Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 lời giải một số bài toán về rút gọn biểu thức Dạng 1 Bài 1 Cho biểu thức x 2 1 A ( ): x 1 x x x 1 = + a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2 Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1. Rút gọn x 2 1 x 2 1 A ( ): ( ): x 1 x x x 1 x 1 x 1 x( x 1) = + = + 2 ( x) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2 A . 1 x( x 1) x( x 1) x + + + = = = b. Khi x= 3-2 2 = 2 ( 2 1) Bài 2: Cho biểu thức 1 1 3 A : x 3 x 3 x 3 = ữ + a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của xthì A > 1 3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất Bài giải: a) ĐKXĐ x 0;x 9 ( ) ( ) ( ) x 3 x 3 1 1 3 A : x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 + = = ữ + + . x 3 3 = ( ) ( ) 6 x 3 x 3 + . x 3 3 A = 2 x 3+ b) A > ( ) 1 2 1 2 1 3 x 0 0 3 3 3 x 3 x 3 3 x 3 > > > + + + 3 x 0 > ( vì 3( ( x 3) 0)+ > x 9 x 9 < < Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0 x 9 thì A > 1/3. TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 1 ( ) ( ) 2 5 2 2 2 1 3 2 2 2 5 2 2 A 1 3 2 1 2 1 ( 2 1) + + = = = = + Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 c) 2 A x 3 = + đạt giá trị lớn nhất khi x 3+ đạt giá trị nhỏ nhất. Mà ( ) min x 3 3 x 3 3 x 0 x 0+ + = = = lúc đó A Max = 2 x 0. 3 = Bài 3: Cho biểu thức 3 1 1 P : x 1 x 1 x 1 = + ữ + + a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P = 5 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 12 1 . P x 1 + = Bài giải: a) ĐKXĐ x 0;x 1 P = ( ) ( ) ( ) 3 1 3 x 1 x 1 . 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) x 1 + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 + + + = + b) ( ) ( ) 5 x 2 5 P 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5. 4 4 x 1 + = = + = + = x 13 x 168 = = (TMĐK) c) x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16 M . . P x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 + + + + = = = = + + + = 16 16 x 2 x 2 4 x 2 x 2 + = + + + + ta có 16 x 2 2 16 2.4 8 x 2 + + = = + min 16 M 8 4 4 M 4 x 2 x 2 = = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 16 x 2 4 x 2 4 0 x 6 x 2 0 x 2 0 x 4(TMDK) + = + + + = + = = = Vậy M min = 4 x 4 = . Bài 4: Cho biểu thức: 2 x x 3x 3 2 x 2 D : 1 x 9 x 3 x 3 x 3 + = + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 2 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 b) Tìm x để D < - 1 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D Dạng 2 Bài 1 :Cho biểu thức: a 2 a a a P 1 : 1 a 2 a 1 + = + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a z để P nhận giá trị nguyên. Bài giải: a) ĐKXĐ: a 0;a 1 ( ) ( ) ( ) ( ) a a 2 a a 1 a 1 P 1 1 a 1 : a 1 a 2 a 1 a 1 + = + = + = + + b) a 1 2 P 1 a 1 a 1 = = + + để P nhận giá trị nguyên thì 2 a 1+ nhận giá trị nguyên dơng. a 1 + thuộc ớc dơng của 2. a 1 1 a 0 a 1 a 1 2 + = = = + = a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện) Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0 Bài 2: Cho biểu thức ( ) ( ) 1 1 B 2 x 3 1 2 x 3 1 = + + + a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B. b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. Bài giải: a) ĐKXĐ x 3;x 2 B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 3 1 x 3 1 1 1 2 1 2 x 3 1 2 x 2 x 2 2 x 3 1 2 x 3 1 + + + = = = + + + + + + b) B nhận giá trị nguyên khi 1 x 2+ nhận giá trị nguyên. x 2 + Ư(1) x 2 1 x 1 x 2 1 x 3 + = = + = = thoả mãn điều kiện Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 3 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 Bài 3: Cho biểu thức: ( ) 2 2 x 1 x x 2x x P x x 1 x x 1 + = + + + a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P c) Tìm x để biểu thức 2 x Q P = nhận giá trị nguyên. Dạng 3 Bài 1: Cho biểu thức: ( ) 2 1 1 x 1 P : x x 1 x 1 x + = + ữ a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0 Bài giải a) ĐKXĐ x>0; x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 x 1 1 x 1 1 x 1 x P : . 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x + + = + = = + b) P > 0 1 x 0 1 x 0 x > > ( vì x 0)> x 1 x 1. < < Kết hợp với ĐKXĐ: 0 x 1< < thì P > 0 Bài 2: Cho biểu thức: 1 1 a 1 a 2 P : a 1 a a 2 a 1 + + = ữ ữ a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị của a để P > 0 Bài 3 : Cho biểu thức: ( ) 2 1 x x 2 x 2 P . 2 x 1 x 2 x 1 + = ữ + + a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < 1 2 Bài 4: Cho biểu thức: x 3 6 x 4 P x 1 x 1 x 1 = + + a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P. b) Tìm x để P < 1 2 Bài 5: Cho biểu thức: 1 a a 1 a a B a a 1 a 1 a + = + ữ ữ + a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 4 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 b)Tìm a để B < 7- 4 3 Bài 6: Cho biểu thức: a 1 1 2 K : a 1 a 1 a a a 1 = ữ ữ + a) Rút gọn biểu thức K b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2 2 c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0 Dạng 4 Bài 1 : Cho biểu thức: x 1 1 A : x 1 x x x 1 = ữ a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0 c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A. x m x= có nghiệm. Bài giải a) ĐKXĐ: x > 0; x 1 ( ) ( ) ( ) 2 x 1 1 x 1 1 A : : x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 . 1 x x 1 x = = ữ = = b) A < 0 x 1 0 x 1 0 x < < (vì x 0 < ) x 1 < kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1 thì A < 0 c) P.t: A. x 1 x m x . x m x x 1 m x(1) x = = = ( ) x 1 m x x x m 1 0(*) = + + = Đặt x t= >0 ta có phơng trình ( ) ( ) 2 t t m 1 0 *+ + = để phơng trình (1) có nghiệm thì phơng trình (*) phải có nghiệm dơng. Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì: ( ) ( ) 1 4 m 1 0 m 1 0 = + + + < TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 5 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 5 4m 5 0 m m 1 4 m 1 0 m 1 + > + > > Vậy m>-1 và m 1 thì pt A x m x= có nghiệm. Bài 2: Cho biểu thức: 1 1 P 1 . x 1 x x = + ữ a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm giá trị của P khi x = 25 c) Tìm x để P. ( ) 2 5 2 6. x 1 x 2005 2 3.+ = + + Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 ( ) 1 1 x 1 P 1 . x 1 x x x 1 x x 1 ữ = + = ữ ữ ( ) 2 1 P x 1 = b) Khi x= 25 ( ) 2 1 1 P 16 25 1 = = c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 P. 5 2 6. x 1 1 x 2005 2 3 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3 x 1 + = + + + = + + 2 3 x 2005 2 3 + = + + x 2005 = TMĐK Vậy x = 2005 thì P. ( ) 2 5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ = + + Dạng 5 Bài 1: Cho biểu thức 1 1 1 A . 1 x 1 x 1 x = + + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A. b)Tính giá trị của A khi x= 1 4 . c)Tìm giá trị của x để A A.> Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 . TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 6 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 ( ) ( ) 1 1 1 x 1 x 1 x 1 A . 1 . x 1 x 1 x x x 1 x 1 + + + = + + = ữ ữ + + = ( ) ( ) ( ) 2 x x 1 2 A x 1 x 1 x 1 x + = + b) Khi x = 1 2 2 A 4 1 4 1 1 1 2 4 = = = c) 2 A 0 0 A 1 0 1. x 1 > < < < < ( ) 2 0 x 1 0 x 1 1 x 1 2 2 x 3 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 + < > > + < > > x 3 0 x 9 x 1 0 > > > Vậy x > 9 thì A A> Bài 2: Cho biểu thức: ( ) x 2 x 1 A x 1 x x 1 = a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A c) Với giá trị nào của x thì A A> Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 A x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 + = = = = b) Khi x=36 36 1 5 A 6 36 = = c) x 1 A A A 0 0 x 1 0 x > < < < (vì x 0> ) x 1 x 1 < < Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A> TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 7 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 Chuyên đề tam thức bậc hai A.lý thuyết I. áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số nghiêm phơng trình bậc hai. Cho phơng trình bậc hai: ax 2 +bx+c=0(a 0) 2 b 4ac = .Nếu b =2b ' thì ' = b ' 2 - ac 1. Phơng trình có nghiệm khi . Ta có thể xét hai trờng hợp: +Trờng hợp 1: - Nếu a = 0,phơng trình có nghiệm x= c b . +Trờng hợp 2 : { a 0 0 hoặc { ' a 0 0 2.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi . { a 0 0 > hoặc { ' a 0 0 > 3.Phơng trình có nghiệm kép khi. { a 0 0 = hoặc { ' a 0 0 = 4. Phơng trình vô nghiệm khi. { a 0 0 < hoặc { ' a 0 0 < Ví dụ1: Cho phơng trình 2x 2 -(4m+3)x+2m 2 -1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình. a.Phơng trình có nghiệm b.Phơng trình có2nghiệm phân biệt c.Phơng trình có nghiệm kép d. Phơng trình vô nghiệm Giải: =(4m+3) 2 -4.2(2m 2 -1)=24m+17. a.Phơng trình có nghiệm khi . TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 8 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 { a 0 0 { 2 0 24m 17 0 + m 17 24 b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi. { a 0 0 > { 2 0 24m 17 0 17 m 24 + > > c.Phơng trình có nghiệm kép khi. { a 0 0 = 2 0 24m 17 0 17 m 24 + = = d. Phơng trình vô nghiệm khi. { a 0 0 < { 2 0 24m 17 0 17 m 24 + < < Ví du 2 : Cho phơng trình mx 2 -2(m-1)x+(m-4)=0 .Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình. a.Phơng trình có nghiệm b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt c.Phơng trình có nghiệm kép d. Phơng trình vô nghiệm Giải: Ta có :a 0 m 0 , ' = b '2 -ac= ( ) 2 (m 1) -m(m-4)=m 2 -2m+1-m 2 +4m=2m+1 a.Phơng trình có nghiệm khi . +Trờng hợp 1: - Nếu a=0 m=0 ,phơng trình có nghiệm x= c b m 4 2(m 1) =2. +Trờng hợp 2 : { a 0 0 { m 0 2m 1 0 + m 0 1 m 2 b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi. { a 0 0 > { m 0 m o 2m 1 0 1 m 2 + > TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 9 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 c.Phơng trình có nghiệm kép khi. { a 0 0 = { m 0 2m 1 0 + = m 0 1 m 2 = d. Phơng trình vô nghiệm khi. { a 0 0 < { m 0 m 0 2m 1 0 1 m 2 + < < II . Hệ thức vi- ét và ứng dụng. 1. Hệ thức vi- ét Nếu x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 +bx+c=0(a 0) thì x 1 + x 2 = b a và x 1 .x 2 = c a Ví dụ . Tính nhấm nghiêm của phơng trình x 2 -7x+12=0 Giải. Ta có 2 b 4ac = =(-7) 2 -4.12=49-48=1>0 Theo định lý Vi-ét x 1 + x 2 = b a =7, x 1 .x 2 = c a =12 x 1 =3; x 2 =4 2.áp dụng để tính nhấm nghiệm . Cho phơng trình ax 2 +bx+c=0(a 0) -Nếu a+b+c=0 thì x 1 =1và x 2 = c a Ví dụ : Giải phơng trình 3x 2 -7x+4=0 Giải. Ta có a+b+c=3+(-7)+4=0 x 1 =1và x 2 = c a = 4 3 -Nếu a-b+c=0 thì x 1 =-1và x 2 = c a Ví dụ : Giải phơng trình 7x 2 -5x-12=0 Giải. Ta có a-b+c=7-(-5)+(-12)=0 x 1 =-1và x 2 = c a = 12 7 3.áp dụng để xác định dấu các nghiệm Cho phơng trình ax 2 +bx+c=0(a 0) cú 2 nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm . TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 10 [...]... ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là 100 (giờ) y TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 22 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 ta có phơng trình 100 80 = (1) x y Quảng đờng xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là Quảng đờng ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là Vì ô tô đi trớc xe máy 54 phút = 60 (giờ) y 120 (giờ) y 9 nên ta có phơng trình 10 120 60 9 = (2) x y 10 100 80 x ... cú 10 nh Bi 4: Cnh y ca tam giỏc l 36 m Bi 5: Chiu rng ca on ng l 5 m Dng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trởng Những kiến thức cần nhớ : + x% = x 100 + Dõn s tnh A nm ngoỏi l a, t l gia tng dõn s l x% thỡ dõn s nm nay ca tnh A l a + a x 100 Số dân năm sau là (a+a x x x ) + (a+a ) 100 100 100 Vớ d 1: Bi 42 SGK tr 58 Gi lói sut cho vay l x (%),k: x > 0 Tin lói sut sau 1 nm l 2000000 x = 20000 (ng) 100 ... 20000 x + 200 x 2 (đồng) 100 S tin sau hai nm Bỏc Thi phi tr l 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (ng) 200x2 + 40000x +2000000 (ng) Theo bi ra ta cú phng trỡnh 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000 x2 + 200x 2100 = 0 TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 28 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 Gii phng trỡnh ta c x1 = 10 (tho món); x2 = - 210 (khụng tho món) Vy lói sut cho vay l 10 % trong mt nm Vớ d... nhất hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ) Gọi thời gian một mình ngời thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ) Trong một giờ ngời thứ nhất làm đợc Trong một giờ ngời thứ hai làm đợc 1 công việc x 1 công việc y TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 24 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 Hai ngời cùng làm thì xong trong 16 giờ Vậy trong 1 giờ cả hai ngời cùng làm đợc 1 16 công việc Ta có phơng... đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ Chú ý: + Nếu có hai đối tợng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lợng này hơn, kém đại lợng kia ta nên chọn một ẩn và đa về phơng trình bậc hai TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 25 Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012 + Nếu thời gian của hai đại lợng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai... thì đợc 1/3 công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong công việc? 2 Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai đợc điều đi làm việc khác Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thhì bao lâu xong công việc đó? 3 Hai đội công nhân cùng đào một con mơng Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc Nếu... 80 x y 160 80 x y 100 80 100 80 x = y x y =0 Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình 120 60 = 9 40 20 = 3 x x y 10 y 10 60 12 =0 = x = 50 x 10 (thoả mãn điều kiện) 12 y = 40 100 80 = 0 = y x 10 Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h Vận tốc của xe máy là 40 km/h Ví dụ 3: Một ô tô đi trên quảng đờng dai 520 km Khi đi đợc 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng... là 5 km/h Dạng 3: Toán làm chung công việc Những kiến thức cần nhớ: - Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm đợc 1 x công việc - Xem toàn bộ công việc là 1 Ví dụ 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ, ngời thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành đợc 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời hoàn thành công việc trong bao... một ẩn, hệ phơng trình hay phơng trình bậc hai Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế B) Các dạng toán Dạng 1: Toán về quan hệ các số Nững kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn số có hai chữ số : ab = 10a + b ( với 0 . trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm . TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH 10 Giáo án ôn thi vào 10 năm 2011-2012 Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x 1 x 2 1 2 S x x= + 1 2 P x x= ∆ Điều. -x 2 -6x+1=0 ' =(-3) 2 +1 =10; ' = 10 -phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 =-3- 10 ; x 2 =-3+ 10 b. Phơng trình có nghiệm x= 2 ,thay vào phơng trình ta có (m-4)2-2 2 m+m-2=0 m =10( 3+2 2 ) c Phơng. nên : 1 2 2 1 x x 10 x x 3 + = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 10 (x x ) 2x x 10 x .x 3 x x 3 + + = = 2 S 2P 10 4 2m 10 P 3 m 3 = = Điều kiện m 0 (2) Ta có 3(4-2m)=-10m 4m=-12 m=-3