ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯỜNG HIỆU CHỈNH BÀI TỐN TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ACCRETIVE LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUN - NĂM 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mục lục Mở đầu 2 1 Một số kiến thức bổ trợ 5 1.1 Một số cấu trúc hì nh học của khơng gian Banach . . . . 5 1.1.1 Khơng gian Banach lồi chặt và lồi đều . . . . . . 5 1.1.2 Khơng gian Banach trơn và trơn đều . . . . . . . 7 1.2 Tốn tử accr etive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Ánh xạ khơng gi ãn . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Tốn tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Ánh xạ co r út k hơng giãn . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . 14 1.3.2 Ví dụ về bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . . . 15 2 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach 17 2.1 Tốn tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accreti ve 21 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Mở đầu Bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng trong khơng gian L p hay khơng gian Sob olev W m p . Trong đề tài luận văn, chúng tơi nghiên cứu bài tốn: tìm phần tử x 0 ∈ X sao cho A(x 0 ) = f, (0.1) ở đây A là một tốn tử accretive từ khơng gian Banach phản xạ thực X vào X, f là phần tử của X. Nếu khơng có thêm điều kiện đặt lên cho tốn tử A, chẳng hạn tính accretive đều hoặc accretive mạnh, thì phương trình tốn tử (0.1) nói chung là một bài tốn đặt khơng chỉnh, theo nghĩa nghiệm của nó khơ ng phụ t huộc liên tục vào dữ kiện ban đầu A và f. Để giải loại bài tốn này, ta cần sử dụng các phương pháp giải ổn định so cho khi sai số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng g ần với nghi ệm đúng của bài tốn ban đầu. Trong [2] Alber và Ryazansteva đã nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dạng: A(x) + α(x − x + ) = f δ (0.2) trong trường hợp to án tử A đơn điệu được cho chính xác, còn vế phải f được cho xấp xỉ bởi f δ thỏa mãn  f − f δ  ≤ δ, δ → 0, x + ∈ X là một phần tử cho trước thuộc X tùy ý, α là một tham số dương. Với điều kiện liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của khơng gian X, họ đã chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm x δ α của bài tốn (0.2), và nghiệm này hội tụ mạnh đến ng hiệm x 0 của bài to án (0.1) khi α, δ/α → 0. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 Khơng cần đến tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J, tốc độ hội tụ của dãy nghiệm x δ α của bà i tốn hiệu chỉnh (0.2) được đánh giá với điều kiện A(x) −A(y ∗ ) − QA ′ (y ∗ ) ∗ J(x − y ∗ ) ≤ τA(x) − A(y ∗ ), ∀y ∈ X, (0.3) ở đây τ là một hằng số dương, Q là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X ∗ và điều kiện trơn của nghiệm x + − y ∗ = A ′ (y ∗ )v. (0.4) với v là phần tử thuộc X, A ′ là đạo hàm Fréchet của A. Đề tài luận văn này nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach. Mục đích của chúng tơi là đọc hiểu, trình bày lại và làm chi tiết hơn kết quả trong [19] về phương pháp hiệu chỉnh với tốn tử accr etive. Chú ý rằng, trong khơng gian Hilbert, khái niệm về tốn tử accretive trùng với khái niệm về tốn tử đơn điệu. Nội dung của l uận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 chúng tơ i trình bày một số khái niệm và kết quả về tốn tử accretive và bài tốn đặt khơng chỉnh. Trong chương 2 chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accreti ve trong khơng gian Banach. Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của Cơ trong suốt q trình tác giả thực hi ện luận văn. Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác tạ i Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Cơng nghệ Việt Nam, các Thầy Cơ trong Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cơ. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại tr ường. Tác giả Nguyễn Thị Hường Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Một số cấu trúc hình học của khơng gian Ba- nach Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản nhất về cấu trúc hình học của khơng gian Banach như tính lồi chặt, lồi đều, tính khả vi của chuẩn, và các định nghĩa, tính chất về các loại tốn tử như tốn tử accretive, tốn tử co rút và á nh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [9], [15]. 1.1.1 Khơng gian Banach lồi chặt và lồi đều Cho E là khơng gian Banach và E ∗ là khơng gian đối ngẫu của nó, tức là khơng gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Để cho đơn giản và thuận tiện, chúng tơi sử dụng ký hiệu . để chỉ chuẩn trên E và E ∗ . Ký hiệu S E := {x ∈ E : x = 1} là mặt cầu đơn vị của khơng gian Banach E. Ta viết x , x ∗  t hay cho g iá t rị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x ∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E, tức là x, x ∗  = x ∗ (x), ∀x ∗ ∈ E ∗ , x ∈ E. Định nghĩa 1.1. Khơng g i an Banach E được gọi là khơng gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x ∗∗ của khơng gian liên hợp thứ ha i E ∗∗ của E, đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho x ∗ (x) = x ∗∗ (x ∗ ) ∀x ∗ ∈ E ∗ . Định nghĩa 1.2. Khơng gian Banach E đư ợc gọi là khơng gian lồi chặt Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 nếu với x, y ∈ S E với x = y suy ra (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1). Điều này cũng có nghĩa là trung điểm x + y 2 của đoạn thẳng nối hai điểm x, y phân biệt trên mặt cầu đơ n vị thì khơng nằm trên mặt cầu đơn vị. Nói cách khác nếu x, y ∈ S E : x = y =  x + y 2 , thì x = y. Ví dụ 1.1. Xét khơng gian E = R n với x 2 được xác định bởi x 2 =  n  i=1 x 2 i  1/2 , x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n . Khi đó E là khơng gian lồi chặt. Trong khi đó k hơng gia n E = R n , n ≥ 2 với chuẩn x 1 xác định bởi x 1 = |x 1 | + |x 2 | + + |x n |, x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n khơng phải là khơng gian lồi chặt. Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, , 0); y = (0, 1, 0, , 0) ta có x = y, x 1 = y 1 = 1 nhưng x + y 1 = 2. Định nghĩa 1.3. Kh ơ ng gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với ε, 0 < ε ≤ 2, các bất đẳng thức sau thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε thì tồn tạ i δ = δ(ε) > 0 sao cho  x + y 2  ≤ 1 − δ. Ví dụ 1.2. Khơng gian Hilbert H là khơng gian lồi đều. Thật vậy, theo quy tắc hình bình hành ta có x + y 2 = 2  x 2 + y 2  − x − y 2 , ∀x, y ∈ H. Giả sử x, y ∈ B H với x = y và x − y ≥ ε, ε ∈ (0, 2], suy ra x + y 2 ≥ 4 − ε 2 ⇒  x + y 2  ≤ 1 − ε 2 4 . Từ đây suy ra:  x + y 2  ≤ 1 − δ(ε) với δ(ε) = 1 −  1 − ε 2 4 . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 Ví dụ 1.3. Các khơng gian l 1 , l ∞ khơng lồi đều. Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, ), y = (0, −1, 0, ) ∈ l 1 và ε = 1. Khi đó: x 1 = ∞  i=1 |x i | = 1; y 1 = ∞  i=1 |y i | = 1 và x − y 1 = ∞  i=1 |x i − y i | = 2 > 1 = ε. Tuy nhiên  x + y 2  = 1. Vậy khơng tồn tạ i δ sao cho  x + y 2  < 1 − δ. Chú ý 1.1. (i) C ác khơng gian l p , L p [a,b] , 1 < p < ∞ là lồi đều. (ii) Các khơng gian l 1 , c, c 0 , l ∞ , L 1 [a,b] , C [a,b] khơng lồi chặt. Định lý 1.1. Mọi khơn g gian lồi đều đều lồi chặt và phản xạ. 1.1.2 Khơng gian Banach trơn và trơn đều Cho C là tập con khác rỗng, lồi và đóng của khơng gian tuyến tính định chuẩn E sao cho điểm gốc của E nằm tr ong phần trong của C. Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ E ∗ được gọi là tiếp xúc C tại x 0 ∈ ∂C nếu f(x 0 ) = sup{ f (x), x ∈ C}. Nếu H = {x ∈ X : f(x) = 0} là siêu phẳng, thì tập hợp H + x 0 được gọi là siêu phẳng t iếp xúc với C tại x 0 . Định nghĩa 1.4. Khơng gian Banach X được gọi là trơn nếu v ới mỗi x ∈ S X tồn tại duy nhất một phiếm hàm f x ∈ E ∗ sao cho x, f x  = x và f x  = 1. Ví dụ 1.4. (i) Các khơng gian l p , L p [a,b] , 1 < p < ∞ là khơng gian Banach trơn. (ii) Các khơng gian c 0 , l 1 , L 1 , l ∞ , L ∞ khơng phải là khơng gian trơn. Tính trơn của khơng gian Bana ch liên hệ chặt chẽ với tính khả vi Gâteaux của chuẩn. Định nghĩa 1.5. Chuẩn của khơng gian E đ ược gọi là khả vi Gâteau x tại điểm x 0 ∈ S E nếu với mỗi y ∈ S E giới hạn lim t→0 x 0 + ty − x 0  t (1.1) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 tồn tại, kí hiệu y, ▽x 0 . Khi đó ▽x 0  đư ợc gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn ϕ(x) = x tại x = x 0 . Định nghĩa 1.6. Chuẩn của khơng gian E đ ược gọi là khả vi Gâteau x nếu nó khả vi Gâteaux tạ i mọi điểm trên mặt cầu đơn vị S E . Chuẩn của E được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ S E , giới hạn (1.1) đạ t được đều với mọi x ∈ S E . Ví dụ 1.5. Khơng gian Hilbert l à khơng gian có chuẩn khả vi Gâteaux với ▽x = x/x, x = 0. Định lý 1.2. Khơ ng gia n Banach E là trơn khi và ch ỉ khi ch uẩn của E khả vi Gâteaux trên E \ {0}. Định nghĩa 1.7. Cho E là khơng gian Banach. Hàm số ρ E : R + → R + được gọi là mơ đun trơn của khơng gian Banach E nếu ρ E (t) = sup  x + y + x − y 2 − 1 :  x = 1, y  = t  = sup  x + ty  + x − ty  2 − 1 : x = 1, y = 1  , t ≥ 0. Nhận xét 1.1. Mơ đun trơn ρ E của khơng gian Banach E l à hàm số xác định, liên tục và tăng trên [0, +∞). Định nghĩa 1.8. Khơng gian Banach E được gọi là trơn đều nếu ρ E (0) = lim t→0 ρ E (t) t = 0. Ví dụ 1.6. Mọi khơng gian Hilbert và khơng gian l p (1 < p < +∞) đều là khơng gia n trơn đều. Tính trơn đều của khơng gian Banach liên hệ chặt chẽ với tính khả vi Fréchet đều của chuẩn tr ong khơng gian Banach đó. Định nghĩa 1.9. Chuẩn của khơng gian Banach E được gọi là: (i) khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ S E , giới hạn lim t→0 x + ty − x t (1.2) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9 tồn tại đều với mỗi y ∈ S E ; (ii) khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.2) tồn tại đều với mọi x, y ∈ S E . 1.2 Tốn tử accretive 1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Ký hiệu 2 E là một họ các tập con khác rỗng của E. Định nghĩa 1.10. Cho E ∗ là khơng gian đối ngẫu của khơng gian Ba- nach E. Ánh xạ đa trị J : E → 2 E ∗ được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E n ếu J(x) = {j ∈ E ∗ : x, j = x 2 , x = j}. Ví dụ 1.7. Trong khơng gian Hi lbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đơn vị I trong H. Định nghĩa 1.11. Tốn tử A : E → E ∗ được gọi là h-liên tục (hemi- continuous) trên E nếu A (x + ty) ⇀ Ax khi t ⇀ 0 với mọi x, y ∈ X và được gọi là d-liên tục (demicontinu ous) trên E nếu với bất kỳ dãy {x n } ⊂ E, x n → x thì Ax n ⇀ Ax khi n → ∞. Các tí nh chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được t rình bày tro ng mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1. Cho E là khơng gian Banach và J : E → 2 E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Khi đó ta có các phát biểu sau: (a) J(0) = 0; (b) Với mỗ i x ∈ E, J(x) là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của E ∗ ; (c) J(λx ) = λJ(x) với mọi x ∈ E và λ ∈ R, hay J là thuần n hất; (d) J là đơn điệ u , tức là, x − y, j(x) − j(y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ E, j(x) ∈ J(x), j(y) ∈ J(y); (e) x 2 − y 2 ≥ 2x − y, j(y) với mọi x, y ∈ X và j(y) ∈ J(y); (f) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị; Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... đổi lớn của nghiệm Vậy bài tốn đã cho là bài tốn đặt khơng chỉnh Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 17 Chương 2 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach Chương này trình bày các kết quả trong [19] về phương pháp hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach 2.1 Tốn tử hiệu chỉnh Xét bài tốn tìm nghiệm của phương... xα được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (2.1), α = α(fδ , δ) được gọi là tham số hiệu chỉnh Từ định nghĩa trên ta thấy nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải của (2.1) gồm hai bước: a) tìm tốn tử hiệu chỉnh R(f, α); b) xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin của bài tốn về phần tử fδ và sai số δ Chú... ra nếu tham số hiệu chỉnh α được chọn sao cho h/α −→ 0, thì nghiệm xh α của phương trình (2.9) hội tụ về nghiệm của bài tốn (2.8).Tiếp theo đó, Nguyễn Bường và J K Kim [7], Nguyễn Bường [12] đã nghiên cứu hiệu chỉnh thuật tốn điểm gần kề dựa trên thuật tốn (2.9) cho bài tốn tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn phương trình với tốn tử ngược đơn điệu mạnh và cho bài tốn tìm nghiệm chung của một họ hữu... đóng của khơng gian Banach lồi chặt E và cho T : C → E là một ánh xạ khơng giãn từ C vào E Giả sử C là một co rút khơng giãn theo tia của E Nếu F ix(T ) = ∅, thì F ix(T ) = F ix(QC T ), trong đó QC là ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ E lên C 2.3 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive Ta biết rằng nếu T là một ánh xạ khơng giãn thì A = I − T là một tốn tử accretive Do đó, bài tốn tìm. .. bản luận văn này, tơi đã tìm hiểu và nghiên cứu về phương pháp hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach Qua đó tơi đã trình bày lại và làm chi tiết hơn kết quả đã có về phương pháp hiệu chỉnh với tốn tử accretive Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi những thiếu sót, tơi rất mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ để đề tài hồn... đẳng thức biến phân với tốn tử đơn điệu, h-liên tục và một họ hữu hạn các phương trình với các tốn tử ngược đơn điệu mạnh, tương ứng trong khơng gian Hilbert Trong đề tài này chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh bài tốn xác định một khơng điểm của tốn tử accretive Ta xét bài tốn sau: Xác định một phần tử x∗ ∈ S = F ix(T ) = ∅, (2.10) trong đó F ix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T : C −→ C và... accretive Do đó, bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 22 khơng giãn T quy về bài tốn xác định khơng điểm của tốn tử accretive A = I − T Xét bài tốn Xác định phần tử x∗ ∈ D(A) sao cho A(x∗) = 0, (2.2) với A : D(A) ⊂ E → E là một tốn tử m -accretive đơn trị Khi A là m -accretive trong khơng gian Hilbert H, nghĩa là A là tốn tử đơn điệu cực đại thì Rockafellar... từ H lên C 1.3 1.3.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh Chúng tơi trình bày khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh trên cơ sở xét một bài tốn ở dạng phương trình tốn tử (1.7) A(x) = f, trong đó A : E → F là một tốn tử từ khơng gian Banach E vào khơng gian Banach F, f là phần tử thuộc F Sau đây là một định nghĩa của Hadamard Định nghĩa 1.18 Cho A là một tốn tử từ khơng gian Banach... nghĩa về tốn tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau Tốn tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một tốn tử hiệu chỉnh, nếu: i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho tốn tử R(f, δ) xác định với mọi 0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY (f, f0) ≤ δ; ii) Với ε ≥ 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0 (ε, fδ ) ≤ δ1 sao cho từ ρY (fδ , f0) ≤ δ ≤ δ0 ta có ρX (xδ , x0) ≤ ε Ở đây xδ ∈ R(fδ , δ) Chú ý 2.2 Tốn tử hiệu chỉnh R(f,... một tốn tử khơng gian mêtric E vào khơng gian mêtric F với các khoảng cách tương ứng là ρE , ρF và f0 ∈ F Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn (2.1) khi khơng biết thơng tin về nghiệm chính xác x0 A.N Tikhonov đã đưa ra một phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng tốn tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào Giả sử A−1 khơng liên tục và thay cho f0 ta chỉ biết xấp xỉ fδ của f0 . pháp hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach. 2.1 Tốn tử hiệu chỉnh Xét bài tốn tìm ng hiệm của phương t rình A(x) = f 0 , (2.1) trong đó A là một tốn tử. về bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . 14 1.3.2 Ví dụ về bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . . . 15 2 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach 17 2.1 Tốn tử. thay đổi lớn của nghiệm. Vậy bài tốn đã cho là bài tốn đặt khơng chỉnh. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 17 Chương 2 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive