Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân ÔN TẬP : CHƯƠNG II- DÃY SỐ ; CẤP SỐ CỘNG -CẤP SỐ NHÂN A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I. Dãy số : Yêu cầu các em nắm chắc một số lý thuyết về dãy số sau : 1. Các đònh nghóa : - Dãy số là gì ? -Dãy số vô hạn ,dãy số hữu hạn , - Thế nào là số hạng của dãy số . 2.Cách cho dãy số : có ba cách - Cho dãy số bằng công thức tổng quát . -Cho bằng công thức truy hồi . - Cho bằng lời ,cách xác đònh một số hạng của dãy số . 3. Đònh nghóa dãy số tăng,giảmvà cách chứng minh một dãy số là dãy số tăng,giảm : - Có hai cách chứng minh : a. Dãy số tăng : Nếu với mọi nthuộc N*ta có U n+1 >U n • Nếu U n+1 -U n >0 thì U n là một dãy tăng (phương pháp thông dụng nhất ) • Nếu các số hạng của dãy số đều là các số hạng dương thì ta xét tỷ số : Nếu : : Kết luận Un là một dãy số tăng . Nếu: : Kết luận Un là một dãy số gảim . Nếu : : Kết luận dãy số là một dãy hằng số . b. Dãy số bò chặn : - Dãy số bò chặn trên : Tồn tại M sao cho với mọi n thuộc N* : U n ≤M . Thì ta nói rằng dãy số bò chặn trên tai M. - Dãy số bò chặn dưới : Tồn tại số m sao cho với mọi n thuộc N* ta có U n ≥m . Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 1 Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Thì ta nói rằng dãy số bò chặn dưới tại m . c. Dãy số bò chặn : Nếu tồn tai hai số m,M sao cho m≤U n ≤M .Thì ta nói rằng : dãy số là bò chặn . II. Cấp số cộng . 1. Đònh nghóa : Cấp số cộng là một dẵy số (hữu hạn hay vô hạn )mà trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi ,mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số không dổi d ,nghóa là : u n = u n-1 +d Số d gọi ;là công sai của cấp số . 2. Tính chất : Đònh lý : Nếu u n là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai ,mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn )đều là trung bình cộng của hai số hạng kề nó trong dẵy ,tức là : u n = u n+1 +u n-1 /2 . 3. Số hạng tổng quát : Đònh lý 2: Nếu cáp số cộng có số hạng đầu là u 1 và có công sai d thì số hạng tổng quát của nó được xác đònh như sau: u n = u 1 +(n-1)d . 4. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng : Đònh lý 3: Gỉa sử U n là một cấp số cộng ,Với mỗi số nguyên dương n . Gọi s n là tổng của n số hạng đầu tiêncủa nó (S n = u 1 +u 2 +u 3 + +u n ). Khi đó : III. Cấp số nhân . 1. Đònh nghóa : Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn )mà trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi ,mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng dứng ngay trước nó nhâvới một số không đổi q ,nghóa là : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 2 Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Dãy (u n ) là cấp số nhân Với mọi n≥2 ,u n = u n-1 .q (số q được gọi là công bội của cấp số nhân ). 2. Tính chất * Đònh lý 1: Nếu u n là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn )bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy ,tức là : U k 2 =u k-1 .u k+1 3. Số hạng tổng quát Đònh lý 2: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là u 1 và công bội q ≠0 ,thì số hạng tổng quát của nó đươcï xác đònh bởi công thức : u n =u 1 .q n-1 4. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân . Đònh lý 3: Nếu (u n ) là một cấp số nhân với công bội q≠1 thì S n được xác đònh bằng công thức S n = . B. Một số dạng toán thường gặp . Bài toán 1: Xác đònh một dãy số là một cấp số cộng-cấp số nhân : * Xuất phát từ đònh nghóa ,dãy (u n ) là cấp số nhân khi và chỉ khi Ta dẫn đến bài toán sau: * Cho dãy số (U n ), [ cho bằng công thức tổng quát ,hay cho bằng công thức truy hồi ] ,chứng minh (hay xem )nó có là cấp số nhân- cấp số cộng hay không? Phương pháp giải : 1. Nếu dãy số là cấp số nhân : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 3 Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân - Xét tỷ số : . - Nếu tỷ số này là hằng số q ,thì dãy u n sẽ là một cấp số nhân ,có công bội là q. Số hạng u 1 là khi ta thay n=1 vào u n . Lúc đó U n =U 1 .q n-1 . +) Chú ý : Nếu dãy số U n cho bằng công thức truy hồi thì U 1 đã biết .Một số câu hỏi thường gặp ,các em tham khảo thông qua một số ví dụ . +) Học sinh tự chứng minh công thức sau : Với u m ,u k là hai số hạng bất kỳ trong cấp số nhân . 2. Nếu dãy số là cấp số cộng : • Xét hiệu : . • Nếu hiệu này là một hằng số ,thì ta trả lời : Dãy số là một cấp số cộng với công sai d. • Yêu cầu học sinh chứng minh công thức sau : Với m>k ,và u m ,u k là hai số hạng bất kỳ trong cấp số cộng . Một số ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1. Cho dãy số (u n )với u n =22 n+1 . a. Chứng minh dãy (u n )là cấp số nhân .Nêu tính tăng ,giảm của dãy số ; b. Lập công thức truy hồi của dãy số ? Bài giải : a. Lập tỷ số : = Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 4 Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Suy ra Vậy (u n ) là một cấp số nhân có công bội là q=4 .Khi n=1 thì u 1 = Công théc tổâng quát của u n là u n =8.4 n-1 . Do q>1 cho nên cấp số nhân trên là một cấp số tiến . b. Như ta đã biết ,u 1 =8 . Ta tính U n+1 = . Do đó công thức tuy hồi của cấp số nhân là : Ví dụ 2: Dãy số (u n ) cho như sau : a. Lập dãy (V n )với V n = U n+1 -U n . Chứng minh dãy (V n ) là cấp số nhân ? b. Lập công thức tính U n theo n? Bài giải : a. Từø giả thiết suy ra : 3u n+1 =2u n +u n-1 Vậy : (v n ) là cấp số nhân có công bội q=-1/3 và v 1 =1. b. Để tính un viết : u n =(u n -u n-1 )+(u n-1 )-u n-2 )+ +(u 2 -u 1 )+u 1 =2004+1. Ví dụ 3. Cho các dãy số sau ,dãy số nào là cấp số nhân ? a.u n =(-5) 2n+1 . b) u n =(-1) n .3 3n+1 . c) . u n+1 =u n 2 . d) Bài giải : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 5 Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân a)Ta xét tỷ số : . Suy ra : Vậy u n là cấp số nhân ,có công bội q=25, số hạng u 1 = (-5) 3 =-125. b) Ta xét tỷ số : = Chứng tỏ u n là một cấp số nhân ,có công bội q= 27 và có số hạg u 1 = (-3) 3 =-27. c). Ta xét tỷ số : ,không là hằng số ,vì vậy u n không là cấp số nhân . d) Từ Chứng tỏ (u n ) là một cấp số nhân ,có công bội q= 7/5 và có số hạng u 1 =1. Ví dụ 4. Cho dãy (u n ) : a) Lâpl dãy số (x n ) với xn = 1 3 n n u u − + b, Chứng minh dãy x n là một cấp số nhân ? b) Tìm công thức tính x n ,u n theo n? Bài giải : a) Ta xét tỷ số : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 6 Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Vậy : .Do đó (x n ) là một cấp số nhân ,có công bội q= 1/5,có số hạng x 1 = -1/3. Ta có x n = b) Tìm công thức x n ,u n theo n Ta có và : Ta có x n = Bài toán 2. * Cho hai số thực A và B .Hãy xen vào giữa hai số này k số (k là số cho trứơc) ,để đựơc k+2 số hạng lập thành một cấp số nhân .Tìm k số thêm vào giữa đó ? Phương pháp giải : • Theo đầu bài thì A= u 1 và B= u k+2 .Theo tính chất của số hạng tổng quát của cấp số nhân ta có : B=u 1 .q k+1 =A.q k+1 .Suy ra q k+1 = • Biến đổi tỷ số thành dạng • Giải phương trình : . • Kết luận : Có m-1 số thêm vào giữa hai số A và B ,các số là k 1 =m 1 -1; k 2 =m 2 -1; • Chú ý : Áp dụng công thức : Thì làm nhanh hơn . * Đối với cấp số cộng thì sử dụng công thức : Với m,k ,u m ,u k đẫ biết . Một số ví dụ áp dụng : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 7 Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Ví dụ 1: a) Viết năm số xen vào giữa hai số 1 và 729 để được một cấp số nhân có bẩy số hạng .Xác đònh cấp số nhân này và tính tổng của chúng b) Viết sáu số xen vào giữa hai số -2 và 256 để được một cấp số nhân có tám hạng Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu ? Bài giải : a) Theo đầu bài thì u 1 =1 và u 7 =729 ,suy ra u 7 =u 1 .q 6 tương đương với 729=1.q 6 . Hay : q 6 = 3 6 .Vậy q=±3 Với q=3 ,thí các số thêm vào là : 6;9;27;81;243 hoặc -3;9;-27;81;-243 . Với q=3 thì S 7 = b)Tương tự a) ta có phương trình Do đó 6 số viết vào là : 4;-8;16;-32;64;-128. Ta có Ví dụ 2. Viết thêm năm số xen vào giữa hai số 3 và 192 để được 6 số lập thành một cấp số nhân . Tìm 5 số đó ? Bài giải : Theo kết quả của bài 1 .Ta có phương trình : Với q=2 .Năm số thêm vào là : 3,6,12,24,48. Với q=-2 .Năm số thêm vào là : 3,-6,12,-24,48 Bài toán 3: Tìm một cấp số nhân * Để tìm một cấp số nhân ,ta chỉ cần xác đònh được số hạng u 1 và công bội q là được . Vì vậy đầu bài cho ta luôn tìm cách đưa về hệ gồm hai phương trình có hai ẩn số là u 1 và q . Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 8 Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân * Để làm được bài toán này ,ta hay sử dụng công thức số hạng tổng quát : * Hoặc sử dụng hai công thức : MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1. Giải bài tập phần luyện tập (tr-121-GT11-NC) Bài 38. Chọn khảng đònh đúng trong các khảng đònh sau đây . a. Nếu các số thực a,b,c mà abc≠0.theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công sai khác không thì các số : theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng . b. Nếu các số thực a,b,c mà abc≠0.theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công sai khác không thì các số: , theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số nhân . Bài giải : Nếu a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì theo tính chất của cấp số nhân ta có Nếu lập thành cấp số nhân thì : Nếu : ,lập thành cấp số cộng ,thì : 2b=a+c Suy ra: Vậy cả hai khảng đònh trên đều không đúng . Bài 39. Các số x+6y ; 5x+2y , 8x+y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ; đồng thời các số x-1,y+2 ,x-3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân .Hãy tìm x,y? Bài giải : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 9 Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Theo đầu bài và tính chất của hai cấp số cộng và nhân ta có hệ PT sau : Bài 40. Cho cấp số cộng (u n )với công sai khác không .Biết rằng các số u 1 .u 2 ,u 2 u 3 và u 3 u 1 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công bội q≠0. Hãy tìm q ? Bài giải : Theo đầu bài ,và theo tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân ta có : - Theo tính chất của cấp số cộng : u 2 =u 1 +d ,u 3 =u 1 +2d và theo tính chất của cấp số nhân thì . Theo đầu bài : thì Với : (Thay từ (2) : ) Do vậy đáp số : q=-2 Bài 41. Số hạng thứ hai ,số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai d ≠0 ,theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó ? Bài giải : a. Gọi u 1 ,u 2 ,u 2 ,thứ tự là ba số hạng của một cấp số cộng : u 2 =u 1 =d ;u 3 =u 1 =2d . b . Cũng theo thứ tự đó ,nếu chúng lập thành cấp số nhân thì ta có phương trình : . Theo tính chất của cấp số nhân ta có : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 10 [...]... dãy số (bn) : với bn=un-vn ? c) Hãy xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (cn) : với cn=un.vn ? Bài giải : a) Ta có b) Số hạng tổng quát của bnlà : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 22 Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân c) Số hạng tổng quát của cn là : Bài 47 Trong các dãy số sau đây ,dãy số nào là cấp số cộng ,dãy số nào là cấp số nhân ?hãy xác đònh công sai hay công bội của cấp. .. cấp số đó ? a) Dãy số (un) với un=8n+3 b) Dãy số (un)=n2+n+1 ? c) Dãy số (un)= 3.8n ; d) Dãy số (un)= (n+2).3n Bài giải : a) Ta xét các hiệu và tỷ số sau : Chứng tỏ (un) là một cấp số cộng với công sai d=14 b) Ta có : ,không là hằng số ,do đó un không là cấp số cộng ,cũng chẳn là cấp số nhân c) Xét tỷ số : Chứng tỏ un là cấp số nhân với công bội q=8 d) Xét tỷ số : còn phụ thuộc n ,cho nên un không... q1 Cấp số nhân thứ hai có số hạng đầu là v1 với công bội q2 Gọi dãy số An là một dãy số có các số hạng là tích của các số hạng tương ứng của hai cấp số trên thì ta có : Qua trên ta thấy An chính là một cấp số nhân có số hạng đầu là tích của hai số hạng đầu của hai cấp số đã cho ,với công bội q bằng tích của hai công bội của hai cấp số đã cho Ví dụ minh hoạ : Cho cấp số nhân thứ nhất : 1,2,4,8 có số. .. cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng ,nếu biết số hạng tổng quát un của nó là : (A) là một dãy số không tăng ,không giảm (B) : làmột dãy giảm Là một dãy số tăng Bài 16 Nếu -2,x, 6,y là cấp số cộng ,thì 2x=-2+6=4 ;x=2 ; 12=x+y suy ra y=12-x=10 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 20 Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Chọn đáp án (D) Bài 17 Nếu -4,x,-9 là một cấp số nhân... và công sai d2=3 Cấp số cộng An là : 2,7,12,17,22, có a1=1+1=2 và công sai d=2+3=5 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 14 Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Bài 4 Cho hai cấp số nhân có cùng số hạng Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không ? vì sao ? Cho một ví dụ minh hoạ Bài giải : Theo bài 3 Giả sử cấp số nhân thứ nhất có số hạng đầu là u1 với công...Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Bài 42 Hãy tìmba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân ,biết rằng tổng của chúng bằng 148/9 đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu ,số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng ? Bài giải : Nếu gọi : là các số hạng của cấp số cộng Còn a,b,c theo thứ tự là ba số hạng đầu của một cấp số nhân Theo đầu bài ta coa... -ĐT-02403833608 2 Trang 17 Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Bài 9.Tìm số hạng đầu ø u1 và công bội q của cấp số nhân ,biết : Bài giải : a) Theo bài ra ta có : b) Tương tự ,ta có hệ : c) Tương tự ,ta có hệ : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 18 Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Bài 10.Tứ giác ABCD có số đo (độ )của các góc lập thành cấp số nhân theo thứ tự A,B,C,D Biết... ,diện tích của mỗi tầng theo thứ tự lập thành cấp số nhân ,có công bội q=2và S1= Bài 13 Chứng minh rằng ,nếu các số a2,b2,c2 lập thành một cấp số cộng (abc≠0),thì các số Cũng lập thành một cấp số cộng ? Bài giải : * Nếu lập thành cấp số cộng thì : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 19 Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân * Nếu : Lập thành cấp số cộng ,thì : So sánh (1) và (2 ),ta có điều... cấp số nhân là : Với cấp sô nhân là : Bài 43 Cho dãy dãy số (un) xác đònh bởi : U1=1 và un+1=5un+8 với mọi n≥1 a Chứng minh dãy (vn),với vn=un+2 là một cấp số nhân Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó ? b Dựa vào kết quả của phần a) hãy tìm số hạng tổng quát của dãy (un)? Bài giải : a.Theo đầu bài thi ta có : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 11 Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp. .. cùng số hạng Tổng các số hạng tương ứng của chúng của chúng có lập thành cấp số cộng không ?vì sao ?Cho một ví dụ minh hoạ Bài giải : Giả sử cấp số cộng thứ nhất có số hạng tổng quát là : cộng thứ hai có số hạng tổng quát là : Và cấp số Xét : Qua trên ,ta thấy rõ ràng An là một cấp số cộng ,với số hạng đầu là công sai d= và có Ví dụ : Cho cấp số cộng thứ nhất là : 1,3,5,7,9 Với u1=1 và d1=2 Cấp số . tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân ÔN TẬP : CHƯƠNG II- DÃY SỐ ; CẤP SỐ CỘNG -CẤP SỐ NHÂN A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I. Dãy số : Yêu cầu các em nắm chắc một số lý thuyết về dãy số sau. cấp số nhân- cấp số cộng hay không? Phương pháp giải : 1. Nếu dãy số là cấp số nhân : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 3 Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân - Xét tỷ số : . -. Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 2 Ơn tập : Chương III -Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân Dãy (u n ) là cấp số nhân Với mọi n≥2 ,u n = u n-1 .q (số q được gọi là công bội của cấp số nhân ). 2.