Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến t hức chuẩn bị 5 1.1 Toán tử, toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Phương trình Laplace và các bài toán biên trong trong trường hợp ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Phương trình Laplace trong tọa độ cầu, nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trường hợp ba biến . . . . . . . . 9 1.4.1 Phương trình Laplace trọng tọa độ cầu (r, ϕ, θ) . . . 9 1.4.2 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trường hợp ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Phương pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Phương pháp biến thiên tham số . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Sử dụng phương pháp hàm Green để giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu 16 2.1 Xây dựng phương pháp hàm Green . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Khái niệm hàm Green. Tính đối xứng của hàm Green 16 2.1.2 Xây dựng phương pháp hàm Green . . . . . . . . . 20 2.1.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green . . . . . . . . . 22 2.1.4 Hàm điều hòa. Biểu diễn Green . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Thiết lập phương trình Laplace trong tọa độ cầu . . . . . . 28 1 2.3 Phương pháp hàm Green cho bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 40 Phụ lục 1 42 Phụ lục 2 44 Tài liệu t ham khảo 47 2 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng là một học phần rất quan trọng trong chương trình đào tạo. Giúp sinh viên làm quen dần với phương pháp toán học hiện đại trong vật lý. Học phần này có liên quan đến nhiều môn học khác: Phương pháp toán lý, điện động lực, nhiệt động lực, cơ học lượng tử, Việc nghiên cứu học phần này là cơ sở nghiên cứu các môn học khác. Vì thế việc nghiên cứu nó gặp nhiều khó khăn. Học phần này có nhiều dạng bài tập, mỗi dạng lại có nhiều phương pháp giải đòi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Cụ thể là bài tập về bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace có các phương pháp giải như: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel, Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế. Trong học phần Phương trìnhđạo hàm riêng chủ yếu đi sâu vào phương trình Laplace. Và một phần quan trọng là bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace như: bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình tròn, trong hình vành khăn, trong hình trụ, hình cầu. Ở đây ta đi sâu vào nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu và áp dụng giải một số bài toán cụ t hể trong thực tế. Với những lý do trên em chọn đề tài: "BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG HÌNH CẦU" làm khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Đối tượng, mục đích, nhiệm vụ, phương pháp, phạm vi nghiên cứu, giả t huyết khoa học 2.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green với bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu. 2.2. Mục đích nghiên cứu 3 Tìm hiểu cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green. Dùng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu. 2.3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở toán học cho việc xây dựng phương pháp hàm Green. Xây dựng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán Dirich- let đối với phương trình Laplace trong hình cầu. Giải ví dụ bằng phương pháp hàm Green. 2.4. Phương pháp nghiên cứu Do đặt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù bộ môn, em chọn phương pháp lý thuyết, thảo luận Seminar, phương pháp toán học và phương pháp phân tích. 2.5. Phạm vi nghiên cứu: Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu. 2.6. Giả t huyết khoa học Nếu dùng phương pháp hàm Green thì có thể tìm được nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu. 3. Cấu trúc của khóa luận gồm Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận của khóa luận Chương 2: Sử dụng phương pháp hàm Green để giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu Kết luận 4. Đóng góp của khóa luận Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần Phương pháp toán lý cho sinh viên. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử, toán tử Laplace Toán tử là một quy tắc toán học dùng để biến đổi một hàm này sang hàm khác có cùng bản chất.  Aψ = ϕ Trong đó  A là toán tử.  Aψ là toán tử  A tác dụng lên hàm ψ cho hàm ϕ. Ví dụ 1.1. Toán tử tọa độ:  A =  x = x. ϕ(x) =  xψ(x) = xψ(x). (1.1) Ví dụ 1.2. Toán tử vi phân:  A =  d dx = d dx . ϕ(x) =  d dx ψ(x) = d dx ψ(x) . (1.2) Toán tử Laplace:  2 = ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 + ∂ 2 ∂z 2 ϕ(x) =  2 ψ(x) = ∂ 2 ψ ∂x 2 + ∂ 2 ψ ∂y 2 + ∂ 2 ψ ∂z 2 . Tổng quát:  2 = n ∑ i=1 ∂ 2 u ∂x 2 i . Doψ, ϕ là những hàm phức nên các toán tử trong trường hợp tổng quát cũng là những toán tử phức. Toán tử  A được gọi là tóan tử tuyến tính nếu nó thỏa mãn:  A(C 1 ψ 1 + C 2 ψ 2 ) = C 1  Aψ 1 + C 2  Aψ 2 , 5 trong đó C 1 , C 2 là những hằng số tùy ý, và ψ 1 , ψ 2 là hai hàm số tùy ý. 1.2 Phương trình Laplace và các bài toán biên trong trong trường hợp ba biến Phương trình Laplace ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 + ∂ 2 u ∂z 2 = 0. (1.3) Ta phát biểu bài toán biên của phương trình Laplace trong miền T ∈ R 3 , giới hạn bởi mặt cong S. Tìm hàm u(x, y, z) thỏa mãn với (x, y, z) ∈ T và một trong các điều kiện sau: u − f 1 trên S với f 1 = f 1 (x, y, z) cho trước. (1.4) ∂u ∂n = f 2 trên S với f 2 = f 2 (x, y, z) cho trước. (1.5) ∂u ∂n + h(u −u 0 ) trên S. (1.6) Bài toán (1.3) và (1.4) được gọi là bài toán biến thứ nhất đối với phương trình Laplace, thường gọi là bài toán Dirichlet. Bài toán (1.3) và (1.5) được gọi là bài toán biên thứ hai đối vơi phương trình Laplace, thường gọi là bài toán Neumann. Bài toán (1.3) và (1.6) được gọi là bài toán biên thứ ba đối với phương trình Laplace. 1.3 Bài toán biên Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng: L[y] ≡ a 0 (x).y (n) + a 1 (x).y (n) + . . . + a n (x) + y = F(x) (1.7) trong đó a 0 (x), a 1 (x), . . ., a n (x) là các hàm liên tục trong khoảng a ≤x ≤b và a 0 (x) = 0. Cách chung để giải phương trình (1.7) là trước hết giải phương trình thuần nhất cấp n là L[y] = 0 thu được một tập nghiệm 6 cơ bản { y 1 (x), . . . , y n (x) } . Nghiệm tổng quát y 0 của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tính của tập nghiệm cơ bản. y c = C 1 .y 1 (x) + C 2 .y 2 (x) + . . . + C n .y n (x), (1.8) trong đó C 1 , C 2 , . . . ,C n là các hằng số tùy ý. Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng y p nào của phương trình vi phân không thuần nhất L(y) = F(x). Để giải phương trình này ta thường dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hàm số để tìm nghiệm riêng. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.7) sẽ là y = y c + y p . Trong các bài toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân (1.7) đòi hỏi phải thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình. Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2: a 0 (x) d 2 y dx 2 + a 1 (x) dy dx + a 2 (x) = 0, x ∈ [a, b] (1.9) bị lệ thuộc bới điều kiện bổ sung tại x = a có dạng: y(a) = α, y  (a) = β, với α, β là các hằng số. Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương trình vi phân (1.9) bị hạn chế bới 2 điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương trình có dạng    c 11 .y(a) + c 12 .y  (a) = α, c 2 11 + c 2 12 = 0 c 21 .y(a) + c 22 .y  (a) = β, c 2 21 + c 2 22 = 0 (1.10) trong đó: c 11 , c 12 , c 21 , c 22 , α, β là các hằng số. Điều kiện bổ sung (1.10) được gọi là điều kiện biên. Phương trình vi phân (1.9) với điều kiện biên (1.9) được gọi là bài toán biên. Nghiệm của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên. Bài toán biên không chỉ 7 có một nghiệm mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên có dạng:    c 11 .y(a) + c 12 .y  (a) + c 13 y(b) + c 14 .y  (b) = α c 21 .y(b) + c 22 .y  (b) + c 13 y(a) + c 14 .y  (a) = β trong đó: c ij , i = 1, 2, j = 1, 2,3, 4 và α, β là các hằng số được gọi là điều kiện biên hỗn hợp. Bài tóan biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tuyến tính cấp 1: L(y) = dy dx + p(x)y = q(x) (1.11) để giải phương trình (1.11), trước hết giải phương trình thuần nhất: L(y) = dy dx + p(x)y = 0 (1.12) để thu được nghiệm tổng quát y c . Ta có thể tách biến phương trình (1.12) có dạng: dy y = −p(x)dx (1.13) đặt: P(x) = x  0 p(ξ)dξ với dP dx = p(x) (1.14) tích phân (1.12) thu được: ln y = −P(x) + C ⇒ e ln y = e −P(x) e c → y = C 1 e −P(x) , C 1 = e c vậy nghiệm tổng quát của (1.11) là y c = C 1 e −P(x) dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng y p = u(x)e −P(x) , trong đó C 1 ở trong nghiệm tổng quát đã được thay thế bằng hàm chưa biết u(x), nghiệm giả định này có đạo hàm là: dy p dx = u(x)e −P(x) (−p(x)) + du dx e −P(x) thay y p và dy p dx vào phương trình không thuần nhất (1.10) ta có dy p dx + p(x)y p = q(x) ⇒ du dx e −P(x) = q(x) ⇒ u = u(x) = x  0 q(ξ)e P(ξ) dξ 8 suy ra nghiệm riêng y p = e −P(x) x  0 q(ξ)e P(ξ) dξ Nghiệm tổng quát của phương trình 1.10 có dạng y = y c + y p = e −P(x) [C 1 + x  0 q(ξ)e P(ξ) dξ (1.15) 1.4 Phương trình Laplace trong tọa độ cầu, nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trường hợp ba biến 1.4.1 Phương trình Laplace trọng tọa độ cầu (r, ϕ, θ) Xét tọa độ cầu            x = rcos ϕsinθ y = rsin ϕsin θ z = rcosθ Phương trình Laplace trong tọa độ cầu là: 1 r 2 ∂ ∂r  r 2 ∂u ∂r  + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ  sin θ ∂u ∂θ  + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 u ∂ϕ 2 = 0. (1.16) 1.4.2 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trường hợp ba biến Xét trường hợp riêng khi nghiệm của phương trình Laplace có tính đối xứng cầu. U = U(r) nghĩa là chỉ phụ thuộc vào một biến r =  x 2 + y 2 + z 2 . Nghiệm này được xác định từ phương trình (1.16) 1 r 2 d dγ  r 2 dU dr  = 0 hay d dr  r 2 dU dr  = 0. Lấy tích phân hai vế theo r ta có: r 2 dU dr = C 1 . 9 Từ đó dU dr = C 1 r 2 , hay dU = C 1 dr r 2 . Lấy tích phân hai vế ta được U = −C 1 r + C 2 . Với C 1 , C 2 là hằng số tùy ý. Lấy C 1 = −1 4π , C 2 = 0 ta được. U = 1 4πr ; r =  x 2 + y 2 + z 2 (1.17) U được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trong không gian. 1.5 Phương pháp tách biến Phương pháp tách biến nhằm xây dựng một nghiệm µ của phương trình đạo hàm riêng cho trước thông qua các hàm có biến số ít hơn. Nói cách khác, ta phỏng đoán rằng µ có thể được viết dưới dạng tổng hoặc tích của các hàm có biến số ít hơn và tách nhau, thay nó vào phương trình đạo hàm riêng để chọn cá hàm đó phải đảm bảo µ thực sự là nghiệm của phương trình. Cho U ⊂R n là một miền bị chặn với biên trơn. Ta xét bài toán giá trị biên ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt. Ví dụ 1.3.            µ t −∆µ = 0 trong U ×[0; ∞) µ = 0 trên ∂U × [0;∞) µ = g trên U ×{t = 0}. (1.18) Ở đây, g : U → R là hàm cho trước. Ta giả định tồn tại nghiệm dạng: µ(x, t) = ϑ(t)ω(x), x ∈U, t ≥ 0. (1.19) Có nghĩa là ta xét nghiệm của (1.19) như là tích của hàm số với x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ U và biến t ∈ [0, T] tách ra với nhau. Bây giờ ta đi tìm ϑ và ω. Để làm điều đó ta tính 10 [...]... trên, ta suy ra phương trình Laplace trong tọa độ cầu có dạng: 1 ∂ ∂u r2 r2 ∂r ∂r 1 ∂ ∂u + 2 sin θ r sin θ ∂θ ∂θ 28 1 ∂2 u + 2 2 = 0 r sin θ ∂ϕ2 2.3 Phương pháp hàm Green cho bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu • Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu Cho hình cầu tâm O, bán kính q, mặt cầu S Tìm hàm u:   u = 0 u| = f S ∗ ∗ P0 ở trong mặt cầu S... trong Rn , còn u là hàm thuộc lớp C2 (Ω) Hàm u = 0 với mọi x thuộc Ω được u( x ) thảo mãn phương trình Laplaxơ: gọi là hàm điều hòa trong Ω Dạng không thuần nhất của phương trình Laplaxơ được gọi là phương trình Poisson Nghiệm của phương trình Poisson trong miền Ω làm hàm u( x ) thuộc lớp C2 (Ω) sao cho u = f (x) (2.27) với bất kỳ x thuộc Ω Nghiệm như thế còn được gọi là nghiệm cổ điểm của phương trình. .. bản, cần thiết cho việc xây dựng phương pháp hàm Green 15 Chương 2 Sử dụng phương pháp hàm Green để giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu 2.1 Xây dựng phương pháp hàm Green 2.1.1 Khái niệm hàm Green Tính đối xứng của hàm Green Để đưa vào khái niệm hàm Green, chúng ta bắt đầu với các toán tử vi phân cấp 2 có dạng đồng nhất với hàm Green Mọi toán tử vi phân cấp 2 có dạng dy... = y(b) = 0 Để giải phương trình này, đổi biến x trong phương trình (2.1) và (2.5) thành biến mới ξ và viết đồng nhất thức Green theo biến mới b v(ξ ) Lξ (u) − u(ξ ) L∗ (v) dξ = [ P(u(ξ ), v(ξ ))] ξ b a (2.11) a trong phương trình (2.11), biến ξ được dùng như một biến giả của phép lấy tích phân và vì thế các toán tử Lξ và L∗ là toán tử đạo hàm đối với ξ ξ Để giải phương trình (2.9) với điều kiện (2.10),... ) xác định trong khoảng a < x < b phụ thuộc vào hai điều kiện thuần nhất, trong đó L là toán tử Sturm - Liouville có dạng: L= d dx p du dx + q Khi p = 1, q = 0 ta được toán tử của phương trình truyền nhiệt trong d2 u trạng thái dừng: L = 2 dx Phương trình vi phân không thuần nhất có thể giải bằng phương pháp biến thiên tham số nếu biết hai nghiệm của phương trình u1 ( x ), u2 ( x ) Theo phương pháp... của nó Tiểu kết: Ở chương này đã xây dựng xong phương pháp Green làm cơ sở cho việc áp dụng nó để giải bài toán truyền nhiệt ở chương sau Phương pháp hàm Green là phương pháp không phải trực tiếp phương trình vi phân mà tìm hàm Green thông qua việc giải phương trình khác Rồi biểu diễn nghiệm cần tìm thông qua hàm Green 27 2.2 Thiết lập phương trình Laplace trong tọa độ cầu Xét tọa độ cầu   x   ... đối xứng: G ∗ ( x; ξ ) = G (ξ; x ) (2.22) Để chứng minh tính đối xứng trên, nhân phương trình (2.20) với G ∗ và sau đó thay biến ξ trong phương trình (2.21) bằng biến t, rồi nhân phương trình (2.21) với G ∗ ( x; ξ ) ta thu được: G ( x; ξ ) L∗ G ∗ = δ( x − t), x G ( x; t) L x G ( x; ξ ) = δ( x − ξ ), (2.23) trừ hai phương trình trên và sau đó tích phân từ a đến b ta thu được đồng nhất thức Green: b P[... dx nó thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản dp d u2 d u1 dW = u1 2 − u2 2 = − d dx dx dx p 2 2 u1 du2 du1 − u2 dx dx dp = − d W p Trong đó, các phương trình vi phân thuần nhất L(u1 ) = 0 và L(u2 ) = 0 c được dùng đến Giải phương trình trên suy ra: W = hay pW = c p Tiểu kết: Trong chương này đã nêu lên khái niệm về bài tập vật lý, tầm quan trọng của bài tập vật lý Trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần... x0 ) và u2 ( x0 ) là các hàm điều hòa trong Rn \ ∂Ω nếu a1 và a2 là các hàm thuộc lớp C0 (∂Ω) Như vậy các tích phân (2.35) và 26 (2.36) xác định họ các nghiệm của phương trình Laplace trong Ω Cũng lý luận như vậy ta nhận được thế vị Newton (2.35) là hàm điều hòa trong Rn \ Ω nếu a0 ( x ) ∈ C0 (Ω) Bây giờ giả thiết hàm h ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) thỏa mãn phương trình u=0 trong Ω Khi đó nhờ công thức Green thứ... đối với vùng V0 là: (v∆u − u∆v)dV = V0 v S ∂u ∂v −u dS + ∂n ∂n v S0 ∂u ∂v −u dS (2.38) ∂n ∂∂n Trong công thức này ta xem u là nghiệm của bài toán Dirichlet, còn v được chọn là hàm Green G ( P) xác định như sau: G ( P) = 1 r p0 p + H ( P ) Trong đó r p0 p là khoảng cách giữa P0 và một điểm biến thiên P( x, y, z), H ( P) là một hàm thỏa mãn phương trình Laplace trong vùng V và nhận 1 giá trị − đối với