Khóa luận tốt nghiệp LỜI NÓI ĐẦU Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượt trội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục nào đó mà không ai vượt qua được đó là cái "nhất". Trong toán học cũng vậy, trong mỗi lĩnh vực cũng có những đại lượng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" mà người ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm. Tôi nhận thấy việc nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp giải toán cực trị , giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở cấp THCS, THPT là rất cần thiết đối với mỗi học sinh. Vì vậy, tôi mạnh dạn nghiên cứu khóa luận “ Một số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ” giúp học sinh hiểu rõ hơn về dạng toán này. Khóa luận này nghiên cứu, tìm tòi một số phương pháp tìm cực trị nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về các bài toán liên quan tới bất đẳng thức và toán cực trị. Trong quá trình trình bày khóa luận không tránh khỏi sự thiếu sót do ý kiến chủ quan của cá nhân, vì vậy rất mong được sự đóng góp chân thành của các quý thầy cô giáo và các đọc giả để khóa luận này được phát huy hiệu quả. Cuối cùng tôi xin cám ơn toàn bộ giảng viên trường Đại học Quảng Bình đã tạo mọi điều kiện cho tôi học tập và sinh hoạt trong bốn năm qua. Cám ơn ban lãnh đạo trường Đại học Quảng Bình đã tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận này. Đặc biệt, tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Quốc Tuấn đã nhiêt tình giúp đỡ, đóng góp và hướng dẫn cho tôi trong suốt thời gian làm khóa luận này. Đồng Hới: Tháng 5 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Vân GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 1 Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thông thường kiến thức về “cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất’’là một trong những mảng kiến thức khó, ứng dụng của nó lại khá rộng rãi. Không những có mặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học. Nó không chỉ dừng lại ở chương trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chương trình THPT. Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS, THPT nhiều mảng kiến thức trong SGK đề cập đến rất ít tới bài toán này nhưng trong quá trình kiểm tra lại gặp rất nhiều, ngay cả những học sinh nắm rất vững kiến thức SGK nhưng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng. Các bài toán cực trị được liệt kê vào một trong những dạng toán khó. Để giải được một bài toán cực trị bên cạnh phải nắm vững được các kiến thức cơ bản của chương trình phổ thông còn phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đó vào giải bài tập. Điều đặc biệt là thông qua các bài toán cực trị người học có thể vận dụng linh hoạt vào giải các loại toán khác như giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học. Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu và qua những đóng góp tích cực của thầy giáo và bạn bè. Tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài “ Một số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ”. 2. Mục đích nghiên cứu - Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải toán cực trị nói riêng được tháo gỡ phần nào những khó khăn. - Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao khả năng tư duy và học tập bộ môn một cách chủ động. - Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng như kích thích sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu. GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 2 Khóa luận tốt nghiệp - Giúp bản thân người học nắm được các bước cơ bản để tìm cực trị. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Đề tài đưa ra một số dạng toán cơ bản về bài toán"cực trị’’phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh và chỉ ra được những sai lầm thường mắc phải của học sinh. - Thông qua đề tài trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các bài toán cực trị cơ bản để học sinh vận dụng làm bài tập. - Chọn lọc có hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với từng nội dung phương pháp. - Đề xuất một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải. 4. Phạm vi đề tài Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán tìm cực trị đối với các học sinh chuyên và không chuyên toán. 5. Đối tượng nghiên cứu Đề tài áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, đặc biệt trang bị các dạng toán cực trị cơ bản cho học sinh lớp 12 ôn thi đại học. 6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp khách quan: Qua kết quả học tập của bản thân trong quá trình học tập ở THCS, THPT và trong quá trình học Đại học. - Phương pháp đọc và nghiên cứu từ các nguồn tài liệu khác nhau. Trích dẩn từ nguồn internet và các sách tham khảo. - Phương pháp tham khảo, trao đổi ý kiến với thầy giáo hướng dẩn và bạn bè. 7. Nội dung đề tài Đề tài này được chia thành ba chương. Chương 1 : Cơ sở lý thuyết GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 3 Khóa luận tốt nghiệp Toàn bộ chương 1 trình bày các vấn đề liên quan tới các bài toán về cực trị: Định nghĩa, các định lý, các tính chất của bất đẳng thức, của hàm số, điều kiện để có cực trị, các bước tiến hành để giải một bài toán cực trị… Chương 2 : Một số phương pháp tìm cực trị Trong khóa luận này tôi trình bày một số phương pháp tìm cực trị điển hình. I : Phương pháp dùng bất đẳng thức II : Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số III : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số IV : Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác, tọa độ và véc tơ Chương 3 : Một số sai lầm trong giải toán cực trị Trong chương này tôi trình bày một số sai lầm của học sinh trong quá trình giải bài toán cực trị. GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 4 Khóa luận tốt nghiệp NỘI DUNG CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT I: Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất của biểu thức Cho biểu thức ( ) , , f x y xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của ( ) , , f x y trên miền D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi ( ) , , x y thuộc D thì ( ) , , f x y ≤ M với M là hằng số - Tồn tại ( ) 0 0 , , x y thuộc D sao cho ( ) 0 0 , , f x y M= 1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất của biểu thức Cho biểu thức ( ) , , f x y xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của ( ) , , f x y trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với ( ) , , x y mọi thuộc D thì ( ) , , f x y ≥ m với m là hằng số - Tồn tại ( ) 0 0 , , x y thuộc D sao cho ( ) 0 0 , f x y m = II : Một số kiến thức cơ bản 2.1. Một số vấn đề về bất đẳng thức cần quan tâm 2.1.1 . Định nghĩa bất đẳng thức 0 0a b a b b a≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ dấu " " a b= ⇔ = 2.1.2. Tính chất • Tính chất 1: a a ≥ • Tính chất 2: a b a c b c ≥  ⇒ ≥  ≥  • Tính chất 3: a b a c b c≥ ⇔ ± ≥ ± GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 5 Khóa luận tốt nghiệp • Tính chất 4: a b a c b d c d ≥  ⇒ + ≥ +  ≥  • Tính chất 5: 0 . . 0 a b a c b d c d ≥ ≥  ⇒ ≥  ≥ ≥  • Tính chất 6: . . ; 0 . ; 0 ; 0 a c b c c a b a c bc c ac bc c ≥ >   ≥ ⇒ ≤ <   = =  • Tính chất 7: 1 1 . 0 a b a b a b ≥  ⇒ ≤  >  • Tính chất 8: 0 2 n n n n a b a b n N a b  ≥ ≥ ≥   ⇒   ≤ ∈ ≥    • Tính chất 9: 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n a b a b n N a b + + + +  ≥ ≥   ⇒   ∈ ≥    • Tính chất 10: 1 x y x y a a a ≥  ⇒ ≥  >  • Tính chất 11 0 1 x y x y a a a ≥  ⇒ ≤  < <  2.1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng Xét biểu thức chứa biến ( ) P x . Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP. a) Cho P A B = + thì maxP maxA maxB= + và min in inP m A m B= + Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xác định 0 x x= , tức là ( ) 0 maxA A x= , ( ) 0 maxB B x= thì ( ) 0 maxP P x= . b) Cho P = 1 A với A ≥ 0 thì 1 min maxP A = , 1 min P maxA = GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 6 Khóa luận tốt nghiệp c) + ( ) 2 , n P Q x y a a= + ≥    với a là hằng số, n ∈ N * Nếu có ( ) 0 0 ,x y sao cho ( ) 0 0 , 0Q x y = thì min ( ) ,P x y a= với mọi ,x y thuộc D + ( ) 2 , n P Q x y b b= − + ≤    với b là hằng số, n ∈ N * Nếu có (x 0 , y 0 ) sao cho ( ) 0 0 , 0Q x y = thì ( ) min ,P x y b= với mọi ,x y thuộc D d) 0A ≥ thì ( ) ( ) 2 2 max A maxA= và ( ) ( ) 2 2 min minA A= e) Bất đẳng thức Cô-si: + 2a b ab+ ≥ ( ) 0, 0a b≥ ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b= + 2 a b b a + ≥ ( ) 0, 0a b≥ ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b=  Tổng quát : Bất đẳng thức Cô-si Cho n số thực không âm n a a a n ≥ 1 2 , , , ( 2) Ta có n n n a a a a a a n + + + ≥ L 1 2 1 2 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n a a a= = =L 1 2 .  Một vài hệ quả quan trọng: - n i n a a a n a i n a a a   + + + + + + ≥ ∀ > =  ÷   L L 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) vôùi 0, 1, - i n n n a i n a a a a a a + + + ≥ ∀ > = + + + L L 2 1 2 1 2 1 1 1 vôùi 0, 1, - Cho 2n số dương ( , 2n Z n ∈ ≥ ): ( ) ( ) n n a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , ta có: n n n n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ + 1 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) f) Bất đẳng thức Bunhiacopski GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 7 Khóa luận tốt nghiệp Cho 2n số dương ( , 2n Z n∈ ≥ ): ( ) ( ) n n a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , ta có: n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +L L L 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) Dấu “=’ xảy ra n i i n a a a b a b b b ⇔ = = = = ⇒ =L 1 2 1 2 (quy öôùc neáu 0 0)  Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bội số , mỗi bội số gồm n số không âm ( , , )( 1, ) i i i a b c i m= 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m m m m m n n n n n n a a a bb b c c c a b c a b c+ + + ≤ + + + + + + Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại một bội số ( a ,b,…c) sao cho i= 1,2…m thì i t ∃ sao cho: 1 1 1 2 2 2 , , , : : : : : : : : i i i i i i n n n a t a b t b c t c a b c a b c a b c= = = ⇔ = = =  Hệ quả ( Bất đẳng thức Svác-xơ ) Cho hai dãy số n n i a a a b b b b i n> ∀ = 1 2 1 2 , , , vaø , , , vôùi 0 1, ta luôn có: n n n n a a a a a a b b b b b b + + + + + + ≥ + + + L L L 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) Dấu “=’ xảy ra n n a a a b b b ⇔ = = =L 1 2 1 2 g) Bất đẳng thức Trê-bư-sép. + Nếu 1 2 n a a a≥ ≥ ≥ và 1 2 n b b b≥ ≥ ≥ Thì 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ).( ). n n n n n a b a b a b a a a b b b+ ≥ + + + + Dấu bằng xảy ra 1 2 1 2 ; n n a a a b b b⇔ = = = = = = , 2n Z n ∈ ≥ + Nếu 1 2 n a a a≥ ≥ ≥ và 1 2 n b b b≤ ≤ ≤ thì 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ).( ). n n n n n a b a b a b a a a b b b+ ≤ + + + + GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 8 Khóa luận tốt nghiệp Dấu “=” xảy ra 1 2 1 2 ; n n a a a b b b⇔ = = = = = = ; , 2n Z n∈ ≥ h) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối + 0.a ≥ Dấu “=” xảy ra 0a⇔ = + a a a− ≤ ≤ Dấu “=” xảy ra 0a⇔ = + a b a b+ ≤ + Dấu “=” xảy ra ( ) 0 ,ab a b⇔ ≥ cùng dấu) + a b a b− ≥ − Dấu “=” xảy ra ( ) 0 ,ab a b⇔ ≥ cùng dấu) + ; 0a b ab≥ ≥ 1 1 a b ⇒ ≤ Dấu “=” xảy ra a b⇔ =  Dạng tổng quát Cho 1 2 , , n a a a D∈ thì 1 2 1 2 n n a a a a a a+ + + ≥ + + ; Dấu “=” xảy ra khi đôi một cùng dấu. l ) Định lý về dấu của tam thức bậc hai. Cho tam thức bậc hai 2 ( )f x ax bx c= + + ( 0)a ≠ Khi đó: Nếu 0∆ < thì ( )f x luôn luôn cùng dấu với a , x R ∀ ∈ Nếu 0 ∆ = thì ( )f x luôn luôn cùng dấu với a , x R ∀ ∈ , 2 b x a − ≠ Nếu 0 ∆ > thì ( )f x cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm 2.2. Một vài kiến thức cơ bản về hàm số: 2.2.1. Một số tính chất về hàm số • Tính chất 1: Giả sử BA ⊂ khi đó ta có: a/ ( ) ( ) x A x B max f x max f x ∈ ∈ ≤ b/ ( ) ( ) min min x A x B f x f x ∈ ∈ ≥ Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu A và B chứa cùng một biến • Tính chất 2: Nếu ( ) , , 0f x y ≥ với mọi x thuộc D , ta có: GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 9 Khóa luận tốt nghiệp a/ ( ) ( ) 2 x D x D max f x max f x ∈ ∈ = b/ ( ) ( ) 2 min min x D x D f x f x ∈ ∈ = • Tính chất 3 : 1 2 / ( ) ( )) ( ) ( ) x D x D x D a max f x g x max f x max g x ∈ ∈ ∈ + ≤ + )1( 1 2 / ( ) ( )) ( ) ( ) x D x D x D b min f x g x min f x min g x ∈ ∈ ∈ + ≤ + )2( Trong đó 1 2 ,D D lần lượt là miền xác định của ( ) ( ) ,f x g x . Dấu bằng trong )1( xảy ra khi có ít nhất một điểm 0 x mà tại đó ( )f x và ( )g x cùng đạt giá trị lớn nhất. Tương tự nếu tồn tại 0 x thuộc D mà tại đó gf , cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì )2( có dấu bằng. • Tính chất 4: ( ) min( ( )) x D x D max f x f x ∈ ∈ = − − • Tính chất 5 : Nếu đặt ( ) x D M max f x ∈ = , )(min xfm Dx ∈ = thì { } ( ) , x D x D max f x max M m ∈ ∈ = . • Tính chất 6:Giả sử { } 1 ; ( ) 0D x D f x= ∈ ≤ và { } 0)(; 2 ≥∈= xfDxD thì { } 2 1 ( ) ( );min ( ) x D x D x D min f x min max f x f x ∈ ∈ ∈ = − Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số )(xf nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau. 2.2.2. Một số kiến thức thường dùng 1. Định lý Giả sử hàm số ( )f x đạt cự trị tại điểm 0 x . Khi đó nếu ( )f x có đạo hàm tại điểm 0 x thì ( ) 0 ' 0f x = 2. Dấu hiệu 1 GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân 10 [...]... nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức  f ( x, y ) ≤ M , ∀x, y ∈ D  M = maxf ( x, y , ) ⇔  ∃x0 , y0 ∈ D : f ( x0 , y0 ) = M   f ( x, y ) ≥ m, ∀x, y ∈ D  m = Minf ( x, y, ) ⇔  ∃x0 , y0 ∈ D : f ( x0 , y0 ) = m  Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức f ( x, y, ) trên miền D nào đó, ta tiến hành theo hai bước: + Chứng minh một bất đẳng thức + Tìm x... 2L = x , x 4x + 4 4 3 α soá ( Làm tương tự VD 9 ) II: Phương pháp sử dụng miền giá trị của hàm số 2.1 Nội dung phương pháp Xét bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số f ( x) trên một miền D cho trước Gọi y0 là một giá trị tùy ý của hàm số f ( x) trên miền D thì khi đó ta có  f ( x ) = y0 phương trình theo ẩn x  có nghiệm Tùy theo điều kiện của phương x ∈ D trình mà ta có các điều kiện tương ứng GVHD... Chỉ ra giá trị x 0 , y0 , ∈ D để: f ( x0 , y0 ) = m hoặc f ( x0 , y0 ) = M Bước 3 : Kết luận: Với giá trị x 0 , y0 , ∈ D thì f ( x; y ) đạt: maxf ( x, y ) = M ; min f ( x, y ) = m x0 , y0 ∈D x0 , y0 ∈D GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn 11 SVTH : Nguyễn Thị Vân Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG II : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ I : Phương pháp dùng bất đẳng thức 1.1 Nội dung phương pháp Dựa trực tiếp vào định... (x Vì y0 là một giá trị tùy ý của f ( x) nên ta có min fx∈D ) = α ; max fx∈D ) = β Như vậy khi sử dụng phương pháp này để tìm GTNN, GTLN của hàm số thực chất là ta quy về tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 2.2 Một số kiến thức liên quan 1: Sử dụng tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) Khi đó ta biện luận nghiệm của hàm số theo hệ số của a Nếu a = 0 thì phương trình... chỉ khi (x, y) nhận giá trị   5 , 5 ÷;  5 , 5 ÷ ÷ ÷     min B = a khi và chỉ khi x = −2 ⇔ x = −2 y y  2 5a − 5a   −2 5a 5a  Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị   5 , 5 ÷;  5 , 5 ÷ ÷ ÷     VD 20: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x, y ) = x 2 + y 2 Xét trên miền D = { ( x, y ) / ( x 2 } − y 2 +1) + 4 x 2 y 2 − x 2 − y 2 = 0 2 Giải Gọi t0 là một giá trị tùy ý của hàm số trên miền D khi... 5 2 x 2 +mx + n VD 21 : Cho hàm số f ( x ) = 2 x +2 x +4 1 Tìm giá trị của m, n để hàm số đạt GTLN =3 , GTNN = 3 Giải Gọi y0 là một giá trị tùy ý của hàm số Khi đó ta phương trình có nghiệm theo ẩn x x 2 + mx + n y0 = 2 x + 2x + 4 ⇔ ( y0 − 1) x 2 + (2 y0 − m) x + 4 y0 − n = 0 Nếu y0 = 1 ⇒ x = (1) n − 4 y0 ( không thỏa mản điều kiện của đề bài) 2 y0 − m Nếu y0 ≠ 1 thì phương trình (1) có nghiệm ∆ ≥ 0,... x2 + + x2004 − 1 +1  + 1 2004 sã1 = 2005 - 2004 = 1 Vậy E = 1.Dấu "=" xảy ra khi x1 , x2 , x2004 ≥ 0 và x1 + x2 + + x2004 = 2005 VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x − 1 + x − 2 + + x − 2000 Giải Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: a + b ≤ a + b đối với 1000 cặp giá trị tuyệt đối Ta có : y = ( x − 1 + x − 2000 ) + ( x − 2 + x − 1999 ) + + ( x − 999 + x − 1000 ) y1 = (... Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của: A= x x +1 2 2x2 + 4x + 5 B= x2 + 1 2 x2 − 2 x + 2 C= 2 2 x + 2x + 2 2x2 + 2x + 2 D= x2 + 1 Bài 2 .Tìm GTLN, GTNN của : 1) Q = x2 + 4 2 x + 3 x2 + 1 1 + x4 2) Q = (1 + x 2 ) 2 3) Q = 2 x −1 x2 + x + 4 4) Q = 2x + 3 x 2 + x +1 III: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 3.1 Nội dung phương pháp Phương pháp này kết hợp với việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến và. .. z   ( vì vai trò của x, y, z là như nhau nên ta có thể hoán vị ví trí của chúng cho nhau) 1.4 Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm cực trị của hàm số Y = x − 1 + x − 2 + + x − 2004 ĐS: MinY = 1002 2 Bài 2: Tìm cực trị của hàm số Y = x − 1 + x − 2 + + x − n a, b > 0 1 1 1 Bài 3 : Cho  , tìm GTNN của biểu thức S = 3 3 + 2 + 2 a +b a b ab a + b ≤ 1 GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn 26 SVTH : Nguyễn Thị Vân Khóa... ( a, b) chứa điểm x0 và f ' ( x0 ) = 0 và f '' ( x0 ) ≠ 0 thì  f ' ( x0 ) = 0  a)  thì hàm số đạt cực đai tại x0  f '' ( x0 ) < 0   f ' ( x0 ) = 0  b)  thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 f '' ( x0 ) > 0   4 Định lí viet: Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 thì b   x1 + x2 = − a   x x = c  1 2 a  III: Các bước cơ bản để giải toán cực trị Bước 1: Chứng minh . Một số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ” giúp học sinh hiểu rõ hơn về dạng toán này. Khóa luận này nghiên cứu, tìm tòi một số phương pháp tìm cực trị nhằm giúp học. và các phương pháp giải toán cực trị , giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở cấp THCS, THPT là rất cần thiết đối với mỗi học sinh. Vì vậy, tôi mạnh dạn nghiên cứu khóa luận “ Một số phương pháp. nghiệp CHƯƠNG II : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ I : Phương pháp dùng bất đẳng thức 1.1. Nội dung phương pháp Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) (