BÀI GIẢNG AN GIANG - NĂM 2011 Ths Đổng Thị Kim Phượng MỤC LỤC Chương 1. MỞ ĐẦU 1 §1. SỐ PHỨC 1 1. Định nghĩa số phức: 1 2. Các phép tính về số phức: 1 3. Biểu diễn hình học của số phức. Dạng lượng giác của số phức: 3 4. Công thức Euler: 5 5. Hàm Hyperbôn: 6 §2. NHỮNG HỆ TỌA ĐỘ THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ 6 1. Hệ tọa độ Decarters vuông góc: 6 2. Các hệ tọa độ cong: 6 3. Hệ tọa độ cực: 8 §3. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VECTOR 8 1. Tr ường vô hướng: 8 2. Trường vector: 8 3. Các toán tử vi phân: 9 4. Các định lý tích phân: 11 §4. CHUỖI FOURIER. 12 1. Định nghĩa: 12 2. Chuỗi Fourier sin và cos: 12 Bài tập chương 1 13 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VẬT LÝ 15 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 15 1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một: 15 2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi: 15 §2.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG VẬT LÝ. 17 1. Chuyển động của một chất điểm có gia tốc không đổi: 17 2. Dao động cơ h ọc: 18 3. Dao động điện: 19 4. Sử dụng phương pháp vi tích phân để xác định một số đại lượng vật lý: 21 Bài tập chương 2. 24 Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG VẬT LÝ 26 §1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 26 §2. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG MỘT CHIỀU 27 1. Một bài toán Vật lý dẫn tới phương trình sóng: 27 2. Dao động của dây dài vô hạn. Bài toán Cauchy: 28 3. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn: 30 §3. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU 33 1. Thi ết lập phương trình: 33 2. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn: 35 3. Sự truyền nhiệt trong thanh hữu hạn: 36 §3. PHƯƠNG TRÌNH LAPLAXƠ 37 1. Thiết lập phương trình: 37 2. Bài toán: 38 §4. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 39 Bài tập chương 3 42 Toán cho Vật lý 1 Chương 1. MỞ ĐẦU §1. SỐ PHỨC Chúng ta đã biết khái niệm số thực. Số thực bao gồm những số hữu tỷ như: 2, 5, 78, 7 16 ,… và những số vô tỷ như: 2, , ,e π … Bình phương của mọi số thực đều là một số không âm. Cho nên nếu chỉ biết số thực, thì không thể lấy căn bậc hai với hệ số thực. Chẳng hạn phương trình: 2 10x += không có nghiệm thực. Để khắc phục trở ngại đó, người ta đưa vào khái niệm số phức. Việc đưa vào khái niệm số phức cũng như xác định mọi phép toán về số phức phải đạt được yêu cầu sao cho các số thực và các phép toán trên tập các số thực, có thể xem là trường hợp riêng của số phức và các phép toán trên tập các số phức. 1. Định nghĩa số phức: Ta g ọi số phức là một biểu thức có dạng x iy + , trong đó x và y là những số thực, còn số i được gọi là đơn vị ảo. Các số x và y lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức x iy+ . Ta thường kí hiệu: z xiy=+ ( ) Re Re x zxiy== + ( ) Im z Imyxiy== + Người ta thường kí hiệu tập hợp tất cả các số phức C. Vậy { } ,CzxiyxRyR==+ ∈ ∈ . Trong đó R là tập tất cả các số thực. Nếu 0y = thì ta có z x= , nghĩa là số thực là trường hợp riêng của số phức, có phần ảo bằng 0. Nếu 0 x = thì ta có z iy= , những số này được gọi là trường hợp riêng của số thuần túy ảo. Số phức x iy− được gọi là số phức liên hợp của số phức z xiy = + và được kí hiệu là z . Số phức x iy−− được gọi là số phức đối của số phức z xiy = + và kí hiệu là ( ) z − . Hai số phức 11 1 z xiy=+ và 22 2 z xiy = + được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo bằng nhau, nghĩa là 12 x x = , 12 yy = . Khi đó ta viết 12 z z= . 2. Các phép tính trên số phức: a. Phép cộng: Cho hai số phức 11 1 z xiy = + và 22 2 z xiy = + . Ta gọi số phức ( ) ( ) 12 12 z xx iyy=++ + là tổng hai số phức 1 z và 2 z . Từ định nghĩa trên, ta có thể suy ra dễ dàng các tính chất của phép cộng: 12 21 z zzz+=+ (giao hoán) ( ) ( ) 123 123 z zz zz z++=++ (kết hợp). b. Phép trừ: Toán cho Vật lý 2 Cho hai số phức 11 1 z xiy=+ và 22 2 z xiy = + . Ta gọi số phức z là hiệu của hai số phức 1 z và 2 z nếu 12 z zz=+ . Nếu gọi x, y lần lượt là phần thực, phần ảo của z thì theo định nghĩa, ta có: 12 x xx=+ 12 yyy=+ Vậy 12 12 ; x xxyyy=− =− và ( ) ( ) 12 12 z xx iyy = −+ −. Ta kí hiệu số phức là 12 z zz=− . Từ định nghĩa trên dễ dàng suy ra rằng: ( ) 12 1 2 z zz z−=+− c. Phép nhân: Cho hai số phức 11 1 z xiy=+ và 22 2 z xiy = + . Ta gọi số phức: ( ) ( ) 12 12 12 21 z xx yy i xy x y=−+ + (1.1) là tích của số phức 1 z và số phức 2 z . Khi đó ta viết 12 . z zz = . Từ công thức (1.1) dễ dàng suy ra rằng phép nhân có các tính chất sau: 12 21 z zzz= (giao hoán) ( ) ( ) 123 123 z zz zz z= (kết hợp). ( ) 12 3 12 13 z zz zzzz+= + (phân phối đối với phép cộng) ( ) 1. z z−=− .0 0. 0 z z== .1ii=− d. Phép chia: Cho hai số phức 11 1 z xiy=+ và 22 2 z xiy = + . Nếu 2 0z ≠ , thì tồn tại duy nhất một số phức z xiy=+ sao cho 21 . z zz = . Thật vậy, so sánh phần thực và phần ảo của hai đẳng thức này, ta được: 221 x xyyx−= 22 1 yx xy y+= Đây là hệ phương trình bậc nhất đối với hai ẩn x và y. Định thức của hệ là 22 22 0xy∆= + ≠ . Vậy hệ có nghiệm duy nhất: 12 12 12 21 22 22 22 22 ; x xyy yxyx xy x yxy +− == ++ Số phức: 12 12 12 21 22 22 22 22 x xyy yxyx zi x yxy +− =+ ++ (1.2) được gọi là thương của hai số phức 1 z và 2 z và kí hiệu là 1 2 z z . Dễ dàng thấy rằng muốn được (1.2), ta có thể nhân tử số và mẫu số của thương 111 222 z xiy z xiy + = + với 22 2 z xiy=−. e. Phép nâng lũy thừa và khai căn: Ta gọi tích của n số phức z là lũy thừa bậc n của z và kí hiệu: . . n n z zzz z=  Đặt ( ) w n n z xiy==+ , thì do định nghĩa phép nhân, ta có thể tính được Rew và Imw theo x và y. Toán cho Vật lý 3 Nếu w n z = thì ngược lại, ta nói z là căn bậc n của w và ta viết: w n z = . Sau này ta sẽ còn xét kĩ hơn phép nâng lũy thừa và khai căn. Ví dụ 1: ( ) ( ) 35 23 52iii++−=+ 1 i i =− 25 3 7 122 i i i +− =+ − Ví dụ 2: ( ) ( ) 22Re z zxiy xiy x z+= + + − = = Ví dụ 3: Tìm các số thực x và y là nghiệm của phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1256 x iixiy i i−++− +=+ Sau khi tách phần thực và phần ảo của vế trái, phương trình có thể viết được dưới dạng: ( ) ( ) 721 5 256 x yixy i+++ −−=+ Từ đó suy ra: 7215 526 xy xy ++= ⎧ ⎨ −−= ⎩ giải ra ta được: 20 36 ; 17 17 xy==− 3. Biểu diễn hình học của số phức. Dạng lượng giác của số phức: a. Biểu diễn hình học: Cho số phức z xiy=+ . Trong mặt phẳng đã cho chọn một hệ trục vuông góc ,Ox Oy J JG JJG (gọi tắt là mặt phẳng Oxy), ta xác định điểm M có hoành độ x, tung độ y (hình 1.1). Điểm M được gọi là tọa vị của số phức z. Ngược lại, cho trước điểm M trong mặt phẳng, ta biết được các tọa độ (x,y) của nó trong hệ trục Oxy, do đó lập được số phức z xiy=+. Vậy giữa tập hợp các số phức và tập hợp các điểm của mặt phẳng Oxy, thiết lập được một song ánh. x y O x y M ( ) , x iy M x y+↔ . Vì lý do đó, ta gọi mặt phẳng Oxy là mặt phẳng phức. Sau này ta đồng nhất số phức z với điểm M là tọa vị của nó, và đồng nhất C với mặt phẳng phức. Đáng lẽ nói số phức z thì ta nói điểm z. Các điểm trên trục Ox biểu diễn số phức có phần ảo bằng 0, cho nên trục Ox được gọi là trục thực. Các điểm trên Oy biểu diễn nh ững số thuần ảo, cho nên trục Oy được gọi là trục ảo. Rõ ràng, hai số phức bằng nhau có cùng tọa vị, hai số phức liên hợp có tọa vị đối xứng qua trục thực, hai số phức đối nhau có tọa vị đối xứng qua gốc tọa độ. b. Môđun và acgumen của số phức z: • Cho số phức z có tọa vị là M. Ta gọi độ dài r của vectơ OM J JJJG là môđun của z và kí hiệu là z . Toán cho Vật lý 4 Góc lượng giác ( ) ,Ox OM JJG JJJJG xác định sai khác 2k π (k là số nguyên), được gọi là acgumen của z và kí hiệu là Argz. rzOM== (1.3) ( ) ,Argz Ox OM= JJG JJJJG Nếu ϕ là một trị số của góc ( ) ,Ox OM J JG JJJJG thì ta có: 2 A rgz k ϕ π =+ (k nguyên bất kì). Đặc biệt, trị số của Argz nằm giữa π − và π được gọi là giá trị chính của Argz và có kí hiệu là argz. arg z π π −< ≤ Nếu z là một số thực dương thì arg 0 z = , nếu z là một số thực âm thì arg z π = , nếu 0 z = thì argz không xác định. x y O x y r ϕ M • Liên hệ giữa phần thực, phần ảo, môđun và acgumen của số phức: Chiếu vectơ OM JJJJG lên các trục tọa độ ta được: cos x r ϕ = sinyr ϕ = (1.4) Ngược lại, từ (1.4) suy ra: 22 rxy=+ y tg x ϕ = (1.5) Khi dùng công thức (1.5) để xác định góc ϕ , cần chú ý thêm là góc ϕ phải có côsin cùng dấu với x. • Liên hệ giữa môđun và acgumen của hai số phức bằng nhau: Vì hai số phức bằng nhau có cùng tọa vị nên môđun của chúng bằng nhau, còn acgumen của chúng hơn kém nhau một bội số nguyên của 2 π : 12 12 12 2 zz zz Argz Argz k π ⎧ = ⎪ == ⎨ =+ ⎪ ⎩ (k nguyên bất kì) (1.6) Ngoài ra cũng từ định nghĩa môđun và acgumen ta dễ dàng suy ra: z z= ()() 2 222 2 2 . z zxiyxiyxiyxy z=+ − =− =+= 2 . z zz= (1.7) Ví dụ: 22 32 3 2 13i+= += () arg 1 4 i π −=− arg 2 i π = c. Dạng lượng giác của số phức: Nếu biểu diễn phần thực, phần ảo của số phức z xiy = + theo r và ϕ thì ta được: ( ) cos sinzxiyr i ϕ ϕ =+ = + (1.8) công thức (1.8) được gọi là dạng lượng giác của số phức z xiy = + . Ví dụ: Viết các số phức sau đây dưới dạng lượng giác: Toán cho Vật lý 5 1 2z =− ; vì 11 2,r ϕ π == nên ( ) 1 2cos sinzi π π = + 2 3 z i=−; vì 22 31 2, 6 r π ϕ =+= =− nên 2 2cos sin 66 zi π π ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ 3 3 z i= ; vì 33 3, 2 r π ϕ == nên 3 3cos sin 22 zi π π ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ . Định lý 1: Tích của hai số phức có môđun bằng tích các môđun của các thừa số và có acgumen bằng tổng các acgumen của các thừa số. Nghĩa là nếu: ( ) 11 cos sinzr i ϕ ϕ =+ ( ) 22 cos sinzr i ψ ψ =+ thì ( ) ( ) 12 12 cos sinzzz rr i ϕ ψϕψ ==⎡ ++ +⎤ ⎣⎦ Định lý 2: Thương của hai số phức có môđun bằng thương các môđun và có acgumen bằng hiệu của acgumen của số bị chia và số chia: () () 11 22 cos sin zr i zr ϕ ψϕψ =⎡ − + −⎤ ⎣⎦ (1.9) Đặc biệt, trong (1.9) nếu 1 1, 0z ϕ = = thì: () 22 11 cos sini zr ψ ψ =− . d. Công thức Moavơrơ (Moivre): Áp dụng định lý 1 cho tích của n thừa số bằng z, ta được kết quả như sau: Lũy thừa bậc n của ( ) cos sinzr i ϕ ϕ =+ có môđun bằng n r và có acgumen bằng .n ϕ , nghĩa là: ()( ) cos sin cos sin n n ri rnin ϕ ϕϕϕ ⎡+⎤= + ⎣⎦ Đặc biệt khi 1r = , ta được công thức: ( ) cos sin cos sin n inin ϕ ϕϕϕ +=+ (1.10) được gọi là công thức Moavơrơ. Thay ϕ bởi ϕ − , ta được: ( ) cos sin cos sin n inin ϕ ϕϕϕ −=− . 4. Công thức Euler: Từ ( ) wcosisin zxiyx ee e y y + == = + (1.11) Trong (1.11) cho 0 x = , ta được công thức như sau gọi là công thức Euler: cos sin iy eyiy=+ (1.12) Thay y bởi –y, ta được: cos sin iy eyiy − =− Nhờ có công thức Euler mà số phức ( ) cos sinzr i ϕ ϕ = + còn viết được dưới dạng mũ . i z re ϕ = . Ta có: ( ) cos sin . i z rire ϕ ϕϕ =+=. (1.13) Ví dụ 1: 1) .0 1cos0 sin0 i ie=+ = 2) . 2 cos sin 22 i iie π ππ =+ = Toán cho Vật lý 6 3) 4 .ar 3 44 34 5osar isinar 5. 33 ictg ic ctg ctg e ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ += + = ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ Ví dụ 2: ( ) 23 2 cos3 sin3 i ee i + =+. 5. Hàm Hyperbôn: a. Định nghĩa: Các hàm Hyperbôn biến phức được định nghĩa theo những công thức: ; 22 zz zz ee ee chz shz − − +− == zz z;cothz zz sh ch th ch sh == (1.14) b. Các phép tính: Ta có các công thức giống như trong giải tích thực: zz z echsh=+ zz z echsh − =− 22 1ch z sh z−= ( ) 12 1 2 2 1 sh z z shz chz shz chz+= + 22 2ch z ch z sh z=+ §2. NHỮNG HỆ TỌA ĐỘ THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ 1. Hệ tọa độ Decarters vuông góc: Hệ tọa độ Decarters còn gọi là hệ tọa độ vuông góc thuận, gồm 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau, sao cho một đinh ốc thuận quay từ trục x sang trục y theo góc nhỏ thì đinh ốc sẽ tiến theo chiều trục z. Trên mỗi trục đó lần lượt có các vector đơn vị (vector có môđun bằng 1) ,,ijk G G G hướng dọc theo chiều tăng của trục (hình 1.3). Dễ thấy: ;;kiji jkjki=× =× = × GGG GGG G G G Vị trí điểm M trong không gian được xác định bởi vector tia r G : ( ) ,,rOMxiyjzk xyz==++= JJJJG G GG G x x yy z z M O r G Bộ ba số ( ) ,, x yz gọi là tọa độ của điểm M, cũng là tọa độ của vector tia r G (còn gọi là vector vị trí hay vector bán kính). Do đó khoảng cách từ điểm M đến điểm gốc tọa độ là: 222 rOM x y z==++. 2. Các hệ tọa độ cong: Trong nhiều bài toán, để xác định vị trí của điểm M, thay cho bộ ba số x, y, z, người ta dùng bộ ba số khác 123 ,,qq q phù hợp và thuận tiện hơn với bài toán đang xét. Ngược lại, ta giả thiết một bộ ba số 123 ,,qqq ứng với một bán kính vector r G , do đó ứng với một Toán cho Vật lý 7 điểm M nào đó của không gian. Các đại lượng 123 ,,qqq được gọi là tọa độ cong của điểm M. Hệ số Lame của hệ tọa độ cong đang xét: 222 2 i iii x yz h qqq ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ∂∂∂ =++ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ a. Hệ tọa độ trụ: Vị trí của một điểm được xác định bằng bộ ba số: ,, z ρ ϕ . Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ Decarters vuông góc: .cos x ρ ϕ = .siny ρ ϕ = z z= Khoảng biến thiên: ρ : từ 0 đến ∞ . ϕ : từ 0 đến 2 π . z : từ −∞ đến + ∞ . Các mặt tọa độ: C ρ = : mặt trụ có trục là Oz. C ϕ =− : nửa mặt phẳng giới hạn bởi Oz. x x y y z z M O r G ρ ϕ M ′ z C= : mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Các đường tọa độ: Đường ρ : nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz và vuông góc với trục Oz. Đường ϕ : đường tròn có tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Đường z : đường thẳng song song với trục Oz. b. Hệ tọa độ cầu: Vị trí của một điểm được xác định bởi bộ ba số: ,,r θ ϕ . Hệ thức liên hệ giữa hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ Decarters vuông góc: sin cosxr θ ϕ = sin sinyr θ ϕ = cos z r θ = . Khoảng biến thiên: r : từ 0 đến ∞ . θ : từ 0 đến π . ϕ : từ 0 đến 2 π . Các mặt tọa độ: rC= : mặt cầu tâm O. C θ = : nửa mặt nón có đỉnh là O, trục là Oz. C ϕ = : nửa mặt phẳng giới hạn bởi Oz. Hình 1.5 x y z O θ ϕ r Các đường tọa độ: Đường r : nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O. Đường θ : kinh tuyến trên mặt cầu. Toán cho Vật lý 8 Đường ϕ : đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu. 3. Hệ tọa độ cực: Hình chiếu của hệ tọa độ trụ lên mặt phẳng (Oxy) cho ta hệ tọa độ cực. Trong hệ tọa độ cực, vị trí của điểm M được xác định bởi bán kính cực r và góc cực ϕ . Ta có: cos x r ϕ = sinyr ϕ = x y O x y r ϕ M §3. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VECTOR 1. Trường vô hướng: Là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó ( ) M ϕ . Cho một trường vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng ( ) M ϕ có giá trị phụ thuộc vào từng điểm của phần không gian đang xét. Trong hệ tọa độ Decarters Oxyz, ta có: ( ) ( ) ,, M xyz ϕ ϕ = (1.15) Ví dụ: Xét một vật không đồng chất thì mật độ ρ phụ thuộc vào từng điểm của vật và ta có trường mật độ ( ) M ρ . Nếu hàm vô hướng ( ) M ϕ của trường không đổi theo thời gian, ta nói ta có trường dừng. Nếu ϕ còn phụ thuộc cả vào thời gian, thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi ( ) , M t ϕ . Để biểu diễn hình học trường vô hướng, ta dùng khái niệm mặt mức. Mặt mức là một mặt trong không gian mà trên đó trường vô hướng có giá trị không đổi: ( ) ( ) ,, M xyz C ϕ ϕ == (1.16) Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức. Cho C có giá trị khác nhau, ta có một họ các mặt mức. 2. Trường vector: Là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của đại lượng vector ( ) AM G nào đó. Cho một trường vector có nghĩa là cho một hàm vector ( ) AM G phụ thuộc vào từng điểm M. Trong hệ tọa độ Decarters có: ( ) ( ) ,,AM Axyz= GG (1.17) Ví dụ: Một điện tích điểm e sinh ra xung quanh nó một điện trường, được biểu diễn bằng một vector cường độ điện trường E G phụ thuộc vào điểm ta xét. [...]... phụ sau: 1 Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t = 0 2 Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian Bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên gọi là bài 26 Toán cho Vật lý toán hỗn hợp, nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng vô hạn −∞ < x < +∞ , thì ta chỉ cần điều kiện ban đầu Bài toán đó gọi là bài toán Côsi (Cauchy) Phương trình... = q ( t ) + q2 ( t ) với q ( t ) là nghiệm của phương trình thuần nhất (2.22) 4 Sử dụng phương pháp vi tích phân để xác định một số đại lượng vật lý: a Xác định khối tâm của một vật thể hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α 21 Toán cho Vật lý Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở tâm như hình 2.6 Dễ thấy Ox chính là trục đối xứng của hệ Suy ra khối tâm G phải nằm trên Ox Xét... = ρ eρ + zez Tính divA Bài 11 Viết biểu thức của rotA trong hệ tọa độ trụ r Bài 12 Tính rot của trường vector A = 3 r 1 Bài 13 Tính ∆ψ trong hệ tọa độ cầu với ψ = 2 r 14 Toán cho Vật lý Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VẬT LÝ §1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một: Phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất có dạng: y′ + p ( x ) y = 0 (2.1) hàm p (... hàm bậc hai của thời gian 17 Toán cho Vật lý Khử t trong (2.16) ta sẽ thu được công thức độc lập với thời gian Thật vậy từ (2.15) ta có: t − t0 = v − v0 a thay vào (2.16) ta được: 2 v 2 − v 0 = 2a ( x − x0 ) 2 Dao động cơ học: Giả sử có một vật có khối lượng m được đặt trên một lò xo đàn hồi (hình 2.1) Chọn trục Oy thẳng đứng hướng từ trên xuống, gốc O đặt ở trọng tâm của vật ở vị trí cân bằng Gọi y... rotθ A = ⎢ − ( rAϕ )⎥ r ⎣ sin θ ∂ϕ ∂r ⎦ rotr A = 1 r sin θ 1⎡ ∂ ∂A ⎤ rotϕ A = ⎢ ( rAθ ) − r ⎥ r ⎣ ∂r ∂θ ⎦ 10 Toán cho Vật lý ⎤ ∂Aθ ⎤ 1 ⎡ ∂ 1 ⎡ 1 ∂Ar ∂ ⎢ ∂θ ( Aϕ sin θ ) − ∂ϕ ⎥ er + r ⎢ sin θ ∂ϕ − ∂r ( rAϕ )⎥ eθ + r sin θ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂A ⎤ 1⎡ ∂ + ⎢ ( rAθ ) − r ⎥ eϕ ∂θ ⎦ r ⎣ ∂r d Toán tử Hamilton (toán tử Nabla): ∇ là một vector, trong hệ tọa độ Decarters vuông góc, nó có dạng: ∂ ∂ ∂ ∇=i + j +k ∂x ∂y ∂z Bản... y = 0 24 Toán cho Vật lý Bài 5 tính moment quán tính của hình trụ rỗng, thành mỏng, khối lượng phân bố đều đối với trục của nó Bài 6 tính moment quán tính của thanh đồng chất, khối lượng m phân bố đều theo chiều dài của thanh, đối với trục ∆ vuông góc với thanh Bài 7 Xác định khối tâm của một vật thể hình cung tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α Bài 8 Xác định khối tâm của một vật thể hình... Bài 11 Xác định cảm ứng từ gây bởi dây dẫn thẳng dài, có cường độ I đi qua tại một điểm P cách nó một khoảng R Giả thiết dây dẫn có tiết diện nhỏ và có chiều dài vô hạn 25 Toán cho Vật lý Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG VẬT LÝ §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Các phương trình mô tả sự biến thiên của trường theo thời gian thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa hàm chưa biết... ∂ 2u ∂ 2u (3.2) = a2 2 ∂t 2 ∂x Phương trình truyền nhiệt ∂u ∂ 2u = a2 2 (3.3) ∂t ∂x Phương trình Laplaxơ ∂ 2u ∂ 2u + =0 (3.4) ∂x 2 ∂y 2 Nhiều bài toán vật lý và kĩ thuật dẫn đến các phương trình này, nên người ta gọi chúng là những phương trình vật lý – toán cơ bản Các phương trình (3.2), (3.3) và (3.4) đều có vô số nghiệm, vì vậy, ta phải đặt thêm các điều kiện phụ để xác định nghiệm của chúng Các... Các định lý tích phân: a Định lý Ôxtrôgratxki – Gauxơ: Nếu các thành phần Ax , Ay , Az của hàm vector A và các đạo hàm riêng phần của chúng là liên tục trong một thể tích V bất kỳ nào đó, và nếu σ là mặt kín bao quanh thể tích V đó, ta có: ∫ divAdV = ∫ An dσ = ∫ Adσ V σ σ b Phương trình liên tục: Xét chất lỏng hoặc khí với trường vận tốc là v ( M ) và ρ là mật độ khối lượng thì: 11 Toán cho Vật lý dρ... f ( x ) ; ut′ t =0 = F ( x ) , 0 < x < l (3.15) và điều kiện biên: u x = 0 = u x =l = 0 , (3.17) t≥0 (3.16) Bài toán này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của dây Một phương pháp vô cùng quan trọng trong bài toán vật lý toán là phương pháp Fourier hay phương pháp tách biến Trước hết ta tìm nghiệm của phương trình (3.15) chỉ thỏa mãn . TRONG VẬT LÝ 26 §1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 26 §2. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG MỘT CHIỀU 27 1. Một bài toán Vật lý dẫn tới phương trình sóng: 27 2. Dao động của dây dài vô hạn. Bài toán Cauchy:. 3 A r r = G G . Bài 13. Tính ψ ∆ trong hệ tọa độ cầu với 2 1 r ψ = . Toán cho Vật lý 15 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VẬT LÝ §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1. Phương trình vi phân. 12 21 z zzz+=+ (giao hoán) ( ) ( ) 123 123 z zz zz z++=++ (kết hợp). b. Phép trừ: Toán cho Vật lý 2 Cho hai số phức 11 1 z xiy=+ và 22 2 z xiy = + . Ta gọi số phức z là hiệu của hai