∈ J1 j ∈ J2 Trong đó: I1 ⊂ I = {1, 2, m} , I = I \ I1 , I ∩ I1 = ϕ J1 ⊂ J = {1, 2, n} , J = J \ J1 , J ∩ J1 = ϕ ( x j ñư c hi u x j không ph thu c d u) Hàm f ñư c g i hàm m c tiêu; (1) (2) h ràng bu c b n ( h ràng bu c cư ng b c); (3) (4) h ràng bu c t nhiên ( h ràng bu c d u) V m t lý thuy t ta có th ch xét tốn tìm giá tr nh nh t (m i tốn max s đư c chuy n v d ng min) 1.3 Bài tốn d ng t c, chu n t c, d ng ma tr n, véc tơ c a tốn QHTT 1.3.1 D ng t c: Là toán d ng t ng quát I1 = ϕ , J1 = J 1.3.2 D ng chu n t c: Là toán d ng t ng quát I = ϕ , J1 = J Chú ý: Có th chuy n tốn d ng t c thành chu n t c ngư c l i nh m t s phép bi n đ i h phương trình n tính 1.3.3 M t s kí hi u qui c • A = ( aij ) • a j = ( a1 j , a2 j , , amj ) véc tơ c t ( ma tr n c t) th j j = 1, n c a ma tr n A; • = ( ai1 , , , ain ) véc tơ dòng ( ma tr n dòng) th i i = 1, m c a ma tr n A; • b = ( b1 , b2 , , bm ) , c = ( c1 , c2 , , cn ) tương ng ma tr n c t; • M i véc tơ đư c xem m t ma tr n c t phép tính ma tr n n u khơng nói thêm; • Bi u th c tích vơ hư ng c a hai véc tơ x y ñư c vi t: x.y m×n ma tr n h s c a h ràng bu c b n; ( ) ( ) 1.3.4 D ng ma tr n véc tơ c a tốn QHTT(chính t c) D ng ma tr n f = ct x → Ax = b x≥0 D ng véctơ f = c.x → n ∑a x j j =b j =1 x≥0 1.4 Hình nh hình h c c a t p phương án c a toán QHTT Trong R , t p phương án c a toán QHTT chu n t c giao c a h u h n m n a m t ph ng Trong R , t p phương án c a bai toán QHTT chu n t c giao c a h u h n m n a không gian T p phương án c a toán QHTT d ng chu n t c m t ña di n l i ho c m t t p l i ña di n 1.5 ð i cương v t p l i không gian R n 1.5.1 T h p l i Trong R n ñi m x ñư c g i t h p l i c a ñi m x j (j = 1, n ) n u n n j=1 t n t i s α j ≥ 0, j = 1, n , j=1 ∑ α j = tho mãn x = ∑ α j x j 1.5.2 T p h p l i T p X ⊂ R n ñư c g i t p h p l i n u v i x , x ∈ X ≤ α ≤ x = αx1 + (1 − α)x ∈ X 1.5.3 ði m c c biên c a t p l i ði m x c a t p l i X dư c g i ñi m c c biên c a X n u khơng th bi u di n đư c dư i d ng t h p l i th c s c a hai ñi m phân bi t X 1.5.4 ða di n l i t p l i ña di n T p l i ña di n giao c a m t s h u h n n a khơng gian đóng ða di n l i t p l i ña di n gi i n i 1.6 Tính ch t c a t p phương án t p nghi m c a tốn QHTT 1.6.1 Tính ch t c a t p phương án c a toán QHTT ð nh lý 1.1 T p phương án phương án t i ưu c a toán quy ho ch n tính t p l i ð nh lý 1.2 N u toán QHTT d ng t c có t p phương án khác r ng có nh t m t phương án c c biên (t c ñi m c c biên c a t p phương án) ð nh lý 1.3 N u toán QHTT d ng t c có phương án t i ưu s có nh t m t phương án c c biên phương án t i ưu ð nh lý 1.4 N u t p phương án c a tốn quy ho ch n tính khơng r ng m t ña di n l i tốn s có nh t m t phương án c c biên phương án t i ưu ð nh lý 1.5 (v s t n t i phương án c c biên) ( ) ð phương án x = x j j=1.n (khác 0) c a tốn qui ho ch n tính d ng t c n   v i t p phương án D = x ∈ R n : ∑ a j x j = b; x ≥ 0 phương án c c biên u ki n c n j=1   ñ h véc tơ c t c a ma tr n A ng v i thành ph n dương c a phương án ñ c l p n tính ð nh nghĩa 1.3 Phương án c c biên c a tốn QHTT d ng t c đư c g i khơng suy bi n n u s thành ph n dương c a b ng m (h ng c a ma tr n A) ngư c l i phương án c c biên ñư c g i suy bi n 1.6.2 Cơ s c a phương án c c biên n ( ) Gi s x = x j j=1 (khác 0) m t phương án c c biên c a tốn QHTT t c h ng(A) = m Ký hi u J m t b g m ñ m ch s : J ⊃ J + (x ) (J + (x ) = {j : x > 0}) Ta g i j s c a phương án c c biên x m t b g m m véc tơ c t ñ c l p n tính {a , j ∈ J } c j a ma tr n A Chú ý: - Cơ s c a m t phương án c c biên tài li u đư c kí hi u B , ñ phân bi t t p ch s s khác t p ch s c a véc tơ s B ta kí hi u J B - N u B = {a j , j ∈ J B } m t s c a phương án c c biên x x j , j ∈ J B ñư c g i thành ph n s ; x j , j ∉ J B ñư c g i thành ph n phi s Nh n xét: S thành ph n dương c a m t phương án c c biên c a tốn QHTT d ng t c t i ña b ng m S phương án c c biên c a m t toán QHTT h u h n Phương án c c biên không suy bi n ch có m t s nh t, véc tơ tương ng thành ph n dương c a phương án Phương án c c biên suy bi n có nhi u s khác nhau, ph n chung c a chúng véc tơ tương ng v i thành ph n dương c a phương án *) Tài li u h c t p: [1]; [2]; [3]; [5] *) Câu h i, t p, n i dung ôn t p th o lu n Bài t p 1.1 Cho ñi m x1, x2, x3 ∈ R không th ng hàng a Ch ng minh r ng n u x m t t h p l i c a x1, x2, x3 x m t ñi m thu c tam giác có ñ nh x1, x2, x3 b Ch ng minh r ng n u x m t ñi m thu c tam giác ln có th vi t đư c x m t t h p l i c a x1, x2, x3 c Phát bi u gi i tốn trư ng h p có ñi m x1, x2, x3,x4 ∈ R không th ng hàng khơng đ ng ph ng Bài t p 1.2 Cho hình c u tâm O bán kính a R3 { 2 V= x ∈ R : x + x + x ≤ a 2 } a V có ph i t p l i đa di n khơng ? Có ph i đa di n l i khơng? b Hình c u V có m c c biên khơng? Có m c c biên? Bài t p 1.3 Cho D ⊂ R n có tính ch t sau ñây: N u a ∈ D b ∈ D x =  a + b  ∈ D Hãy   2  xem xét D có ph i t p l i khơng? Gi i thích t i sao? Bài t p 1.4 Cho X Y hai t p l i Rn ; Z t p ñư c ñ nh nghĩa sau: Z = {z : z = x + y; x ∈ X; y ∈ Y} Xét xem Z có ph i t p l i không? Bài t p 1.5 Ch ng minh r ng: N u tốn QHTT có t p phương án khác r ng m i n s ñ u b ch n (h j ≤ x j ≤ H j ∀j) ln ln có phương án t i ưu Bài t p 1.6 Ch ng minh r ng tốn sau ln có phương án t i ưu: f = c t x → min(hay max ) n ∑ a ijx j ≤ b i , i = 1, m; x j ≥ (j = 1, n ) j=1 ( ) ( ) Trong b i ≥ i = 1, m bi t r ng t n t i ch s i cho a ij ≥ j = 1, n Bài t p 1.7 Hãy thi t l p toán quy ho ch n tính cho tốn sau: M t phân xư ng c t thép có s t nguyên dài 3,8 mét c n c t thành ba lo i ño n ng n : 400 ño n dài 1,8m; 400 ño n dài 1,4 m; 1300 ño n dài 1,0 m H i ph i c t thép nguyên ñ v a ñ m b o ñ s lư ng ño n thép c n có mà t n thép ngun nh t? Bài t p 1.8 M t ñ i s n xu t nơng s n có lo i ñ t d ki n tr ng lo i v i s qu ñ t su t d ki n ñư c cho b ng sau (Năng su t: t /ha) Cây (ha) S n 150 Khoai 200 L c 100 ð u 80 ð t (ha) Th t 100 4 Cát 230 5 Cát pha 200 3 Hãy tính xem nên tr ng đ t đ đ t t ng su t cao nh t? a Vi t d ng toán h c c a toán b Hãy ch m t phương án c a toán c Ch ng t tốn ln có phương án t i ưu d Hãy t ng quát hoá toán Bài t p 1.9 Hãy thi t l p tốn quy ho ch n tính cho tốn sau: Gi s có m lo i máy cơng công c khác tham gia s n xu t m t lo i s n ph m g m n chi ti t khác S máy m i lo i tham gia trình s n xu t ñư c gi thi t m t chi c, s chi ti t m i lo i c u thành nên s n ph m ñư c gi thi t t l v i theo t s 1:1: :1 (t c s chi ti t m i lo i b ng nhau) Năng su t máy th i s n xu t chi ti t j a ij (ñơn v chi ti t/ ( ) ñơn v th i gian) v i i = 1, m ; j = 1, n Hãy b trí th i gian cho máy s n xu t chi ti t cho s s n ph m ñ b s n xu t ñư c nhi u nh t Bài t p 1.10 ðưa tốn sau v d ng t c a) f = 5x1 + x − 4x → max 4x1 + x + x ≥  x − x − 2x ≤ −1   2x1 + 3x + 6x = 11   x1 ≥ 0, x ≥  b) f = −5 x1 − x2 − x3 → 2 x1 + x2 + x3 ≤ 4 x + x + x ≤ 11   x1 + x2 + x3 ≤   x1 , x2 , x3 ≥  c) f = x1 − x2 → max − x1 − x2 + x3 ≤ 2 x − x − x ≥    x1 + x2 + x3 =  x1 , x3 ≥  Bài t p 1.11 ðưa toán sau v d ng chu n t c f = x1 + 3x − x →  x1 + x + x ≥ − 3x + 5x − x ≤ −6    x1 − x + x =  x1 ≥ 0, x ≤  Bài t p 1.12 Ch ng minh r ng, ñ i v i m i toán sau, x phương án t i ưu: a f = x2 + x4 →  − x + x + x + x = (1) − x + x + x + x = (2 )   3x + 2x = (3)   x1 ≥  x = (0,−1,0,3) b g = x1 + x4 → max (1)  x1 + x + x + x =  x + x + 3x + x ≤ (2 )   − x1 + x + x + 4x = 16 (3)   x1 ≥  x = (0,1,3,−3) Bài t p 1.13 Ch ng t r ng tốn sau có t p phương án khác r ng hàm m c tiêu không b ch n t p phương án f = −3x + x + 3x + x + x + 12 x → + x3 + 2x + 9x =  − x1  − x − x + x − 2x − 3x = −5   + 3x + 5x + 3x = 11 − x + x  x j ≥ 0, j = 1,6  Bài t p 1.14 Ch ng minh r ng t h p l i có tính ch t b c c u Bài t p 1.15 Gi i toán QHTT sau b ng phương pháp ñ th : a f = x1 + x2 → max  x1 + x2 ≥  x − x ≤1   x1 + x2 ≤   x1 ≥ 0; x2 ≥  b f = − x1 + x2 → max  x1 + x2 ≥  x + x ≤7    x1 − x2 ≤  x1 ≥ 0; x2 ≥  c f = x1 + x2 − → max  − x1 − x2 ≤ −2 − x + x ≥ −6    x1 + x2 ≤  x1 ≥ 0; x2 ≥  Bài t p 1.16 Hãy tìm u ki n c a hàm m c tiêu tốn sau đ thu đư c: a Bài tốn vơ nghi m b Bài tốn vơ s nghi m f = x1 + 3x2 2 x1 − x2 ≤  5x + x ≥   x1 + x2 ≥   x1 ≥ 0; x2 ≥  Bài t p 1.17 ð i v i m i giá tr c a tham s m ( m > 0) tìm phương án t i ưu c a toán quy ho ch n tính: f ( x ) = x − x → 10 CHƯƠNG Các tốn đ i ng u S ti t: (Lý thuy t 6; t p, th o lu n: 1) *) M c tiêu Cung c p cho sinh viên nh ng ki n th c b n v lý thuy t ñ i ng u, ngun t c thi t l p tốn đ i ng u, ñ nh lý ñ i ng u ng d ng, thu t tốn đơn hình ñ i ng u 3.1 Khái ni m v tốn đ i ng u 3.1.1 Ngun t c thi t l p tốn đ i ng u 3.1.1.1 Bài tốn đ i ng u c a toán QHTT d ng chu n t c Bài toán g c (P) Bài tốn đ i ng u (Q) f = c x → g = b t y → max Ax ≥ b x≥0 Aty ≤ c t y≥0 3.1.1.2 Bài tốn đ i ng u c a tốn QHTT d ng t c Bài tốn g c (P) Bài tốn đ i ng u (Q) f = c t x → Ax = b x≥0 g = b t y → max At y ≤ c y 3.1.1.3 Bài tốn đ i ng uc a toán QHTT d ng t ng quát Bài toán g c (P) T p ch s Bài tốn đ i ng u (Q) g = b t y → max f = c t x → x = bi i∈I y i 0 x ≥ bi i ∈ I′ yi ≥ xj ≥ j∈ J yta j ≤ c j x j j ∈ J′ yta j = c j Trong đó: ( I ∪ I′ = M = { ,2, m}; I ∩ I′ = φ ; J ∪ J ′ = N = { ,2, n}; J ∩ J′ = φ ) 1 3.1.2 Các d ng tốn đ i ng u 22 Tương ng v i toán QHTT chu n t c, tốn QHTT t c, tốn QHTT t ng qt ta có d ng tốn ñ i ng u: Bài toán ñ i ng u ñ i x ng, toán ñ i ng u khơng đ i x ng, tốn đ i ng u d ng h n h p 3.2 Các ñ nh lý ñ i ng u ng d ng 3.2.1 Quan h gi a c p tốn đ i ng u ð nh lý 3.1 Gi s {x, y} tương ng c p phương án ch p nh n đư c c a tốn g c đ i ng u, ta có: c t x ≥ b t y H qu Gi s {x , y } tương * * ng c p phương án ch p nh n ñư c c a toán g c { } ñ i ng u ñ ng th i tho mãn c t x * = b t y * Khi x * , y* c p phương án t i ưu c a toán g c ñ i ng u 3.2.2 ð nh lý ñ i ng u ð nh lý 3.2 (ñ nh lý ñ i ng u) N u toán g c (P) có phương án t i ưu tốn ñ i ng u (Q) c a có phương án t i ưu giá tr t i ưu c a chúng b ng H qu ði u ki n c n ñ ñ c p tốn g c - đ i ng u gi i đư c m i tốn có nh t m t phương án ch p nh n ñư c H qu ði u ki n c n đ đ m t tốn có phương án ch p nh n đư c cịn m t tốn khơng có phương án ch p nh n ñ ơc tr s c a hàm m c tiêu c a tốn có phương án ch p nh n đ ơc khơng b ch n t p phương án c a Nh n xét: ð i v i m t c p toán g c - ñ i ng u ch x y m t trư ng h p: C hai tốn khơng có phương án, hi n nhiên c hai khơng gi i đư c C hai tốn có phương án c hai gi i ñư c giá tr c a hai toán t i phương án t i ưu c a chúng b ng M t tốn có phương án, m t tốn khơng có phương án, tr s hàm m c tiêu c a tốn có phương án khơng b ch n t p phương án ð nh lý 3.3.(ð nh lý bù y u) Gi s x ∈ R n phương án c a toán g c (P), y ∈ R m phương án c a tốn đ i ng u (Q) Khi u ki n c n ñ ñ x y tương ng phương án t i ưu c a tốn g c đ i ng u ñi u ki n sau ñ ng th i ñư c tho mãn:   n  ∑ a ij x j − b i  y i = 0, ∀i ;     j=1 m    c j − ∑ a ij y i  x j = 0, ∀j   i =1   3.3 Phương pháp đơn hình đ i ng u 3.3.1 Cơ s ch p nh n ñư c ñ i ng u 3.3.1.1 Cơ s ch p nh n đư c g c Xét tốn g c (P) d ng t c ð nh nghĩa 3.1: Ta g i s B ch p nh n ñư c g c n u phương án s tương ng v i ch p nh n đư c c a tốn g c ( t c là: B −1b ≥ ) N u phương án s tương ng v i B t i ưu B s đư c g i s t i ưu 3.3.1.2 Cơ s ch p nh n ñư c ñ i ng u Xét tốn đ i ng u (Q) c a toán (P): 23 ð nh nghĩa 3.2 Ta g i phương án s ñ i ng u tương ng v i s B véc tơ y thu t −1 ñư c b ng cách gi i h phương trình n tính: Bt y = cJ B (t c là: y = ( B ) cJ B ) Cơ s B ñư c g i s ch p nh n ñư c ñ i ng u n u phương án s ñ i ng u án ch p nh n ñư c c a tốn đ i ng u ng v i phương 3.3.1.3 Gi phương án ð nh nghĩa 3.3 Phương án x = (( x ) j j∈J B = xJ = B −1b, ( x j ) j∉J B ) = v i B s ñ i ng u ñư c g i gi phương án c a toán g c ng v i s B; x j , j ∈ J B ñư c g i thành ph n s c a gi phương án, x k , k ∉ J B thành ph n phi s Nh n xét: N u J B s ch p nh n đư c đ i ng u tốn g c ta ln có: ∆ j ≤ 0, j ∉ J B ∆ j = 0, j ∈ J B Cơ s B v a s ch p nh n ñư c g c v a s ch p nh n ñư c đ i ng u s t i ưu c a toán g c 3.3.2 Th t c đơn hình đ i ng u bi t s ch p nh n ñư c ñ i ng u Gi s B m t s ch p nh n ñư c ñ i ng u, ta xây d ng b ng đơn hình ñ i ng u tương ng v i s B (b ng gi ng b ng đơn hình g c ng v i s B ngo i tr c t phương án ñư c thay b ng c t gi phương án) S d ng b ng ta ti n hành thu t toán theo th t c sau: Bư c Ki m tra tiêu chu n t i ưu: Cơ s ñang xét t i ưu n u m i thành ph n x j c a c t gi phương án đ u khơng âm, thu t tốn k t thúc N u ngư c l i chuy n sang bư c Bư c Ki m tra tính tương thích c a tốn g c, c i ti n phương án • N u ∃j∈ J B cho x j < mà z jk ≥ ∀k = 1, n tốn g c (P) khơng có phương án s khơng có phương án t i ưu • N u ∀j∈ J B x j < đ u tìm đư c nh t m t ph n t z jk < ta chuy n sang s ñ i ng u m i B1 v i J B = J B \ {r} ∪ {s} , (r ∈ J B , s ∉ J B ) sau: *Véc tơ a r ñư c ñưa kh i s *Véc tơ a s ñư c ñưa vào s x r = min{x j , j ∈ J B , x j < 0}   θ = ∆ s =  ∆ j , z < 0 ( ∀j = 1, n ) (Dịng r đư c   rj z rs z rj     g i dịng xoay, c t s đư c g i c t xoay, z r s ph n t • xoay) Áp d ng qui t c chuy n b ng thu t tốn đơn hình ñ ñi ñ n k t thúc 3.3.3 Thu t tốn đơn hình đ i ng u chưa bi t s ch p nh n ñư c ñ i ng u Không gi m t ng quát, ta gi thi t r ng h ng A = m ln có th tìm đư c m t s B = ( a1 , a , , a m ) c a ma tr n A ( ch ng h n b ng phương pháp c a đ i s n tính) B khơng ph i ch p nh n đư c đ i ng u (có th khơng ch p nh n ñư c g c) 24 Xu t phát t tình hu ng ta tìm m t s ñ i ng u ðưa thêm vào m t bi n gi x ≥ v i h s hàm m c tiên b ng thêm vào h ràng bu c c a toán xu t phát m t ràng bu c gi coi ch s dòng i = 0: x + x m +1 + + x n = M Trong (x m +1 , x m + , , x n ) véc tơ bi n phi s M m t s dương l n b t kỳ s c th c n so sánh v i Bài tốn thu đư c s đư c g i toán m r ng ð i v i tốn ta có m t s B = ( a , a1 , a , , a m ) Xây d ng b ng đơn hình tương ng v i s B gi ng trư ng h p có s n s ñơn v K t thúc thu t tốn ta có th g p m t tình hu ng sau: • Bài tốn m r ng vơ nghi m tốn ban đ u vơ nghi m • * Bài tốn m r ng có phương án t i ưu (x * , x , , x * ) x m t bi n s , ñó giá n ( ) * tr hàm m c tiêu không ph thu c M nên x * , x , , x * phương án t i ưu c a toán n ban đ u • ( ) * Bài tốn m r ng có phương án t i ưu x * , x , , x * x m t bi n phi s , n bi n s s ph thu c M Có hai kh sau: M t là: Giá tr hàm m c tiêu c a toán m r ng ph thu c M, F(x ) → −∞ M → +∞ suy tốn ban đ u khơng có phương án t i ưu Hai là: Giá tr t i ưu c a tốn m r ng khơng ph thu c M, tốn ban đ u có phương án t i ưu mà ta có th thu đư c t phương án t i ưu c a toán m r ng b ng cách lo i b x gi m d n giá tr c a M cho ñ n tri t tiêu giá tr c a m t bi n s toán m r ng Chú ý th c hi n thu t toán: V nguyên t c, có th lo i kh i s b t kỳ véc tơ ng v i x j < c i ti n ñư c phương án c a tốn đ i ng u ð i v i tốn có hàm m c tiêu d n đ n max có th gi i tr c ti p v i d u hi u s ñ i ng u tương ng s B mà ∆ j ≥ 0, ∀j ∈ J B θ tính theo cơng th c:    − ∆ j θ = min , z rj < 0 (các y u t khác c a thu t toán khơng đ i) ho c chuy n v   z rj   tốn 3.4 T×m nghiƯm cặp b i toán đối ngẫu giải hệ phơng trình tuyến tính T cỏc tớnh ch t c a c p tốn đ i ng u,vi c gi i tốn g c – đ i ng u có th đưa v vi c gi i h phương trình b t phương trình sau :  AX ≥ b; X ≥  YA ≤ C ; Y ≥ CX = Yb  *) Tài li u h c t p: [3]; [1];[2] *) Câu h i, t p, n i dung ôn t p th o lu n 25 Bài t p 3.1 Vi t tốn đ i ng u c a tốn QHTT sau tìm phương án t i ưu c a chúng f (x ) = x1 + 2x + + nx n →  x + x + + x n ≥  x + + x n ≥     xn ≥1  x j ≥ 0, j = 1, n  Bài t p 3.2 Tìm giá tr t i ưu c a hàm m c tiêu toán sau: f = c1x1 + c x + + c n x n → max a 1x + a x + + a n x n ≤ α ; x j ≥ 0, j = 1, n ( ) Trong đó: α, a j , c j j = 1, n s dương Bài t p 3.3 Gi i tốn sau b ng thu t tốn đơn hình đ i ng u a) f = 3x1 -2x2 – 4x3 +10x4 – 6x5 + 65x6 − x + 2x − x =  x1  x2 + x − 2x + x = 19   x + x + 3x + x = 21   x j ≥ 0, j = 1,6  ( ) V i s ñ i ng u cho trư c : B = a , a , a b) f = x + 3x − x + x + x − x → + x − x − x = −5 x1  x + 2x − x =   x + 3x + x − x =   x j ≥ 0, j = 1,6  c) f = 3x − 4x − x − 8x + 4x + x → − x + x − x = −7 x  x2 + x + x − 2x = \   x + 2x − x + x =   x j ≥ 0, j = 1,6  d) f = x + 2x − x + 3x + x − x → + x − x − x = −4 x1  x2 + x4 + x6 =   x + x − 2x − 4x =   x j ≥ 0, j = 1,6  Bài t p 3.4 Cho toán: f = x − x + x − x + 3x → 26 − x + 2x ≥ −12  x + 3x − x − 3x + x − x =   + 3x ≤ 20  x1 + 2x + x  x , x3 , x ≥  Vi t tốn đ i ng u, phân tích tính ch t c a véc tơ x = (4,2,0,5,0 ) đ i v i tốn cho Bài t p 3.5 Cho toán: f = −8x + x + 4x + 5x → − 2x + x ≤  x1 − 2x + x − x + 3x = −4   3x1 − x + 2x − 6x ≥   x1 , x , x ≥  Vi t tốn đ i ng u, phân tích tính ch t c a véc tơ x = (3,0,−2,0 ) ñ i v i tốn cho Xác đ nh phương án c c biên t i ưu c a toán ñ i ng u phương án t i ưu có y = Bài t p 3.6 Cho toán: f = −10 x + 2x − 5x − x − 11x →  3x + x − x + x + x ≥  − x + 3x + x − x ≤ −6   − 5x1 + 3x − x + x − 5x = −24   x2 , x3,x5 ≥  a.Vi t tốn đ i ng u, xác ñ nh t p phương án, phương án c c biên c a b Ch ng t tốn gi i đư c, tìm t p phương án t i ưu c a hai toán g c ñ i ng u Bài t p 3.7 Cho toán: f = −11x − x + 4x + 16x → max  x1 − 2x + x + 3x ≤ −12  − x + 4x − 3x − 8x ≥ 20   − 2x1 + x − x − x ≤ −2  x j ≥ 0, j = 1,4  a Vi t tốn đ i ng u, ch ng t y = (1,2,−3) phương án c c biên c a tốn đ i ng u, gi i toán b ng thu t toán ñơn hình ñ i ng u xu t phát t y0 , xác ñ nh phương án t i ưu c a tốn đ i ng u b N u c1 = có nh n xét v phương án t i ưu c a toán, tìm m t phương án t i ưu có x = 16 Bài t p 3.8 a S d ng ñ nh lý ñ i ng u ch ng minh tốn sau gi i đư c v i m i véc tơ b: f = x + x + 3x + 5x − x − 5x → = b1  x − 3x + x + x − x − x + x − x − x + 3x ≥ b    − x + x + 3x − x + x + x = b  x , x , x ≥ 0, x ≤  a Xác ñ nh phương án t i ưu c a tốn đ i ng u theo véc tơ b b.Tìm phương án t i ưu c a c p tốn đ i ng u b = ( 6, 6,-4) 27 c Cho b = 4, b = 5, xác ñ nh b1 ñ m i phương án c a tốn đ i ng u ñ u t i ưu Bài t p 3.9 M t nhà máy có phương pháp s n xu t khác ñ s n xu t m t hàng 1,2,3 S lư ng hàng lo i i ph i s n xu t t i thi u b i chi c N u áp d ng cách s n xu t th j m t đơn v th i gian chi phí C j thu ñư c a ij ñơn v hàng lo i i s li u tương ng ñư c cho b ng sau: j bi 1 16 20 cj 10 I Yêu c u ñ i v i nhà máy c n s d ng phương pháp s n xu t cho ñ m b o nhu c u v s n ph m ñ ng th i t ng chi phí nh nh t a L p d ng toán h c c a tốn trên? Vi t tốn đ i ng u c a (nói rõ n i dung kinh t bi n tốn đ i ng u) b Dùng ñ nh lý ñ l ch bù ch ng t r ng véc tơ (4,0,0 ) phương án t i ưu c a toán g c Phân tích ý nghĩa kinh t m i quan h gi a hai toán s hai phương án t i ưu c a chúng 28 CHƯƠNG Phương pháp phân ph i S ti t: (Lý thuy t 5; t p, th o lu n: 1) *) M c tiêu Cung c p cho sinh viên nh ng ki n th c b n v toán phân ph i hàng (bài toán v n t i): D ng t ng quát c a tốn; u ki n t n t i nghi m; tính ch t c a b ng v n t i; thu t toán gi i toán v n t i 4.1 Gi i thi u toán L p toán dư i d ng b ng 4.1.1 Thi t l p tốn Có m m phát hàng A , A , , A m v i lư ng hàng phát a i , i = 1, m Có n m thu hàng B1 , B , , B n v i lư ng hàng thu m i, i = 1, m kho th j b j , j = 1, n Gi n i =1 thi t r ng: kho th j=1 ∑ a i = ∑ b j cư c phí v n chuy n m t đơn v hàng t tr m phát A i t i tr m thu B j c ij Hãy l p phương án ñi u hàng cho yêu c u thu phát ñư c ñ m b o t ng chi phí nh nh t D ng tốn h c c a toán: j = 1, n ) s ñơn v hàng c n v n chuy n theo k ho ch t tr m phát G i x ij (i = 1, m, th i t i tr m thu th j (i = 1, m , m j = 1, n ) tốn v n t i có mơ hình tốn h c sau: n f = ∑∑ c ij x ij → i =1 j=1 n ∑ x ij = a i i = 1.m (1) j = 1, n (2) j=1 m ∑ x ij = b j i =1 x ij ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n (3) j = 1, n , m n i =1 Trong a i ≥ 0, i = 1, m b j ≥ 0, j=1 ∑ai = ∑b j Trong th c t m t s tốn có mơ hình tốn h c c a toán v n t i tốn u ph i đ t tr ng, tốn phân cơng lao đ ng, (có th d n ñ n ñ i h i c c ñ i hoá t ng su t) M i véc tơ x = (x ij ) tho mãn (1), (2), (3) ñư c g i m t phương án c a i =1,m, j=1,n toán v n t i N u kí hi u: • x = (x 11 , x 12 , , x 1n , x 21 , x 22 , , x n , , x m1 , x m , , x mn ) ∈ R mn • c = (c11 , c12 , , c1n , c 21 , c 22 , , c n , , c m1 , c m , , c mn ) ∈ R mn • b = (a , a , , a m , b1 , b , , b n ) ∈ R m + n 29 xem ma tr n c t tốn v n t i đư c vi t g n( dư i d ng ma tr n): f = c t x → Ax = b x≥0 Trong 1  0   0 A=  0   0  0 0   1 0    0 1    0    0 0   ( A ma tr n c p mn × (m + n ) hgA = m + n − 1) 4.1.2 ði u ki n t n t i nghi m ð nh lý 4.1 ði u ki n c n ñ ñ tốn v n t i có phương án t i ưu t ng m n i =1 j =1 lư ng thu b ng t ng lư ng phát ( ∑ = ∑ b j ) 4.1.3 B ng v n t i, tính ch t c a b ng 4.1.3.1 B ng v n t i Bài toán v n t i thư ng cho dư i d ng b ng sau: Thu B1 b1 B2 Bj c11 x11 c12 x12 c1j x1j c1n x1n ci1 xi1 ci2 xi2 cin xin cmj xmj b2 bj Bn bn Phát A1 a1 Ai Am am cm1 xm1 cm2 xm2 cij xij cmn xmn Trong b ng, tr hàng c t ñ u tiên (ch nh ng ñi m phát thu hàng), ph n l i g i ph n c a b ng v n t i (ký hi u U ) 30 4.1.3.2 Các tính ch t c a b ng v n t i M i tính ch t nêu dư i dành cho ph n c a b ng v n t i ( ) ð nh nghĩa 4.1 Trong phương án x = x ij i =1, m , j =1, n ta g i G ( x ) = {(i, j ) / xij > 0} t p ô ch n (hay ô s d ng), nh ng ô cịn l i đư c g i nh ng ô lo i c a phương án ð nh nghĩa 4.2 M t dãy ô (i, j) ∈ U mà hai ô (và không hai) liên ti p c a dãy n m m t hàng ho c m t c t ñư c g i m t dây chuy n ð nh nghĩa 4.3 M t dây chuy n khép kín đư c g i m t chu trình (ho c m t vòng) ð nh lý 4.2 Gi s L ⊂ U m t t p h p c a b ng v n t i Ta nói r ng L ch a chu trình n u t c a L ta có th xây d ng đư c nh t m t chu trình Ngư c l i ta nói r ng L khơng ch a chu trình ð nh lý 4.3 N u m i dòng c t c a b ng v n t i ho c khơng có c a L ho c có nh t hai c a L L ch a chu trình ð nh nghĩa 4.4 T p L ⊂ U ô c a b ng v n t i ñư c g i ñ c l p n tính (ph thu c n tính) n u t p véc tơ c t {a ij , (i, j)∈ L} c a ma tr n A l p thành h véc tơ ñ c l p n tính (ph thu c n tính) ð nh lý 4.4 T p L ⊂ U ô c a b ng v n t i đ c l p n tính ch khơng ch a chu trình H qu S t i đa khơng ch a chu trình b ng v n t i (m+n-1) ô ð nh lý 4.5 N u E t p g m m+n-1 ô không ch a chu trình (i, j) ∉ E E ∪ {(i, j)} ch a m t chu trình nh t qua ô (i,j) ð nh lý 4.6 N u F t p g m m+n ô ch a chu trình nh t V (i, j) ∈ V F \ {(i, j )} khơng ch a chu trình ð nh lý 4.7 (v u ki n t n t i phương án c c biên) Phương án X = (x ij ) c a toán v n t i phương án c c biên ch t p ô ch n ng v i khơng ch a chu trình ( ) ð nh lý 4.8 Gi s x = x ij m t phương án c a toán v n t i t p ô ch n c a ( ) ch a chu trình Khi ñó t phương án x = (x ij ) ta có th chuy n sang m t phương án m i x = x ij không t i x (t c f (x ) ≤ f (x ) ) v i t p h p ô ch n khơng ch a chu trình 4.2 V n đ tìm phương án s ban đ u 4.2.1 Phương pháp góc tây b c B t đ u t ô góc bên trái c a b ng v n t i U, t c ô (1,1) ti n hành phân ph i lư ng hàng c n chuy n vào ô này: x 11 = (a , b1 ) Các lư ng phát thu l i ′ ′ là: a ′ = a i , i ≠ a = a − x 11 ; b′j = b j , j ≠ 1; b1 = b1 − x 11 i • ′ N u x 11 = a = (a , b1 ) a = Khi xố dịng th nh t c a b ng v n t i U ta thu ñư c b ng v n t i U ′ g m (m-1) dòng n c t v i lư ng phát thu tương ng a ′ , i = 2, m; b′j , j = 1, n i 31 ′ N u x 11 = b1 = (a , b1 ) b1 = Khi xố c t th nh t c a b ng v n t i U ta thu • đư c b ng v n t i U ′ g m m dòng (n-1) c t v i lư ng phát thu tương ng a ′ , i = 1, m; b′j , j = 2, n i ð i v i b ng v n t i U′ ta l i l p l i cách phân ph i ñã áp d ng ñ i v i b ng U Như v y, sau m i l n phân ph i ta l i xóa đư c m t dòng ho c m t c t c a b ng nên sau không (m+n-1) l n phân ph i th t c s k t thúc 4.2.2 Phương pháp c c ti u cư c phí Q trình phân ph i bi n đ i b ng theo phương pháp c c ti u cư c phí gi ng phương pháp góc tây b c, ch khác đư c ch n đ phân ph i có cư c phí nh nh t tồn b ng ð nh lý 4.9 Các phương án tìm đư c theo phương pháp mô t phương án s ch p nh n ñư c c a toán v n t i 4.3 Gi i toán v n t i b ng phương pháp th v 4.3.1 Cơ s lý lu n Xét toán ñ i ng u c a toán v n t i: m n i =1 j =1 ∑ ui + ∑ b j v j → max ; ui + v j ≤ cij , i = 1, m; j = 1, n ð nh lý 5.11 Phương án X = (xij ) c a toán v n t i phương án t i ưu ch tìm đư c s u i , i = 1, m; v j , j = 1, n tho mãn: u i + v j ≤ cij ,∀(i, j ) u i + v j = cij , ∀(i, j ) ∈ G ( X ) = {(i, j ) : xij > 0} 4.3.2 Các bư c th c hi n thu t toán Bư c Bư c xu t phát • Tìm m t phương án c c biên ban ñ u v i t p ô ch n G(x) g m (m + n – 1) khơng ch a chu trình theo m t phương pháp ñã bi t • Xác ñ nh th v u i (i = 1, m); v j ( j = 1, n ) t h phương trình: u i + v j = c ij , (i, j) ∈ G (x ) • Tính c lư ng: ∆ij = u i + v j − cij ∀(i, j) Bư c Ki m tra tiêu chu n t i ưu • N u ∆ ij ≤ ∀(i, j) phương án xét t i ưu, thu t tốn k t thúc • N u ∃∆ ij > chuy n sang bư c Bư c Xây d ng phương án c c biên m i • Tìm đưa vào: ( i*, j*) ñư c ñưa vào s ∆ * * = max{∆ ij , ∆ ij > 0} ð t i j x i* j* = θ • Tìm chu trình V t p ô ch n sau b sung ô ( i*, j*) ðánh d u ô c a V: B t đ u d u (+) t i ( i*, j*), ti p theo ñánh d u (-), cho hai ô c nh c a V khơng đánh m t d u chia V thành hai l p: 32 V + = {Các ô ñư c ñánh d u + }; V − = {Các đư c đánh d u - } • { } Tìm đưa ra: Ơ (i1 , j1 ) ñư c ñưa x ij − θ; (i, j) ∈ V − = x i j 11 (N u có nhi u ch s ñ t ch n m t ch s đó) Sau tìm đư c phương án c c biên m i x quay tr l i bư c Chú ý Phương án x c a toán v n t i t i ưu nh t n u ∆ ij < 0, ∀(i, j) ∉ G (x ) N u ∃∆ ij = 0, (i j) ∉ G (x ) tốn v n t i có vơ s phương án t i ưu 4.4 Kh c ph c suy bi n tính tốn 4.4.1 Bài tốn v n t i không cân b ng thu phát N u m n ∑ a i > ∑ b j ta ñưa thêm m t tr m thu gi i =1 B n +1 v i lư ng thu tương ng j =1 m n i =1 j =1 b n +1 = ∑ a i − ∑ b j v i cư c phí c in +1 = 0, i = 1, m đ đư c tốn cân b ng thu- phát Gi i toán v n t i trên, ta tìm đư c phương án t i ưu ( ) x * = x *ij i =1, m , j =1, n +1 N u x *,n +1 > u có nghĩa ta khơng v n chuy n i * h t hàng t A i ( x i,n +1 lư ng hàng t n ñ ng m n i =1 N u A i ) j=1 ∑ a i < ∑ b j ta đưa thêm m t tr m phát gi A m+1 v i lư ng phát tương ng n m j=1 i =1 a m+1 = ∑ b j − ∑ a i v i cư c phí c m+1 j = Nh n xét: M i toán v n t i ñ u gi i ñư c 4.4.2 Bài tốn v n t i có c m Trong trư ng h p ta coi ô b c m u hàng có cư c phí v n chuy n r t l n áp d ng thu t gi i bình thư ng *) Tài li u h c t p: [3]; [1];[2]; [5] *) Câu h i, t p, n i dung ôn t p th o lu n Bài t p 4.1 Cho m t phương án c c biên không suy bi n, t i ưu c a toán v n t i v i t p ô s G(x) Th c hi n phép bi n ñ i ma tr n cư c phí: c′rs = c rs + δ ( ∀(r, s )∈ G (x )) ; c′ = cij (∀ (i, j) ∉ G (x )) (δ ≥ 0) Tìm giá tr c a δ đ phương án ñã cho v n t i ưu ñ i ij v i tốn có ma tr n cư c phí m i C′ = (c′ij ) Bài t p 4.2 Cho toán v n t i v i véc tơ lư ng phát a = (50, 70, 50) , véc tơ lư ng thu  12   1  2   b = ( 30, 65, 40, 35 ) ma tr n cư c phí: C =   Gi i toán theo thu t tốn quy khơng cư c phí ch n v i phương án c c biên ban ñ u đư c tìm theo phương pháp góc tây b c 33 Bài t p 4.3 Hãy gi i t p 4.2 theo phương pháp th v Phương án t i ưu tìm đư c c a tốn nh t hay không nh t? Bài t p 4.4 Cho toán v n t i v i véc tơ lư ng phát a = (15,17, 20 ) , véc tơ lư ng thu b = ( 13, 18,10,11) , ma tr n cư c phí:  13 15   m t phương án ñi u hàng sau:  C =  11 10  12 10 13    13 0    x =  0 9  18    a Ch ng minh r ng phương án ñi u hàng cho m t phương án c c biên c a toán b Gi i toán v i phương án xu t phát ñã cho câu a Bài t p 4.5 Gi i tốn v n t i khơng cân b ng thu- phát sau: a) Véc tơ lư ng thu b = (78, 56, 65, 51) , véc tơ lư ng phát: a = (85, 65, 75, 80) ma tr n 8  12   10   11 15 16    10 13 18 11    cư c phí:  8 b) Véc tơ lư ng thu: b = (65, 52, 48, 85, 50 ) , véc tơ lư ng phát a = (87, 63, 40, 72) ma tr n  10    cư c phí:  11 12 14   10    12    Bài t p 4.6 Cho toán v n t i v i véc tơ lư ng thu: b = (70,100, 250, 85) , véc tơ lư ng phát  15 11 a = (230, 300,120 ) ma tr n cư c phí:  12     13 18    a Gi i tốn cho b.Gi i tốn cho v i u ki n tr m phát th nh t c n phát h t hàng c Gi i toán ñã cho v i ñi u ki n lư ng hàng cịn đ ng l i tr m phát th nh t không vư t 30 Bài t p 4.7 Gi i tốn v n t i có ô c m v i véc tơ lư ng thu: b = (95, 80, 65, 35, 95) , véc tơ lư ng phát a = (110, 100, 60, 100 ) ma tr n cư c phí: 6  12  11   10  M   9  12   Phương án t i ưu c a tốn có nh t khơng? N u khơng nh t u ch nh phương án t i ưu tìm đư c ñ ñư c m t phương án t i ưu khác 34 Bài t p 4.8 C n v n chuy n g t ba kho A, B, C t i xí nghi p I, II, III Nhu c u c a xí nghi p sau; Xí nghi p I : G lo i ho c lo i 2: 80 m3; G lo i 3: 10 m3 Xí nghi p II: G lo i 1: 120 m3 lo i hay 3: 20 m3 Xí ngh p III: 30 m3 g lo i ñư c S lư ng g c a kho hi n có sau: Kho A: 90 m3 lo i 1; 60 m3 lo i Kho B: 30 m3 lo i Kho C: 70 m3 lo i 1; 10 m3 lo i Chi phí v n chuy n m3 g t kho t i xí nghi p: XN Kho I A B C II 13 12 12 III 10 Hãy l p k ho ch v n chuy n g tho mãn yêu c u c a xí nghi p ñ v i t ng cư c phí v n chuy n nh nh t Bài t p 4.9 M t phân xư ng s n xu t có cơng nhân đ ng máy T l s n ph m t t c a t ng cơng nhân t ng máy đư c cho b ng sau: Máy A B C D 0,6 0,5 0,7 0,8 0,8 0,9 0,7 0,8 0,8 0,8 0,6 0,7 0,7 0,5 0,9 0,9 CN Hãy l p k ho ch phân cơng đ ng máy cho t ng t l s n ph m t t c a xí nghi p l n nh t.` Bài t p 4.10 M t s s n xu t nông nghi p d ki n tr ng lo i (s n, khoai, l c, ñ u) ba lo i ñ t (th t, cát, cát pha) Qu ñ t lo i, su t t ng lo i t ng lo i ñ t ñư c cho b ng sau: Lo i S n Khoai L c ð u Qu ñ t Các lo i Th t 10 12 22 20 120 Cát 20 11 10 140 50 38 35 29 110 100 150 80 60 Lo i ñ t (ha) Cát pha Qu ñ t tr ng t ng lo i Hãy l p k ho ch phân ph i ñ t tr ng cho t ng su t cao nh 35 TÀI LI U THAM KH O Phí M nh Ban (2004) Quy ho ch n tính Sách ð i h c Sư ph m - NXB ð i h c Sư ph m Phí M nh Ban (2004) Bài t p Quy ho ch n tính Sách ð i h c Sư ph m - NXB ð i h c Sư ph m 2004 Nguy n Ng c Th ng- Nguy n ðình Hố (2004) Quy ho ch n tính NXB ð i h c Qu c gia Hà N i Bùi Th Tâm - Nguy n Vũ Ti n (2000) Các thu t toán t i ưu hố (Quy ho ch n tính) NXB Giao thơng v n t i Hà N i Tr n Vũ Thi u (2004) Quy ho ch n tính NXB ð i h c Qu c gia Hà N i ð ng Văn Uyên (1998) Quy ho ch n tính Sách ð i h c Sư ph m - NXBGD 36 ... tr ng cho t ng su t cao nh 35 TÀI LI U THAM KH O Phí M nh Ban (2004) Quy ho ch n tính Sách ð i h c Sư ph m - NXB ð i h c Sư ph m Phí M nh Ban (2004) Bài t p Quy ho ch n tính Sách ð i h c Sư ph... l p n tính (ph thu c n tính) n u t p véc tơ c t {a ij , (i, j)∈ L} c a ma tr n A l p thành h véc tơ đ c l p n tính (ph thu c n tính) ð nh lý 4.4 T p L ⊂ U ô c a b ng v n t i ñ c l p n tính ch... Trang CHƯƠNG Bài toán quy ho ch n tính 1.1 Các ví d d n t i toán QHTT 1.1.1 Bài toán l p th c đơn 1.1.2 Bài tốn l p k ho ch s n xu t 1.1.3 Bài toán v n t i 1.2 Bài toán QHTT t ng quát 1.3 Bài toán