Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 1 MỞ ðẦU 1. Lý do chọn ñề tài Ma trận ñược ứng dụng rộng rãi trong Toán học tính toán, Vật lý, Kinh tế và nhiều ngành khoa học khác. Trong ðại số tuyến tính, ma trận là công cụ ñể nghiên cứu ánh xạ tuyến tính. Chính vì vậy, ma trận và ánh xạ tuyến tính có liên hệ chặt chẽ với nhau. Khi cho hai cơ sở của hai không gian vectơ thì một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian ấy cho ta một ma trận, ngược lại một ma trận xác ñịnh một ánh xạ tuyến tính duy nhất. Các giá trị riêng và vectơ riêng của một ánh xạ tuyến tính ñược xác ñịnh thông qua ma trận, do ñó những không gian con bất biến ứng với những giá trị riêng cũng ñược xác ñịnh. Các giá trị riêng và vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính là công cụ ñể ñưa ma trận về dạng ñơn giản hơn ñó là ma trận chéo. Giá trị riêng và chéo hóa ma trận ñược khám phá ra năm 1926 bởi Augustin Luois Cauchy trong quá trình ông tìm ra công thức ñơn giản hơn cho ñường bậc 2. Cauchy ñã chứng minh ñịnh lý phổ dụng cho các ma trận tự liên hợp, ví dụ như mỗi ma trận ñối xứng ñều chéo hóa ñược. Khi cho ma trận của một tự ñồng cấu với một cơ sở nào ñó, ta muốn tìm cơ sở mà ñối với ma trận của tự ñồng cấu ñã cho ở dạng “ñẹp nhất” – dạng chéo thì khi ñó ta nói rằng ma trận ñã cho chéo hóa ñược. Nếu ma trận A chéo hóa ñược thì việc nghiên cứu các tính chất (bảo toàn quan hệ ñồng dạng) của ma trận A dẫn ñến việc nghiên cứu các tính chất ñó trên ma trận chéo và như vậy vấn ñề sẽ trở nên ñơn giản hơn nhiều. Ma trận chéo là một ma trận vuông mà các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên ñường chéo chính. Việc ñưa một ma trận về ma trận chéo gọi là chéo hóa ma trận. Ma trận chéo có ứng dụng rất quan trọng trong việc tính các lũy thừa của ma trận vuông, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính ñồng thời cấp 1 với hệ số không ñổi, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi và một số ứng dụng khác. Thông qua ma trận chéo mà việc giải nhiều bài toán trở nên ñơn giản hơn. Như vậy, qua quá trình học tập và nghiên cứu, xuất phát từ nhu cầu bản thân, nhu cầu thực tế của nhiều sinh viên, tôi ñã chọn ñề tài: “Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng”. Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 2 Thông qua việc nghiên cứu nội dung này, tôi ñã có thêm ñiều kiện ñể củng cố các kiến thức ñã học, ñồng thời bổ sung nhiều ñiều bổ ích, rèn luyện khả năng nghiên cứu, làm việc khoa học. 2. Mục tiêu nghiên cứu - Mục tiêu khoa học công nghệ: ðưa ra ñiều kiện ñể một ma trận có thể chéo hóa một ma trận và các bước ñể chéo hóa một ma trận, ứng dụng của ma trận chéo. - Sản phẩm khoa học công nghệ: ðề tài là tài liệu tham khảo cho các sinh viên ngành toán trường ðại học Hùng Vương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu véctơ riêng, giá trị riêng, ma trận chéo, tính chéo hóa của ma trận. - Nghiên cứu một số ứng dụng của ma trận chéo thông qua các bài toán cụ thể. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc giáo trình, tài liệu liên quan ñến véctơ riêng, giá trị riêng, tính chéo hóa ñược và ứng dụng của nó. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút ra ñược kinh nghiệm ñể giải các bài toán chéo hóa ma trận. 5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu - ðối tượng nghiên cứu: Ma trận. - Phạm vi nghiên cứu: Tính chéo hóa của ma trận và tập trung chủ yếu trên trường số thực và trường số phức. 6. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở ñầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận bao gồm có 3 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính. 1.2. Ma trận nghịch ñảo. 1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận ñồng dạng 1.4. Vectơ riêng - Giá trị riêng Chương 2. Tính chéo hóa của ma trận 2.1. Tính chéo hóa của ma trận 2.2. Chéo hóa ñồng thời 2.3. ða thức các tự ñồng cấu, ña thức ma trận 2.4. Một số ví dụ Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 3 Chương 3. Một số ứng dụng của ma trận chéo 3.1. Tính các lũy thừa của một ma trận vuông 3.2. Xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi 3.3. Giải một số phương trình ma trận 3.4. ðưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 4 DANH MỤC KÝ HIỆU ~ A B : Ma trận A ñồng dạng với ma trận B. ( ) n D K : Tập hợp các ma trận chéo cấp n trên trường K. ( ) n GL K : Tập hợp các ma trận vuông cấp n khả nghịch trên trường K. ( ) L V : Tập hợp các tự ñồng cấu của không gian vectơ V. ( ) n M K : Tập hợp các ma trận vuông cấp n, có các phần tử thuộc trường K. χ A : ða thức ñặc trưng của ma trận vuông A. χ f : ða thức ñặc trưng của ñồng cấu f. ( ) K Sp f : Phổ của tự ñồng cấu f hay tập hợp các giá trị riêng của ñồng cấu f. ( ) K Sp A : Phổ của ma trận A hay tập hợp các giá trị riêng của A. 1 ( , , ) m L e e : Không gian vectơ sinh bởi hệ các vectơ 1 ( , , ) m e e . KGCR( 0 , λ f ): Không gian con riêng của tự ñồng cấu f liên kết với giá trị riêng 0 λ . Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính, ma trận nghịch ñảo, ma trận ñồng dạng Ngoài ra các khái niệm về vectơ riêng, giá trị riêng và cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng cũng ñược nêu ra. ðây là những kiến thức trọng tâm ñể chuẩn bị cho phần nội dung chính ở chương sau. 1.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ðịnh nghĩa 1.1. Giả sử V và W là K - không gian vectơ với cơ sở lần lượt là ( ) { } 1 2 ε ε ,ε , ,ε n =    , ( ) { } 1 2 ξ ξ ,ξ , ,ξ m =    , : f V W → là một ánh xạ tuyến mà 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 1 ( ε ) ξ ξ ξ ( ε ) ξ ξ ξ ( ε ) ξ ξ ξ m m m m n n n mn m f a a a f a a a f a a a = + + + = + + + = + + +             (1) Ma trận 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       ñược gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f ñối với cơ sở ( ε) và ( ξ) . Có thể viết gọn các ñẳng thức (1) như sau: 1 ( ε ) ξ , m j ij i i f a = = ∑   với mọi { } 1,2, , j n ∈ . Chú ý: Vì ( ξ ) là cơ sở của W nên các thành phần ij a ñược xác ñịnh duy nhất, do ñó ma trận A ñược xác ñịnh duy nhất. Giả sử 1 : V V V → là ñồng cấu ñồng nhất của không gian vectơ V và ( ) { } 1 2 ε ε ,ε , ,ε n =    là m ột cơ sở bất kì trong V . Khi ñó: 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ε ) ε 0ε 0ε 1 ( ε ) 0ε ε 0ε 1 ( ε ) 0ε 0ε ε V n V n V n n = + + + = + + + = + + +             Do ñó ma trận của 1 V ñối với ( ε) là: Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I       =       I ñược gọi là ma trận ñơn vị. Ma trận ( ) ij I a = ñược gọi là ma trận ñơn vị nếu: 1, 0, ij khi i j a khi i j =  =  ≠  Nếu V và W là hai K -không gian vectơ dim ,dim V n W m = = thì ñồng cấu 0 có ma trận ñối với mọi cơ sở của V và W là ma trận O kiểu ( , ) m n dưới ñây : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O       =       O ñược gọi là ma trận không, tức là ma trận mà mọi thành phần ñều bằng 0. Kí hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ K -không gian vectơ V ñến K - không gian vectơ W là ( , ). K Hom V W Sau ñây là mệnh ñề nêu lên mối liên hệ giữa ( , ) K Hom V W với ( , ) ( ) m n M K Mệnh ñề 1.1. Giả sử V và W là hai K -không gian vectơ và ( ) { } 1 2 ε ε ,ε , ,ε n =    , ( ) { } 1 2 ξ ξ ,ξ , ,ξ m =    lần lượt là cơ sở cố ñịnh của V và W . Khi ñó: a, Mỗi ma trận kiểu ( , ) m n xác ñịnh duy nhất một ánh xạ tuyến tính : f V W → b, Có một song ánh ( , ) φ : ( , ) ( ). K m n Hom V W M K → 1.2. Ma trận nghịch ñảo ðịnh nghĩa 1.2. Ma trận ( ) n A M K ∈ ñược gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận ( ) n B M K ∈ sao cho AB I BA = = . B ñược gọi là ma trận nghịch ñảo của A . Kí hiệu: 1 B A − = ðịnh lí 1.2. Ma trận vuông A có ngh ị ch ñả o khi và ch ỉ khi 0. A ≠ Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 7 1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận ñồng dạng Giả sử V là không gian vectơ n chiều trên trường K , trong ñó { } 1 2 α ,α , ,α n (1) và { } 1 2 α ,α , ,α (1) n ′ ′ ′ ′ là cơ sở. W là không gian vectơ m chiều trên trường K , trong ñó chọn cơ sở { } 1 2 β ,β , ,β m (2) và ( ) 1 2 β ,β , ,β (2 ) m ′ ′ ′ ′ G ọi A, B là ma trận của f ñối với cặp cơ sở (1), (2) và (1),(2 ) ′ ′ . S, T là ma tr ận chuyển cơ sở từ (1) sang (1) ′ và (2) sang (2 ) ′ . • Tìm quan hệ giữa A, B, S, T. Ta có ij ( ) m n A a × = , ij ( ) m n B b × = ij ( ) n S s = , S không suy biến. ij ( ) m T t = , T không suy biến. Theo gi ả thiết 1 ( α ) β , 1, , .(3) m j ij i i f a j n = = = ∑ 1 ( α ) β , 1, , . (4) m j ij i i f b j n = ′ ′ = = ∑ 1 α α , 1, , . (5) n j ij i i s j n = ′ = = ∑ 1 β β , 1, , . (6) m j ij i i t j m = ′ = = ∑ T ừ (5) ta có : 1 1 1 1 1 1 ( α ) α (α ) β β (*) n n n m n m j ij i ij i ij ki k ki ij k i i i k i k f f s s f s a a s = = = = = =       ′ = = = =             ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Mặt khác thay (6) vào (4): 1 1 1 1 ( α ) β β (**) m m m m j ij hi h hi ij h i h i h f b t t b = = = =     ′ = =         ∑ ∑ ∑ ∑ Vì 1 vectơ biểu thị qua cơ sở là duy nhất Từ (*) và (**) ta ñược ij ij 1 1 n m ki hi i i a s t b = = = ∑ ∑ , ( 1, , ; 1, , ; 1, , k m j n h m = = = ). Viết dưới dạng ma trận ta có: 1 AS AS TB B T − = ⇔ = . ðịnh lí 1.3. Giả sử : W f V → là ánh xạ tuyến tính có ma trận là A ñối với cơ sơ (1) trong V và cơ sở (2) trong W , ngoài ra trong V có cơ sở (1 ) ′ và trong W Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 8 có cơ sở (2 ) ′ , với ma trận chuyển cơ sở là S, T. Khi ñó ma trận của f ñối với cơ sở (1 ) ′ , (2 ) ′ là 1 B T AS − = . ðịnh nghĩa 1.3. Hai ma trận A và B ñược gọi là ñồng dạng nếu có một ma trận T sao cho 1 B T AT − = . Kí hiệu ~ A B . Hệ quả 1.4. Hai ma trận ñồng dạng khi và chỉ khi chúng là hai ma trận của cùng một tự ñồng cấu. 1.4. Vectơ riêng - Giá trị riêng ðịnh nghĩa 1.4. Giả sử V là một không gian vectơ, : f V V → là một tự ñồng cấu. Vectơ α 0 ≠   của V ñược gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại một số k K ∈ sao cho ( α) α f k =   . Số k ñược gọi là giá trị riêng của f ứng với vectơ riêng α  . Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của f là phổ của f , và kí hiệu ( ) K Sp f . Nếu A là một ma trận của tự ñồng cấu f thì giá trị riêng của f cũng ñược gọi là giá trị riêng của ma trận A . Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của A là phổ của A , kí hiệu ( ) K Sp A (hay ( ) Sp A ). ðịnh nghĩa 1.5. Giả sử : f V V → là một tự ñồng cấu của không gian vectơ V . Không gian con W của V ñược gọi là một không gian con bất biến ñối với f nếu với mọi α W ∈  ta ñều có (α) f W ∈  . Mệnh ñề 1.5. Giả sử V là một không gian vectơ, tập hợp gồm các vectơ 0  và các vectơ riêng ứng với giá trị riêng k của tự ñồng cấu : f V V → là một không gian con bất biến của V và ñược gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng k . ðịnh lí 1.6. Nếu 1 2 α , α , ,α p    là những vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng ñôi một phân biệt 1 2 , , , p k k k c ủ a t ự ñồ ng c ấ u f thì chúng l ậ p thành m ộ t h ệ vect ơ ñộ c l ậ p tuy ế n tính. Nhận xét: Giả sử dim V n = , B là một cơ sở của V, ( ) f L V ∈ và ( ) B A M f = là ma trận của f ñối với cơ sở B. Khi ñó: i, λ K ∈ là một giá trị riêng của f khi và chỉ khi λ là một giá trị riêng của A. Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 9 ii, α {0} V ∈ − là một vectơ riêng của f khi và chỉ khi ma trận cột tọa ñộ của α ñối với cơ sở B tức là ( α) B M là một vectơ riêng của A. iii, Các vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ cùng với vectơ 0 lập nên không gian vectơ con là ( λ ) v Ker f Id − . ðịnh nghĩa 1.6. Giả sử ma trận của tự ñồng cấu : f V V → ñối với cơ sở ( ) ε là 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       k ñược gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại 1 2 , , , n x x x không ñồng thời bằng 0 sao cho 1 1 n n x x A k x x         =             ⋮ ⋮ hay 1 0 ( ) 0 n x A kI x         − =             ⋮ ⋮ Nói cách khác ij 1 n j i j a x kx = = ∑ với mọi { } 1,2, , i n ∈ . hay 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x kx a x a x a x kx a x a x a x kx + + + =   + + + =     + + + =  (1) 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 n n n n n n nn n a k x a x a x a x a k x a x a x a x a k x − + + + =   + − + + =  ⇔    + + + − =  (2) α  là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng k khi và chỉ khi tọa ñộ 1 2 ( , , , ) n x x x của nó là nghiệm của hệ phương trình (2). Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt 10 ðịnh nghĩa 1.7. Giả sử A là một ma trận của tự ñồng cấu f . Ma trận 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a k a a a a k a A kI a a a k −     −   − =     −   ñược gọi là ma trận ñặc trưng, còn ña thức ( 1) n n A kI k A − = − + + ñược gọi là ña thức ñặc trưng của tự ñồng cấu f . Kí hiệu: χ A là ña thức ñặc trưng của A . CÁCH TÌM VECTƠ RIÊNG Tìm nghiệm của ña thức ñặc trưng, tức là nghiệm của phương trình 11 12 1 21 22 2 1 2 0(*) n n n n nn a k a a a a k a D a a a k − − = = − ñó là các giá trị riêng. Thay mỗi giá trị riêng tìm ñược vào vị trí của k trong hệ 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 n n n n n n nn n a k x a x a x a x a k x a x a x a x a k x − + + + =   + − + + =     + + + − =  (**) rồi giải hệ này. Mỗi nghiệm riêng của hệ là tọa ñộ của một vectơ riêng ứng với giá trị riêng ấy. Không gian nghiệm của hệ (**) xác ñịnh không gian riêng ứng với giá trị riêng vừa chọn. Ví dụ 1.1. Cho phép biến ñổi tuyến tính 3 3 :f → ℝ ℝ có ma trận ñối với cơ sở chính tắc là 1 2 2 1 0 3 1 3 0 A −     =       Tìm các giá trị riêng của f và ứng với mỗi giá trị riêng tìm một vectơ riêng. Tìm các không gian con bất biến của f . Giải. Giải phương trình [...]... khái ni m v ma tr n ñư ng chéo, ma tr n chéo hóa ñư c Ti p theo ñó là ñi u ki n chéo hóa m t ma tr n và các bư c cơ b n ñ chéo hóa m t ma tr n Ngoài ra, chéo hóa các ma tr n ñ i x ng và chéo hóa ñ ng th i c a m t h giao hoán các ma tr n ñ i x ng cũng ñư c ñ c p ñ n ñây Cu i cùng là ph n trình bày v ña th c c a t ñ ng c u, ña th c c a ma tr n ñ nêu lên ñi u ki n c n và ñ ñ m t ma tr n chéo hóa ñư c Sau... Suy ra a = d và b = c = 0 16 Tính chéo hóa c a ma tr n và m t s ng d ng Ph m Th Nguy t T nh ng ñi u trên ta suy ra ñi u ki n c n và ñ ñ ma tr n th c A chéo hóa ñư c là ho c ∆ > 0 ho c a = d và b = c = 0 Trư ng h p 2 A là ma tr n ph c Tương t như trư ng h p th c ta suy ra ñi u ki n c n và ñ ñ ma tr n ph c A chéo hóa ñư c là ho c ∆ ≠ 0 ho c a = d và b = c = 0 Ví d 2.3 Ch ng minh r ng ma tr n vuông... t ma tr n chéo Ví d 2.1 Ma tr n  8 −5  A=  10 −7  chéo hóa ñư c Th t v y, v i  1 −1  −2 0  T =  và B =  0 3  ta có:  −2 1     −1 −1 −1 T −1 =   Ta có B = T AT nên A ~ B  −2 −1 2.1.1 ði u ki n ñ m t ma tr n chéo hóa ñư c ð nh lí 2.1 M t ma tr n vuông chéo hóa ñư c khi và ch khi nó là ma tr n c a m t t ñ ng c u có m t h vectơ riêng là cơ s c a không gian Ch ng minh 14 Tính chéo. .. ng c a ma tr n c a h ng W2 (không gian Tính chéo hóa c a ma tr n và m t s ng d ng Ph m Th Nguy t M t cơ s c a nó là m t h nghi m cơ b n c a h phương trình V i c1 = 1, c3 = 0 ta có nghi m riêng β1 = (1, −2,0 ) , v i c1 = 0, c3 = 1 ta có { } nghi m riêng β 2 = ( 0, −2,1) H vectơ β1 ,β 2 là m t cơ s c a W2 13 Tính chéo hóa c a ma tr n và m t s ng d ng Ph m Th Nguy t Chương 2 TÍNH CHÉO HÓA C A MA TR N... h 1 2 3 ñ c l p tuy n tính nên nó là m t cơ s c a ℝ3 Ma tr n chuy n cơ s T t cơ s ban ñ u sang cơ s α1 , α 2 , α 3 28 Tính chéo hóa c a ma tr n và m t s ng d ng Ph m Th Nguy t  3 0 − 5   T = 2 1 6  1 − 2 3    0 0 0    Ma tr n chéo B =  0 9 0   0 0 14    Ví d 2.9 Ch ng t r ng  2 A= 1   −2  Gi i ða th c ñ 0 1 1 1   ∈ M (ℝ) chéo hóa hóa ñư c và hãy chéo hóa A 3  0 −1  c... 0    chéo hóa ñư c khi và ch khi A chéo hóa ñư c, r ng ma tr n A = ⋱ i   Ak  0 ∀i = 1, , k Gi i Gi s A chéo hóa ñư c Khi ñó t n t i P ∈ K [ x] tách ñơn sao cho: P ( A) = 0 33 Tính chéo hóa c a ma tr n và m t s ng d ng Ph m Th Nguy t  P( A1 )  0   Mà P ( A) =  ⋱  nên ta có  0 P( Ak )     P( A1 )  0   ⋱  =0  0 P ( Ak )    ⇒ P ( Ai ) = 0 , ∀i = 1, , k Do ñó Ai chéo hóa ñư... như A ñ ng d ng v i B V y A không chéo hóa ñư c Tóm l i, n u s b i c a nghi m riêng l n hơn s chi u c a không gian riêng tương ng thì ma tr n không chéo hóa ñư c 2.1.3 V n ñ chéo hóa ma tr n ñ i x ng ð nh nghĩa 2.3 M t ma tr n vuông A thu c M n ( K ) ñư c g i là ma tr n ñ i x ng (ma tr n ph n ñ i x ng) khi và ch khi At = A ( At = − A ) T p h p các ma tr n ñ i x ng (ma tr n ph n ñ i x ng) c p n v i... ñó các ma tr n c a fi ñ u là chéo, ta nói r ng các f i chéo hóa ñư c ñ ng th i ð c bi t, n u hai ma tr n chéo hóa ñư c mà giao hoán thì chúng chéo hóa ñ ng th i ñư c Ch ng minh V i n = 1 , tính ch t này ñư c suy ra t ph n 2.1 Gi s nó ñúng v i m i p ∈{1, ,n} và gi E là m t K - KGVT h u h n chi u v i s chi u n + 1 , I là m t t p khác r ng, ( f i )i∈I là m t h các ñ ng c u chéo hóa ñư c c a E và giao... ñ thư ng có m t vài ví d minh h a c th cho v n ñ ñó 2.1 Tính chéo hóa c a ma tr n ð nh nghĩa 2.1 M t ma tr n vuông A = ( aij ) thu c M n ( K ) g i là ma tr n ñư ng chéo khi và ch khi  a11 0  0 a22 A=   0  0 0   0  , (( aij ) = 0, khi i ≠ j )   ann  T p h p các ma tr n ñư ng chéo c p n v i h t trong K là Dn ( K ) ð nh nghĩa 2.2 M t ma tr n vuông ñư c g i là chéo hóa ñư c n u nó... trình: ( A − ki I ) x = 0 và chú ý r ng, s chi u c a không gian con riêng là si = n − rank ( A − ki I ) , n u th y si < mi thì k t lu n ngay không chéo hóa ñư c Bư c 4 L y cơ s tìm ñư c có d ng ñư ng chéo Ví d 2.4 Cho ma tr n bư c 3, l p ma tr n S và S −1 AS là ma tr n 1 2 −2  A = 1 0 3    1 3 0    a) Chéo hóa ma tr n b) Gi s ma tr n chéo v a tìm ñư c là B Hãy tìm ma tr n T ñ B = T −1 AT . Tính chéo hóa của ma trận 2.1. Tính chéo hóa của ma trận 2.2. Chéo hóa ñồng thời 2.3. ða thức các tự ñồng cấu, ña thức ma trận 2.4. Một số ví dụ Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng. về ma trận ñường chéo, ma trận chéo hóa ñược. Tiếp theo ñó là ñiều kiện chéo hóa một ma trận và các bước cơ bản ñể chéo hóa một ma trận. Ngoài ra, chéo hóa các ma trận ñối xứng và chéo hóa. và nghiên cứu, xuất phát từ nhu cầu bản thân, nhu cầu thực tế của nhiều sinh viên, tôi ñã chọn ñề tài: Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng . Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng