BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KÉP CHO LỚP ÁNH XẠ (α, ψ)-CO TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG THỨ TỰ BỘ PHẬN Mã số: CS2013.01.13 Chủ nhiệm đề tài: ThS. Nguyễn Trung Hiếu Đồng Tháp, 5/ 2014 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KÉP CHO LỚP ÁNH XẠ (α, ψ)-CO TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG THỨ TỰ BỘ PHẬN Mã số: CS2013.01.13 Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Nguyễn Trung Hiếu Đồng Tháp, 5/ 2014 MỤC LỤC Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . 3 5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . 5 1.2 Định lí điểm bất động kép của lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric suy rộng thứ tự bộ phận 14 2.1 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian b-mêtric thứ tự bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . 14 ii iii 2.2 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)- co suy rộng trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận . . . . . . . 26 Kết luận và kiến nghị 42 1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Phụ lục 48 iv bộ giáo dục & đào tạo CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI KH & CN CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Về định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric suy rộng thứ tự bộ phận Mã số: CS2013.01.13 Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Trung Hiếu Tel.: 0939428941 E-mail: ngtrunghieu@dthu.edu.vn Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện: Không Thời gian thực hiện: 4/2013 đến 5/2014 1. Mục tiêu: - Thiết lập một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric suy rộng. - Xây dựng một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 2. Nội dung chính: - Kiến thức chuẩn bị. - Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric suy rộng. 3. Kết quả chính đạt được: - Thiết lập và chứng minh được một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ co suy rộng liên quan đến những hàm α, ϕ, ψ trong không gian b-mêtric sắp thứ tự bộ phận. v - Thiết lập và chứng minh được một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co suy rộng trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận. - Xây dựng được một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. - Một bài báo khoa học được nhận đăng trên Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, một bản thảo bài báo khoa học được gửi đăng trên Journal of Nonlinear Analysis and Optimization và một tài liệu tham khảo cho giảng viên và sinh viên trong giảng dạy, nghiên cứu và học tập giải tích hiện đại. Chủ nhiệm đề tài Nguyễn Trung Hiếu vi ministry of education and training SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness SUMMARY Project Title: On some coupled fixed point theorems for (α, ψ)-contractive mappings in partially ordered generalized metric spaces Code number: CS2013.01.13 Coordinator: Nguyễn Trung Hiếu Tel.: 0939428941 E-mail: ngtrunghieu@dthu.edu.vn Implementing Institution: Dong Thap University Cooperating Institution(s): No Duration: from 2013, April to 2014, May 1. Objectives: - To state some coupled fixed point theorems for (α, ψ)-contractive map- pings in generalized metric spaces. - To give some examples to demonstrate the validity of the results. 2. Main contents: - Preliminaries. - Some coupled fixed point theorems for (α, ψ)-contractive mappings in generalized metric spaces. 3. Results obtained: - Some coupled fixed point theorems for generalized contractive mappings relating to functions such as α, ϕ, ψ in partially ordered b-metric spaces were stated and proved. - Some coupled fixed point theorems for generalized (α, ψ)-contractive vii mappings in partially ordered metric-type spaces were stated and proved. - Some examples were given to demonstrate the validity of the results obtained. - An article accepted to publish on Dong Thap University Journal of sci- ence, a submitted manuscript on Journal of Nonlinear Analysis and Opti- mization and a reference for lecturers and students of Mathematics Faculty in studying, lecturing and researching advanced analysis. Coordinator Nguyễn Trung Hiếu 1 MỞ ĐẦU 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu Các mêtric suy rộng có vai trò quan trọng trong việc thiết lập những mở rộng của Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ. Do đó, trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã xây dựng những không gian mêtric suy rộng. Năm 1989, trong bài báo [3], Bakhtin đã giới thiệu một khái niệm mêtric suy rộng là b-mêtric. Khái niệm này tiếp tục được Czerwik nghiên cứu và bổ sung trong bài báo [8, 9]. Sự khác biệt của khái niệm b- mêtric với khái niệm mêtric là điều kiện của bất đẳng thức tam giác trong khái niệm mêtric đã được thay bằng một bất đẳng thức tổng quát hơn. Bằng kĩ thuật tương tự, năm 2010, trong bài báo [17], Khamsi đã giới thiệu khái niệm kiểu-mêtric. Kể từ đó, việc thiết lập những định lí điểm bất động trong không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric thu hút nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [7, 11, 14, 16, 27, 30]. Trong lí thuyết điểm bất động, việc nghiên cứu định lí điểm bất động kép cũng được nhiều tác giả quan tâm. Khái niệm điểm bất động kép được Bhaskar và cộng sự giới thiệu đầu tiên trong bài báo [5]. Đồng thời, trong bài báo này, các tác giả cũng giới thiệu khái niệm ánh xạ đơn điệu hỗn hợp và thiết lập một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ này. Kể từ đó, việc thiết lập những dạng mở rộng của những định lí điểm bất động kép trong [5] được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [1, 2, 15, 19, 21, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 36]. Cùng hướng nghiên cứu đó, năm 2011, trong bài báo [20], 2 Luong và cộng sự đã thiết lập một số kết quả về định lí điểm bất động kép thông qua hàm ϕ và ψ. Năm 2012, trong bài báo [33], Samet và các cộng sự giới thiệu hàm α-chấp nhận được với α : X 2 × X 2 −→ [0, ∞), đồng thời thiết lập một số định lí điểm bất động kép bằng cách sử hàm α-chấp nhận được này. Khái niệm này tiếp tục được Mursaleen và các cộng sự sử dụng để thiết lập một số định lí điểm bất động kép trong bài báo [22]. Trong đề tài này, chúng tôi mở rộng các kết quả trong bài báo [20] sang không gian b-mêtric bằng cách sử dụng hàm α-chấp nhận được và mở rộng những dạng định lí điểm bất động kép trong [22] sang không gian kiểu-mêtric bằng cách bổ sung thêm số hạng. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 2 Tính cấp thiết của đề tài Trên cơ sở nghiên cứu những tài liệu tham khảo liên quan đến định lí điểm bất động kép, chúng tôi nhận thấy rằng những dạng định lí điểm bất động kép trong [20, 22] chưa được khảo sát trên không gian kiểu-mêtric và không gian b-mêtric. Do đó, chúng tôi đặt vấn đề mở rộng các định lí điểm bất động kép của [20] sang không gian b-mêtric bằng cách sử dụng hàm α-chấp nhận và mở rộng các định lí điểm bất động kép của [22] sang không gian kiểu-mêtric. Kết quả nghiên cứu của đề tài góp phần làm phong phú thêm các định lí điểm bất động kép trên không gian mêtric suy rộng. Đồng thời, đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học và nghiên cứu khoa học của giảng viên và sinh viên Trường Đại học Đồng Tháp. [...]... nhất điểm bất động kép 14 CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KÉP CHO LỚP ÁNH XẠ (α, ψ) -CO TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG THỨ TỰ BỘ PHẬN 2.1 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian b-mêtric thứ tự bộ phận Trong mục này, chúng tôi thiết lập, chứng minh một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ suy rộng trong không gian b-mêtric và suy ra một số hệ quả từ những định. .. 2.1.3 cho ánh xạ F này Hơn nữa, (0, 0) là điểm bất động kép của F 2.2 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ )co suy rộng trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận Trong mục này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ) -co suy rộng trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận Những kết quả này là sự mở rộng các định lí điểm bất động kép trong. .. là một ánh xạ không liên tục lim D 1.2 Định lí điểm bất động kép của lớp ánh xạ (α, ψ )co trong không gian mêtric Mục này trình bày khái niệm điểm bất động kép, khái niệm ánh xạ đơn điệu hỗn hợp, hàm α-chấp nhận được và một số kết quả về điểm bất động kép của lớp ánh xạ (α, ψ) -co trong không gian mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([5], Definition 1.2) Điểm (x, y) ∈ X×X được gọi là điểm bất động kép của ánh xạ... và chứng minh định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ) -co suy rộng trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận 2.2.2 Định lí Cho (X, D, K, ) là một không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận đầy đủ và F : X × X −→ X là một ánh xạ đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn (1) F là ánh xạ (α,ψ) -co suy rộng; (2) F là ánh xạ α-chấp nhận được; (3) F là ánh xạ liên tục; (4) Tồn tại x0 , y0 ∈ X sao cho x0 F (x0... tài được trình bày trong hai chương Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ) -co trong không gian mêtric suy rộng thứ tự bộ phận 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric Mục này trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric 1.1.1 Định nghĩa ([9]) Cho X là một tập khác... 23] trên không gian kiểu-mêtric Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được Các kết quả chính của mục này được trình bày trong bản thảo [13] đã gửi đăng Trước hết, chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ (α, ψ) -co suy rộng trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận như sau 27 2.2.1 Định nghĩa Cho (X, D, K, ) là một không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ F... tài nghiên cứu lớp ánh xạ liên quan đến những hàm α, ϕ, ψ trong không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động trên không gian mêtric suy rộng 6 Nội dung nghiên cứu Đề tài nghiên cứu một số khái niệm, tính chất của không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric, một số định lí điểm bất động kép trong hai không gian này và một số ví dụ minh họa 4 Ngoài Mục lục, Mở... sao cho (u, v) so sánh được với (x, y), (z, t) và α (x, y), (u, v) ≥ 1, α (v, u), (y, x) ≥ 1, α (z, t), (u, v) ≥ 1, α (v, u), (t, z) ≥ 1 Khi đó, F có duy nhất điểm bất động kép Chứng minh Từ chứng minh của Định lí 2.1.1, ta suy ra F có điểm bất động kép Ta sẽ chứng minh tính duy nhất của điểm bất động kép Giả sử (x, y) và (z, t) là hai điểm bất động kép của F Khi đó, tồn tại (u, v) ∈ X × X sao cho. .. v) ∈ X × X 1.2.5 Định lí ([20], Theorem 2.4) Giả sử (1) Các giả thiết của Định lí 1.2.4 được thỏa mãn; (2) Với mỗi (x, y), (z, t) ∈ X × X, tồn tại (u, v) ∈ X × X sao cho (u, v) so sánh được với (x, y), (z, t) Khi đó, F có duy nhất điểm bất động kép Cuối cùng, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về điểm bất động kép của lớp ánh xạ (α, ψ) -co trong không gian mêtric được thiết lập trong [22, 23] Kí... những định lí này Những kết quả này là sự mở rộng các định lí điểm bất động kép trong bài báo [20] sang không gian b-mêtric Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được Các kết quả chính của mục này được công bố trong bài báo [12] 2.1.1 Định lí Cho (X, d, ) là một không gian b-mêtric sắp thứ tự bộ phận đầy đủ và F : X × X −→ X là một ánh xạ đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn (1) Tồn tại . partially ordered generalized metric spaces Code number: CS 2 013 . 01. 13 Coordinator: Nguyễn Trung Hiếu Tel.: 0939428941 E-mail: ngtrunghieu@dthu.edu.vn Implementing Institution: Dong Thap University Cooperating. No Duration: from 2 013 , April to 2014 , May 1. Objectives: - To state some coupled fixed point theorems for (α, ψ)-contractive map- pings in generalized metric spaces. - To give some examples to demonstrate. BẤT ĐỘNG KÉP CHO LỚP ÁNH XẠ (α, ψ) -CO TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG THỨ TỰ BỘ PHẬN Mã số: CS 2 013 . 01. 13 Chủ nhiệm đề tài: ThS. Nguyễn Trung Hiếu Đồng Tháp, 5/ 2014 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG