CHUYÊN CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN - PH N TÍCH A TH C THÀNH NHÂN T A M C TIÊU: * H th ng l i d ng tốn phương pháp phân tích a th c thành nhân t * Gi i m t s t p v phân tích a th c thành nhân t * Nâng cao trình k v phân tích a th c thành nhân t B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI T P I TÁCH M T H NG T THÀNH NHI U H NG T : nh lí b sung: + a th c f(x) có nghi m h u t có d ng p/q ó p c c a h s t do, q c dương c a h s cao nh t + N u f(x) có t ng h s b ng f(x) có m t nhân t x – + N u f(x) có t ng h s c a h ng t b c ch n b ng t ng h s c a h ng t b c l f(x) có m t nhân t x + + N u a nghi m nguyên c a f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) a-1 a+1 u s nguyên nhanh chóng lo i tr nghi m c c a h s t Ví d 1: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách h ng t th 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách h ng t th nh t: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) Ví d 2: x3 – x2 - Ta nhân th y nghi m c a f(x) n u có x = ±1; ±2; ±4 , ch có f(2) = nên x = nghi m c a f(x) nên f(x) có m t nhân t x – Do ó ta tách f(x) thành nhóm có xu t hi n m t nhân t x – Cách 1: x3 – x2 – = ( x3 − x ) + ( x − x ) + ( x − ) = x ( x − ) + x( x − 2) + 2( x − 2) = ( x − ) ( x + x + ) Vũ Quang Hưng 1– THCS Ch t Bình CHUN B I DƯ NG TỐN Cách 2: x3 − x − = x − − x + = ( x − 8) − ( x − ) = ( x − 2)( x + x + 4) − ( x − 2)( x + 2) = ( x − ) ( x + x + ) − ( x + 2)  = ( x − 2)( x + x + 2)   Ví d 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nh n xét: ±1, ±5 không nghi m c a f(x), v y f(x) khơng có nghi m ngun Nên f(x) n u có nghi m nghi m h u t Ta nh n th y x = nghi m c a f(x) ó f(x) có m t nhân t 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x − x − x + x + 15 x − = ( 3x3 − x ) − ( x − x ) + (15 x − 5) = x (3x − 1) − x(3 x − 1) + 5(3x − 1) = (3x − 1)( x − x + 5) Vì x − x + = ( x − x + 1) + = ( x − 1) + > v i m i x nên không phân tích c thành nhân t n a Ví d 4: x3 + 5x2 + 8x + Nh n xét: T ng h s c a h ng t b c ch n b ng t ng h s c a h ng t b c l nên a th c có m t nhân t x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví d 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + T ng h s b ng nên a th c có m t nhân t x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghi m ngun khơng có nghi m h u t nên khơng phân tích c n a Ví d 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví d 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) II THÊM , B T CÙNG M T H NG T : Vũ Quang Hưng 2– THCS Ch t Bình CHUYÊN Thêm, b t m t s h ng t B I DƯ NG TOÁN xu t hi n hi u hai bình phương: Ví d 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Ví d 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, b t m t s h ng t xu t hi n nhân t chung Ví d 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví d 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nh : Các a th c có d ng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … III u có nhân t chung x2 + x + T BI N PH : Ví d 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 t x2 + 10x + 12 = y, a th c có d ng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví d 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Gi s x ≠ ta vi t Vũ Quang Hưng 3– THCS Ch t Bình CHUN B I DƯ NG TỐN x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – t x- 1 2 + ) = x [(x + ) + 6(x )+7] x x x x 1 = y x2 + = y2 + 2, ó x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x Chú ý: Ví d có th gi i b ng cách áp d ng h ng ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x ng th c sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví d 3: A = ( x + y + z )( x + y + z ) + ( xy + yz +zx) = ( x + y + z ) + 2( xy + yz +zx)  ( x + y + z ) + ( xy + yz +zx)   t x + y + z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x + y + z + xy + yz + zx)2 Ví d 4: B = 2( x + y + z ) − ( x + y + z ) − 2( x + y + z )( x + y + z ) + ( x + y + z ) t x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta l i có: a – b2 = - 2( x y + y z + z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do ó; B = - 4( x y + y z + z x ) + (xy + yz + zx)2 = −4 x y − y z − z x + x y + y z + z x + x yz + xy z + xyz = xyz ( x + y + z ) Ví d 5: (a + b + c)3 − 4(a + b3 + c ) − 12abc t a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m2 - n ) Ta có: m3 + 3mn 2 C = (m + c) – − 4c3 − 3c(m - n ) = 3( - c +mc – mn + cn ) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) III PHƯƠNG PHÁP H S B T NH: Ví d 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Vũ Quang Hưng 4– THCS Ch t Bình CHUYÊN Nh n xét: s B I DƯ NG TỐN ± 1, ± khơng nghi m c a a th c, a th c nghi m ngun c ng khơng có nghi m h u t Như v y n u a th c phân tích c thành nhân t ph i có d ng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a + c = −6 ac + b + d = 12 ng nh t a th c v i a th c ã cho ta có:   ad + bc = −14 bd =  Xét bd = v i b, d ∈ Z, b ∈ {±1, ±3} v i b = d = h i u ki n tr thành a + c = −6   2c = −8 c = −4 ac = −8 ⇒ ⇒  a + 3c = −14  ac = a = −2  bd =  V y: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví d 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nh n xét: a th c có nghi m x = nên có th a s x - ó ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)  a − = −3 b − 2a = −7 a =  = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c ⇒  ⇒ b = −5  c − 2b =  c = −4   − 2c =  Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta l i có 2x3 + x2 - 5x - a th c có t ng h s c a h ng t b c l b c ch n b ng nahu nên có nhân t x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) V y: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví d 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – Vũ Quang Hưng 5– THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN ac = 12 bc + ad = −10 a =    c = ⇒ 3c − a = ⇒ bd = −12 b = −6  d =  3d − b = 12  2 ⇒ 12x + 5x - 12y + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) BÀI T P: Phân tích a th c sau thành nhân t : 1) x3 - 7x + 10) 64x4 + y4 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 3) x3 - 6x2 - x + 30 4) 2x3 - x2 + 5x + 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x - 32x + 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 12) x3 + 3xy + y3 - 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 14) x + x + 15) x8 + 3x4 + 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 17) x4 - 8x + 63 CHUY N Vũ Quang Hưng 6– - SƠ LƯ C V CH NH H P, THCS Ch t Bình CHUYÊN CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN 2: HOÁN V , T H P A M C TIÊU: * Bư c u HS hi u v ch nh h p, hoán v t h p * V n d ng ki n th c vào m t ssó tốn c th th c t * T o h ng thú nâng cao k gi i toán cho HS B KI N TH C: I Ch nh h p: nh nghĩa: Cho m t t p h p X g m n ph n t M i cách s p x p k ph n t c a t p h p X ( ≤ k ≤ n) theo m t th t nh t nh g i m t ch nh h p ch p k c a n ph n t S t t c ch nh h p ch p k c a n ph n t c kí hi u A y k n Tính s ch nh ch p k c a n ph n t A k n = n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)] II Hoán v : nh nghĩa: Cho m t t p h p X g m n ph n t M i cách s p x p n ph n t c a t p h p X theo m t th t nh t nh g i m t hoán v c a n ph n t S t t c hoán v c a n ph n t y c kí hi u Pn Tính s hốn v c a n ph n t Pn = ( n! : n giai th a) A n n = n(n - 1)(n - 2) …2 = n! III T h p: nh nghĩa: Cho m t t p h p X g m n ph n t M i t p c a X g m k ph n t n ph n t c a t p h p X ( ≤ k ≤ n) g i m t t h p ch p k c a n ph n t S t t c t h p ch p k c a n ph n t c kí hi u C k n Tính s t h p ch p k c a n ph n t C k n = A n n : k! = n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! Vũ Quang Hưng 7– THCS Ch t Bình y CHUYÊN B I DƯ NG TỐN C Ví d : Ví d 1: Cho ch s : 1, 2, 3, 4, a) có s t nhiên có ba ch s , ch s khác nhau, l p b i ba ch s b) Có s t nhiên có ch s , ch s khác nhau, l p b i c ch s c)Có cách ch n ba ch s ch s Gi i: a) s t nhiên có ba ch s , ch s khác nhau, l p b i ba ch s ch nh h p ch p c a ph n t : A = 5.(5 - 1).(5 - 2) = = 60 s b) s t nhiên có ch s , ch s khác nhau, l p b i c ch s hoán v cua ph n t (ch nh h p ch p c a ph n t ): A 5 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = = 120 s c) cách ch n ba ch s ch s t h p ch p c a ph n t : C = 5.(5 - 1).(5 - 2) 5.4.3 60 = = = 10 nhóm 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) Ví d 2: Cho ch s 1, 2, 3, 4, Dùng ch s này: a) L p c s t nhiên có ch s ó khơng có ch s l p l i? Tính t ng s l p c b) l p c s ch n có ch s khác nhau? c) L p c s t nhiên có ch s , ó hai ch s k ph i khác d) L p c s t nhiên có ch s , ch s khác nhau, ó có hai ch s l , hai ch s ch n Gi i Vũ Quang Hưng 8– THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TỐN a) s t nhiên có ch s , ch s khác nhau, l p b i ch s ch nh h p ch p c a ph n t : A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = = 120 s Trong m i hang (Nghìn, trăm, ch c, ơn v ), m i ch s có m t: 120 : = 24 l n T ng ch s T ng s m i hang: (1 + + + + 5) 24 = 15 24 = 360 c l p: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960 b) ch s t n có cách ch n (là ho c 4) b n ch s trư c hoán v c a c a ch s cịn l i có P4 = 4! = = 24 cách ch n T t c có 24 = 48 cách ch n c) Các s ph i l p có d ng abcde , ó : a có cách ch n, b có cách ch n (khác a), c có cách ch n (khác b), d có cách ch n (khác c), e có cách ch n (khác d) T t c có: = 1280 s d) Ch n ch s ch n, có cách ch n ch n ch s l , có cách ch n Các ch s có th hốn v , ó có: 4! =1 = 72 s · Bài 3: Cho xAy ≠ 1800 Trên Ax l y i m khác A, Ay l y i m khác A 12 i m nói (k c i m A), hai i m c ng c n i v i b i m t o n th ng Có tam giác mà nh 12 i m y Gi i Cách 1: Tam giác ph i m g m ba lo i: + Lo i 1: tam giác có m t Ax (có cách ch n), nh A, nh th thu c B1 nh th thu c Ay (có cách A1 A2 nh i m B1, B2, B3, B4, B5 (có cách ch n), hai i m A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có C nh 6 = 6.5 30 = = 15 cách ch n) 2! G m 15 = 75 tam giác Vũ Quang Hưng 9– B3 y B5 A ch n), g m có: = 30 tam giác + Lo i 2: Các tam giác có B2 B4 THCS Ch t Bình A3 A4 A5 A x CHUYÊN + Lo i 3: Các tam giác có B I DƯ NG TOÁN nh i m A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai i m B1, B2, B3, B4, B5 g m có: C = nh 5.4 20 = = 60 tam giác 2! T t c có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác Cách 2: s tam giác ch n 12 i m y C 12 = 12.11.10 1320 1320 = = = 220 3! 3.2 S b ba i m th ng hang i m thu c tia Ax là: C S b ba i m th ng hang i m thu c tia Ay là: C = 7.6.5 210 210 = = = 35 3! 3.2 = 6.5.4 120 120 = = = 20 3! 3.2 S tam giác t o thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác D BÀI T P: Bài 1: cho s : 0, 1, 2, 3, t ch s có th l p c s t nhiên: a) Có ch s g m c ch s y? b) Có ch s , có ch s khác nhau? c) có ch s , ch s khác nhau? d) có ch s , ch s có th gi ng nhau? Bài 2: Có s t nhiên có ch s l p b i ch s 1, 2, bi t r ng s ó chia h t cho Bài 3: Trên trang v có ng k th ng H i trang v ng ng k n m ngang m t c t ó có hình ch nh t Vũ Quang Hưng 10 – THCS Ch t Bình CHUYÊN 2 B I DƯ NG TOÁN ⇒ x + y + z ≥ ⇒ A = ⇔ x = y = z = b) T (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) ≥ xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) ⇒ xy+ yz + zx ≤ ⇒ max B = ⇔ x = y = z = 3) Ví d 3: Tìm giá tr l n nh t c a S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) v i x,y,z > x + y + z = 1 Vì x,y,z > ,áp d ng B T Cơsi ta có: x+ y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤ ⇒ xyz ≤ áp d ng b t 27 ng th c Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 3 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) D u b ng x y x = y = z = V y S có giá tr l n nh t ⇒ ≥ 3 ( x + y ).( y + z ).( z + x ) 8 ⇒ S ≤ = 27 27 729 x = y = z = 729 4) Ví d 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá tr nh nh t c a x4 + y4 + z Áp d ng B T Bunhiac pski cho s (x,y,z) ;(x,y,z) 2 Ta có ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) ⇒ ≤ ( x + y + z ) (1) áp d ng B T Bunhiac pski cho ( x , y , z ) (1,1,1) Ta có ( x + y + z )2 ≤ (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) ⇒ ( x + y + z )2 ≤ 3( x + y + z ) T (1) (2) ⇒ ≤ 3( x + y + z ) ⇒ x + y + z ≤ V y x + y + z có giá tr nh nh t 3 x= y = z = ± 3 D M t s ý: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta có th i bi n Ví d : Khi tìm GTNN c a A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta t x – = y A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + ≥ 2… 2) Khi tìm c c tr c a m t bi u th c, ta có th thay k c a bi u th c tương ương bi u th c khác t c c tr : Vũ Quang Hưng 104 – THCS Ch t Bình t c c tr b i k CHUYÊN +) -A l n nh t ⇔ A nh nh t ; B I DƯ NG TOÁN +) l n nh t ⇔ B nh nh t (v i B > 0) B +) C l n nh t ⇔ C2 l n nh t Ví d : Tìm c c tr c a A = x4 + (x + 1) a) Ta có A > nên A nh nh t l n nh t, ta có A 2 ( x + 1) 2x = = 1+ ≥ ⇒ = ⇔ x = ⇒ max A = ⇔ x = A x +1 x +1 A b) Ta có (x2 – 1)2 ≥ ⇔ x4 - 2x2 + ≥ ⇒ x4 + ≥ 2x2 (D u b ng x y x2 = 1) 2x 2x ≤ ⇒ 1+ ≤ + = ⇒ max = ⇔ x2 = Vì x + > ⇒ x +1 x +1 A ⇒ A = ⇔ x = ±1 3) Nhi u ta tìm c c tr c a bi u th c kho ng c a bi n, sau ó so sámh c c tr ó tìm GTNN, GTLN tồn b t p xác Ví d : Tìm GTLN c a B = nh c a bi n y - (x + y) a) xét x + y ≤ - N u x = A = - N u ≤ y ≤ A ≤ - N u y = x = A = b) xét x + y ≥ A ≤ So sánh giá tr c a A, ta th y max A = ⇔ x = 0; y = 4) S d ng h ng b t ng th c Ví d : Tìm GTLN c a A = 2x + 3y bi t x2 + y2 = 52 Aùp d ng B t Bunhiac pxki: (a x + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) cho s 2, x , 3, y ta có: (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 ⇒ 2x + 3y ≤ 26 x y 3x 2 Max A = 26 ⇔ = ⇒ y = ⇒ x +y =x + Vũ Quang Hưng 105 –  3x    = 52 ⇔ 13x = 52.4 ⇔ x = ±   THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN V y: Ma x A = 26 ⇔ x = 4; y = ho c x = - 4; y = - 5) Hai s có t ng khơng Hai s có tích khơng i tích c a chúng l n nh t ch chúng b ng i t ng c a chúng l n nh t ch chúng b ng a)Ví d 1: Tìm GTLN c a A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khơng i nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) l n nh t ch x2 – 3x + = 21 + 3x – x2 ⇔ x2 – 3x – 10 = ⇔ x = ho c x = - Khi ó A = 11 11 = 121 ⇒ Max A = 121 ⇔ x = ho c x = - b) Ví d 2: Tìm GTNN c a B = (x + 4)(x + 9) x (x + 4)(x + 9) x + 13x + 36 36 = =x+ + 13 Ta có: B = x x x Vì s x ⇒ A= x+ 36 36 có tích x = 36 khơng x x i nên x + 36 36 nh nh t ⇔ x = ⇔ x=6 x x 36 + 13 nh nh t A = 25 ⇔ x = x 6)Trong tìm c c tr ch c n ch r ng t n t i m t giá tr c a bi n ch không c n ch m i giá tr x y x y ng th c Ví d : Tìm GTNN c a A = 11m − 5n Ta th y 11m t n b ng 1, 5n t n b ng N u 11m > 5n A t n b ng 6, n u 11m < 5n A t n b ng m = 2; n = thÌ A = 121 − 124 = ⇒ A = 4, ch ng h n m = 2, n = Vũ Quang Hưng 106 – THCS Ch t Bình ng th c CHUYÊN CHUYÊN B I DƯ NG TỐN 20 – PHƯƠNG TRÌNH NGHI M NGUYÊN - PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp ưa v d ng t ng Phương pháp: Phương pháp thư ng s d ng v i phương trình có bi u th c ch a n vi t c dư i d ng t ng bình phương - Bi n i phương trình v d ng m t v m t t ng c a bình phương bi u th c ch a n; v cịn l i t ng bình phương c a s nguyên (s s h ng c a hai v b ng nhau) Các ví d minh ho : - Ví d 1: Tìm x; y ∈ Z tho mãn: x − xy + y = 169 (1) ( x − y )2 + x = 144 + 25 (1) ⇔ x − xy + y + x = 144 + 25 = 169 + ⇔   2 ( x − y ) + x = 169 +  2 (II) T (I) ta có: Tương t t (II) ta có:  ( x − y ) = 122  x = ±5  x = ±5   ⇒ ; 22   x = 52 y = m y = m    ( x − y ) = 52  x = ±12  x = ±12  ⇒ ;  2 19 29 y = m y = m  x = 12   ( x − y ) = 132 x =   ⇒  x2 =  y = ±13     ( x − y ) =  x = ±13 ⇒  2  y = ±26  x = 13  ( 5; −2 ) ; ( 5; −22 ) ; ( −5; ) ; ( −5; 22 ) ; (12; −19 ) ; (12; −29 )    ( −12;19 ) ; ( −12; 29 ) ; ( 0;13) ; ( 0; −13) ; (13; 26 ) ; ( −13; −26 )    V y ( x, y ) ∈   Ví d 2: Tìm x; y ∈ Z tho mãn: x + y − x − y = (2) 2 (2) ⇔ x − x + y − y = 32 ⇔ x − x + + y − y + = 34 ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = 52 + 32  ( x − 1)2 = 32  x = 2; x = −1  ⇒   ( y − 1)2 = 52  y = 3; y = −2  ⇒  ( x − 1)2 = 52  x = 3; x = −2   ⇒  ( y − 1) = 32  y = 2; y = −1  V y ( x; y ) ∈ {( 2;3) ; ( 2; −2 ) ; ( −1;3) ; ( −1; −2 ) ; ( 3; ) ; ( 3; −1) ; ( −2; ) ; ( −2; −1)} Ví d 3: Tìm x; y ∈ Z tho mãn: x3 − y = 91 (1) Vũ Quang Hưng 107 – THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN (1) ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) = 91.1 = 13.7 (Vì ( x + xy + y ) > )  x − y =  x =  x = −5   ⇒ ;  ( x + xy + y ) = 91  y =  y = −6 ( x − y ) ( x + xy + y ) = 91.1 ⇒     x − y = 91  ⇒ VN  2  ( x + xy + y ) =  Ví d 4: Tìm x; y ∈ Z tho mãn: x + x − y = (2) 2 x + x − y = ⇒ x + x − y = ⇒ ( x + 1) − ( y ) = ⇒ ( x + y + 1)( x − xy + 1) =  2 x + y + =  x = ⇒   2 x − y + =  y = ⇒   x + y + = −1  x = −1  ⇒  2 x − y + = −1  y =  V y: ( x; y ) ∈ {( 0;0 ) ; ( −1;0 ) } - PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp c c h n Phương pháp: Phương pháp thư ng s d ng v i phương trình - Vì phương trình i x ng nên x; y; z có vai trị bình x ≤ y ≤ z ; tìm i u ki n c a nghi m; lo i tr Gi i phương trình; dùng phép hốn v ng Do ó; ta gi thi t d n n có phương trình ơn gi n suy nghi m Ta thư ng gi thi t ≤ x ≤ y ≤ z ≤ Các ví d minh ho : Ví d 1: Tìm x; y; z ∈ Z + tho mãn: x + y + z = x y.z (1) Nh n xét – Tìm hư ng gi i: Ta th y ây phương trình i x ng Gi s ≤ x ≤ y ≤ z Khi ó: (1) ⇒ x y.z = x + y + z ≤ 3z ⇒ x y ≤ (Vì x; y; z ∈ Z + ) ⇒ x y ∈ {1; 2;3} * N u: x y = ⇒ x = y = ⇒ + z = z (vơ lí) * N u: x y = ⇒ x = 1; y = 2; z = * N u: x y = ⇒ x = 1; y = ⇒ z = < y (vơ lí) Vũ Quang Hưng 108 – i x ng THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TỐN V y: x; y; z hốn v c a (1; 2;3) 1 + + = (2) x y z Ví d 2: Tìm x; y; z ∈ Z + tho mãn: Nh n xét – Tìm hư ng gi i: ây phương trình i x ng Gi s ≤ x ≤ y ≤ z Khi ó: x y z x (2) ⇒ = + + ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x = 1 y z y V i: x = ⇒ = + ≤ ⇒ y ≤ ⇒ y ∈ {1; 2} z N u: y = ⇒ = (vơ lí) N u: y = ⇒ z = V y: x; y; z hoán v c a (1; 2; ) - PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp s d ng tính ch t chia h t Các ví d minh ho : Ví d 1: Tìm x; y ∈ Z Ta có: A = : A= x2 + x x2 + x + nh n giá tr nguyên x2 + x x2 + x +1 −1 = = 1+ Khi ó: x + x +1 x + x +1 x + x +1 A nh n giá tr nguyên nh n giá tr nguyên x + x +1 ⇒ 1Mx + x + 1) ⇒ ( x + x + 1) ∈ U (1) = {−1;1} ( x =  x = −1 Vì : ( x + x + 1) > 0; ∀x ∈ ¢ ⇒ x + x + = ⇒  V y A nh n giá tr nguyên thì: x = ho c x = −1 Ví d 2: Tìm x; y ∈ Z tho mãn: y x + x + y + = x + y + x y (2) ⇒ y ( x − 1) − x ( x − 1) − y ( x − 1) + = (*) V i: x = 1; (*) ⇒ = ⇒ x = không ph i ngi m c a phương trình Nên: Vũ Quang Hưng 109 – THCS Ch t Bình CHUYÊN y2 − x − y + B I DƯ NG TOÁN = (**) x −1 Phương trình có nghi m nguyên ⇔ x = ∈ ¢ ⇔ ( x − 1) ∈ U (1) = {1; −1} ⇒  x −1 x = Ví d 3: Tìm x; y ∈ Z + tho mãn: 3x + = ( y + 1) (3) Ta có: (3) ⇒ 3x = ( y − 1) − = y ( y + ) 3x s l ⇒ y; ( y + ) hai s l liên ti p ⇒ ( y; y + ) = ⇒ y; y + lu th a c a 3, nên:  y = 3m (*)  ( m + n = x ) ⇒ 3m + = 3n ⇒ m < n  n  y + = (**)  V i: m = 0; ⇒ n = ⇒ y = 1; x =  yM ⇒ ( y; ( y + ) ) ≠ ( vơ lí) ( y + )M  V i: m ≥ 1; ⇒ n > T (*) ; (**) ⇒   x = y =1 Phương trình có nghi m nguyên:  - PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp s d ng b t ng th c Phương pháp: Phương pháp thư ng s d ng v i phương trình mà hai v nh ng a th c có tính bi n thiên khác - Áp d ng b t *B t ng th c thư ng g p: ng th c Cô – si: Cho n s không âm: a1; a2 ; a3 ; ; an Khi ó: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 .an D u “=” x y ⇔ a1 = a2 = a3 = = an n *B t ng th c Bunhiacôpxki: Cho 2n s th c: a1; a2 ; a3 ; ; an b1; b2 ; b3 ; ; bn Khi ó: ( a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 + + an bn ) ≤ ( a1 + a2 + a3 + + an )( b1 + b2 + b3 + + bn ) D u “=” x y ⇔ = kbi ( i = 1; n ) *B t ng th cgiá tr t i: Vũ Quang Hưng 110 – THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN  a + b ⇔ a.b ≥ a +b =  a − b ⇔ a.b <  Các ví d minh ho : Ví d 1: Tìm x; y ∈ Z + tho : x y y.z z.x + + = (1) z x y Áp d ng B T Cô – si Ta có: = x y y.z z.x x y y.z z.x + + ≥ 3 = 3 x y.z z x y z x y ⇒ x y.z ≤ ⇔ x y.z ≤ ⇒ x = y = z = V y nghi m c a phương trình là: x = y = z = Ví d 2: Tìm nghi m nguyên c a phương trình: ( x + y + 1) = ( x + y + 1) (2) (Toán Tu i thơ 2) Theo Bunhiacơpxki,ta có: ( x + y + 1) ≤ (12 + 12 + 12 )( x + y + 1) = ( x + y + 1) x D u “=” x y ⇔ = y = ⇒ x = y =1 1 V y nghi m c a phương trình là: x = y = Ví d 3: Tìm t t c s ngun x tho mãn: x − + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004 (3) Nh n xét – Tìm hư ng gi i: Ta nh n th y: 2104 = + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 a = −a Ta có:(3) ⇒ − x + 10 − x + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004  3− x ≥ 3− x   10 − x ≥ 10 − x Mà a ≥ a ⇒  x + 101 ≥ x + 101 ⇒ 2004 ≥ x + 101 + 2003 ⇒ x + 101 ≤    x + 990 ≥ x + 990  x + 1000 ≥ x + 1000  Do ó: −1 ≤ ( x + 101) ≤ ⇒ ( x + 101) ∈ {−1;0;1} ⇒ x ∈ {−102; −101; −100} Vũ Quang Hưng 111 – THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN V i x = −101 ⇒ 2004 = 2003 (vơ lí) V y nghi m c a phương trình là: x ∈ {−102; −100} 1) Tìm s nguyên x,y,z tho mãn: x + y + z ≤ xy + y + z − Vì x,y,z s nguyên nên x + y + z ≤ xy + y + z −   y2   3y2 ⇔ x + y + z − xy − y − z + ≤ ⇔  x − xy +  +  − y + 3 + z2 − 2z + ≤     ( 2 y  y  ⇔  x −  +  −  + ( z − 1) ≤ 2  2  ) y y (*) Mà  x −  +  − 1 + ( z − 1) ≥    2  2  y  x − =  x =1  2 y y   y  ⇒  x −  +  − 1 + ( z − 1) = ⇔  − = ⇔  y = 2  2  2  z =1   z −1 =   ∀x, y ∈ R  x =1 Các s x,y,z ph i tìm  y =   z =1  PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp l a ch n Phương pháp: Phương pháp c s d ng v i phương trình mà ta có th nh m (phát hi n d dàng) c m t vài giá tr nghi m - Trên s giá tr nghi m ã bi t Áp d ng tính ch t chia h t; s dư; s phương; ch s t n … ta ch ng t r ng v i giá tr khác phương trình vơ nghi m Các ví d minh ho : Ví d 1: Tìm x; y ∈ Z + tho mãn: x + 3x + = y Nh n xét – Tìm hư ng gi i: Ta th y v i x = 0; y = ±1 phương trình c nghi m úng Ta c n ch ng minh phương trình vô nghi m v i x ≠ + V i x = 0; y = ±1 phương trình c nghi m úng + V i x > Khi ó: 2 x + x3 + < x + x + < x + x + ⇒ ( x + 1) < y < ( x + ) (*) Vì ( x3 + 1) ; ( x3 + ) hai s ngun liên ti p nên khơng có giá tr c a y tho (*) Vũ Quang Hưng 112 – THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN V y x = 0; y = ±1 nghi m c a phương trình Ví d 2: Tìm x; y ∈ Z + tho : x + x − = 32 y +1 (2) (T p chí Tốn h c tu i tr ) G i b ch s t n c a x ( V i b ∈ {0;1; 2; ;9} Khi ó: ( x + x − 1) có ch s t n là: 1, ho c (*) M t khác: 32 y +1 lu th a b c l c a nên có t n ho c (**) T (*) (**) suy phương trình vơ nghi m Ví d 3: Tìm x; y ∈ Z + tho mãn: x − xy + 13 y = 100 (3)  y ≤5 (3) ⇒ ( x − 3) = ( 25 − y ) ⇒   ( 25 − y  2 ) = n (n ∈ ¥ ) Do ó: y ∈ {−5; −4; −3;0;3; 4;5} ⇒ x ∈ {3;9;11;13} Phương trình có nghi m ngun: ( x; y ) ∈ {( −5;3) ; ( −4;9 ) ; ( −3;11) ; ( 0;13) ; ( 3;11) ; ( 4;9 ) ; ( 5;3)} PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lùi vô h n (xu ng thang) Phương pháp: Phương pháp thư ng s d ng v i nh ng phương trình có (n – 1) n mà h s có c chung khác - D a vào tính ch t chia h t ta bi u di n n theo n ph nh m “h ” (gi m b t) h ng s t do, có c phương trình ơn gi n - S d ng linh ho t phương pháp gi i phương trình ó Các ví d minh ho : Ví d 1: Gi i phương trình: x3 − y − z = (1) Nh n xét – Tìm hư ng gi i: Ta th y x3 − y − z = ⇒ ( x3 − y − z )M mà ( −3 y − z )M nên x3 M 3 Ta có: (1) ⇒ ( x3 − y − z )M ⇒ x3 M ⇒ x M ⇒ x = 3x1 3 Khi ó: (1) ⇒ ( 27 x13 − y − z )M ⇒ ( x13 − y − z )M ⇒ y M ⇒ y M ⇒ y = y1 3 3 ⇒ ( x13 − 27 y13 − z )M ⇒ z M ⇒ z M ⇒ y = z1 3 Vũ Quang Hưng 113 – THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN * Ti p t c s bi u di n n u g i x0 ; y0 ; z0 nghi m c a (1) ∈ U ( x ; y ; z ) 0 ≤ x0 ; y0 ; z0 ≤ Th c hi n th ch n ta c: x0 = y0 = z0 = V y nghi m c a phương trình là: x0 = y0 = z0 = Vũ Quang Hưng 114 – THCS Ch t Bình 0 CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN CÁC BÀI T P KHÁC 1/Dùng nh nghĩa 1) Cho abc = a > 36 Ch ng minh r ng a2 2 + b +c > ab+bc+ac Gi i Ta có hi u: a2 a2 a2 2 2 + b +c - ab- bc – ac = + + b +c - ab- bc – ac 12 = ( a2 a2 a a − 36abc 2 + b +c - ab– ac+ 2bc) + − 3bc =( -b- c) + 12 12a a a − 36abc =( -b- c) + >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên 12a V y : a2 2 + b +c > ab+bc+ac a >0 ) i u ph i ch ng minh 2) Ch ng minh r ng a) x + y + z + ≥ x.( xy − x + z + 1) b) v i m i s th c a , b, c ta có : a + 5b − 4ab + 2a − 6b + > c) a + 2b − 2ab + 2a − 4b + ≥ Gi i : a) Xét hi u : H = x + y + z + − x y + x − xz − x = (x − y ) + (x − z )2 + (x − 1)2 H ≥ ta có i u ph i ch ng minh b) V trái có th vi t H = (a − 2b + 1)2 + (b − 1)2 + ⇒ H > ta có i u ph i ch ng minh c) v trái có th vi t H = (a − b + 1)2 + (b − 1)2 ⇒ H ≥ ta có i u ph i ch ng minh Vũ Quang Hưng 115 – THCS Ch t Bình CHUYÊN Ii / Dùng bi n B I DƯ NG TOÁN i tương ương (x ) + y2 1) Cho x > y xy =1 Ch ng minh r ng : ≥8 (x − y )2 Gi i : Ta có (vì xy = 1) x + y = ( x − y ) + xy = ( x − y ) + (x ⇒ + y2 ) = (x − y ) + 4.( x − y ) + Do ó B T c n ch ng minh tương ương v i (x − y )4 + 4(x − y )2 + ≥ 8.(x − y )2 ⇔ (x − y )4 − 4(x − y )2 + ≥ ⇔ ( x − y ) − 2 ≥   B T cu i úng nên ta có i u ph i ch ng minh 2) Cho xy ≥ Ch ng minh r ng : 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y + xy Gi i :  1   1  + ≥ ⇔ 2  + x − + y  +  + y − + xy  ≥    1+ x 1+ y + xy     Ta có ⇔ ⇔ xy − x xy − y + ≥0 ⇔ + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) x ( y − x) y( x − y) + ≥0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( y − x )2 (xy − 1) ≥ (1 + x )(1 + y ).(1 + xy ) B T cu i úng xy > V y ta có i u ph i ch ng minh Iii / dùng b t ng th c ph 1) Cho a , b, c s th c a + b +c =1 Ch ng minh r ng a + b + c ≥ Gi i : áp d ng B T BunhiaCôpski cho s (1,1,1) (a,b,c) (1.a + 1.b + 1.c )2 ≤ (1 + + 1).(a + b + c ) Ta có ⇔ (a + b + c )2 ≤ 3.(a + b + c ) Vũ Quang Hưng 116 – THCS Ch t Bình CHUYÊN a2 + b2 + c2 ≥ ⇔ B I DƯ NG TOÁN (vì a+b+c =1 ) ( pcm) 2) Cho a,b,c s dương 1 Ch ng minh r ng (a + b + c ). + +  ≥   a b c (1) Gi i : a a b b c c a b a c b c (1) ⇔ + + + + + + + + ≥ ⇔ +  +  +  +  +  +  ≥       b c a áp d ng B T ph c a b a x y + ≥2 y x a c a c b V i x,y > Ta có B T cu i ln úng 1 V y (a + b + c ). + +  ≥   a b ( pcm) c Iv / dùng phương pháp b c c u 1) Cho < a, b,c a3 + b3 V y a + b < + a 2b Tương t ta có : b3 + c3 < + b 2c a3 + c3 < + c 2a ⇒ 2a + 2b + 2c < + a 2b + b 2c + c a ( pcm) 2) So sánh 31 11 17 14 Gi i : 11 Ta th y 3111 < 3211 = ( 25 ) = 255 < 256 14 M t khác 256 = 24.14 = ( 24 ) = 1614 < 1714 V y 31 11 < 17 14 ( pcm) Vũ Quang Hưng 117 – THCS Ch t Bình CHUN B I DƯ NG TỐN V/ dùng tính ch t t s ví d 4: Cho s a,b,c,d b t kỳ, ch ng minh r ng: (a + c) + (b + d ) ≤ a + b + c + d Gi i: Dùng b t ta có ng th c Bunhiacopski ac + bd ≤ a2 + b2 c2 + d mà (a + c )2 + (b + d )2 = a + b + 2(ac + bd ) + c + d ≤ (a + b ) + a + b c + d + c + d ⇒ (a + c) + (b + d ) ≤ a + b + c + d Tr ng anh ã sưu t m ch n l c c tài li u: 20 CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN xin chia s t i quý th y, cô Kính mong q Th y, óng góp b xung chuyên c gi h u ích n a, link g c ã ch nh s a m t s l n http://c2tienthang.violet.vn/present/show/entry_id/4266741/cm_id/1932704#1932704 Vũ Quang Hưng 118 – THCS Ch t Bình ... x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8( x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8( x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5... x99 + x 88 + x77 + + x11 + chia h t cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x 88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + – Vũ Quang Hưng 49 – THCS Ch t Bình CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN... Bình CHUYÊN B I DƯ NG TOÁN Ta th y 54k – chia h t cho 54 – = (52 – 1)(52 + 1) chia h t cho 16 Ta có: 51994 = 56 (51 988 – 1) + 56 Do 56 chia h t cho 54, 51 988 – chia h t cho 16 nên 56(51 988 – 1)