sở giáo dục và đào tạo quảng ninh kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2011-2012 Đề thi chính thức môn : Toán ( bảng B ) H v tờn, ch ký ca giỏm th s 1 Ngày thi : 26/10/2011 Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 01 trang) Bài 1 (4 điểm): Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng y = x + m ct th ca hm s y = 21 1 x x ti hai im A v B sao cho AB = 22 Bài 2 (3 điểm): Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. Cỏc im M v N ln lt thuc cỏc cnh AD v CD ca hỡnh vuụng sao cho MBN = 45 0 . t AM = x; CN = y v din tớch tam giỏc MBN l S. Chng minh rng: S = 1 2 a(x+y) Bài 3 (4 điểm): Tìm nghiệm thực của h phng trỡnh: 3 2 3 2 2 2 2 ( 1) 3( 1) 3 1 3 2 2 0 x x y y x x y y Bài 4 (6 điểm): Cho hỡnh t din ABCD cú AB = AC, hai mt phng (ABC) v (BCD) vuụng gúc vi nhau, BDC =90 0 . Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. 1. Chng minh rng: OA = OB = OC = OD 2. t AB = a; BC = b, tớnh OA theo a v b. Bài 5 (3 điểm): Chng minh: 6 2 3 4 4(1 ) 4 9 xx vi 1;1x . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: www.VNMATH.com sở giáo dục và đào tạo quảng ninh h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2011-2012 môn toán bảng B. đề chính thức (Hng dn chm ny cú 03 trang) Bài Sơ l-ợc lời giải Cho điểm Bài 1 4 điểm Do A, B l giao im ca ng thng y = x + m vi th y = 21 1 x x nờn honh cỏc giao im x A; x B l nghim ca phng trỡnh: x + m = 21 1 x x 0,5 hay phng trỡnh : f(x) = x 2 + (m-1)x + m+1 = 0 (1) vi x -1. 0,5 Phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit x -1 <=> () 0 ( 1) 0 fx f 0,5 <=> <=> m 2 6m 3 > 0 (*) 0,5 Khi ú cú: x A + x B = 1-m ; x A. x B = m+1 (Viột); y A = x A + m; y B = x B + m ; 0,5 nờn: AB = 22 <=> AB 2 = 8 <=> (x A - x B ) 2 + (y A - y B ) 2 = 8 <=> (x A - x B ) 2 = 4 0,5 <=> (x A + x B ) 2 4x A x B = 4 <=> m 2 6m 7 = 0 <=> m = -1 hoc m = 7 0,75 D thy m = -1 v m = 7 u tha món iu kin (*). Vy cú 2 giỏ tr ca m tha món yờu cu bi toỏn l m = -1 v m = 7. 0,25 Bài 2 3 điểm Cú: S MBN = S = (1/2).BM.BN.sin45 0 Đặt ABM ; CBN . Từ giả thiết suy ra: 0 45 . Khi ú S = (1/2).BM.BN.sin( ) = (1/2).BM.BN.( sin os sin oscc ) =(/12)(a/ osc )(a/ osc ).( sin os sin oscc ) = (a 2 /2)(tan + tan) = = (1/2).a.(x+y) Vậy: S = (1/2).a.(x+y) (pcm !) A D B C M N 0,5 1,0 0,75 0,75 Bài 3 4 điểm iu kin: 1 1;0 2xy . Vi 11x thỡ 0 1 2x Xột hm s g(t) = t 3 3t 2 vi 02t . 0,25 0,5 Cú g(t) = 3t 2 6t. T ú chng minh c g(t) nghch bin trờn on 0;2 1,0 Bin i phng trỡnh u ca h thnh: g(x+1) = g(y) <=> x+1 = y 0,5 Thay y=x+1 vo phng trỡnh sau ca h, c: x 2 + 2 2 1 x - 3 = 0 (*) Gii phng trỡnh (*) c nghim duy nht x = 0 ri suy ra y =1. 0,5 1,0 T ú tỡm c nghim duy nht ca h l (x; y) = (0; 1) 0.25 www.VNMATH.com Bµi S¬ l-îc lêi gi¶i Cho ®iÓm Bµi 4.1 3 ®iÓm C B A D E O Hình vẽ Gọi E là trung điểm cạnh BC; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC từ giả thiết AB = AC => AE  BC và O  AE. 1,0 Kết hợp với giả thiết: mặt phẳng (ABC)  mặt phẳng (BCD) => AE  mặt phẳng (BCD) 1,0 Mặt khác, từ giả thiết BDC =90 0 => EB = EC = ED Từ đó chứng minh được : OB = OC = OD = OA (đpcm !) 0,5 0,5 Bµi 4.2 3 ®iÓm Đặt S  ABC = S, ta có: S = AB.AC.BC 4OA => OA = 2 ab 4S 1,0 Tính được: AE = … = 22 4ab /2 0,5 và S = … = b. 22 4ab /4. 0,75 Từ dó có: OA = a 2 / 22 4ab . 0,75 Bµi 5 3 ®iÓm Đặt x 2 = t ;   1;1x   <=>   0;1t Khi đó : x 6 + 4(1-x 2 ) 3 = t 3 +4(1-t) 3 = … = -3t 3 + 12t 2 – 12t +4 0,25 0,75 XÐt hàm sè f(t) = -3t 3 + 12t 2 – 12t +4 trªn đoạn   0;1 Lập được b¶ng biÕn thiªn víi   0;1t , rồi suy ra: 2 ( ) minf( ) ( ) max ( ) (0) 3 f t f t f t f    ; 42 f( ); (0) 4 93 f ; và 4 ( ) 4 9 ft ta cã : f ’ (t) = -9t 2 + 24t - 12 f’(t)=0<=>t =2/3 hoặc t=2; với   0;1t ta có bảng biến thiên: t 0 2/3 1 f ’ (t) – 0 + f(t) 4=f(0) f(1)=1 4 9 0,75 1,0 Từ đó có : 6 2 3 4 4(1 ) 4 9 xx    với   1;1x   (đpcm !) 0,25 www.VNMATH.com Các chú ý khi chấm: 1. H-ớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ l-ợc một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đ-ợc điểm tối đa. 2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nh-ng không đ-ợc v-ợt quá số điểm dành cho câu, phần đó. 3. Có thể chia điểm từng phần nh-ng không d-ới 0,25 đ và phải thống nhất trong cả tổ chấm. 4. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm. Không làm tròn điểm. 5. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải đ-ợc trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. S GIO DC V O TO QUNG NINH www.VNMATH.com . h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2011-2 012 môn toán b ng B. đề chính thức (Hng dn chm ny cú 03 trang) B i Sơ l-ợc lời giải Cho điểm B i 1 4 điểm Do A, B l giao im ca ng thng. 0,25 B i 2 3 điểm Cú: S MBN = S = (1/2).BM.BN.sin45 0 Đặt ABM ; CBN . Từ giả thiết suy ra: 0 45 . Khi ú S = (1/2).BM.BN.sin( ) = (1/2).BM.BN.( sin os sin oscc ) =( /12) (a/ osc )(a/ osc ).( sin. hỡnh t din ABCD cú AB = AC, hai mt phng (ABC) v (BCD) vuụng gúc vi nhau, BDC =90 0 . Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. 1. Chng minh rng: OA = OB = OC = OD 2. t AB = a; BC = b, tớnh OA