Câu 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50. Đờng phân giác của góc ABC và đờng trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E. 1.Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn. Xác định tâm O của đờng tròn này. 2. Tính BE. 3. Vẽ đờng kính EF của đờng tròn tâm (O). AE và BF cắt nhau tại P. Chứng minh các đờng thẳng BE, PO, AF đồng quy. 4. Tính diện tích phần hình tròn tâm (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE. 1 HD HD Câu V: Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) có tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là diện tích tam giác ABC. a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đờng tròn. b) Vẽ đờng kính AK của đờng tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và S = . . 4 AB BC CA R . c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đờng tròn. d) Chứngminh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2 S. Bài 4: Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là hai tiếp điểm). Lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB (Ckhác với A và B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM. a. Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh: · · CDE CBA= c. Gọi I là giao điểm của AC và ED, K là giao điểm của CB và DF. Chứng minh IK//AB. d. Xác đònh vò trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC 2 + CB 2 ) nhỏ nhất. Tính giá trò nhỏ nhất đó khi OM = 2R. BÀI LÀM: a. Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp. Xét tứ giác AECD ta có : - Hai góc đối · · 90 ( ; )AEC ADC CD AB CE AM = = ⊥ ⊥ d 2 A B M C D E F I K A 2 D 1 D 2 A 1 N Nên tổng của chúng bù nhau. Do đó tứ giác AECD nội tiếp đường tròn b. Chứng minh: · · CDE CBA= Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn nên · · ( )CDE CAE cùngchắncungCE = Điểm C thuộc cung nhỏ AB nên: · · ( )CAE CBA cùngchắncungCA = Suy ra : · · CDE CBA= c. Chứng minh IK//AB µ µ µ µ · · · · µ ¶ ¶ ¶ · · · · · 1 1 2 2 0 0 Xét DCE và BCA ta có: D ( ) DCE KCI E ( ) EAD IDK( ; ) EAD DCE 180 ( nội tiếp) KCI IDK 180 B cmt A cùngchắncungCD mà A D A D FBC tứ giác AECD  =  ⇒ =  =   = = = = + = ⇒ + = V V Suy ra tứ giác ICKD nội tiếp.=> · · » ( ) CKCIK CDK cùngchắn = Mà · · · ( ) CBFCAB CDK cùngchắn = Suy ra · · ( ) vò trí đồng vòCIK CBA ở =  IK//AB (đpcm) d. Xác đònh vò trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC 2 + CB 2 ) nhỏ nhất. Tính giá trò nhỏ nhất đó khi OM = 2R. Gọi N là trung điểm của AB.Ta có: AC 2 + CB 2 = 2CD 2 + AD 2 + DB 2 =2(CN 2 – ND 2 ) + (AN+ND) 2 + (AN – ND) 2 = 2CN 2 – 2ND 2 + AN 2 + 2AN.ND + ND 2 + AN 2 – 2AN.ND + ND 2 .= 2CN 2 + 2AN 2 = 2CN 2 + AB 2 /2 AB 2 /2 ko đổi nên CA 2 + CB 2 đạt GTNN khi CN đạt GTNN ó C là giao điểm của ON và cung nhỏ AB.=> C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Khi OM = 2R thì OC = R hay C là trung điểm của OM => CB = CA = MO/2 = R Do đó: Min (CA 2 + CB 2 ) = 2R 2 . B i 4: Cho à đường tròn tâm O có các đường kính CD, IK (IK khơng trùng CD) 1. Chứng minh tứ giác CIDK l hình chà ữ nhật 2. Các tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn tâm O thứ tự ở G; H a. Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cùng thuộc một đường tròn. b. Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tìm vị trí của G v H khi dià ện tích tam giác DỊJ đạt giá trị nhỏ nhất. Bµi 4. 1. Ta cã CD lµ ®êng kÝnh, nªn: ∠ CKD = ∠ CID = 90 0 (T/c gãc néi tiÕp) Ta cã IK lµ ®êng kÝnh, nªn: ∠ KCI = ∠ KDI = 90 0 (T/c gãc néi tiÕp) VËy tø gi¸c CIDK lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. a. V× tø gi¸c CIDK néi tiÕp nªn ta cã: ∠ ICD = ∠ IKD (t/c gãc néi tiÕp) MỈt kh¸c ta cã: ∠ G = ∠ ICD (cïng phơ víi ∠ GCI) ⇒ ∠ G = ∠ IKD VËy tø gi¸c GIKH néi tiÕp. b. Ta cã: DC ⊥ GH (t/c) ⇒ DC 2 = GC.CH mµ CD lµ ®êng kÝnh ,nªn ®é dµi CD kh«ng ®ỉi. ⇒ GC. CH kh«ng ®ỉi. 3 §Ó diÖn tÝch ∆ GDH ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi GH ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Mµ GH = GC + CH nhá nhÊt khi GC = CH Khi GC = CH ta suy ra : GC = CH = CD Vµ IK ⊥ CD . B i 4:à (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I l trung à điểm của BC, M l 1 à điểm trên đoạn CI (M khác C v I). à Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P v cà ắt DC tại Q. a. Chứng minh DM . AI = MP . IB b. Tính tỉ số HƯỚNG DẪN a. Chứng minh DM . AI = MP . IB Chứng minh hai tam giác MDP v ICA à đồng dạng : · · · = = PMQ AMQ AIC ( Đối đỉnh + cùng chắn cung) · · = MDP ICA ( cùng chắn cung AB ) Vậy hai tam giác đồng dạng trường hợp góc – góc Suy ra MD IC MP IA = => Tích chéo bằng nhau & thế IC =IB b) Chứng minh hai tam giác MDQ v IBA à đồng dạng : · · DMQ AIB = ( cùng bù với hai góc bằng nhau ) , · · ABI MDC= (cùng chắn cung AC) => MD IB MQ IA = đồng thời có MD IC MP IA = => MP = MQ => tỉ số của chúng bằng 1 B i 4 (4.0 à điểm ) Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A v O).Là ấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C v D), AE cà ắt BD tại H. a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân v tà ứ giác CEHK nội tiếp. b) Chứng minh rằng AD 2 = AH . AE. c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O). d) Cho góc BCD bằng α . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O). B i 4 (4.0 à điểm ) a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân v tà ứ giác CEHK nội tiếp. * Tam giác CBD cân AC ⊥ BD tại K ⇒ BK=KD=BD:2(đường kính vuông góc dây cung) ,ΔCBD có đường cao CK vừa l à đường trung tuyến nên ΔCBD cân. * Tứ giác CEHK nội tiếp · · 0 AEC HEC 180 = = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ; · 0 KHC 180 = (gt) 4 A O B M C E D M’ K H B” D ” ã ã 0 0 0 HEC HKC 90 90 180+ = + = (tng hai gúc i) t giỏc CEHK ni tip b) Chng minh rng AD 2 = AH . AE. Xột ADH v AED cú : ả A chung ; AC BD ti K ,AC ct cung ằ BD ti A suy ra A l im chớnh gia cung ẳ BAD , hay cung ằ ằ AB AD= ã ã ADB AED = (chn hai cung bng nhau) . Vy ADH = AED (g-g) 2 . AD AH AD AH AE AE AD = = c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tớnh chu vi ca hỡnh trũn (O). BK = KD = BD : 2 = 24 : 2 = 12 (cm) ( cm cõu a ) ; BC =20cm * BKC vuụng ti A cú : KC = 2 2 2 2 20 12 400 144 256BC BK = = = =16 * ã 0 ABC 90= ( gúc ni tip chn na ng trũn) ABC vuụng ti B cú BK AC : BC 2 =KC.AC 400 =16.AC AC = 25 R= 12,5cm C = 2R = 2.12,5 = 25 (=25.3,14 = 78.5) (cm) d)Tớnh gúc MBC theo M thuc ng trũn (O). Gi i: MBC cõn ti M cú MB = MC nờn M nm trờn ng trung trc d ca BC ; gi s M (O) v n m trờn na mt phng b BC khụng cha im A , nờn M giao im ca d v ng trũn (O) , do ú M l im chớnh gia cung BC nh ẳ ẳ BM MC = ã ã BDM MDC = do BCD cõn ti C nờn ã ã ã 0 0 ) : 2 BDC DBC (180 DCB 2 90 = = = . M v B n m trờn hai na mt phng cú b BC i nhau nờn M thuc (O) hay t giỏc MBDC ni tip nờn tng hai gúc i phi tho món: ã ã ã ã 0 0 0 0 0 90 2 2 BDC BMC 180 BMC 180 BDC 180 90 + = = = = + ữ do tam giỏc MBC cõn ti M nờn ã ã ã ( ) 0 0 0 0 : 2 : 2 4 MBC BCM 180 BMC 180 90 2 45 = = = + = ữ Vy ã MBC = 0 45 4 ữ Bài 3. ( 3,0 điểm) Cho đờng tròn (O; R) Và điểmA nằm ngoài (O; R) .Đờng tròn đờng kính AO cắt đ- ờng tròn (O; R) Tại M và N. Đờng thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C ( d không đi qua O; điểm B nằm giữa A và C). Gọi H nlà trung điểm của BC. 1) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đờng tròn đờng kính AO. 2) Đờng thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D. Chứng minh rằng: a) Góc AHN = góc BDN b) Đờng thẳng DH song song với đờng thẳng MC. c) HB + HD > CD Bài 4: Mà AHN = AMN (cmt) => AHN = MDE Mặt khác MDE = BDN (đđ) => AHN = BDN (đpcm) b. từ câu trên => tứ giác BDHN nội tiếp. => BND = BHN Mà BHN = BCN (chắn BN của (O)) => BHN = BCN => DH // MC. c. ta có : HD + HB = HD + HC. Trong HDC : HD + HC > DC (BĐT tam giác) ? HD + HB > DC. Câu IV: (3,0đ). Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và AD lần lợt tại E và F. 1. Chứng minh rằng BE.BF = 4R 2 . 5 O d H I F E D C B A 2. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn. 3. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đờng thẳng cố định. Câu IV: a. Ta có tam giác AEF vuông tại A (Góc A là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Mà AB là đờng cao. => BE.BF = AB 2 (Hệ thức lợng trong tam giác vuông) => BE.BF = 4R 2 ( Vì AB = 2R) b. Ta có góc CEF = góc BAD (Cùng phụ với góc BAE) Mà góc BAD = góc ADC ( Tam giác AOD cân) => Góc CEF = góc ADC => Tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn. c. Gọi trung điểm của EF là H. => IH // AB (*) Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến của tam giác vuông AEF, góc A = 90 0 ) => góc HAC = góc HEA (1) Mà góc HEA + góc BAC = 90 0 (2) Mặt khác góc BAC = góc ACO ( tam giác AOC cân tại O) (3) Từ (1), (2) và (3) => AH CD Nhng OI CD => AH//OI (**) Từ (*) và (**) => AHIO là hình bình hành => IH = AO = R (không đổi). Nên I cách đờng thẳng cố định EF một khoảng không đổi = R => I thuộc đờng thẳng d // EF và cách EF một khoảng =R. * Chú ý: Trờng hợp CD AB thì I thuộc AB và vẫn cách d một khoảng = R. Bài 5. (3,0 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đờng tròn (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng tròn (O;R) ( A; B là hai tiếp điểm). a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp. b) Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm. c) Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D ). Gọi E là giao điểm của AB và OM. Chứng minh rằng EA là tia phân giác của góc CED. Bài 5: D C E O M A B a) Ta có: MA AO ; MB BO ( T/C tiếp tuyến cắt nhau) => ã ã 0 90MAO MBO= = Tứ giác MAOB có : ã ã MAO MBO+ = 90 0 + 90 0 = 180 0 => Tứ giác MAOB nội tiếp đờng tròn b) áp dụng ĐL Pi ta go vào MAO vuông tại A có: MO 2 = MA 2 + AO 2 MA 2 = MO 2 AO 2 MA 2 = 5 2 3 2 = 16 => MA = 4 ( cm) Vì MA;MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau => MA = MB => MAB cân tại A MO là phân giác ( T/C tiếp tuyến) = > MO là đờng trung trực => MO AB Xét AMO vuông tại A có MO AB ta có: AO 2 = MO . EO ( HTL trong vuông) => EO = 2 AO MO = 9 5 (cm) => ME = 5 - 9 5 = 16 5 (cm) áp dụng ĐL Pi ta go vào tam giác AEO vuông tại E ta có:AO 2 = AE 2 +EO 2 AE 2 = AO 2 EO 2 = 9 - 81 25 = 144 25 = 12 5 6 O 2 O 1 K H O E D C B A AE = 12 5 ( cm) => AB = 2AE (vì AE = BE do MO là đờng trung trực của AB) AB = 24 5 (cm) => S MAB = 1 2 ME . AB = 1 16 24 . . 2 5 5 = 192 25 (cm 2 ) c) Xét AMO vuông tại A có MO AB. áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vuông AMO ta có: MA 2 = ME. MO (1) mà : ã ã ADC MAC= = 1 2 Sđ ằ AC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn 1 cung) MAC : DAM (g.g) => MA MD MC MA = => MA 2 = MC . MD (2) Từ (1) và (2) => MC . MD = ME. MO => MD ME MO MC = MCE : MDO ( c.g.c) ( ả M chung; MD ME MO MC = ) => ã ã MEC MDO = ( 2 góc tứng) ( 3) Tơng tự: OAE : OMA (g.g) => OA OE = OM OA => OA OE = OM OA = OD OM OE OD = ( OD = OA = R) Ta có: DOE : MOD ( c.g.c) ( à O chong ; OD OM OE OD = ) => ã ã OED ODM= ( 2 góc t ứng) (4) Từ (3) (4) => ã ã OED MEC = . mà : ã ã AEC MEC+ =90 0 ã ã AED OED+ =90 0 => ã ã AEC AED= => EA là phân giác của ã DEC B i 3 : (3 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A .Mt ng trũn (O) i qua B v C c t cỏc cnh AB , AC ca tam giỏc ABC ln lt ti D v E ( BC khụng l ng kớnh ca ng trũn tõm O).ng cao AH ca tam giỏc ABC ct DE ti K . 1.Chng minh ã ã ADE ACB = . 2.Chng minh K l trung im ca DE. 3.Trng hp K l trung im ca AH .Chng minh rng ng thng DE l ti p tuyn chung ngo i c a ng trũn ng kớnh BH v ng trũn ng kớnh CH. B i 3: a. Ta cú t giỏc BDEC ni tip => ã ã 0 180BDE ACB+ = M ã ã 0 180BDE ADE+ = ( hai gúc k bự) => ã ã ADE ACB= b. Chng minh tng t phn a, ta cú ã ã AED ABC = m ã ã HAC ABC = ( cựng ph vi gúc ACB) => ã ã HAC AED= => AEK cõn ti K => AK=KE (1) Chng minh tng t ta cú AKD cõn ti K => AK = KD (2) => KE=KD => K l trung im ca DE. 7 c. Vì K l trung à điểm của AH v DE nên tà ứ giác ADHE l hình bình h nhà à M góc A =90à 0 => ADHE l hình chà ữ nhật => AK = KH = KD = KE Ta có ∆O 1 DK = ∆O 1 HK M góc Oà 1 HK = 90 0 => góc O 1 DK = 90 0 Mặt khác DO 1 = BO 1 = HO 1 (t/c tam giác vuông) => DE l tià ếp tuyến của (O 1 ) Tương tự ta cũng chứng minh được DE l tià ếp tuyến của (O 2 ) => DE l tià ếp tuyến chung của (O 1 ) v (Oà 2 ) B i 4à : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M. a) Chứng minh tứ giác BCMD l tà ứ giác nội tiếp . b) Chứng minh tam giác ABM l tam giác cân .à c) Tính tích AM.AD theo R . d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM th nh hai hà ần. Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngo i (O) .à B i 5 : (3,5 à điểm) Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB v dây CD vuông góc và ới nhau (CA < CB). Hai tia BC v DA cà ắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở F. Chứng minh rằng : 1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn. 2/ Ba điểm B , D , F thẳng h ng.à 3/ HC l tià ếp tuyến của đường tròn (O). 8 i 4.à (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng n y cà ắt các đường thẳng DM v DC theo thà ứ tự tại H v K.à 1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; 2. Tính · CHK ; 3. Chứng minh KH.KB = KC.KD; 4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh 2 2 2 1 1 1 AD AM AN = + . B i 4.à (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng n y cà ắt các đường thẳng DM v DC theo thà ứ tự tại H v K.à 1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; 2. Tính · CHK ; 9 3. Chứng minh KH.KB = KC.KD; 4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh 2 2 2 1 1 1 AD AM AN = + . + Ta có · DAB = 90 o (ABCD l hình vuông)à · BHD = 90 o (gt) Nên · · DAB BHD + = 180 o ⇒ Tứ giác ABHD nội tiếp + Ta có · BHD = 90 o (gt) · BCD = 90 o (ABCD l hình vuông)à Nên H; C cùng thuộc đường tròn đường kính DB ⇒ Tứ giác BHCD nội tiếp Ta có: · · · · o o BDC BHC 180 CHK BHC 180  + =   + =   ⇒ · · CHK BDC= m à · BDC = 45 o (tính chất hình vuông ABCD) ⇒ · CHK = 45 o Xét ∆KHD v à ∆KCB Có · · · o KHD KCB (90 ) DKB chung  = =     ⇒ ∆KHD ∆KCB (g.g) ⇒ KH KD KC KB = ⇒ KH.KB = KC.KD (đpcm) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng n y cà ắt đường thẳng DC tại P. Ta có: · · BAM DAP = (cùng phụ · MAD ) AB = AD (cạnh hình vuông ABCD) · · o ABM ADP 90= = Nên ∆BAM = ∆DAP (g.c.g) ⇒ AM = AP Trong ∆PAN có: · PAN = 90 o ; AD ⊥ PN nên 2 2 2 1 1 1 AD AP AN = + (hệ thức lượng trong tam giác vuông) ⇒ 2 2 2 1 1 1 AD AM AN = + Câu 8:( 3,0 điểm). Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A v B. Trên cùng mà ột nửa mặt phẳng có bờ l AB à kẻ hai tia Ax v By cùng vuông góc và ới AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I) a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn n y.à b, Chứng minh · · CIP PBK= . c, Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất. Câu 8 (3,0 điểm): 10 A C B K y I x P D C K N P A B M H [...]... QE ⇒ MI ⊥ QE ⇒ ∠ QMI = 900 ⇒ M thc ®êng trßn ®êng kÝnh QI Khi Qx ≡ QR th M ≡ I, khi Qx ≡ QP th M ≡ N VËy: khi tia Qx thay ®ỉi vÞ trÝ n»m gi÷a hai tia QP vµ QR th M lu«n n»m trªn cung NI cđa ®êng trßn ®êng kÝnh QI cè ®Þnh Câu 4: (2,5 điểm) Cho đươờngtròn (O;R) Đường th ng d tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A Trên đường th ng d lấy điểm H sao cho AH BM ' ⇒ 2α > 900 + ⇔ 2α − > 900 ⇔ 3α > 1800 ⇔ 600 < α ≤ 900 (khi BD qua » ¼ 2 2 0 ) ⇒ M’ thuộc... (A; R 3 ) và đường th ng (d) 2 2 Chú ý : Bài tốn có hai nghiệm hình: Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có 3 góc nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo th tự tại E và D 1/ Chứng minh AD.AC = AE.AB 2/ Gọi H là giao điểm của DB và CE Gọi K là giao điểm của AH và BC Chứng minh AH ⊥ BC 3/ Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm).Chứng... và (2) ta có điều phải chứng minh c) 1,0 điểm: Từ giả thiết suy ra tứ giác AIKB là hình thang vng, gọi s là diện tích của AIKB, khi đó ta 1 ( AI + KB ) AB Dễ th y s lớn nhất khi và chỉ khi KB lớn nhất (do A, B, I cố định) 2 · Xét các tam giác vng AIC và BKC có: KC ⊥ CI và KB ⊥ CA suy ra: BKC = · ACI (góc có cạnh tương ứng vng góc) hay ∆ACI đồng dạng với ∆BKC (g-g) AC AI AC BC Suy ra: , khi đó: BK lớn... BM ta được O1 Điểm đường tròn đã cho • với đường tròn tâm O1, bán kính O1M Bài 4 (2 điểm) Phần nước còn lại tạo th nh hình nón có chiều cao bằng một nửa chiều cao của hình nón do 8cm3 nước ban đầu tạo th nh Do đó phần nước còn lại có th tích A O D C O1 O2 E C là giao của 3 1 1 bằng  ÷ = th tích nước ban đầu Vậy trong ly còn 2 8 lại 1cm3 nước Câu 4 : ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh... AE 1 => = = BC AC 2 d KỴ ®êng th ng d ⊥OA t¹i A · => · ABC = CAd (Gãc néi tiÕp vµ gãc gi÷a tiÕp tun vµ mét d©y cïng ch¾n mét cung) · · · Mµ EBC = · ADE => EDA = CAd => d//ED Ta l¹i cã d⊥ OA (theo trªn) => ED⊥OA Câu 5 (3,5 điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường tròn tâm O bán kính R Từ A kẻ đường th ng (d) khơng đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại B và C ( B n ằm giữa A và C) Các tiếp tuyến với đường tròn... BF c¾t ®êng trßn t¹i C, tia ph©n gi¸c cđa gãc ABF c¾t Ax t¹i E vµ c¾t ®êng trßn t¹i D a) Chøng minh OD // BC b) Chøng minh hƯ th c : BD.BE = BC.BF c) Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp d) X¸c ®Þnh sè ®o cđa gãc ABC ®Ĩ tø gi¸c AOCD lµ h×nh thoi TÝnh diƯn tÝch h×nh thoi AOCD theo R Bài 4: 1) · · ODB = OBD (∆OBD can )   · ·  ⇒ ODB = EBF va so le trong · · EBF = CBD (tia phan giac)  ⇒ OD//BC · · . (không đổi). Nên I cách đờng th ng cố định EF một khoảng không đổi = R => I thuộc đờng th ng d // EF và cách EF một khoảng =R. * Chú ý: Trờng hợp CD AB th I thuộc AB và vẫn cách d một khoảng. vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường th ng vuông góc với DM, đường th ng n y cà ắt các đường th ng DM v DC theo th ứ tự tại H v K.à 1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD,. cà ắt các đường th ng DM v DC theo th ứ tự tại H v K.à 1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; 2. Tính · CHK ; 3. Chứng minh KH.KB = KC.KD; 4. Đường th ng AM cắt đường th ng