0 ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ðẠI SỐ SƠ CẤP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN) Năm 2014 1 MỤC LỤC Chương 1. Biểu thức toán học và các phép biến ñổi ñồng nhất………………………… 2 1.1. Biểu thức toán học………………………………………………………………… 2 1.2. Các phép biến ñổi hữu tỉ…………………………………………………………… 3 1.3. Các phép biến ñổi vô tỉ……………………………………………………………… 11 1.4. Các phép biến ñổi mũ và logarit……………………………………………… 15 1.5. Các phép biến ñổi lượng giác……………………………………………………… 16 Chương 2. Hàm số và ñồ thị ……………………………………………………………… 23 2.1. Khái niệm về hàm số và ñồ thị………………………………………………………. 23 2.2. Khảo sát hàm số…………………………………………………………………… 24 2.3. Các phép biến ñổi ñồ thị…………………………………………………………… 26 2.4. Khảo sát sơ cấp hàm số bậc nhất và bậc hai………………………………………… 27 2.5. Khảo sát sơ cấp hàm phân thức……………………………………………………… 28 2.6. Khảo sát sơ cấp hàm số mũ và lôgarit……………………………………………… 29 2.7. Khảo sát sơ cấp hàm số lượng giác………………………………………………… 30 Chương 3. Bất ñẳng thức……………………………………………………………………. 34 3.1. ðại cương về bất ñẳng thức…………………………………………………………. 34 3.2. Tính chất của bất ñẳng thức…………………………………………………………. 34 3.3. Một số bất ñẳng thức thường gặp……………………………………………………. 35 3.4. Chứng minh bất ñẳng thức………………………………………………………… 35 3.5. Các bài toán cực trị hàm số………………………………………………………… 41 Chương 4. Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình………………………… 52 4.1. ðại cương về phương trình, hệ, tuyển phương trình và bất phương trình………… 52 4.2. Phương trình, bất phương trình hữu tỷ một ẩn. Phương pháp khoảng………………. 56 4.3. Phương trình và hệ phương trình hữu tỷ hai ẩn…………………………………… 60 4.4. Bất phương trình hữu tỷ hai ẩn. Phương pháp hình học…………………………… 64 4.5. Phương trình và bất phương trình vô tỷ…………………………………………… 65 4.6. Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarít……………………………………… 66 4.7. Phương trình và bất phương trình lượng giác……………………………………… 67 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………… 83 2 CHƯƠNG 1 Biểu thức toán học và các phép biến ñổi ñồng nhất Số tiết: 14 (Lý thuyết: 08 tiết; bài tập, thảo luận: 06 tiết) A) MỤC TIÊU Chương này gồm năm phần. Phần ñầu tiên của chương trang bị cho người học hiểu thế nào là một biểu thức toán học và biết phân loại các biểu thức toán học. Bốn phần tiếp theo rèn luyện cho người học các kĩ năng biến ñổi một biểu thức. Qua nội dung của chương, trước hết người học thấy ñược sự phong phú ña dạng, phức tạp của các biểu thức toán học và sự cần thiết phải biến ñổi một biểu thức toán học nhằm phân loại nó, ñưa nó về dạng ñơn giản hơn, chỉ ra mối liên hệ của nó với các biểu thức khác. Bên cạnh ñó, người học ñược lần lượt ñược nghiên cứu, thao tác bốn loại biến ñổi phổ biến tương ứng với bốn loại biểu thức trong chương trình ñại số ở phổ thông. B) NỘI DUNG 1.1. Biểu thức toán học 1.1.1. Phép toán ñại số, phép toán siêu việt a) Phép toán ñại số Ta hiểu phép toán ñại số cơ bản bao gồm: phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia và phép khai căn. Như vậy phép nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên, phép nâng lên lũy thừa với số mũ hữu tỉ thực chất cũng có thể coi là những phép toán ñại số. b) Phép toán siêu việt Phép toán siêu việt bao gồm các phép lũy thừa với số mũ vô tỉ, phép toán lấy lôgarit, phép toán lượng giác và lượng giác ngược. 1.1.2. Các loại biểu thức toán học Chúng ta có thể hiểu một cách khái quát, biểu thức toán học là một tập hợp chữ và số ñược gắn với nhau bởi những kí hiệu phép toán. Có nhiều loại biểu thức toán học, chúng ñược phân chia dựa theo ñặc ñiểm phép toán xuất hiện trong biểu thức. +) Biểu thức giải tích: Là cách viết kí hiệu một loạt phép toán cần thực hiện theo một thứ tự nhất ñịnh trên các số biểu thị bởi các chữ (ñối số), hoặc các chữ số ñể tìm giá trị bằng số của biểu thức ñã cho. +) Biểu thức ñại số: Là biểu thức giải tích trong ñó chỉ có các phép toán ñại số. +) Biểu thức ñại số hữu tỉ: Là biểu thức ñại số trong ñó chỉ có các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những biểu thức chứa ñối số. +) Biểu thức ñại số vô tỉ: là biểu thức ñại số có chứa phép khai căn trên những biểu thức chứa ñối số. Ví dụ 1.1.1. Cho , , A B C là các tập hợp. Khi ñó \ ( ) A B C ∪ không là một biểu thức toán học. 3 Ví dụ 1.1.2. 2 1 x y x + − là một biểu thức ñại số hữu tỉ. Ví dụ 1.1.3. 2 3 1 xy x x − + + là một biểu thức ñại số vô tỉ. 1.2. Các phép biến ñổi hữu tỷ 1.2.1. ða thức trên trường số Xét vành ña thức [ ], A x ở ñây A là trường số thực hoặc trường số phức. a) Nghiệm của ña thức Theo Bezout, ta ñã biết rằng dư của phép chia ( ) f x cho ( ) x c − là ( ) . f c Từ ñây suy ra nếu ña thức ( ) f x nhận c làm nghiệm khi và chỉ khi ( ) f x chia hết cho ( ) . x c − Giả sử ña thức 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − − = + + + + ⋯ có ñầy ñủ n nghiệm là 1 2 , , , . n x x x … Khi ñó ta có công thức Viéte sau ñây: 1 1 2 2 1 2 2 3 1 0 1 2 . ( 1) n n n n n n n n n n a x x x a a x x x x x x a a x x x a − − −  + + + = −    + + + =      = −   ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Ngoài ra ñối với vấn ñề về sự tồn tại nghiệm của các ña thức một biến trên trường số thực hoặc phức, chúng ta còn có các kết quả sau. ðịnh lí 1.2.1. Mọi ña thức một biến bậc lẻ trên trường số thực ñều có ít nhất một nghiệm thực. ðịnh lí 1.2.2. Mọi ña thức một biến bậc dương trên trường số phức ñều có ít nhất một nghiệm phức. *) Câu hỏi: Khẳng ñịnh của ðịnh lí 1.2.2 có còn ñúng không khi mở rộng sang ña thức nhiều biến trên trường số phức? b) Ứớc chung lớn nhất Cho hai ña thức ( ), ( ) [ ]. f x g x A x ∈ ða thức ( ) [ ] d x A x ∈ ñược gọi là một ước chung của ( ), ( ) f x g x nếu ( ) ( ) f x d x ⋮ và ( ) ( ). g x d x ⋮ Nế u ướ c chung ( ) d x chia h ế t cho m ọ i ướ c chung khác thì nó ñượ c g ọ i là ướ c chung l ớ n nh ấ t c ủ a ( ) f x và ( ) g x . Ta ñ ã bi ế t r ằ ng vành ñ a th ứ c trên m ộ t tr ườ ng là m ộ t vành chính, do ñ ó theo lý thuy ế t chia h ế t trong vành chính ta có k ế t qu ả sau. ðịnh lí 1.2.3. Ước chung lớn nhất của hai ña thức một biến trên một trường luôn tồn tại. ðặc biệt, ước chung lớn nhất của hai ña thức một biến trên trường số thực và trường số phức luôn tồn tại. Vì vành ña thức một biến trên một trường cũng là một vành Euclid nên ñể tìm ước chung lớn nhất của hai ña thức, người ta thường áp dụng thuật toán Euclid. c) ða thức bất khả quy 4 Cho ña thức ( ) [ ] p x A x ∈ có bậc dương. Ta nói ( ) p x là bất khả quy trên A nếu nó không thể phân tích thành tích của hai ña thức bậc dương. Nếu trái lại, ta nói ( ) p x là khả quy hoặc phân tích ñược trên . A Mệnh ñề 1.2.4. (i) Mọi ña thức bậc nhất ñều bất khả quy. (ii) ða thức bất khả quy ( ) p x chỉ có các ước là ña thức bậc 0 và dạng { } ( ), \ 0 . ap x a A∈ (iii) ða thức ( ) [ ] p x A x ∈ là bất khả quy khi và chỉ khi với mọi ña thức ( ) [ ] f x A x ∈ thì hoặc ( ) ( ), f x p x ⋮ hoặ c ( ( ), ( )) 1. f x p x = (iv) N ế u ( ) ( ) ( ) f x g x h x ⋮ mà ( ( ), ( )) 1 f x h x = thì ( ) ( ). g x h x ⋮ (v) N ế u ( ) p x b ấ t kh ả quy và ( ) ( ) ( ) f x g x p x ⋮ thì ( ) ( ) f x p x ⋮ ho ặ c ( ) ( ). g x p x ⋮ ðịnh lí 1.2.5. M ỗ i ñ a th ứ c trên m ộ t tr ườ ng ñề u phân tích ñượ c thành m ộ t tích các ñ a th ứ c b ấ t kh ả quy, h ơ n n ữ a s ự phân tích là duy nh ấ t n ế u không k ể ñế n th ứ t ự các nhân t ử và các ph ầ n t ử kh ả ngh ị ch. ðịnh lí sau cho ta thấy rõ lớp các ña thức bất khả quy trên các trường số thực và phức. ðịnh lí 1.2.6. (i) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số phức là các ña thức bậc nhất. (ii) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số thực là các ña thức bậc nhất và các ña thức bậc hai với biệt thức âm. Ví dụ 1.2.7. Chứng minh rằng ña thức 6 5 2 ( ) 5 4 7 f x x x x = + − − có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt (hướng dẫn: (0) 7 0, lim ( ) . x f f x →±∞ = − < = +∞ ðến ñây sử dụng kiến thức về hàm liên tục). Hãy khái quát hóa bài toán. Ví dụ 1.2.8. Phân tích ña thức 2 3 3 (1 ) 8 x x − + thành nhân tử bất khả quy trên trường số thực. 1.2.2. ða thức với hệ số hữu tỉ Việc nghiên cứu ña thức với hệ số hữu tỉ là rất cần thiết, về mặt ñại số trước hết nó là cơ sở ñể chúng ta tiếp cận với một lớp số quan trọng là số ñại số, tiếp ñó nó còn liên quan ñến bài toán giải phương trình bằng căn thức. Về mặt hình học, nó là bước ñệm quan trọng giúp người học tiếp cận với vấn ñề dựng một ñại lượng bằng thước kẻ và compa. Ta ñã biết rằng mỗi ña thức trên một trường ñều phân tích ñược thành tích các ña thức bất khả quy. Do ñó ña thức bất khả quy ñóng vai trò ñặc biệt quan trọng khi nghiên cứu về ña thức giống như vai trò của tập số nguyên tố trong số học. Người ta ñã cố gắng ñưa ra nhiều dấu hiệu ñể một ña thức là bất khả quy, dưới ñây là một trong những dấu hiệu hay ñược áp dụng. ðịnh lí 1.2.9 (Eisenstein). Cho 1 1 1 0 ( ) [ ] ( *, 0). n n n n n f x a x a x a x a x n a − − = + + + + ∈ ∈ ≠ ⋯ ℤ ℕ Nếu tồn tại số nguyên p sao cho p không là ước của n a nhưng là ước của tất cả các số hạng còn lại và 2 p không là ước của số hạng tự do 0 a thì ( ) f x là bất khả quy. ðịnh lí 1.2.10 (Osada). Cho 1 1 1 ( ) [ ] n n n f x x a x a x p x − − = + + + ± ∈ ⋯ ℤ với p là một số nguyên tố. Khi ñó nếu 1 1 1 n p a a − > + + + ⋯ thì ( ) f x là bất khả quy. 5 Ví dụ 1.2.11. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Khi ñó ña thức 1 2 ( ) [ ] p p f x x x x p x − − = + + + ± ∈ ⋯ ℤ là bất khả quy. ðịnh lí 1.2.12 (Polya). Cho ( ) [ ], deg ( ) 0. f x x f x n ∈ = > ℤ ðặt 1 . 2 n m +   =     Gi ả s ử t ồ n t ạ i n s ố nguyên phân bi ệ t 1 , , n d d … không là nghi ệ m c ủ a ( ) f x sao cho ! ( ) ( 1, , ). 2 i m m f d i n < = … Khi ñ ó ( ) f x là b ấ t kh ả quy. Ví dụ 1.2.13. ða thức ( ) ( 1)( 2) ( 100) 1 f x x x x = − − − + ⋯ là bất khả quy. ðể phân tích một ña thức thành các nhân tử bất khả quy, trong nhiều trường hợp người ta thường xem xét nghiệm của ña thức ñó. Bằng cách quy ñồng các phân số, người ta luôn ñưa ñược bài toán tìm nghiệm của một ña thức với hệ số hữu tỉ về bài toán tìm nghiệm của một ña thức với hệ số nguyên. ðịnh lí 1.2.14. Cho ña thức 1 1 1 0 0 ( ) [ ] ( *, 0). n n n n n f x a x a x a x a x n a a − − = + + + + ∈ ∈ ≠ ⋯ ℤ ℕ Nếu phân số tối giản p q là nghiệm của ( ) f x thì p là ước của 0 , a q là ước của . n a Hệ quả 1.2.15. (i) Mọi nghiệm nguyên nếu có của ña thức với hệ số nguyên phải là ước của số hạng tự do. (ii) Mọi nghiệm hữu tỉ của ña thức với hệ số nguyên có hệ số cao nhất bằng 1 ñều là nghiệm nguyên. ðịnh lí 1.2.16. Cho ña thức 1 1 1 0 0 ( ) [ ] ( *, 0). n n n n n f x a x a x a x a x n a a − − = + + + + ∈ ∈ ≠ ⋯ ℤ ℕ Nếu { } \ 1 α ∈ ± ℤ là nghiệm của ( ) f x thì (1) (1) , . 1 1 f f α α ∈ − + ℤ Ví dụ 1.2.17. Các ña thức sau là bất khả quy trên : ℚ (i) 4 3 2 8 12 6 2. x x x x − + − + (ii) 5 3 12 12 12. x x x − + − (iii) 4 3 2 2 1 ( : 1) x x x HD y x − + + = − 1.2.3. Những phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử Có nhiều phương pháp ñể thực hiện việc phân tích một ña thức thành các nhân tử bất khả quy. Tuy nhiên cũng cần lưu ý rằng việc phân chia các phương pháp chỉ mang tính tương ñối và mỗi phương pháp chỉ áp dụng cho những dạng ña thức phù hợp. Do ñó trong các bài toán cụ thể cần biết vận dụng phối hợp tất cả các phương pháp. a) Phương pháp dùng nghiệm phức b) Phương pháp chia liên tiếp c) Phương pháp ñặt nhân tử chung d) Phương pháp thêm bớt, nhóm các số hạng e) Phương pháp ñặt ẩn phụ f) Phương pháp dùng hằng ñẳng thức 6 g) Phương pháp ñề xuất bình phương ñủ f) Phương pháp dùng ña thức ñối xứng 1.2.4. Các phép biến ñổi ña thức ðịnh lí 1.2.18 (Lagrange). Cho ( ) f x là ña thức bậc n trên trường A và 0 1 , , , n x x x A ∈ … là 1 n + phần tử phân biệt. ðặt { } 0 ( ) ( ), \ 0 . n i i g x a x x a A = = − ∈ ∏ Khi ñ ó ta có: (i) 0 , 0 ( ) ( ) . n n k i i k i k i k x x f x f x x x = ≠ = − = − ∑ ∏ (ii) 0 ( ) ( ) ( ) . '( ) n i i i i f x g x f x g x x x = = − ∑ ðịnh lí 1.2.19 (Taylor). Cho ( ) f x là ñ a th ứ c b ậ c n trên tr ườ ng A và . a A ∈ Khi ñ ó ta có: ( ) 2 '( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1! 2! ! n n f x f x f x f x f a x a x a x a n = + − + − + + −⋯ ðịnh lí 1.2.20 (Newton). Cho ( ) f x là ñ a th ứ c b ậ c 0 n > trên tr ườ ng A và 1 , , . n A α α ∈ … Khi ñ ó t ồ n t ạ i duy nh ấ t 0 1 2 , , , , n A λ λ λ λ ∈ … ñể : 0 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ). n n f x x x x x x λ λ α λ α α λ α α = + − + − − + + − − ⋯ ⋯ Chú ý 1.2.21. Các kh ẳng ñịnh trong ba ñịnh lí trên vẫn ñúng khi thay trường số thực hoặc trường số phức bởi một trường bất kì có ñặc số 0. 1.2.5. ða thức nhiều biến - ða thức ñối xứng a) ða thức nhiều biến ðịnh nghĩa 1.2.22. Giả sử A là một vành giao hoán, có ñơn vị. Khi 1 n = , ta ñịnh nghĩa vành ña thức 1 [ ] A x của biến 1 x trên . A ðặt 1 1 1 [ ], A A x A = là vành giao hoán, có ñơn vị. Vì thế lại ñịnh nghĩa ñược vành [ ] 2 1 2 A A x = của biến 2 x trên A 1 ta kí hiệu [ ] 2 1 2 , A A x x = và gọi là vành ña thức của hai ẩn x 1 , x 2 trên A, cứ tiếp tục như vậy, giả sử ta ñã ñịnh nghĩa ñược vành ña thức [ ] 1 2 1 , , , n A x x x − … của n 1 − ẩn 1 2 1 , , , n x x x − … trên A. ðặt [ ] 1 1 1 , , . n n A A x x − − = … Khi ñó A n-1 là vành giao hoán, có ñơn vị. Do ñó ta ñịnh nghĩa vành [ ] 1 n n n A A x − = kí hiệu là [ ] 1 2 , , ., , n A x x x… gọi là vành ña thức của n biến 1 2 , , , n x x x … trên A. Một phần tử của A n ñược gọi là một ña thức của n biến 1 2 , , , n x x x … lấy hệ tử trong vành A, kí hiệu là 1 2 ( , , , ) n f x x x … . ðịnh lí 1.2.23. ða thức 1 2 ( , , ) 0 n f x x x = nếu và chỉ nếu tất cả các hệ tử của nó ñều bằng 0. Hệ quả 1.2.24. Cho hai ña thức của [ ] 1 2 , , , : n A x x x… 7 1 2 31 32 3 1 2 11 12 21 22 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 ( , , ) n n n m m mn n n n n m n f x x c x x x c x x x c x x x c x x x α α α α α α α αα α α α = + + + + … ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 2 31 32 3 1 2 11 12 21 22 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 ( , , ) . n n n m m mn n n n n m n g x x d x x x d x x x d x x x d x x x α α α α α α α αα α α α = + + + + … ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Khi ñó 1 1 ( , , ) ( , , ) n n f x x g x x = … … nếu và chỉ nếu ( 1, , ). i i c d i m = = … ðịnh nghĩa 1.2.25. Giả sử [ ] 1 2 1 ( , , , ) , , n n f x x x A x x ∈ … … là một ña thức khác ña thức 0. 1 2 31 32 3 1 2 11 12 21 22 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 ( , , ) n n n m m mn n n n n m n f x x c x x x c x x x c x x x c x x x α α α α α α α αα α α α = + + + + … ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Với các 1 2 1 2 1 2 , , , , , ( , , , ) ( , , , ): , 1, . i i i in i i in j j jn c A i j j m α α α α α α α α α ∈ ∈ ≠ ≠ =… ℕ … … + Bậc của ña thức 1 ( , , ) n f x x … ñối với biến x i là số mũ cao nhất mà x i có ñược trong các hạng tử của ña thức. + Bậc của hạng tử 1 2 1 2 i i in i n c x x x α α α ⋯ là tổng các số mũ 1 2 i i in α α α + + + ⋯ của các biến. + Bậc của ña thức (ñối với tất cả các biến) là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của ña thức ñó. Kí hiệu deg(f). Cho [ ] 1 2 , , ., n A x x x … là vành ña thức n biến x 1 , x 2 , , x n trên A. Cho ña thức ( ) ( ) ( ) ( ) , , i i i i f a X a A = ∈ ∑ trong ñ ó 1 2 ( ) 1 2 . n i i i i n X x x x = ⋯ M ỗ i ph ầ n t ử có d ạ ng 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 n i i i i i i n a X a x x x = ⋯ ñượ c g ọ i là m ộ t ñơ n th ứ c b ậ c 1 2 n i i i + + + ⋯ c ủ a [ ] 1 2 , , ., . n A x x x … Chú ý 1.2.26. (i) N ế u trong ñ a th ứ c 1 ( , , ) n f x x … ẩ n x i không có m ặ t thì b ậ c c ủ a 1 ( , , ) n f x x … ñố i v ớ i nó là 0. (ii) N ế u các h ạ ng t ử c ủ a ñ a th ứ c có cùng b ậ c k thì 1 ( , , ) n f x x … g ọ i là m ộ t ñ a th ứ c ñẳ ng c ấ p b ậ c k (m ộ t d ạ ng b ậ c k). ðặ c bi ệ t m ộ t d ạ ng b ậ c nh ấ t g ọ i là d ạ ng tuy ế n tính, m ộ t d ạ ng b ậ c hai g ọ i là d ạ ng toàn ph ươ ng, m ộ t d ạ ng b ậ c ba g ọ i là d ạ ng l ậ p ph ươ ng. (iii) B ậ c c ủ a ñ a th ứ c 0 quy ướ c là −∞ . ðịnh lí 1.2.27. Mọi ña thức 1 2 [ , , , ] n f A x x x ∈ có thể biểu diễn một cách duy nhất thành tổng của các ñơn thức không ñồng dạng. ðịnh lí 1.2.28. Giả sử 1 ( , , ) n f x x … là một ña thức với hạng tử cao nhất là 1 2 1 2 n n cx x x α α α ⋯ và 1 ( , , ) n g x x … là một ña thức với hạng tử cao nhất là 1 2 1 2 n n dx x x β β β ⋯ và giả sử 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n α α α β β β > … … . Khi ñó hạng tử cao nhất của ña thức f g + là 1 2 1 2 n n cx x x α α α ⋯ . ðịnh lí 1.2.29. Giả sử 1 ( , , ) n f x x … , 1 ( , , ) n g x x … là hai ña thức khác 0 của vành 1 2 [ , , , ] n A x x x có các hạng tử cao nhất theo thứ tự là 1 11 12 1 1 2 n n c x x x α α α ⋯ , 1 11 12 1 1 2 n n d x x x β β β ⋯ . Nếu 1 1 0 c d ≠ thì hạng tử cao nhất của tích fg là 1 1 11 11 12 12 1 1 1 2 n n n c d x x x α β α β α β ++ + ⋯ . Hệ quả 1.2.30. Nếu A là một miền nguyên thì [ ] 1 2 , , , n A x x x … cũng là một miền nguyên. ðịnh lí 1.2.31. Nếu A là một miền nguyên và [ ] 1 1 1 ( , , ), ( , , ) , , n n n f x x g x x A x x ∈ … … … thì deg( ) deg( ) deg( ). fg f g = + 8 b) ða thức ñối xứng Khái niệm ña thức ñối xứng không chỉ ñóng vai trò quan trọng trong ñại số hiện ñại mà còn mang nhiều ứng dụng trong giải các bài toán ñại số sơ cấp. ðịnh nghĩa 1.2.32. Giả sử A là vành giao hoán có ñơn vị, [ ] 1 1 ( , , ) , , n n f x x A x x ∈ … … . Ta nói 1 ( , , ) n f x x … là một ña thức ñối xứng của n biến nếu với mọi phép thế 1 2 3 (1) (2) (3) ( ) n n τ τ τ τ τ   =     ⋯ ⋯ ta luôn có 1 (1) ( ) ( , , ) ( , , ) n n f x x f x x τ τ = … … , ở ñây (1) ( ) ( , , ) n f x x τ τ … ñược suy ra từ 1 ( , , ) n f x x … bằng cách thay thế x 1 bởi (1) x τ , x 2 bởi (2) x τ , …, x n bởi ( ) n x τ ðịnh lí 1.2.33. Bộ phận M các ña thức ñối xứng của vành [ ] 1 , , n A x x … là một vành con của vành [ ] 1 , , n A x x … . Các ña thức ñối xứng cơ bản 1 1 2 1 n n i i x x x x σ = = + + + = ∑ ⋯ 2 1 2 1 3 1 n n i j i j x x x x x x x x σ − < = + + + = ∑ ⋯ 3 1 2 3 1 2 4 2 1 n n n i j k i j k x x x x x x x x x x x x σ − − < < = + + + = ∑ ⋯ … …… 1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 2 2 2 1 n n n n n n n n i i i i i i x x x x x x x x x x x x x x σ − − − − − − < < < = + + + = ∑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 2 1 n n n x x x x σ − = ⋯ ðịnh lí 1.2.34 (ðịnh lý cơ bản về ña thức ñối xứng). M ọ i ñ a th ứ c ñố i x ứ ng khác ñ a th ứ c 0, [ ] 1 1 ( , , ) , , n n f x x A x x ∈ … … ñề u bi ể u di ễ n ñượ c duy nh ấ t d ướ i d ạ ng m ộ t ñ a th ứ c 1 ( , , ) n h σ σ … c ủ a các các ñ a th ứ c ñố i x ứ ng c ơ b ả n v ớ i các h ệ t ử trong A. Ứng dụng lý thuyết ña thức ñối xứng vào ñại số sơ cấp ða thức ñối xứng ñóng vai trò quan trọng trong ñại số sơ cấp, cụ thể là có thể ứng dụng nó ñể giải một số bài toán thuộc các chủ ñiểm sau: +) Phân tích ña thức thành nhân tử +) Chứng minh hằng ñẳng thức +) Chứng minh bất ñẳng thức +) Giải các bài toán về phương trình bậc hai +) Tìm nghiệm nguyên của các phương trình ñối xứng +) Giải các hệ phương trình +) Trục căn thức ở mẫu 9 1.2.6. Các phép biến ñổi phân thức a) Nhắc lại về xây dựng trường phân thức hữu tỉ Cho K là một trường, ta ñã biết rằng vành ña thức 1 [ , , ] n A x x = … K là một miền nguyên. ðặt { } * \ 0 . A A= Xét quan hệ tương ñương trên * A A × như sau: 1 1 2 2 ( , ),( , ) * f g f g A A ∈ × ñược gọi là tương ñương nếu 1 2 2 1 f g f g = . Kí hiệu lớp tương ñương ñại diện bởi ( , ) * f g A A ∈ × là f g hay 1 1 ( , , ) . ( , , ) n n f x x g x x … … Khi ñ ó, t ậ p th ươ ng g ồ m t ấ t c ả các l ớ p t ươ ng ñươ ng theo quan h ệ t ươ ng ñươ ng ñ ã cho là m ộ t tr ườ ng v ớ i hai phép toán: 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , . . f f f g f g f f f f g g g g g g g g + + = = Ta g ọ i tr ườ ng này là tr ường phân thức hay trường phân thức hữu tỉ của n biến 1 , , n x x … trên K kí hiệu 1 ( , , ). n x x … K Như vậy ta có 1 1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) | ( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ) 0 . ( , , ) n n n n n n n f x x x x f x x g x x x x g x x g x x   … … = … … ∈ … … ≠   …   K  K Mỗi phần tử 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n f x x x x g x x … ∈ … … K ñượ c g ọ i là m ộ t phân th ứ c trên tr ườ ng ; K 1 ( , , ) n f x x … ñượ c g ọ i là t ử th ứ c và 1 ( , , ) n g x x … ñượ c g ọ i là m ẫ u th ứ c c ủ a phân th ứ c ñ ã cho. b) Phân thức tối giản- Rút gọn phân thức ðịnh nghĩa 1.2.35. Phân thức 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n f x x x x g x x … ∈ … … K ñượ c g ọ i là tối giản nếu ( ) 1 1 ( , , ), ( , , ) 1. n n UCLN f x x g x x … … = ðịnh nghĩa 1.2.36. Phân thức một biến ( ) ( ) ( ) f x x g x ∈ K ñược gọi là thực sự nếu deg ( ) deg ( ). f x g x < ðịnh nghĩa 1.2.37. Rút gọn một phân thức là việc ñưa một phân thức ñã cho về dạng tối giản. Ví dụ 1.2.38. Cho phân thức 2 2 3 2 . 5 4 x x x x − + − + Phân thức này chưa ñược rút gọn vì nó chưa ñược biểu diễn ở dạng tối giản. Ta có 2 2 3 2 ( 1)( 2), 5 4 ( 1)( 4) x x x x x x x x − + = − − − + = − − và ước chung lớn nhất của hai ña thức này là 1. x − Giản ước cả tử và mẫu cho 1 x − ta ñược 2 2 3 2 2 5 4 4 x x x x x x − + − = − + − là phân thức ñã ñược rút gọn về dạng tối giản. Chú ý 1.2.39. Nhờ thực hiện phép chia ña thức, chúng ta luôn ñưa ñược một phân thức về dạng phân thức thực sự. Thật vậy, giả sử ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ). f x g x q x r x r x r x g x = + = ∨ < Khi ñó ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) f x r x q x g x g x = + [...]... a bài toán kh o sát hàm s t i b c h c ph thông Chú ý 2.1.7 ð th c a hàm s ñã cho và hàm s ngư c c a nó ñ i x ng v i nhau qua ñư ng phân giác th nh t (ñư ng th ng y = x ) 2.2 Kh o sát m t hàm s b ng phương pháp sơ c p Vi c kh o sát hàm s b ng phương pháp sơ c p căn c ch y u vào các phép toán s h c và ñ c thù c a m i hàm s , hoàn toàn không có m t phương pháp chung ñ áp d ng cho t t c các hàm như dùng. .. II, III, IV ð i v i nhi u bài toán ngư i ta thư ng ng d ng vi c phân tích m t phân th c dư i d ng t ng c a nh ng phân th c ñơn gi n ñ gi i, ch ng h n như: bài toán tính t ng, bài toán ch ng minh b t ñ ng th c, tìm ñ o hàm c p cao, tìm nguyên hàm c a hàm phân th c ði u này cho th y các phân th c ñơn gi n ñóng vai trò quan tr ng khi nghiên c u v phân th c F ( x) ð nh lí 1.2.40 Cho m t phân th c h u t... cách làm sơ c p này ta có th thu ñư c nh ng cách gi i ñ c ñáo hơn, g n hơn góp ph n làm tăng thêm kĩ năng v n d ng các ki n th c sơ c p trong gi i toán c a ngư i h c 2.2.1 T p xác ñ nh Trong ph n này, ta hi u r ng hàm s ñư c cho dư i d ng bi u th c y = f ( x) , không ph i ñư c vi t dư i d ng ánh x T p xác ñ nh c a hàm s ñ i v i bài toán kh o sát ñư c hi u là t p t t c các giá tr c a ñ i s x sao cho bi... 10 x 8) Cho hàm s : y = 2 x 2 − 6 x + 4; a) Kh o sát và v ñ th c a hàm s theo phương pháp sơ c p b) Dùng các phép bi n ñ i ñ th ñ suy ra ñ th c a hàm ñã cho t parabol y = x 2 9) Kh o sát và v ñ th c a các hàm s sau trên cùng m t h t a ñ b ng phương pháp sơ c p 3 3 a) y = 4 x 3 = x 4 ; b) y = x 3 = x 2 1 10) Cho hàm s y = f ( x) nh n các giá tr th c bi t f ( x) + 3 f   = x 2 ∀x ≠ 0 Tính f (2012)... có ñ th (Cm ) Tìm các ñi m trên m t ph ng sao x−m cho (Cm ) không ñi qua v i m i m 22) Cho hàm s 23) Cho hàm s y= y = (2m + 1) x3 − mx − m + 1 có ñ th (Cm ) Tìm ñi m c ñ nh c a h ñư ng cong (Cm ) x2 − x + m có ñ th (Cm ) Ch ng minh r ng khi m thay ñ i khác hai giá tr 2x + m mà ta ph i xác ñ nh thì (Cm ) luôn qua hai ñi m c ñ nh 24) Cho hàm s y= 25) Cho parabol: y = x 2 + (2m + 1) x + m 2 − 1 v i m... sao cho x1 + 2 x2 = 1 c) Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trên [2; +∞) 33 CHƯƠNG 3 B t ñ ng th c S ti t: 19 (Lý thuy t: 13 ti t; bài t p, th o lu n: 06 ti t) A) M C TIÊU Chương này c ng c và h th ng l i cho ngư i h c các ki n th c v b t ñ ng th c, bao g m: các phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c, ng d ng c a b t ñ ng th c H th ng các ví d và bài t p giúp ngư i h c rèn luy n các kĩ năng gi i và khai thác các bài. .. 33) Cho là a, b, c ba c nh c a m t tam giác vuông, trong ñó c là c nh huy n Ch ng minh r ng log b + c a + log c −b a = 2 log b + c a log c −b a 34) Ch ng minh r ng t các ñ ng th c x( y + z − x) y ( x + z − y ) z ( x + y − z ) = = , ta suy ra lg x lg y lg z x y yx = z y yz = xz z x 2 2 2 35) Cho a + b = c, a > 0, b > 0 Ch ng minh r ng a 3 + b 3 > c 3 36) Cho a, b, c là ba s dương phân bi t khác 1 Cho. .. α 2n −1 c) Tính lim S n n →∞ x x x 49) Cho Pn = cos cos 2 ⋯ cos n 2 2 2 a) Rút g n Pn b) Tính lim Pn n →∞ 50) Cho sin(α + 2 β ) = 2sinα Ch ng minh r ng tg(α + β ) = 3tgβ v i gi thi t tg(α + β ), tgβ có nghĩa a b c 51) Cho 0 < a, b, c < π và tg , tg , tg là ba nghi m c a phương trình x3 + px 2 + x + q = 0 2 2 2 Ch ng minh tga + tgb + tgc = tgatgbtgc 52) Cho α = 2 β , α + β + γ = π Ch ng minh r... pháp sơ c p và v ñ th c a hàm s ; các phép bi n ñ i ñ th Các d ng bài t p giúp ngư i h c rèn luy n thành th o các kĩ năng gi i và khai thác các bài toán v hàm s và ñ th trong chương trình toán ph thông Qua n i dung c a chương, ngư i h c th y rõ hơn v m i quan h hàm gi a các ñ i lư ng, ưu ñi m n i b t cùng m i quan h m t thi t gi a phương pháp ñ i s và phương pháp ñ th trong quá trình gi i các bài toán... (Cantor): Cho m t dãy ño n th t d n: [x1; y1 ] ⊃ [x2 ; y2 ] ⊃ ⋯ ⊃ [xn ; yn ] ⊃ ⋯ và ∞ ∩[xn ; yn ] g m duy nh t m t ñi m: lim xn − yn = 0 Khi ñó n →∞ n =1 ∞ ∩[x ; y ] = {lim x } = {lim y } n n n =1 n →∞ n n →∞ n ð nh lí 1.3.1 Cho s nguyên dương n và s th c không âm A Khi ñó t n t i s th c không âm x duy nh t sao cho x n = A Ch ng minh: Xét dãy 0,1n , 2n ,… , k n ,… Khi ñó t n t i m t s t nhiên p sao cho . ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ðẠI SỐ SƠ CẤP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN) Năm 2014 1 MỤC LỤC Chương 1. Biểu thức toán học và. thị…………………………………………………………… 26 2.4. Khảo sát sơ cấp hàm số bậc nhất và bậc hai………………………………………… 27 2.5. Khảo sát sơ cấp hàm phân thức……………………………………………………… 28 2.6. Khảo sát sơ cấp hàm số mũ và lôgarit………………………………………………. lý thuyết ña thức ñối xứng vào ñại số sơ cấp ða thức ñối xứng ñóng vai trò quan trọng trong ñại số sơ cấp, cụ thể là có thể ứng dụng nó ñể giải một số bài toán thuộc các chủ ñiểm sau: +)