Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012 Môn: Toán - lớp 9 Thời gian: 150 phút(Không tính thời gian giao đề) (Đề có 01 trang) Câu 1. (4,0 điểm). a, Không dùng máy tính, hy tính: A = 3 3 5 2 7 5 2 7 + b, Cho dy số: a 1 ; a 2 ; a 3 ; , thảo mn: a 2 = 1; a 50 = 2012, và a n + a n+1 = a n+2 với mọi số tự nhiên n 1. Tính tổng S = a 1 + a 2 + . . . + a 48 Câu 2. (2,0 điểm). Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx + m - 1 (m là tham số). Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luông đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m Câu 3. (6,0 điểm). a, Giải phơng trình sau: x 4 6 x + = x 2 - 10x + 27 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 2 x 2x 1 x 2x 1 + + + + Câu 4. (6,0 điểm). Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, dây CD (CD AB). Gọi H, K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A, B đến đờng thẳng CD. a, Chứng minh rằng CH = DK b, Chứng minh rằng S AHKB = S ACB + S ADB c, Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm Câu 5. (2,0 điểm) Không dùng bảng số, máy tính hy tính sin15 0 Đề chính thức Hết Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1. a, Không dùng máy tính, hy tính: A = 3 3 5 2 7 5 2 7 + b, Cho dy số: a 1 ; a 2 ; a 3 ; , thảo mn: a 2 = 1; a 50 = 2012, và a n + a n+1 = a n+2 với mọi số tự nhiên n 1. Tính tổng S = a 1 + a 2 + . . . + a 48 Giải a, A = 3 3 5 2 7 5 2 7 + A 3 = 5 2 7 + - ( 5 2 7 ) - 3 3 (5 2 7)(5 2 7) + . ( ) 3 3 5 2 7 5 2 7 + A 3 = 14 - 3A A 3 + 3A - 14 = 0 (A - 2)(A 2 + 2A + 7) = 0 2 2 A 2 0 A 2 A 2 A 2A 7 0 (A 1) 6 0 (VN) = = = + + = + + = Vậy: A = 2 b, Vì: a n+2 = a n+1 + a n a 50 = a 49 + a 48 = a 48 + a 47 + (a 47 + a 46 ) = a 48 + a 47 + a 46 + (a 46 + a 45 ) = a 48 + a 47 + a 46 + a 45 + (a 25 + a 44 ) = a 48 + a 47 + a 46 + a 45 + a 44 + + a 3 + (a 3 + a 2 ) = a 48 + a 47 + a 46 + a 45 + a 44 + + a 3 + a 2 + (a 2 + a 1 ) a 50 - a 2 = a 48 + a 47 + a 46 + a 45 + a 44 + + a 3 + a 2 + a 1 = S S = 2012 - 1 = 2011 Câu 2. Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx + m - 1 (m là tham số). Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luông đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m Giải Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) luôn đi qua với mọi m. khi đó ta có: y 0 = mx 0 + m - 1 m(x 0 + 1) = y 0 + 1. Vì phơng trình này luôn đúng mới mọi m nên: 0 0 0 0 x 1 0 x 1 y 1 0 y 1 + = = + = = . Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định A(-1; -1) với mọi m (đpcm) Câu 3. a, Giải phơng trình sau: x 4 6 x + = x 2 - 10x + 27 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 2 x 2x 1 x 2x 1 + + + + Giải a, ĐKXĐ: 4 x 6 +) VT = x 4 6 x + (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có) VT 2 (1 2 + 1 2 ) ( ) ( ) 2 2 x 4 6 x + = 2.2 VT 2 +) VP = x 2 - 10x + 27 = (x - 5) 2 + 2 2 VP 2 VT = VP = 2 x 4 6 x x 4 6 x x 5 x 5 x 5 0 = = = = = (T/m) Vậy: S = {5} b, M = 2 2 x 2x 1 x 2x 1 + + + + = 2 2 (x 1) (x 1) x 1 x 1 x 1 1 x + + = + + = + + áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ta có: M = x 1 1 x + + x 1 1 x + + = 2 . Dấu "=" xẩy ra khi (x + 1)(1 - x) 0 -1 x 1 Vậy Min M = 2 khi -1 x 1 Câu 4. (HS tự ghi GT/HL) Giải a, Chứng minh rằng CH = DK. Gọi M là trung điểm của CD OM CD (T/c đờng kính và dây cung) Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên MO // AH // BK (cùng vuông góc với HK) mà OA = OB (gt) M là trung điểm của HK (định lý 1 về đờng trung bình của hình thang) MH = MK mà MC = MD CH = DK b, Chứng minh rằng S AHKB = S ACB + S ADB Qua M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH tại I và cắt BK tại Q +) HMI và KMQ có: 0 H K 90 = = (gt) MH = MK (c/m trên) HMI KMQ = (đối đỉnh) HMI = KMQ(g.c.g) S AHKB = S AIQB (Với AIQB là hình bình hành) S AHKB = IQ AB .MN AB.MN 2 + = (với N là hình chiếu của M trên AB) (1) +) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của C và D trên cạnh AB S ACB + S ADB = 1 1 1 CE.AB DF.AB (CE DF)AB MN.AB 2 2 2 + = + = (2) Từ (1) và (2) S AHKB = S ACB + S ADB (đpcm) c, Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm Vì S AHKB = MN.AB S AHKB lớn nhất khi MN là đờng kính của đờng tròn hay CD // AB MN CD và N trùng O MO = 2 2 2 2 OC CM 15 9 12(cm) = = S AHKB = MO.AB = 12.30 = 360 (cm 2 ) Vậy: Max S AHKB = 360(cm 2 ) Khi CD //AB và cạnh AB một khoảng 12cm Câu 5. Không dùng bảng số, máy tính hy tính sin15 0 Giải Vẽ ABC vuông tại A và BC = 2a, AB = a (a > 0) AC = 3 a 0 0 C 30 , B 60 = = . Kẻ phân giác CD áp dụng tính chất đờng phân giác: DA CA DA 3 DA DB DA DB DB CB DB 2 2 3 3 2 + = = = = + DA a 3 3 2 = + DA = a 3 3 2 + = (2 3 -3)a DC = 6 ( 3 -1)a sin 15 0 = AD 2 3 3 (2 3)( 3 1) 3 1 DC 6( 3 1) 2 2 2 2 + = = = sin15 0 = 6 2 4 Q I F N M E O K H D C B A E F M H O K D C B A 3a 2a a D C B A 60 0 15 0 15 0 . Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012 Môn: Toán - lớp 9 Thời gian: 150 phút(Không tính thời. tính: A = 3 3 5 2 7 5 2 7 + b, Cho dy số: a 1 ; a 2 ; a 3 ; , thảo mn: a 2 = 1; a 50 = 2012, và a n + a n+1 = a n+2 với mọi số tự nhiên n 1. Tính tổng S = a 1 + a 2 + . . . + a 48 . tính: A = 3 3 5 2 7 5 2 7 + b, Cho dy số: a 1 ; a 2 ; a 3 ; , thảo mn: a 2 = 1; a 50 = 2012, và a n + a n+1 = a n+2 với mọi số tự nhiên n 1. Tính tổng S = a 1 + a 2 + . . . +